全等三角形经典题型50题带答案

全等三角形证明经典50题（含答案）

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD

延长AD 到E,使DE=AD,

则三角形ADC 全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：1

2

CD AB

从D 做辅助线

3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。所

以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF。又因为 ∠ABC=∠AED。所以 ∠ABE=∠AEB。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

A

D

B

C

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC

证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC

5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C

证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C

6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，

∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE

12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。

证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,

则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=

C

D

B D

E A

B

A C

D

F

2 1 E

∠C

AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF 全等于三角形DCB ， 所以:∠C=∠F

14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当AD

射线BA,CD 的交点，当AD>BC 时，E 点是射线AB,DC 的交点）。

则：△AED 是等腰三角形。所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC 是等腰三角形所以：角B=角C.

15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

B'在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）因为PC

16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE ∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F

因为，∠1 =∠2，BE⊥AE 所以，△ABF 是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC -∠ABE=3∠C -2∠C=∠C BF=CFAC-A

B=AC-AF=CF=BF=2BE

17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC

作AG∥BD 交DE 延长线于G

AGE 全等BDE

AG=BD=5AGF ∽CDF

AF=AG=5 所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．

A B C D P D A

C

B F

A

E D C B

延长AD 至H 交BC 于H;BD=DC; 所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以:AB=AC;

三角形ABD 全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以:AD 垂直BC

19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．

求证：∠OAB =∠OBA

因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ，且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA

20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交

AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．

证明：做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形ABF 中，AE⊥BF，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF 与三角形BEC

为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B

证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，

AD=AD ∴△ADE ≌△ADC 。DE=CD ，∠AED=∠C∵AB=AC+CD ，

∴DE=CD=AB -AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B

P

E

D

C B

A

D

C

B

A