高中数学沪教版(上海)高一第一学期-3.4 函数的最大值与最小值教案

函数的最大值与最小值

一、教学目标：

1. 理解函数最大值和最小值的概念，并会求基本函数的最大值和最小值;

2. 感受数学的应用价值、体验数学学习的乐趣

二、教学重难点:

重点：函数最值的概念及求解

难点：求具体函数的最值

三、教学过程

1. 问题引入

动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？

解：间熊猫居室的宽为x 米)100(<

由题意得 )330(x x y -=

下面，我们研究x 取什么值时面积y 才能达到最大值。用配方法把上式化

为

因为0)5(2≥-x ，所以75≤y ，即当x 取)10,0(内任何实数时，面积y 的值不大于75平

方米. 又因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得75，所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米.

2.新课讲解

（1）概念引入

函数的最大、最小值概念：（引导学生，让学生给出定义）

一般地，设函数)(x f y =在0x 处的函数值是)(0x f ，如果对于定义域内任意x ，不等式)()(0x f x f ≥都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值，记作)(0min x f y =；

如果对于定义域内任意x ，不等式)()(0x f x f ≤都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最大值，记作)(0max x f y =。

（2）图像分析（提问的形式，让学生回答）

从函数图像来看，如果函数有最大值，那么函数图像中一定有位置最高的点，有的函数只有最大值没有最小值；有的函数只有最小值而没有最大值；有的函数既有最大值又有最小值；而有的函数既无最大值也无最小值。我们以后可以看到：如果一个函数的图像是条连续的曲线，那么这个函数在它的定义域里的某个闭区间上一定既有最大值又有最小值。

3、例题讲解

1、求下列二次函数的最大值或者最小值：

()()21231f x x x =-+ ()()2223f x x x =-++ ()()[]2323111f x x

x x =---∈-，， ()()()1420f x x x x =+∈+∞，，

2、（1）在0≤x 的条件下，求函数228)(x x x f -+=的最大值和最小值.

（2）]5,1[,5

412∈+-=

x x x y 3．求]0,2[,12)(2-∈+-=x ax x x f 的最大值和最小值． 解：分类作出图象，得：

（1）当2-≤a 时，a f x f 45)2()(min +=-=，1)0()(max ==f x f

（2）当12-≤≤-a 时，2min 1)()(a a f x f -==，1)0()(max ==f x f

（3）当01≤≤-a 时，2min 1)()(a a f x f -==，a f x f 45)2()(max +=-=

（4）当0>a 时，1)0()(min ==f x f ，a f x f 45)2()(max +=-=

4、深入总结（求函数的最大、最小值与值域的几种基本方法）：

（1）研究函数的单调性等性质；（数形结合）

定义在区间],[b a 上的函数)(x f ，如果函数)(x f 在],[b a 上是单调增（减）函数，那么这个函数的最大（小）值是)(b f ，最小（大）值是)(a f 。

（2）利用基本不等式)0,0(2>>≥+b a ab b a ；

（3）通过变量代换的数学思想方法，将函数转化为基本函数，但必须注意新变量的取值范围。

5. 教学后记

通过具体实例让学生掌握求函数最值的常用方法。