证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法

证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用．

一、反证法

如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理．

反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．

用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A ≤B 不成立，而肯定A ＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．

例1 设a 、b 、c 、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确．

反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a 、b 、c 、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④

由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤(

2

b a )2·(

c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4c

d ＜(a ＋b)(c ＋d)，

综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜3

1ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜34ab ，即a 2＋b 2＜－3

2ab ，显然矛盾．

∴不等式①、②、③中至少有一个不正确．

例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c

＞0．

证明：反证法

由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0，

又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0，

从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾．

∴假设不成立，从而a ＞0，

同理可证b ＞0，c ＞0．

例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2．

证明：反证法

假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8，

∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2．

故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)，

又p ＞0，q ＞0 p ＋q ＞0，

∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．

故假设p ＋q ＞2不成立，∴p ＋q ≤2．

例4 已知)(x f = x 2＋ax ＋b ，其中a 、b 是与x 无关的常数，求证：|)1(f |，

|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于

2

1． 反证法一：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21， 由于)1(f = 1＋a ＋b ，)2(f = 4＋2a ＋b ，)3(f = 9＋3a ＋b ，

∴)1(f ＋)3(f －)2(f =2，

但是，2 = |)1(f ＋)3(f －)2(f |≤|)1(f |＋|)3(f |＋2|)2(f |＜21＋2

1＋2×2

1= 2， 即2＜2，矛盾，

∴假设不成立，

∴|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于

2

1． 反证法二：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<.21|)3(|,21|)2(|,21|)1(|f f f ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-③b a ②b a ①b a .21932

1,21422

1,21121 ①＋③得：－1＜4a ＋2b ＋10＜1，即－

21＜2a ＋b ＋5＜21， ∴－23＜2a ＋b ＋4＜－2

1，④ 显然②与④矛盾，因此，假设是不成立的， 故|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于

21． 例4 设a ，b ，c 均为小于1的正数，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于4

1． 证明：反证法

假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 同时大于41，即(1－a)b ＞4

1，(1－b)c ＞41，(1－c)a ＞4

1， 则由41＜(1－a)b ≤(21b a +-)2⇒21b a +-＞2

1， 同理：21c b +-＞21，21a c +-＞2

1， 三个同向不等式两边分别相加，得23＞2

3，矛盾，所以假设不成立， ∴原结论成立．

例6 若0＜a ＜2，0＜b ＜2，0＜c ＜2，求证：(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a

不能同时大于1．

证明：反证法

假设⎪⎩

⎪⎨⎧>->->-.1)2(,1)2(,1)2(a c c b b a 那么

2

)2(b a +-≥b a )2(-＞1，① 同理2

)2(c b +-＞1，② 2)2(a c +-＞1，③ ①＋②＋③，得3＞3矛盾，

即假设不成立，

故(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a 不能同时大于1．

二、三角换元法

对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．

若变量字母x 的取值围与sin θ或cos θ的变化围相同，故可采用三角换元，把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证．一般地，题设中有形如x 2＋

y 2≤r 2，22a x ＋22b y = 1或22a x －22

b y = 1的条件可以分别引入三角代换⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (| r |≤1)，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 或⎩

⎨⎧==θθtan sec b y a x ，其中θ的取值围取决于x ，y 的取值围，凡不能用重要不等式证明的问题时，一般可以优先考虑换元(代数换元或三角换元)，然后利用函数的单调性最终把问题解决．在三角换元中，由于已知条件的限制作用，根据问题需要，可能对引入的角度有一定的限制，应特别引起注意，否则可能会出现错误的结果．

例2 已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：2

1≤x 2－xy ＋y 2≤3． 证明：∵1≤x 2＋y 2≤2，∴可设x = rcos θ，y = rsin θ，其中1≤r 2≤2，0≤θ＜π2．

∴x 2－xy ＋y 2= r 2－r 2sin θ2= r 2(1－

2

1sin θ2)， ∵21≤1－21sin θ2≤23，∴21r 2≤r 2(1－21sin θ2)≤23r 2，