高中数学沪教版(上海)高一第一学期-3.4 函数的最大值与最小值教案
高中数学沪教版高一上册第3章《3.4 函数的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学沪教版高一上册第3章《3.4 函数的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
掌握函数最大值最小值的概念。
会结合函数图像及单调性求一次函数，反比例函数及二次函数在区间上的最值。
经历函数最值概念的形成和函数最值求法的过程。
理解函数最值的意义并会作简单的运用。
积累求函数最值的经验。
2学情分析
本节内容位于第三章第四小节函数的基本性质之函数的最值。
最值是函数性质中最重要的性质之一，而二次函数是生活中应用最广泛的一种函数，在高中代数中占有重要地位，具有承上启下的作用。
而且从现实意义上来说，函数的最值在生活中可以解决成本最低，产量最高，效益最大等实际问题。
3重点难点
重点：函数最值概念的形成，会结合函数图像及单调性求函数在闭区间上的最值并作简单运用。
难点：理解函数最值的概念
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】函数的最值
1.情境引入
动物园要建造一面靠墙地间面积相等的长方形熊猫居室(如图).如果可供建造围墙的材料长是30米,那么为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大?最大面积是多少平方米?
分组讨论后回答。
高中数学函数的最大最小值教案分享
高中数学是一门考验学生能力的学科，其中函数是数学的一个重要分支。
函数的最大最小值在数学中也是一个核心概念，也是数学中最常见的问题之一。
因此，学生需要在学习函数的过程中，掌握函数的最大最小值，以应对考试和实际应用中的问题。
本文将分享一份关于高中数学函数的最大最小值教案，帮助教师和学生更好地掌握这一重要知识点。
一、教学目标1.掌握函数最值和最值的概念；2.掌握函数最值的求解方法；3.通过实例练习能够应用函数的最值问题。
二、教学过程1.引入教师应该先向学生说明什么是函数的最大最小值，以及为什么它如此重要和常见。
教师应该解释函数最大值和最小值的定义，因此需要对以下概念加以说明：最大值：函数在一段区间上的最大值，即函数在该区间内取最大的函数值。
最小值：函数在一段区间上的最小值，即函数在该区间内取最小的函数值。
同时，教师还需要解释为什么需要学习函数的最大最小值。
函数最大最小值是解数学问题的重要途径，并有助于学生理解函数在实际应用中的运用。
因此，学生需要掌握函数最大最小值的概念和求解方法，以应对不同场景下的数学问题。
2.方法教师可以通过讲解和讨论最值的基本概念，引导学生理解函数最大最小值问题的基本情况。
在此基础上，教师可以引入函数最值的求解方法，包括以下几步：（1）求出函数的一阶导数 f ' ( x ) f'(x) 以及二阶导数 f ′′ ( x ) f''(x) ；（2）解出一阶导数为 0 的所有实数解 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots, x_n ；（3）将区间端点和解集中的实数代入函数，求出函数的最大值和最小值。
为更好地帮助学生理解如何使用函数最值的求解方法，我们可以通过以下三个实例进行练习。
3.实例练习区间上的最大值和最小值。
解：我们来求出这个函数的一阶导数和二阶导数：f ′ ( x ) = 2 x − 2 f''(x)=2我们要求出一阶导数为 0 的实数解：4.x − 2 = 0 2x-2=0x = 1 x=1因此，我们得到唯一的实数解 x = 1 x=1。
高中数学高一第一学期3.4函数的基本性质_教案1-沪教版
函数的基本性质【教学目标】1．掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性；2．帮助学生掌握由“具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；3．在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣；4．理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法；5．学会“转化”的思维方法；6．让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。
【教学重点】1．偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断。
2．理解函数最大、最小值的概念，求基本函数的最值。
【教学难点】1．偶函数与奇函数图像性质的证明，简单复合函数奇偶性的判断。
2．通过转化思想，把复杂函数转化成熟悉的基本函数，再求最值。
【教学过程】（一）知识点一、函数单调性的证明步骤：1．取值：设为该区间任意的两个值，且。
2．作差变形：f(X 1)-f(X 2)，变形。
3．定号：确定上述差值的正负；当正负不确定时，可考虑分类讨论。
4．判断：做出结论。
注意点：（1）f(X 1)-f(X 2)变形计算时，尽量分解成因式形式，方便作差计算；（2）若要证明f(x)在上不是单调函数时，只要举出反例即可。
延伸：导数与单调性：例题一、证明函数在上是减函数。
21,x x 21x x <[]b a ,1()f x x x=+()0,1证明：设，则 已知，则即。
即在上是减函数。
扩展：可以用同样的方法证明在上和分别是减函数。
但根据的图像可以看到函数在上并不是单调递减的。
今后，遇到形如的函数可以类似考虑。
（二）知识点二：知识点利用函数的单调性求最值对于单调函数，最大值或最小值出现在定义域（区间）的边缘；对于非单调函数，需借助图像求解；分段函数的最值先需分段讨论，再下结论考查：最值是高考的必考点，熟练掌握二次函数求最值。
例题二、已知函数当时，求函数的最小值 （练习4）（三）知识点三、函数的奇偶性1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件；2．是奇函数； 3．是偶函数 ；4．奇函数在原点有定义，则；5．在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。
沪教版(上海)数学高一上册-3.4 二次函数的最值问题 课件
5
4
fx = -x2+2x+1 3
xM = -1.00
xN = 1.00
2N
2
1
M
N
-6
Байду номын сангаас
-4
-2
o
12
4
6
8
-1
-2
2M
-3
-4
-5
4当n 1时,函数在[m, n]上单调递增.
m2 2m 1 2m且 n2 2n 1 2nm 1, n 1矛盾. 综上所述, 存在m 1, n 1满足题意.
0
1 22
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
fx = -x2+2x+1
3
x1 = 1.00
2 隐藏 函数图像
1
-4
-2
6
8
10
O 1 22
34
-1
-2
-3
-4
-5
-6
6
8
10
6
8
1.开口方向一定的二次函数在闭区间上的最 值与对称轴相对于闭区间的位置有关.
2.闭区间上二次函数的最值只可能在区间的 两个端点及图象的顶点处取得.
或 2mm2 2m1 2n2
m1 n1
符合题意.
或 矛盾. 2mn2 2n1
m1
2n2
n1
综上所述, 存在m 1, n 1符合题意.
解法三：y x2 2x 1 x 12 2 2
2n 2，n 1函数在[m, n]上单调递增, 2m m2 2m 1且2n n2 2n 1 m 1, n 1满足题意.
高中数学高一上册沪教版 3.4《函数的基本性质》3最值与值域 课件
作业：练习册P33~34/9,10, P35/5,6,8,9
自学例9
10
思考三：
1、求函数y x 2 x 3的最大值
2
或最小值.
2、求y 2x x 1 的最值
求分式型函数的最值
11
教学重点：
利用二次函数的图像解决求二次
函数最值问题中带有字母参数问题。
12
图像法求二次函数的最值
当x=t+1时 ymin=t2+2
x
15
t 1 ( 2) 当 即0 t 1时 t 1 1
图像法求二次函数的最值
y
0 t t+1
1 [t , t 1] 当x 1时 ymin 2
例1：求函数 y
x ax 3 (a R) 在区间 [1 , 1]
2
上的最大值与最小值
y 解：
x
2
对称轴为 x
a 2 a ax 3 ( x 2 ) 3 4 a
动轴定区间 2
x a 2
y x ax 3在[1， 1]上单调递增
a (1) 当 1 即a 2时 2 2
3.4函数的基本性质—— 最值
教学重点： 1、掌握函数的最大值、最小值的概念； 2、会求二次函数在某指定区间上的最值； 3、重视数形结合的思想方法；
生产生活实际中会经常遇到 最大效益、最少投入等，这 里的最大、最少都归结为函 数最值问题。
1
实例 动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形 熊猫居室. 如果可供建造围墙的材料长是30米， 那么宽x为多少米时才能使所建造的熊猫居室面 积y最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
2
沪教版(上海)数学高一上册-3.4函数的单调性课件
解：其中 y f (在x) 区间 [5 2上)，是[1,减3)函数，在区间 上是增函[数2,1．),[3, 5]
函数 y f的(x单) 调区间有
[5 2)，[2,1),[1,3),[3,5]
例题分析 例1．根据函数图象指出函数的单调增区间和单 调减区间.
y=f(x)在区间 上，对于任意的 x1，x2 ， 当x1< x2时，都有__________，所以y=f(x) 在区间_______上为单调______函数 .______称为函数y=f(x)的单调______区间. y=f(x)的单调增区间有___________y=f(x) 的单调减区间有_______,_______.
练习2 已知奇函数 f (x) 是定义在(2,2) 上的减函
数，若 f (m 1) f (2m 1) 0 ，求实数 m 的取
值范围
练习3 定义在 2,2上的偶函数 f (x) 在 0,2 上单
调递减，且 f (1 m) f (m) ，求实数 m 的取值范
围
课堂小结及作业
1、函数单调性的的定义
又由x1<x2 ，得 x2- x1 ＞0
则f(x1)-f(x2) ＞0，即 f(x1) ＞ f(x2)
所以，函数f (x) 1 在（0， ）上是减函数。 x
例题：证明函数 y x 1 在区间 (1,)
上是增函数
x
归纳总结
y
f (x2)
f (x1)
如果对于属于定义域D内的 某个区间I (I 上D的) 任意两个 自变量值x1 , x2
x1 < x2
f (x1) < f (x2)
O
x1
x2
x 那么就说f(x)在这个区间上 是增函数,给定的区间称为
沪教版(上海)高中数学高一上册第三章3.4 函数的基本性质教案
3.4 函数的基本性质一、教学目标：1、理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些函数的奇偶性；2、在奇偶性概念形成的过程中，培养学生的观察、归纳能力，同时渗透数形结合和由特殊到一般的数学思想.3、体会数学研究的严谨性，感受函数图像的对称美。
二、教学重难点教学重点：函数奇偶性的概念的形成及奇偶性的判断。
教学难点：函数奇偶性概念的探究与理解三、教学过程1. 问题引入在初中时候我们学过轴对称和中心对称图形，生活中具有这样对称性的图形有很多，举例看看？2.概念形成观察函数2y x =的图像。
引导学生观察：1.从图形上看，函数图象是关于y 轴轴对称2. 从函数值的角度看，引导学生发现f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)的关系？ 函数值都是相等的一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，他们的函数值的关系？ 函数值相等。
即 f(-x)=f(x)问题：通过上面这个例子，同学们思考，对于图像关于y 轴对称的函数，如何从代数的角度来刻画这种函数的对称性？定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=偶函数的定义：定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=成立，则函数()y f x =就叫做偶函数；问定义中的关键词：任意x ，都有()()f x f x -=，是函数整体的性质同学们思考偶函数的图像的特征：例1：判断下列函数是否为偶函数422(1)()||,(2)(),(3)(),[2,3]f x x f x x x f x x x ==+=∈-1.掌握判断偶函数的定义法2.函数是偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.3. 类比探究仿照讨论偶函数的过程，回思下列问题，函数 ()1f x x=的图像特征？ 函数值f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？怎么用代数语言描述这个函数图象的特征？定义域内任意x,都有()()f x f x -=-，这样的函数叫奇函数奇函数的定义定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=-成立，则函数()y f x =就叫做奇函数；奇函数图像的特征：关于原点对称的中心对称函数例2：判断下列函数是否为奇函数33(1)(),(2)(),(3)(),[2,2),(4)()1f x x f x x f x x x f x x ===∈-=+析:(1)判断奇函数的定义法（2）否定函数是奇函数的方法4. 总结深化（1）凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.（2）函数()f x 不具有奇偶性的，举反例，具有奇偶性的，用定义证明。
沪教版高中数学高一上函数的单调性与最值同步教学案【解析版】
高中数学沪教版高一（上）函数的单调性与最值同步教学案【解析版】教学目的①理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； ②会运用函数图像理解和研究函数的性质；知识要点梳理1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义(2) 单调区间的定义若函数f (x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做f (x)的单调区间． 二．难点与疑点1. 函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2. 函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单碉区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3. 单调区间的表示增函数 减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是增函数 当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是减函数 图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号"U ”联结，也不能用“或”联结． 三．基础自测 1．2()2([2,4])f x x x x 的单调增区间为 [1，4] ；max()f x 8【解析】函数f (x)的对称轴：x=1，单调增区间为[1，4]，max()(2)(4)8f x f f2．已知函数y=f (x)在R 上是减函数，A(0，-2)、B(-3，2)在其图象上，则不等式-2<f(x)<2的解集为 (-3，0) ．【解析】画一个草图，数形结合，得不等式的解集为(-3，0)． 【点评】数形结合是解决此类题目的常用方法． 3．已知2()2(1)2f x x a x 的单调递减区间是（-∞，3]，则实数a 的值是 -2 ．【解析】由题意得：l -a =3，即a =-2． 4．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( B ) A. y =－x+l B ．y x C ．y=x 2-4x+5 D. 2yx【解析】221,45,y x yx x yx分别为一次函数、二次函数、反比例函数，从它们的图象上可以看出在(0，2)上都是减函数．5．已知函数f (x)为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x的实数x 的取值范围是 ( C )A ．（-1，1）B ．(0，1)C ．(-1,0)U(0,1)D ．(-∞，-1)U(1, +∞) 【解析】由f (x)为R 上的减函数且1(||)(1)f f x，得：1||1x x ，即||1010x x x 或-l<x<0.四．题型分类题型一 函数单调性的判断例1：判断并证明函数f (x)=x 3+a (a ∈R, a 是常数）的单调性．【思维启迪】判断函数的单调性—般有两种方法：①利用函数单调性的定义；②利用导数法（高二的内容）； 【解析】3()f x x a 在R 上是增函数，证明如下：设12,x x 是R 上任意两个实数，且x 1<x 2， 则331212()()()()f x f x xa x a ＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋3x 224，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋3x 224>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，3()f x x a 在R 上是增函数。
沪教版高中数学高一上函数的单调性与最值同步教学案
高中数学沪教版高一（上）函数的单调性与最值同步教学案教学目的①理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； ②会运用函数图像理解和研究函数的性质； 一．课堂导入知识要点梳理1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义(2) 单调区间的定义若函数f (x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做f (x)的单调区间． 二．难点与疑点1. 函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2. 函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单碉区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．增函数 减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是增函数 当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是减函数 图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的3. 单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号"U ”联结，也不能用“或”联结． 三．基础自测 1．2()2([2,4])f x x x x ，[]4,2x ∈的单调增区间为 ；max ()f x2．已知函数y=f (x)在R 上是减函数，A(0，-2)、B(-3，2)在其图象上，则不等式-2<f(x)<2的解集为 ．3．已知2()2(1)2f x x a x 的单调递减区间是（-∞，3]，则实数a 的值是 ．4．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A. y =－x+l B ．y x C ．y=x 2-4x+5 D. 2yx5．已知函数f (x)为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x的实数x 的取值范围是 ( )A ．（-1，1）B ．(0，1)C ．(-1,0)U(0,1)D ．(-∞，-1)U(1, +∞)四．题型分类题型一 函数单调性的判断例1：判断并证明函数f (x)=x 3+a (a ∈R, a 是常数）的单调性．变式训练1：讨论函数()(0)a f x xa x的单调性．题型二 求函数的单独区间 例2：求函数212log (32)y x x 的单调区间．变式训练2：函数212log (231)yx x 的递减区间为 （ ）A ．（1，+∞） B.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞43-， C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，43 题型三 求函数的最值例3：已知函数f (x)对于任意x ，y ∈R ，总有f (x)+f (y)=f (x+y)，且当x>0时，2()0,(1)3f x f (1) 求证：f (x)在R 上是减函数；(2) 求f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值.变式训练3：已知定义在区间(0，+∞)上的函数f (x)满足1122()()()x f f x f x x ，且当x>l 时，f (x)<0．(1)求f (l)的值； (2)判断f (x)的单调性；(3)若f (3)= -1，求f (x)在[2，9]上的最小值．五．答题模板3. 函数的单调性与不等式试题：函数f (x)对任意的m 、n ∈R,都有f (m+n)= f (m)+ f (n)-1，并且x>0时，恒有f (x)>1(1)求证：f (x)在R 上是增函数； (2)若f (3)=4，解不等式f (a 2+a -5)<2.六．方法与技巧1．根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数f (x)在其区间上的单调性，其步骤是 (1)设12,x x 是该区间上的任意两个值，且12x x (或12x x )；(2)作差12()()f x f x ，然后变形； (3)判定12()()f x f x 的符号；(4)根据定义得出结论． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间，常用方法有：根据定义，利周图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质． 3．复合函数的单调性 对于复合函数[()]yf g x ，若()t g x 在区间(a ，b)上是单调函数，且()y f t 在区间（g(a)，g(b)）或者（g(b)，g(a)）上是单调函数，若()t g x 与()yf t 的单调性相同（同时为增或减），则[()]y f g x 为增函数；若()t g x 与()y f t 的单调性相反，则[()]y f g x 为减函数．简称为：同增异减．七．失误防范1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．2．两函数f (x)、g(x)在x ∈(a ，b)上都是增(减)函数，则f (x)+g(x)也为增（减）函数，但f (x)·g(x)，1()f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． 八．补充练习1．给定函数①y ＝12x ，①y ＝12log (x ＋1)，①y ＝|x －1|，①y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)单调递减的函数的序号是( ) A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)3．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是 ( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)5．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是 ( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，32B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎤－1，32D.⎣⎡⎭⎫32，4 6．函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为_ __．7．设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ①f x 1－f x 2x 1－x 2>0； ①f x 1－f x 2x 1－x 2<0.其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是 9．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m 的取值范围是__ __．10．已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，试比较f ⎝⎛⎭⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小．11. 已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．12．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，解不等式f (1－x )＋f (1－x 2)<0.。
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问题5:设函数f(x)=1-x2,则f(x) ≤2 成立吗? f(x)的最大值是2吗?为什么?
问题6:函数 y 2x 1, x (1, )有最大
值吗？为什么？点（-1，3）是不是最高点？ 由此你发现了什么值得注意的地方？
数的最小值？
一般地，设函数y=f(x)在x0处的函数值 是f(x0)，如果对于定义域内任意x，都 有 f(x)≥ f(x0)，那么f(x0)是函数的最 小值，记作f(x)min=f(x0)。
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知识探究（三）
问题1:如果在函数 f (x) 定义域内存在x1和x2， 对定义域内任意x都有 f (x1) f (x) f (x2 ) 成立，由此你能得到什么结论？
图3
x0 o
x
图4
问题1:这两个函数图像各有一个最低点，函
数图像上最低点的纵坐标叫什么名称？
函数图像最低点的纵坐标即为函数最小值。
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y
y
A（ x0, f(x0) )
B（ x0, f(x0) )
o
x0
x
x0 o
x
图3
图4
问题2:仿照函数最大值的定义，你能定义函
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研究函数的最大值，要坚持定义域优先的原 则；函数图像有最高点时，这个函数才存在 最大值，最高点必须是函数图像上的点。
沪教版高一上册数学高一上册教案函数的运算
3.3函数的运算一、 教学内容分析函数的运算在课时安排上只有1课时，内容也较为简单，关键在于求和函数的定义域，但其重要性却不容忽视，首先，函数的运算体现了高中数学的一大基本思想方法----转化思想，把陌生化为熟悉，把复杂的函数看做简单的函数的和（积）。
其次，由函数的运算引出()00b y ax a b x=+>>，的图像，利用此类函数的单调性可以解决许多最值问题。
为了引入函数运算，我从实例出发构造了利用基本不等式所不能解决的一个求最值的问题，这样通过创设问题情景，突出了函数运算的必要性，增强学生解决问题的内驱力。
最后运用函数运算，画出耐克函数，解决实例所提出的最值问题。
二、教学目标设计1．理解函数运算的概念及简单的应用。
2．通过对例题的讲解，让学生体会到数形结合，转化思想的重要性。
三、教学重点及难点函数运算的概念和应用。
如何把复杂的函数看做简单的函数的和（积）。
四、教学流程设计五、教学过程设计问题：甲，乙两实验室地相距1000千米，开汽车从甲匀速到乙实验室，速度为()85100v v ≤≤千米/小时。
已知小车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为1，固定部分为35元1）把全程运输成本表示为速度的函数。
2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。
一、 情景引入引入函数运算怎样求最小成本？能否用基本不等式求最小成本？那只能从函数本身性质，图像等入手，但这个函数是陌生的。
遇见陌生转化为熟悉，这函数与我们所熟悉的那些函数有关？有何关系？所以我们今天研究函数的运算，首先研究和运算。
二、学习新知1．定义函数的运算函数有三要素。
其中定义域和对应法则起核心作用思考： 和函数的定义域怎么取，对应法则呢？怎样定义()f x 和()g x 的和？()()f x g x +是否一定是函数呢？怎样定义函数的积？是否有必要定义函数的差，商？于是给出两个函数和及积的概念。
沪教版高一上册数学高一上册教案函数的基本性质(1)
3.4（1）函数的基本性质一、 教学目标设计1、掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性；2、帮助学生掌握由“具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；3、在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣。
二、教学重点及难点1、教学重点偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断。
2、教学难点偶函数与奇函数图像性质的证明，简单复合函数奇偶性的判断。
三、教学流程设计四、教学过程设计一、复习引入1． 复习：我们在初中已经学习了函数图像的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数2y x =和3y x =图像. 函数2y x =的图像如图1，函数3y x =的图像如图2.⒉ 引入：（学生看图总结，引导学生从对称性角度来分析）从函数2y x =的图像（图1）看到：图像关于y 轴对称，通过计算，我们也可以看到，()()1111f f -==，，得()()11f f -=；由()()2424f f -=-=，得()()22f f -=.让学生思考：对任意a ，()()f a f a -=是否成立？从函数3y x =的图像（图1）看到：图像关于原点对称，通过计算，我们也可以看到，()()1111f f -=-=，，得()()11f f -=-；由()()2424f f -=--=，得()()22f f -=-.让学生思考：对任意a ，()()f a f a -=-是否成立？函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、学习、讲解新课⒈ 偶函数与奇函数定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个值x ，⑴若()()f x f x -=恒成立，则函数()y f x =就叫做偶函数；⑵若()()f x f x -=-恒成立，则函数()y f x =就叫做奇函数.（引导学生类比得到） 例如，函数()21f x x =+，()f x x =，()44f x x =-等都是偶函数；函数()f x x =，()1f x x=等都是奇函数. 若函数()f x 是奇函数或偶函数，则说函数()f x 具有奇偶性.说明：⑴定义中的等式()()f x f x -=（或()()f x f x -=-）对定义域里的任意x 都要成立，若只对个别x 值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；⑵等式()()f x f x -=（或()()f x f x -=-）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x 来说，x -也应在定义域之中，否则()f x -无意义；⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.⒉函数奇偶性的判断方法例1：判断下列函数是否具有奇偶性：⑴ ()32f x x x =+ ；⑵ ()2423f x x x =- ；⑶ ()3f x x x =+ .解：⑴∵()()()()333222f x x x x x x x -=-+-=--=-+，即()()f x f x -=-，∴函数()32f x x x =+是奇函数；⑵∵()()()24242323f x x x x x -=---=-,即()()f x f x -=，∴函数()2423f x x x =-是偶函数；⑶∵()()1410f f -=-=，∴()()()()1111f f f f -≠-≠-，，∴函数()3f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数.说明：⑴判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，叫做判断函数的奇偶性，判断的根据是定义.⑵函数中有奇函数，有偶函数，也有非奇非偶函数，还有既是奇函数又是偶函数，例如常数函数()()f x a x R =∈，当0a ≠时是偶函数，当0a =时，它既是奇函数又是偶函数.⑶判断函数的奇偶性，有时也可根据下面的式子来判断：对于()f x 定义域内任意一个x ，①若有()()0f x f x --=成立，则()f x 为偶函数；②若有()()0f x f x +-=成立，则()f x 为奇函数.3.关于奇偶函数图像的对称性质由奇函数的图像（如图1）和偶函数的图像（如图2），可得⑴奇函数的图像关于原点对称，反过来，若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数；⑵偶函数的图像关于y 轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.三、小 结⒈要正确理解奇、偶函数的定义，一对实数x 与x -必须同时在定义域内，()f x 与()f x -才能都有意义，奇、偶函数的定义才有意义，所以判断函数的奇偶性，必须先考虑定义域是否关于原点对称；⒉奇偶函数的定义公式是判断奇偶函数的依据，有时需将原式变形，化为等价形式：()()f x f x -=- ⇔()()0f x f x -+=⇔()()/1f x f x -=- ()()0f x ≠；()()f x f x -=- ⇔()()0f x f x -+=⇔()()/1f x f x -=- ()()0f x ≠.3.奇偶函数图像的特征给我们提供了结合图像处理奇偶函数问题的依据；如何利用函数奇偶性解决有关问题是我们应该熟练掌握的；四、布置作业(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念和方法.(二)书面：课本P66 4,5,6五、教材分析在学习函数的概念、函数的表示法的基础上，结合初中学习过的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的基本知识，引导学生利用由具体到抽象、数形结合的思维方法来研究关于函数变化趋势的重要性――奇偶性，以进一步揭示函数概念的内涵。
沪教版(上海)数学高一上册-3.4 形如的最值 教案
教学环节
起止时间（’”- ’”）
环节目标
教学内容
学生活动
媒体作用及分析
问题引入
3'20''
-
8'10''
复习提问
复习 的图像与性质：
（1）图像：
（2）性质：
①定义域： ；
②值域： ；
③奇偶性：奇函数；
④单调性：当 在 及 上是增函数；
当 在 及 上是减函数；
将数学语言转化成了图形语言，把数与形有机地结合在一起.
19'11''
-
25'00''
数形结合之
由数思形
例2、设函数 ， ；若（1） ；（2） ；（3） ；试求 的最小值。
通过以数辅形，解决函数区间的相对位置与函数图像最低点的问题.
当 在某一固定的范围内，而 取不同的值时， 的最小值的求解，还是要视函数图像最低点的横坐标与区间的相对位置的关系来确定。
25'01''
本节课主要研究数形结合思想在函数中的应用，主要从以形助数、由数思形、数形互化三个方面进行研究.教学方法是为了完成教学任务而采取的手段，教学方法的选择应有利于教学任务的完成，要能突出本节重点，使学生的能力得到培养。上本节课时，教师首先安排能使学生独立解决的问题，但由于条件的变化，而使得利用已有知识来解决出现了困难，让学生发现了摆在面前的问题，同时从反面巩固了利用基本不等式求最值须满足的条件。当问题出现后，就由学生通过思考、讨论，找到解决问题的途径----利用单调性，并加以解决，并在此基础上，当条件进一步变化时，通过思考，解决问题，使学生的能力得到了进一步的培养。学生在学习时，可能会出现因考虑不周而出现分类不全的情况，通过讨论总结，加深理解。
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函数的最大值与最小值
一、教学目标：
1. 理解函数最大值和最小值的概念，并会求基本函数的最大值和最小值;
2. 感受数学的应用价值、体验数学学习的乐趣
二、教学重难点:
重点：函数最值的概念及求解
难点：求具体函数的最值
三、教学过程
1. 问题引入
动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
解：间熊猫居室的宽为x 米)100(<<x ,熊猫居室的总面积为y 平方米，则2间熊猫居室的总长为)330(x -米.
由题意得 )330(x x y -=
下面，我们研究x 取什么值时面积y 才能达到最大值。
用配方法把上式化
为
因为0)5(2≥-x ，所以75≤y ，即当x 取)10,0(内任何实数时，面积y 的值不大于75平
方米. 又因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得75，所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米.
2.新课讲解
（1）概念引入
函数的最大、最小值概念：（引导学生，让学生给出定义）
一般地，设函数)(x f y =在0x 处的函数值是)(0x f ，如果对于定义域内任意x ，不等式)()(0x f x f ≥都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值，记作)(0min x f y =；
如果对于定义域内任意x ，不等式)()(0x f x f ≤都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最大值，记作)(0max x f y =。
（2）图像分析（提问的形式，让学生回答）
从函数图像来看，如果函数有最大值，那么函数图像中一定有位置最高的点，有的函数只有最大值没有最小值；有的函数只有最小值而没有最大值；有的函数既有最大值又有最小值；而有的函数既无最大值也无最小值。
我们以后可以看到：如果一个函数的图像是条连续的曲线，那么这个函数在它的定义域里的某个闭区间上一定既有最大值又有最小值。
3、例题讲解
1、求下列二次函数的最大值或者最小值：
()()21231f x x x =-+ ()()2223f x x x =-++ ()()[]2323111f x x
x x =---∈-，， ()()()1420f x x x x =+∈+∞，，
2、（1）在0≤x 的条件下，求函数228)(x x x f -+=的最大值和最小值.
（2）]5,1[,5
412∈+-=
x x x y 3．求]0,2[,12)(2-∈+-=x ax x x f 的最大值和最小值． 解：分类作出图象，得：
（1）当2-≤a 时，a f x f 45)2()(min +=-=，1)0()(max ==f x f
（2）当12-≤≤-a 时，2min 1)()(a a f x f -==，1)0()(max ==f x f
（3）当01≤≤-a 时，2min 1)()(a a f x f -==，a f x f 45)2()(max +=-=
（4）当0>a 时，1)0()(min ==f x f ，a f x f 45)2()(max +=-=
4、深入总结（求函数的最大、最小值与值域的几种基本方法）：
（1）研究函数的单调性等性质；（数形结合）
定义在区间],[b a 上的函数)(x f ，如果函数)(x f 在],[b a 上是单调增（减）函数，那么这个函数的最大（小）值是)(b f ，最小（大）值是)(a f 。
（2）利用基本不等式)0,0(2>>≥+b a ab b a ；
（3）通过变量代换的数学思想方法，将函数转化为基本函数，但必须注意新变量的取值范围。
5. 教学后记
通过具体实例让学生掌握求函数最值的常用方法。