第二章间接效用函数与支出函数
第二讲 间接效用函数与支出函数
• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
8效用函数、间接效用函数和支出函数
j 1,
,n
证明： ①先求分子
v( p, m) u( x( p, m))
v u xi p j i 1 xi p j
n
u 又 pi xi
(i 1,
, n)
（最大化一阶条件）
n xi v pi p j p j i 1
同时 即
px m
max u x max u x tp x tm t 0 px m
（二） p ' p时 , v p ', m v p, m 证：记 B x px m B x px m
显然 B B
v x j p j (1)
v m
(2)
包络定理
• 考察参数变化对值函数的影响 • 假设f(x,a)是x和a的函数，a为决定于所研究 问题之外的一个参数，x为所研究的变量。 假定选择x来最大化这一函数，对于每一个 a，存在一个不同的x的最优选择。 • 定义值函数M(a)=f(x(a),a) • 现在我们想知道a的变动如何影响M(a)的变 动，即dM(a)/da
故 v( p1 , p2 , m) x x
* * 1 2 2
m 4 p1 p2
p1 0.25, p2 1, m 2
2 * x1 2 0.25 4 2 * x2 1 2 1
时
v( p1 , p2 , m) v(0.5,1, 2) 4
maxu ( x )满足x属于B B， B B B k，因为v(p, m) k和v(p, m) k
（五）罗伊（Roy identity）等式：
v p, m 0 如果 m
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
第二讲间接效用函数与支出函数D
* 故 v( p1 , p2 , m) = x1* x2
m = 4 p1 p2
2
p1 =0.25, p2 =1, m= 2
2 * x1 = 2 × 0.25 = 4 2 * x2 = =1 2 ×1
时
v( p1 , p2 , m) = v(0.5,1, 2) = 4
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即
两边同时对pj偏微分
∂xi x j + ∑ pi =0 ∂p j i =1
n
∂ v = λ ∂ p j
∑
n
p
i=1
i
∂ x ∂ p
i j
故
∂v = −λ x j ∂p j
（1）
②再求分母
Q v( p, m) = u ( x( p, m))
对m求偏微分
∂v = ∂m
∑
n
i =1 n
∂u ( x ) ∂xi ∂xi ∂m ∂ xi pi ∂m
∂e( p, u ) ⋅ ∂pi
(1)
由谢泼特引理知
∂e = hi ( p , u ) ∂pi
且
hi ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u )) = xi ( p , m )
即
∂e = xi ( p, m) ∂p i
代入(1)式变形即可得
∂x j ∂pi = ∂h j ( p, v( p, m)) ∂pi − xi ∂x j ( p, m) ∂m
第二讲间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
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平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *=将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20vp ∂=∂ v y y α∂=∂由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
chapter04 间接 效用函数与支出函数
20
A
C
价格变动的 替代效应
A
C
h 0, 0 x1 p1 p2 , u
希克斯
h 1, 0 x1 p1 p2 , u
需求曲线
间接效用函数与支出函数
21
如果u ()是连续且严格递增的， 那么，当p 0时， 支出函数e( p, u )在点（p o , u 0 )对于p可微，并且 e（p o , u 0 ) h o 0 x（ p , u ) i 1,2, n i pi
x p x , p y , I
2 px I 2 2 px py
x, y为两种商品， I为收入。
Why or why not?
间接效用函数与支出函数
12
2.设一个消费者的直接效用函数为
u ln q1 q2
构造出该消费者的间接效用函数，并且运用罗尔等式其关于 两种物品的需求函数。验证这样得到的需求函数与直接效用 函数推导的需求函数是相同的。
间接效用函数与支出函数
间接效用函数与支出函数
1
Which is better？
政府决定对化妆品征税，那么到底是
征收所得税好还是商品税好呢？
间接效用函数与支出函数
2
设效用函数为
x1 x2 x1 x2
1 2
ux1, x2 x1x2
m ax L
s.t . p x 1 p x2 y L 1 x1 x1 2
间接效用函数与支出函数
10
0 0 如 p, y 在点 p , y 是可导且 p ,y 0 y
0
0
p 0 , y 0 pi 0 0 i 1,2,, n 则有xi p , y 0 0 p , y y 0
间接效用函数
一、间接效用函数
• 2.间接效用函数
• （1）基本概念
• 若 v(p,y)ux成(p 立,y，)则
就v为( p间, 接y )效用函数。
• 间接效用函数表示收入和价格两个变量下消费者
的最优消费时的效用。
• 间接效用函数的存在对于说明政府水平的福利影 响有比较便利的条件
一、间接效用函数
• （2）间接效用函数的性质
p 1 2
x1
1
y
p
1
1
p 1 1
p 1 2
1
p1 p2
1
一、间接效用函数
令
r 1
x1 x2
y
p
r 1 1
p
r 1
p
r 2
y
p
r 1 2
p
r 1
p
r 2
一、间接效用函数
• （3）马歇尔需求函数的性质 • A.在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。
即对于任意给定的p、y，都有a>0，使得 成立。 x(ap,ay)x(p,y) • B.瓦尔拉斯定理。即最优的消费束都在预算线 的上界。 xR,pxy
w
| x x ( p ,w )
v( p,w ) p
L (x,
p
)
| x x ( p , w )
x
二、支出函数
• 1.支出函数： • 这是个支出最小化问题，选择合适的x使得满足
约束条件
m in
px
s .t
u (x) u
L = p x - u ( x ) - u
L
xi L pi pj
u ( x 1 ,x 2 ) ( x 1 x 2 ) 1 , 0 1 , 求 x i x i ( p 1 ,p 2 ,y ) , i 1 ,2
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 间接效用函数的定义
给定价格p 实现某一效用水平u 所需的最小支出：
e(P,u) min px, s.t., u x u
x
二、希克斯需求函数
支出函数的最优解为希克斯需求函数xh p,u ，最小支出为
pxh p,u
支出函数e : ?
n ?ຫໍສະໝຸດ ?为：ep,u pxh p,u,
xh
x
x
?
n
,u
x
u,u
?
min px, s.t., u x u
数值小于其中一个的函数值。
6、罗伊恒等式：如果v p, y在 p0, y0 上可导，并且
v p0, y0 0，有： y v p0, y0
xi p0, y0
pi v p0, y0
,
i 1,..., n。例题：
y
三、间接效用函数的应用 收入所得税 vs.商品税
设效用函数为： u(x1, x2 ) x1x2 消费者效用最大化：
x
vp, y
s.t. tpx ty
s.t. px y
3、间接效用函数v p, y对于 y 严格递增， vp, y 0
y
应用包络定理：
构造拉格朗日函数Lx, u x y px
根据包络定理， vp, y Lx, ： 的符号？
y
y
L x,
xi
u x
xi
pi
? 0
0
0
v p,
Cobb-Douglass 效用函数： u(x1,x2 ) x1 x2
求对应的需求函数：
L
x1
x
2
(y p1x1
p2x2)
x1
1x
2
p1
x1
x
第二章间接效用函数与支出函数
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
x1 ( p1 , m0 )
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
x1 ( p1 ' , m0 )
X1
区别
• 希克斯需求曲线反映的是效用不变情况下，价格变化引起 的需求量的变化。体现的仅是替代效应。 • 马歇尔需求曲线反映的是价格变化引起的需求量的变化。 包括替代效应和收入效应。 • 所以马歇尔需求曲线一般来说要比希克斯需求曲线平缓。
支出最小化问题的基本模型
min px h p, u s.t , U x u
希克斯需求函数或 补偿需求函数
特点：完全不可观察的，效用是非客观的
支出最小化的求解过程
补偿的含义？
• 观察价格变化后，保持效用不变的话，支出最小时的支出 要比原来的支出大，说明价格上涨，要想效用不改变，必 须进行一定的货币补偿。
罗伊恒等式证明过程
• 可使用包络定理证明（详见16页） • 另一种证明
罗伊恒等式
• 证明过程可以反映价格和收入变动对均衡解的影响。 • 从恒等式可以倒推出马歇尔需求函数。
间接效用函数的应用
• 间接效用函数描述的是（价格，收入）变化对效用最大化 时的效用的影响。 • 当消费者的决策环境变化了，通过间接效用函数可以直接 了解它的影响。 • 尤其对于消费政策变化的影响分析，非常有效。例如：收 入补贴政策（改变收入）；商品税政策（改变某一商品价 格）等。
A B x2* C
x1*
x1
思考
• 如果政府对穷人的救济方式有： 发放收入和食物折扣券这两种方式 在政府开支是一样的情况下，哪种方式对穷人福利的增加 更多？
中级微观3
间接效用函数
Max U（ x1，x2，‥xi，‥，xn） S.t. ∑pixi=m 得出xi=Di( P1，P2，‥Pi，‥，Pn, m),称为 马歇尔需求函数。 将其带入效用函数中，使得效用的最大值可 以表示为价格（ P1，P2，‥Pi，‥，Pn, m） 的函数V（p，m），将其称之为间接效用函 数。
第三讲 间接效用函数 和支出函数
张涵
本章要点
间接效用函数
支出函数 谢泼特引理
对偶性
定义：同一行为的两种不同的表述方式，其实质是 一样的。 消费者行为选择：预算约束一定下的效用最大化问 题和效用一定下的支出最小化问题。 生产者行为选择：成本一定的情况下产出最大化问 题和产出一定的下的成本最下化问题。 性质：对偶问题的解是相同的，因为其均衡条件是 相同的。
第一步：直接效用函数为 第二步：可求出其间接效用函数
第三步：初始状态：p1=0.25;p2=1,y=2。分 别讨论征收0.5元所得税或商品税消费者效 用的变化。
对消费者福利的影响
开征商品税对于消费者的间接效用的负面作 用大于开征所得税所带来的负面作用 原因：价格提高后减少了消费者的实际购买 力；改变了商品的相对价格。
支出函数
从间接效用函数中解出m＝n（p，u）—— 收入与价格、效用的函数，在给定效用水平 和价格时，我们可以找到实现此效用水平的 最低支出。 支出函数是间接效用函数的反函数。 对支出函数的一般定义
支出函数的性质
1. 在u取最低效用水平时，支出函数e (p, u) 为零 2. 在定义域e： 上连续 3. 对于所有的p≥0������ ，支出函数在u上递 增并且无上界 4. 在价格p上递增
经济学第二讲笔记
意义：控制消费者的消费行为实质上可以通过 p《价 格政策，价格改革》及 y《收入政策》 二、间接效用函数的性质 如果 u(x)在Rn + 是连续且严格递增的，则 v(p,y)= max u(x) x∈ Rn + st: px≤y 有
n 1、在Rn ++ × R + 是连续的
2、关于（p,y）是零次齐次的 3、对于 y 严格递增 4、对于 p 严格递减 5、满足罗尔恒等式 即 v(p,y)在点（p0 ,y 0 ）可等且
= =
1
x 2 1
1
−1 2
x2 - p1 λ = 0
−1
1 2
⋯⋯① ⋯⋯②
1 2 2 x x 2 1 2
- p2 λ = 0
= y − p1 x1 − p2 x2 = 0 ⋯ ⋯ ③
x2 x1
由①②有 即
= p1
2
p
x 2 = p 1 x1
2
p
代入③有
∗ x1 = 2p ∗ x2 = 2p y
y
ρ
+ 1]
有
p 1 ρ −1 p2
ρ ρ −1 ρ
= u[
+ 1]
−1 ρ 1 ρ −1
=u[p1
+ p2 ] . p2
γ −1 p2 )γ .
1
ρ −1 ρ −1 ρ
γ =u(p1
+
p2
γ−1
⋯⑥
代⑥给④有
h x1 =up1
1 ρ −1
. p2
−1 ρ −1
γ (p1
+
γ −1 p2 )γ .
1
p2
3、总效应<TE> SE + IE= TE 讨论题： 住房由福利分房改为货币分房，分析其效应 配合上图
平新乔微观经济学十八讲》答案
p1c + p2 s = M
（**）
s = 2M
c= M
综合*与**式，可以得到， p1 + 2 p2 ， p1 + 2 p 2
6
第一讲 偏好、效用……
s′ = 2M
c′ = M
如果价格变成
p1′
和
p
′
2
，同样可以得到
p1′ + 2 p2′ ，
p1′ + 2 p2′ ．咖啡和糖的
消费比例不会发生变化．
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
5
第一讲 偏好、效用……
当 x1 = x2 时，有 t(x1, x2 ) ≡ x1 = x2 综上所述，当 ρ → −∞ 时，原效用函数描述的偏好关系趋近于
u(x1, x2 ) = min{x1, x2} 所描述的偏好关系．
如果α1 与α 2 满足α1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → −∞ 时，同时有效用函数
为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表 示为（假设她的偏好满足单调性）：
第二章 间接效用函数与支出函数
代入支出px得最小支出函数。记为： 代入支出px得最小支出函数。记为： px得最小支出函数
h e( p, u ) = p1 x1h ( p, u ) + p2 x2 ( p, u ) = e*
x2
2 x ∈ R+ : px = px∗} {
最小化支出问题
{x ∈ R
h x2 ( p, u)
2 +
, u ( x∗ ) ≥ u}
* * 把x1 和x2 代入u ( x1 , x2 ), 可得到:
y 0.5 y 0.5 v( p1 , p2 , y) = ( ) ( ) =2 2 p1 2 p2
若政府征收0.5元的所得税， 若政府征收0.5元的所得税，消费者收入降为 0.5元的所得税 1.5元 间接效用也从2降为1.5 1.5。 1.5元，间接效用也从2降为1.5。 现考虑政府对X 征收商品税0.25 0.25元 此时,p 现考虑政府对X1征收商品税0.25元，此时,p1 会从0.25涨到0.5 0.25涨到0.5元 会从0.25涨到0.5元。 问题1：商品税使政府能征到0.5元的税收吗? 问题 ：商品税使政府能征到0.5元的税收吗? 0.5元的税收吗 问题2 问题2：商品税对消费者的间接效用的影响有 多大？ 多大？
x∈R+
其中， 因此， 其中， x = x* ( p, y ) 因此，
∂v( p, y) / ∂y = ∂ max u ( x) / ∂y n
L( x, λ ) = u ( x) + λ ( y − p ⋅ x)
x∈R+
∂L( x* , λ * ) ∂u ( x* ) ⇒ = − λ * pi = 0, (i = 1, 2,L n) ∂xi ∂xi
平新乔十八讲课后习题答案
;
因为 x1 为常数，把之代入（3）式得：
x2
=
m
− αp2 p2
2-11-1
（1） （2） （3）
第二讲 间接效用函数与支出函数
x2
•
•
• m = p1x1 + p2x2
x1
=
αp2 p1
u = α ln x1 + x2
效用函数为拟线 性 曲 线 u = v(x1) + x2
可知，其中 x 1 的需
把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：
11，（1） u′ = 2
x1
=
αm p1
；
√
x2
=
(1 − α )m p2
（2） u′ = 2v−3(v > 0) √
（3） u′ = −2v−3(v > 0) ×
（4） u′ = v−1(v > 0) √
（5） u′ = ve−v (v > 0) √
（6） u′ = 2v(v > 0) √
⎫ ⎬
⎩ a1 a2 ⎭
当a
=1则
y
=
Min
⎧ ⎨
x1
;
x2
⎫ ⎬
，而当 a
不指定时，则存
⎩ a1 a2 ⎭
在多种表示形式（但它们都无伤大雅），萧锋的效用函数也可 写为 u(x, y) = min(2x, y) ；
2
x2
u(x1, x2 ) = max(x1, x2 )
10 = x1 + 2x2
• x1
（2）
lim ln u(x)
ρ →0
=
lim
ρ →0
1 ρ
ln(α1x1ρ
效用最大化问题中的三个函数——需求函数、间接效用函数、支出函数
效⽤最⼤化问题中的三个函数——需求函数、间接效⽤函数、⽀出函数需求函数：性质：关于所有价格和收⼊零次齐次性（所有商品价格与收⼊乘以t倍），最优化需求数量保持不变。
1. CES需求函数CES需求函数的函数形式为：构造朗格朗⽇表达式：求偏导数得到⼀阶条件：根据上式求得需求函数：从上式看出我们确实可以得到⼀个对于任意的CES函数的需求函数。
但是个⼈建议，由于CES函数有不同的“形式”（⽐如说也是⼀种CES函数，所以在实际做题求解CES函数的需求函数的过程中，建议重复上述证明步骤，⽤构造拉格朗⽇表达式，利⽤⼀阶条件来求解需求函数）当的时候，此时为完全互补效⽤函数，利⽤消费者为了效⽤最⼤化只会选择L型⽆差异曲线顶点消费的特征来直接求解，就不⽤构造朗格朗⽇表达式了。
除此之外，联系弹性和之前讲过的（点击链接回顾）的概念，我们不难发现，，即替代弹性等于1为分界线。
举例说明：当的时候，此时商品x花费的收⼊份额为不是常数，越⾼，x的相对价格越⾼，它所花费的收⼊份额就越⼩。
换⾔之，x的需求对其价格的反应就⾮常敏感，价格的上升减少了x的总花费。
不过收⼊的变化并不影响消费份额。
U (x ,y )=+δx δδy δf =+δx δ+δy δλ(I −p x −x p y )y ⎩⎨⎧=x −λp =0∂x ∂f δ−1x =x −λp =0∂x∂f δ−1x =I −p x −p y =0∂λ∂f x y ⎩⎨⎧x =p (1+())x p y p x 1−δδy =p (1+())y p x p y 1−δδI δU =(αx +11ραx )22ρρ1δ→∞δ=0σ=1−δ1δ=0.5x =p (1+())x p y p x I p x /I =x 1/[1+(p /p )]x y p x2. 柯布道格拉斯需求函数柯布-道格拉斯效⽤函数的表达式为：同样可以利⽤朗格朗⽇法来算出需求函数，由于过程重复，在此不做赘述，得到如下的结果：由此我们得到⼀个重要的结论，在柯布道格拉斯效⽤函数情形下，消费者会花费⽐例的收⼊去购买商品x，⽤的⽐例去购买y。
间接效用函数与支出函数
(2)
∂ψ ∂x j
= α j Ax1α1 LL xαj j −1L xnα n
− λp j1 = 0
(3)
∂ψ ∂x1
=
αn
Ax1α1
xα 2 2
LLL
xnα
n
−1
−
λpn
=0
(4)
∑ ∂ψ
∂λ
n
=m−
i =1
pi xi
=0
(5)
由 (2) 得: (3)
xi
=
αi pjxj α j pi
;
把上两式分别代入（5）式得:
1
1
1
( ) e( p,u) =
p1⎜⎜⎝⎛
2up2 p1
⎟⎟⎠⎞3
+
p2 ⎜⎜⎝⎛
up12 4 p22
⎟⎟⎠⎞ 3
=
2up12 p2
1 3
+
⎜⎜⎝⎛
up12 p2 4
⎟⎟⎠⎞
3
1
e(
p,u)
=
3⎜⎜⎝⎛
up12 p2 4
⎟⎟⎠⎞ 3
也可根据间接效用函数与支出函数互为倒函数的关系直接得出：
1
v( p, m)
=
αim
n
pi α j
j =1
；因为
n
αj
j =1
=
1 ；所以
xi
(
p,
m)
=
αim pi
；
我们还可以通过对其效用函数进行单调变化，进而可方便的得出其马歇尔需求函数；
n
∑ ln u(x) = ln A + αi ⋅ ln xi i =1
（2）把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：
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间接效用函数及其性质
将马歇尔需求函数 x x( p, m)代入U ( x)中， 得到效用最大值，构成 间接效用函数 v( p, m) U ( x( p, m))
意义：知道消费者的收 入和价格，就可以知道 最大效用在哪。 可通过控制价格和收入 来影响消费者行为。政 策的应用价值。
间接效用函数的例题
U x1, x2 x1x2
p1 0.25, p2 1, m 2
假设政府决定征税，税 收总量为0.5， 求政府对x1开征商品税和征收所得 税，对效用影响如何？
x2
征商品税的预算线，最优点为B点，满足： (P1+t)X1*+P2X2*=M 征所得税后的预算线：满足P1X1+P2X2=M-tX1* 可以判断：两条预算线在B点相交。
支出函数
e p, u p h p, u
支出函数性质
是价格p的一次齐次函数： e(tp, u) t e( p, u)
支出函数性质:支出函数与补偿需求函数的关系
• 谢泼德引理
e p, u hij p, u p j
j 1, 2 n
谢泼德引理的证明
谢泼德引理
• 可以从支出函数求出希克斯需求函数 • 可以判断出：随着价格增加，支出函数是单调递增的。 • 如何递增？
谢泼德引理图示
谢泼德引理图示
* 惰性支出函数e p1 x1 pi xi* i 2 n
支出函数是P的凹函数
• 表明支出函数总是根据价格变化相应调整消费束，从而做 到在每个价格水平上它都是支出最小的。 • 对于懒惰的消费者，由于不能根据价格变化而灵活调整自 己的消费束，从而很难做到其支出是最小的。往往高于支 出函数的支出额。
支出函数是关于价格的凹函数的证明
• 凹函数的定义：
对于函数f ( x)的定义域中任意两个量 x1 , x 2 , 取0 t 1, 如果满足： tf ( x1 ) (1 t ) f ( x 2 ) f (tx1 (1 t ) x 2 ),则该函数为凹函数。
• 支出函数：
如果支出函数满足： te( p1 , u ) (1 t ) f ( p 2 , u ) e(tp1 (1 t ) p1 , u ),则该支出函数为凹函数 。
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
x1 ( p1 , m0 )
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
x1 ( p1 ' , m0 )
X1
区别
• 希克斯需求曲线反映的是效用不变情况下，价格变化引起 的需求量的变化。体现的仅是替代效应。 • 马歇尔需求曲线反映的是价格变化引起的需求量的变化。 包括替代效应和收入效应。 • 所以马歇尔需求曲线一般来说要比希克斯需求曲线平缓。
间接效用函数的零次其次性质
• 约束条件：
tp x tm p x m
• 约束条件并没有改变，所以间接效用函数也没有改变
v(tp, tm) t v( p, m) v( p, m)
0
• 作用：如果是两种商品，可将非重点研究的商品价格处理 为1，从而只有一个独立的相对价格。
练习
支出最小化问题的基本模型
min px h p, u s.t , U x u
希克斯需求函数或 补偿需求函数
特点：完全不可观察的，效用是非客观的
支出最小化的求解过程
补偿的含义？
• 观察价格变化后，保持效用不变的话，支出最小时的支出 要比原来的支出大，说明价格上涨，要想效用不改变，必 须进行一定的货币补偿。
支出函数是凹函数的证明
作业
min p1 x1 p2 x2 1.5 s . t . x 1 x2 u 求：希克斯需求函数和 支出函数，并验证谢泼 德引理。
练习题
• 第二讲课后习题：1,2,3,4,5,6,7
思考
• 希克斯需求函数与马歇尔需求函数的区别和联系是什么？
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
X1
马歇尔需求函数的含义
h1 ( p1 ' , u0 )
( p10 , m0 ) x1 ( p1 ' , m0 ) h1 ( p10 , u0 ) x1 ( p10 , m0 )
A B x2* C
x1*
x1
思考
• 如果政府对穷人的救济方式有： 发放收入和食物折扣券这两种方式 在政府开支是一样的情况下，哪种方式对穷人福利的增加 更多？
消费者的选择
• 当收入，价格既定时，如何选择效用才能最大？ • 消费者还可能面临： 如果要达到一定的效用水平，当价格既定时，如何选择才 能花的钱最少？ 这两个问题都涉及消费者最优选择的问题。前者是极大值， 后者是极小值。
1.5 U x1 x2 m p1 x1 p2 x2
求间接效用函数，并验 证其零次齐次特点。
（Roy ' sidentity） 罗伊恒等式
• 间接效用函数与马歇尔需求函数的关系：
v( p, m) pi xi ( p, m) v( p, m) m
罗伊恒等式证明过程
思考
• 与效用函数（或直接效用函数）的区别在哪？
间接效用函数的性质
如果直接效用函数是连 续且严格递增的，则间 接效用函数： 1.连续的； 2.是关于（p, m）的零次齐次函数。即 v(tp, tm) t 0 v( p, m) 3.对于y严格递增； 4.对于p严格递减； 5.罗伊恒等式（Roy' sidentity）
罗伊恒等式
• 证明过程可以反映价格和收入变动对均衡解的影响。 • 从恒等式可以倒推出马歇尔需求函数。
间接效用函数的应用
• 间接效用函数描述的是（价格，收入）变化对效用最大化 时的效用的影响。 • 当消费者的决策环境变化了，通过间接效用函数可以直接 了解它的影响。 • 尤其对于消费政策变化的影响分析，非常有效。例如：收 入补贴政策（改变收入）；商品税政策（改变某一商品价 格）等。