泊松分布课件
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统计学：二项分布与泊松分布PPT课件
对立事件 A的概率为１-p。则有总概率p+
（1-p）=1。注意：1-p=q
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二、 二项分布的概率函数
1. 根据贝努里模型进行试验的三个基本条 件，可以求出在n 次独立试验下，事件 A出现的次数X的概率分布。X为离散型 随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。
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由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：
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《医学统计学》目录
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
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二项式展开式实例
将二项式（a+b）n 展开
(ab)2a22a bb2
(a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3
( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a 3 b b 4
( a b ) 5 a 5 5 a 4 b 1 a 3 b 2 0 1 a 2 b 0 5 a 4 b b 5
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2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳 性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为 （1-π），且各观察单位的观察结果相互独立， 互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出 现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二 项分布。
（1-p）=1。注意：1-p=q
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二、 二项分布的概率函数
1. 根据贝努里模型进行试验的三个基本条 件，可以求出在n 次独立试验下，事件 A出现的次数X的概率分布。X为离散型 随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。
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由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：
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第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
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二项式展开式实例
将二项式（a+b）n 展开
(ab)2a22a bb2
(a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3
( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a 3 b b 4
( a b ) 5 a 5 5 a 4 b 1 a 3 b 2 0 1 a 2 b 0 5 a 4 b b 5
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2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳 性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为 （1-π），且各观察单位的观察结果相互独立， 互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出 现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二 项分布。
交通流参数的泊松分布 ppt课件
i0
12
___ 样本均值 ： m
xi fi
i0 12
fi
1603 323
4.963
i0
12
___
样本方差：S
2
(xi m)2 * fi
i0
1579.554 4.905
N 1
322
样本期望与方差比值： S 2 ___ m
4.905 0.988 4.963
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France
ppt课件
4
(二)Poisson分布的定义 poisson distribution
如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X 所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为 ：
μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8
ppt课件
8
ppt课件
9
(三)Poisson分布的图形
ppt课件
10
ppt课件
11
μ=0.6 μ=6
μ=2 μ=14
ppt课件
12
(四)Poisson分布的性质
1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。
2. Poisson分布的可加性。
nn
b(k; n,
pn
)
k
k!
e
ppt课件
16
二项分布的泊松逼近：
波松定理
Pk P(xn k ) Cnk pnk (1 pn )nk , k 1,2,, n
设npn 0，为常数，则有
lim
n
P(
xn
12
___ 样本均值 ： m
xi fi
i0 12
fi
1603 323
4.963
i0
12
___
样本方差：S
2
(xi m)2 * fi
i0
1579.554 4.905
N 1
322
样本期望与方差比值： S 2 ___ m
4.905 0.988 4.963
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France
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4
(二)Poisson分布的定义 poisson distribution
如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X 所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为 ：
μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8
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8
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(三)Poisson分布的图形
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10
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11
μ=0.6 μ=6
μ=2 μ=14
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(四)Poisson分布的性质
1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。
2. Poisson分布的可加性。
nn
b(k; n,
pn
)
k
k!
e
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16
二项分布的泊松逼近：
波松定理
Pk P(xn k ) Cnk pnk (1 pn )nk , k 1,2,, n
设npn 0，为常数，则有
lim
n
P(
xn
泊松分布课件
平稳性: 在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. 无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性: 如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数；
解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ=5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
进货数
销售数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05
e 5 0.05 或 k m 1 k!
查泊松分布表得
P ( X k ) e
k
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数, 则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布, 记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性, 成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
5 k
e 5 0.032, k 10 k!
于是得 m+1=10,
5 k
e 5 0.068 k! k 9
m=9件
5 k
这一讲，我们介绍了泊松分布
n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布. 我们给出了泊松分布产生的一般条件
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
泊松分布
X 近似服从 P 3.87 。
例 4.2.2 伦敦飞弹。 二战时伦敦遭到很多次炸弹袭击， 将整个面积分为 N 567 小块，其中发现 k 枚炸弹的小块数为 N k ，总共发现炸弹 537 枚。
k Nk
0 229
1 211
2 93
3 35
4 7
5 1
N pk ,0.9323 226.7 211.4 98.6 31.6 7.1 1.6
验证： k Z , pk 0 ，
pk e
k 0 k 0
k
k!
e
k 0
k
k!
e e 1
************************************************************ 泊松分布与二项分布的关系 考虑二项分布 B n, p ，当 p 很小 n 很大时， B n, p 与P np 非常接近，可相互 近似 若 X ~ B n, p ， Y ~ P np ，
k Nk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 16 17
N p k 3.87 54 211 407 525 508 394 254 140 68 29
57 203 383 525 532 408 273 139 45 27
1 1 设 X 为 1 次观察中到达的粒子数， 则 X ~ B 10094, ， 10094 3.87 2608 2608
Bk n, p
则 P X k P Y k
令 np ，则
Bk 1 n, p
随机过程3-泊松分布
2
3.2 泊松过程的性质
(3)n 1
T1=s1 T2=s2 0 Tn-1 =sn-1 Tn t
PX ( s1 sn1 t ) X ( s1 sn1 ) 0 e
t
PTn t | T1 s1 ,, Tn1 sn1
W1
W2
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
3.1 泊松过程的定义
(3)当n 1时，
由于P 0） P X(0) 1 0 （ 1 所以C 0，P (t ) te 1
t
d t e P (t ) et P0 (t ) et e t 1 dt t P (t ) (t C )e 1
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t h) Pn (t ) o(h) Pn (t ) Pn1 (t ) h h 当h 0时，Pn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) e t Pn (t ) Pn (t ) e t Pn1 (t ) d t t e Pn (t ) e Pn1 (t ) dt
3.2 泊松过程的性质
(3)n 1
T1=s1 T2=s2 0 Tn-1 =sn-1 Tn t
PX ( s1 sn1 t ) X ( s1 sn1 ) 0 e
t
PTn t | T1 s1 ,, Tn1 sn1
W1
W2
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
3.1 泊松过程的定义
(3)当n 1时，
由于P 0） P X(0) 1 0 （ 1 所以C 0，P (t ) te 1
t
d t e P (t ) et P0 (t ) et e t 1 dt t P (t ) (t C )e 1
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t h) Pn (t ) o(h) Pn (t ) Pn1 (t ) h h 当h 0时，Pn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) e t Pn (t ) Pn (t ) e t Pn1 (t ) d t t e Pn (t ) e Pn1 (t ) dt
概率论课件--4-2 泊松分布14p
P{ X k}
k 0 k 0
k
k!
e e
k 0
k
k!
e e 1
泊松分布是概率论中又一重要的概率分布.
一方面, 很多随机现象都服从或近似服从泊松分布. 例如:某网站一段时间间隔内受到的点击次数; 公共汽车站候车的乘客人数; 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数; 落在显微镜上某种细菌个数… 另一方面, 泊松分布可看为二项分布的极限分布. 对此有如下定理:
解: 设需配备 N 人, 记同一时刻发生故障的设备台数为X,
那么 X ~ B (300,0.01), 所需解决的问题是确定的N, 使得
P{ X N } 0.99,
由泊松定理 ( np 3)
3k e 3 P{ X N } 0.99 k! k 0
N
即
3 e 3 e 1 k! k 0 k N 1 k !
k
k!
e , k 0,1,2,, n
P{ X m}
k
k!
e ,
m 0,1,2,, n
k
k! e 与
k m
由于泊松分布有着广泛的应用,
k
k!
e
k m
的数值已造成表(见书末附表1及附表2), 计算时可查表.
（配 例1. 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 备多了浪费, 配备少了又会影响 生产) , 现有同类型设备 300台, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01. 在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理 (我们也 只考虑这种情况), 问至少需配备多少工人, 才能保证当设 备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?
概率论与数理统计 泊松分布
练习1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
练习1解答
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
进行600次射击可看作是一个600重Bernoulli试验.
X：600次射击命中目标的次数．
则 X ~ B600， 0.012．
用 Poisson分布近似计算，
取 600 0.012 7.2．
练习3解答（续）
所以，
PB PX 3 1 PX 3
1 PX 0 PX 1 PX 2
P{X N} 0.01.
P{X N} 0.01.
用泊松分布近似计算二项分布
P{X N} N 3k e3 0.99. k0 k!
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配 备 8 个工人。
泊松分布的分布律 （PDF）
二项分布的分布律 （PDF）
泊松分布的CDF 二项分布的CDF
• Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
• 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布．
• 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔 内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔 内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产 生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台 要求服务的人数，等等，在一定条件下，都 是服从Poisson分布的．
k e 0
k!
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
所以
k e e k e e 1
泊松分布的定义及图形特点.pptx
• Assume that you live in a district of
size 10 blocks by 10 blocks so that
the total district is divided into 100
small squares. How likely is it that the
square in which you live will receive
no hits if the total area is hit by 400
bombs? 2019-7-26
谢谢您的观赏
6
2019-7-26
谢谢您的观赏
7
• 用 X 表示落入该小区内的炸弹数，则
• X~B(400,1/100) n=400, p=1/100 • 因此 P(X=0)=(99/100)^400 • 用Poisson分布近似计算。。 • X近似服从参数为 4 =np=400*1/100的Poisson
谢谢您的观赏
11
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数； 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; …
都可以看作泊松流.
2019-7-26
谢谢您的观赏
12
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 t 的 泊松分布 . 称为泊松流的强度.谢谢您的观赏源自42019-7-26
谢谢您的观赏
5
• Example In his book, Feller discusses the statistics of flying bomb hits in the south of London during the Second World War.
应用随机过程泊松分布课件-PPT
特点:
1.应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 经济分析、金融工程、通信工程等许多领域
2.数学基础要求较高;
3.建立随机分析的思维较难.
研究动因
什么是随机过程（random variable，r.v. in short）？
研究动因
简单地说，随机过程就是一族随机变量. 随机过程的最早被人们研究的随机过程是随机游动.设一 醉汉在路上行走，以概率p前进一步,以概率1-p后退一步, 以X(t)记他在街上的位置,则X(t)就是直线上的随机游动
注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化 情况.
本学期课程的主要安排
一、预备知识
2. 样本空间、样本点、随机事件 3. 事件的关系和运算
一、预备知识
一、预备知识
一、预备知识
《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 什么是随机过程（random variable，r. 《随机过程》（第二版）方兆本 缪柏其 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 in short）？ 简单地说，随机过程就是一族随机变量. in short）？ 最简单也最早被人们研究的随机过程是随机游动. 及相应的实际背景; 尝试将各类随机过程与实际问题结合; 教材：应用随机过程-概率模型导论，Ross，第10版（影印版） 及相应的实际背景; 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 定量描述，是近代数学的重要组成部分, 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化情况. 应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 及相应的实际背景; 例 随机游动(random walk) 2 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
本课程教学目标:
1.应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 经济分析、金融工程、通信工程等许多领域
2.数学基础要求较高;
3.建立随机分析的思维较难.
研究动因
什么是随机过程（random variable，r.v. in short）？
研究动因
简单地说，随机过程就是一族随机变量. 随机过程的最早被人们研究的随机过程是随机游动.设一 醉汉在路上行走，以概率p前进一步,以概率1-p后退一步, 以X(t)记他在街上的位置,则X(t)就是直线上的随机游动
注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化 情况.
本学期课程的主要安排
一、预备知识
2. 样本空间、样本点、随机事件 3. 事件的关系和运算
一、预备知识
一、预备知识
一、预备知识
《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 什么是随机过程（random variable，r. 《随机过程》（第二版）方兆本 缪柏其 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 in short）？ 简单地说，随机过程就是一族随机变量. in short）？ 最简单也最早被人们研究的随机过程是随机游动. 及相应的实际背景; 尝试将各类随机过程与实际问题结合; 教材：应用随机过程-概率模型导论，Ross，第10版（影印版） 及相应的实际背景; 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 定量描述，是近代数学的重要组成部分, 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化情况. 应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 及相应的实际背景; 例 随机游动(random walk) 2 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
本课程教学目标:
第六章、二项与泊松分布ppt课件
总体率的可信区间
所以当样本含量为n=20，阳性发生数x=5，总 体率的95%可信区间为(0.087~0.491)
因为不但要求累积概率，还要不断的尝试，所 以求该区间的手工计算量十分庞大
统计学家已经绘制了一张表格，方便我们直接 查找！——附表6
总体率的可信区间的正态近似法
当np与n(1-p)均大于5且n足够大时，样本率p的 抽样分布近似正态，可以写为p ~ N( p, sp2)
mp p
样本率的标准差Var (p) （或sp） ：
sp
p (1p )
n
样本率的抽样分布 (sampling distribution of rate)
样本率的总体均数等于总体率 m p p
样本率的标准差(即率的标准误)反映率的抽样误差
sp
p (1p )
n
由于总体率通常是未知的，因而用样本率p来估计p，故
二项分布的阳性数的均数与标准差
如果随机事件满足贝努利试验条件 则称随机事件的阳性数x满足二项分布B( n,
p) 阳性数x的均数与标准差又是多少？
阳性数的均数与标准差
均数E (x)（或mx）：
mx np
标准差Var (x) （或sx） ：
sx np(1p)
样本率的均数与标准差
样本率的均数E (p)（或mp）：
本题的问题是该地的患病情况是否较以前下降
假设总体患病率没有下降，那么现在该地的高 血压患病率仍为10%；那么从中得到一个比当 前样本率6%还要极端的情况概率是否是一个小 概率事件？
如果是小概率事件，则原假设有问题，因为小 概率事件不太可能在一次抽样中发生，因而拒 绝它；反之，如果不是小概率事件，那么尚不 拒绝它。
来不是小概率事件，即：
泊松分布专题教育课件
• 由二项分布旳概率函数可得到泊松分布旳 概率函数为：
P{X x} e x
x!
x 0,1, 2,
为大于0的常数，X 服从以为
参数的Poisson分布 X ~ P()
在处旳概率最大
在处旳概率最大
Poisson分布主要用于描述在单位 时间(空间)中稀有事件旳发生数
例如： 1. 放射性物质在单位时间内旳放射次数； 2. 在单位容积充分摇匀旳水中旳细菌数； 3. 野外单位空间中旳某种昆虫数等。
Z 检验旳条件： n1p1 和n1(1- p1)与 n2p2 和n2(1- p2)均 >5
•Poisson(泊松)分布
•取名于法国数学家
SD Poisson(1781-1840)
第四节 泊松分布旳概念
• 当二项分布中n很大，p很小时,二项分布就 变成为Poisson分布，所以Poisson分布实际 上是二项分布旳极限分布。
2.正态近似法 当 n 较大、p 和 1-p 均不太小，如 np 和 n(1-p)
均大于 5 时，样本率的分布近似正态分布，可采用检验统计量
Z
p 0 0 (1 0 )
n
，作样本率 p
与已知总体率π0 的比较。
例 新治疗方法治疗 180 人，117 人治愈。常规治疗方法的治
愈率π0=0.45。新治疗方法是否更好。
则 3只白鼠中死亡白鼠数 X服从以
n=3、 =0.4 的 二 项 分 布 ，
即 X～ B(3,0.4)， X 各 取 值 的 概 率 ：
P(X=0)=
(
3 0
)0.4
0
(1
0.4)
30
=
0
.
2
1
6
P ( X = 1 ) = (13)0.41(1 0.4)31 = 0 . 4 3 2
P{X x} e x
x!
x 0,1, 2,
为大于0的常数，X 服从以为
参数的Poisson分布 X ~ P()
在处旳概率最大
在处旳概率最大
Poisson分布主要用于描述在单位 时间(空间)中稀有事件旳发生数
例如： 1. 放射性物质在单位时间内旳放射次数； 2. 在单位容积充分摇匀旳水中旳细菌数； 3. 野外单位空间中旳某种昆虫数等。
Z 检验旳条件： n1p1 和n1(1- p1)与 n2p2 和n2(1- p2)均 >5
•Poisson(泊松)分布
•取名于法国数学家
SD Poisson(1781-1840)
第四节 泊松分布旳概念
• 当二项分布中n很大，p很小时,二项分布就 变成为Poisson分布，所以Poisson分布实际 上是二项分布旳极限分布。
2.正态近似法 当 n 较大、p 和 1-p 均不太小，如 np 和 n(1-p)
均大于 5 时，样本率的分布近似正态分布，可采用检验统计量
Z
p 0 0 (1 0 )
n
，作样本率 p
与已知总体率π0 的比较。
例 新治疗方法治疗 180 人，117 人治愈。常规治疗方法的治
愈率π0=0.45。新治疗方法是否更好。
则 3只白鼠中死亡白鼠数 X服从以
n=3、 =0.4 的 二 项 分 布 ，
即 X～ B(3,0.4)， X 各 取 值 的 概 率 ：
P(X=0)=
(
3 0
)0.4
0
(1
0.4)
30
=
0
.
2
1
6
P ( X = 1 ) = (13)0.41(1 0.4)31 = 0 . 4 3 2
泊松分布 ppt课件
1.计数过程:设
为一随机过程,
如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时,
N(s) ≤N(t),则称 XT {N(t),t T [0,)} 为计数过程(counting process).
若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到
电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程.
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
P{N(t) - N(s) k} [(t s)]k e(ts) , k 0,1, 2,
k!
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程.
理解泊松分布 ppt课件
k!
各个参数的含义： P：每周销售k个罐头的概率。 X：水果罐头的销售变量。 k：X的取值（0，1，2，3...）。 λ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本例
为2。
PPT课件
5
实例2-美国枪击案
• 去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击 案，造成28人死亡
PPT课件
6
美国枪击案统计资料
• 资料显示，1982年至2012年，美国共发生 62起（大规模）枪击案。其中，2012年发 生了7起，是次数最多的一年。
• 但是，也必须看到，卡方统计量9.82离临界值很接 近，p-value只有0.18。也就是说，对于"美国治安没 有恶化"的结论，我们只有82%的把握，还有18%的 可能是我们错了，美国治安实际上正在恶化。因此， 这就需要看今后两年中，是否还有大量枪击案发生。 如果确实发生了，泊松分布就不成立了。
PPT课件
PPT课件
10
美国枪击案的分布
• 根据资料，1982--2012年枪击案的分布情况 如下：
PPT课件
11
美国枪击案的分布
• 计算得到，平均每年发生2起枪击案，所以 λ = 2
上图中，蓝色的条形柱是实际的观察值，红色的虚线是理论的预期值。可以看到，
观察值与期望值还是相当接近的
PPT课件
12
美国枪击案的分布
15
PPT课件
9
美国枪击案的分布
• 假定美国枪击案满足“泊松分布”的三个条件：
（1）枪击案是小概率事件。 （2）枪击案是独立的，不会互相影响。 （3）枪击案的发生概率是稳定的。
• 显然，第三个条件是关键。如果成立，就 说明美国的治安没有恶化；如果不成立， 就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提 高，美国治安恶化。
各个参数的含义： P：每周销售k个罐头的概率。 X：水果罐头的销售变量。 k：X的取值（0，1，2，3...）。 λ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本例
为2。
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5
实例2-美国枪击案
• 去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击 案，造成28人死亡
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6
美国枪击案统计资料
• 资料显示，1982年至2012年，美国共发生 62起（大规模）枪击案。其中，2012年发 生了7起，是次数最多的一年。
• 但是，也必须看到，卡方统计量9.82离临界值很接 近，p-value只有0.18。也就是说，对于"美国治安没 有恶化"的结论，我们只有82%的把握，还有18%的 可能是我们错了，美国治安实际上正在恶化。因此， 这就需要看今后两年中，是否还有大量枪击案发生。 如果确实发生了，泊松分布就不成立了。
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10
美国枪击案的分布
• 根据资料，1982--2012年枪击案的分布情况 如下：
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11
美国枪击案的分布
• 计算得到，平均每年发生2起枪击案，所以 λ = 2
上图中，蓝色的条形柱是实际的观察值，红色的虚线是理论的预期值。可以看到，
观察值与期望值还是相当接近的
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美国枪击案的分布
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9
美国枪击案的分布
• 假定美国枪击案满足“泊松分布”的三个条件：
（1）枪击案是小概率事件。 （2）枪击案是独立的，不会互相影响。 （3）枪击案的发生概率是稳定的。
• 显然，第三个条件是关键。如果成立，就 说明美国的治安没有恶化；如果不成立， 就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提 高，美国治安恶化。
泊松过程ppt课件
R X ( s ,t ) E [ X ( s ) X ( t ) ]s (t 1 )
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
概率论与数理统计2.2.4 泊松分布
0.2642411
二、二项分布的泊松近似 (泊松定理)
当试验次数n很大时，计算二项分布很麻烦，必须寻求近似方法
离散型随机变量X b(n, p). 又设np ( 0), 则有
lim
n
Cnk
pk (1
p )nk
k e
k!
即当n 很大且p 很小时，可用泊松分布近似计算二项分布.
解 : 记 X表示200人中患此病的人数.
显然, X b(200, 0.01)
np 200 0.01 2
P ( X 4 ) 1 P( X 3)
3
1
C
k 200
(0.01)k
(0.99)2004
k
k0
1 3 2k e2 k0 k !
=1-0.8571=0.1429 (查泊松分布表: P247)
e4
4 1!
e4
42 2!
e4
43 e4 0.5665. 3!
例2 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率 次品率达0.1%, 各芯片成为次品相互独立. 求在1000只产品中 至少有2只次品的概率. 以X记产品中的次品数，
X~b(1000,0.001) ,X=0,1,2,...1000.
例：a.某天医院看急诊的人数； b. 某路口一天的交通事故数 c.某本书中的印刷错误数； d. 放射性物质放射的粒子数
例1 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4
的泊松分布，求
(1) 某一分钟恰有8次呼唤的概率；
(2) 某一分钟的呼唤次数大于3的概率.
解 由X ~ ()，P{X k} k e , k 0,1,2, ,
泊松分布与生灭过程报告.ppt
❖ 设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为 dt t / m。若在dt内，有一个顾客到达，则称被“占着”，
如果在dt内，没有顾客到达，则称为“空着”。 被“占着”的概率近似为
P1(t, t t) t o(t)
被“空着”的概率近似
P0 (t, t t) 1 t o(t)
根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到
Pn (t) 0
n2
——普遍性条件
只要排队系统的输入过程和服务过程符合泊松分布， 排队过程符合生灭过程
..........
18
二、生灭过程状态转移图
顾客到达率
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
λi
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
i0
i 1
P0
m i 1
d
d
(i )
P0
d
d
m
(
i 1
i)
P0
d
d
1 m1
(
1
)
1
P0
1
பைடு நூலகம்
(m
1) m (1 )2
m
m 1
..........
1
LS
m 2
38
❖ 2、排队长——系统中等待的顾客数量
m
Lq Pi (i 1) i 1
m
m
i Pi Pi
i 1
概率2-3 泊松分布
泊松分布 P ( ) ( 12 )
k
（3）某电话交换台一定时间内收到的用户呼叫数
1
2-3 泊松分布
第二章 随机变量及其分布
泊松分布是作为二 项分布的近似，由泊松引入的.
当n很大, p很小,λ=np是一个不太大的常数时,
k Cn p k (1 p)n k
k
k!
e
(k 0,1, 2,..., n)
证 明 略
2
2-3 泊松分布
第二章 随机变量及其分布
统计资料表明某路口每月交通事故发生次数服 从参数为6的泊松分布，求该路口一月内至少 发生两起交通事故的概率。
P(X 2)=1-P(X=0)-P(X=1) 6 6 6 6 1 e e 0! 1! 0.9826
3
0
1
2ห้องสมุดไป่ตู้3 泊松分布
k
5 5 e 0.031828 0.05 k 10 k！ k
5 5 e 0.068094 0.05 k 9 k！
n 1 10
n9
只要在月底进货9件，就可以95%的概率保证 这种商品在下个月内不会脱销。
5
泊松分布是作为二当n很大p很小np是一个不太大的常数时23泊松分布第二章随机变量及其分布统计资料表明某路口每月交通事故发生次数服从参数为6的泊松分布求该路口一月内至少发生两起交通事故的概率
2-3 泊松分布
第二章 随机变量及其分布
定义
P{ X k } e ,
k
若一个随机变量 X 的概率分布为
n k
PX n 1 0.05
5 5 e 0.95 k 0 k！
5 5 e 0.05 k n 1 k！
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解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ=5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
进货数
销售数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05
e 5 0.05 或 k m 1 k!
查泊松分布表得
平稳性: 在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. 无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性: 如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数；
5 k
e 5 0.032, k 10 k!
于是得 m+1=10,
5 k
e 5 0.068 k! k 9
m=9件
5 k
这一讲，我们介绍了泊松分布
n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布. 我们给出了泊松分布产生的一般条件
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
让我们回忆一下上一讲介绍的泊松定理： n 设 是一个正整数，
pn
，则有
k
lim C p (1 pn )
n k n k n
n k
e
k!
, k 0,1,2,,
等式右端给出的概率分布，是又一种重 要的离散型分布：泊松分布
一、泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X k ) eFra bibliotekk
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数, 则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布, 记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性, 成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
三、泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中，经常要 遇到在随机时刻出现的某种事件. 我们把在 随机时刻相继出现的事件所形成的序列，叫 做随机事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）. 下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
到某机场降落的飞机数;
一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; … 都可以看作泊松流.
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 λ t 的 泊松分布 . λ 称为泊松流的强度.
例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去 的销售记录知道，某种商品每月的销售数可 以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 至少应进某种商品多少件？
进货数
销售数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05
e 5 0.05 或 k m 1 k!
查泊松分布表得
平稳性: 在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. 无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性: 如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数；
5 k
e 5 0.032, k 10 k!
于是得 m+1=10,
5 k
e 5 0.068 k! k 9
m=9件
5 k
这一讲，我们介绍了泊松分布
n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布. 我们给出了泊松分布产生的一般条件
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
让我们回忆一下上一讲介绍的泊松定理： n 设 是一个正整数，
pn
，则有
k
lim C p (1 pn )
n k n k n
n k
e
k!
, k 0,1,2,,
等式右端给出的概率分布，是又一种重 要的离散型分布：泊松分布
一、泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X k ) eFra bibliotekk
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数, 则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布, 记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性, 成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
三、泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中，经常要 遇到在随机时刻出现的某种事件. 我们把在 随机时刻相继出现的事件所形成的序列，叫 做随机事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）. 下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
到某机场降落的飞机数;
一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; … 都可以看作泊松流.
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 λ t 的 泊松分布 . λ 称为泊松流的强度.
例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去 的销售记录知道，某种商品每月的销售数可 以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 至少应进某种商品多少件？