海淀区2018届高三一模数学(文)试题及答案(可编辑修改word版)

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）2018.4本试卷共 4 页，150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合 A = {0, a}, B = {x | -1 <x < 2}，且A ⊆B ，则a 可以是(A) -1 （B）0 （C）1（D）2 （2）已知向量a = (1, 2), b = (-1, 0) ，则a+2b =(A) (-1, 2)（B）(-1, 4)（C）(1, 2)（D）(1, 4)（3）下列函数满足f (-x) +f (x) = 0 的是(A) f (x) = （B） f (x) = ln x（C） f (x) =1x -1（D） f (x) =x cos x（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为(A) 2 （B）6（C） 8 （D）10（5）若抛物线y2= 2 px( p > 0) 上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则p 的取值范围是x(A) p <1（B）p >1（C）p < 2 （D）p > 2（6）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M , P(x, y) 为M 中任意一点，则y -x 的最大值为(A) 1 （B） 2（C）-1 （D）-2（7）已知S n是等差数列{a n}的前n 项和，则“ S n<na n对n ≥ 2 恒成立”是“数列{a n}为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）已知直线l ：y =k (x + 4) 与圆(x + 2)2+y 2= 4 相交于A ，B 两点，M 是线段AB 中点，则M 到直线3x - 4 y - 6 = 0 的距离的最大值为(A) 2 （B） 3 （C） 4 （D） 5第二部分（非选择题，共 110 分）二、填空题共6 小题，每小题 5 分，共30 分。

（9）复数2i1+ i.=- 2（10） 已知点(2, 0) 是双曲线C :x 2a 2y = 1的一个顶点，则C 的离心率为.（11） 在∆ABC 中，若c = 2, a =3, ∠A = ，则sin C =6， cos 2C =.（12） 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是.（13） 已知函数 f (x ) = 1+ cos x ，给出下列结论： x主视图俯视图左视图π 2① f (x ) 在(0, ) 上是减函数；② f (x ) 在(0, π) 上的最小值为 ；2 π③ f (x ) 在(0, 2π) 上至少有两个零点.其中正确结论的序号为 .(写出所有正确结论的序号)（14） 将标号为 1，2，……，20 的 20 张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为 a ；把每行标号最大的卡片选出， 将这些卡片中标号最小的数设为b .甲同学认为a 有可能比b 大，乙同学认为a 和b 有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的同学是.1 1 31 1三、解答题共6 小题，共80 分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13 分）已知等比数列{a }满足a =1，1.n 1 a5=8a2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）试判断是否存在正整数n ，使得{a n}的前n 项和S n为5？若存在，求出n 的值；若2不存在，说明理由. （16）（本小题13 分）函数f (x) = 3sin(x +)(> 0,||<π) 的部分图2 象如图所示，其中x0是函数f (x) 的零点. （Ⅰ）写出,及x0的值；（Ⅱ）求函数f (x) 在区间[-π, 0] 上的最大值和最小值. 2（17）（本小题13 分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65% 或小于40% 时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45% 55% 时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300 个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a% : b% 时记为区间[a,b) .组号12345678分组[15, 25)[25, 35)[35, 45)[45, 55)[55, 65)[65, 75)[75,85)[85, 95)频数23153050751205（Ⅰ）求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率；（Ⅱ）从区间[15, 35) 的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25, 35) 的概率；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组（只需写出结论）.（18）（本小题14 分）如图，四棱锥AD =AB =AE =1BC = 1 ，2E -ABCD 中，AD // BC ，且BC ⊥平面ABE ，M 为棱CE 的中点.（Ⅰ）求证：DM / / 平面ABE ；（Ⅱ）求证：平面CDE ⊥平面CBE ；（Ⅲ）当四面体D -ABE 的体积最大时，判断直线AE 与直线CD 是否垂直，并说明理由.（19）（本小题14 分）] ] 已知椭圆C 的两个焦点为 F (-1, 0), F (1, 0) ，离心率为 1.122（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点 A 是椭圆C 的右顶点，过点 F 1 的直线与椭圆C 交于 P , Q 两点，直线 AP , AQ与直线 x = -4 分别交于 M 、 N 两点. 求证：点 F 1 在以 MN 为直径的圆上.（20）（本小题 13 分）已知函数 f (x ) = e x sin x - ax .（Ⅰ）当 a = 0 时，求曲线 y =f (x ) 在(0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）当 a ≤ 0 时，判断 f (x ) 在[0, 3上的单调性，并说明理由；4（Ⅲ）当a < 1 时，求证： ∀x ∈[0, 3，都有 f (x ) ≥ 0 .45 2 1 ，且 n2018 文科参考答案一．选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CADDDBCC二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9．1+ i3+310． 21 ，11． 3 312． 213．①③ 14. 乙三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．解：（Ⅰ）设{a n }的公比为 q ，1 a 5 = 因为a 2 a =a q 3q 3 = 1 所以8， ........................................................................................................... 2 分q = 1得2 ………………4 分a = a q n -1 = 所以1 ( n = 1, 2, ) 2n -1………………6 分5 3 8 ，⎭2n ⎪ ⎝⎝ n 5（Ⅱ）不存在 n ，使得{a n }的前 n 项和 Sn 为 2………………7 分因为 a 1 = 1， q = 12 ，⎛ 1 ⎫n1 - ⎪ S = ⎝ 2⎭ = 2⎛1 - 1 ⎫n11 - 所以 22n ⎪………………10 分方法 1：S = 52(1-1 ) = 5 令n2 ， 则 2n 2得2n= -4 ，该方程无解........................................................................................ 13 分5所以不存在 n ，使得{a n }的前 n 项和 Sn 为 2 .方法 2：1 -1 < 1因为对任意n ∈ N *，有 2n，S = 2⎛1 - 所以1 ⎫ < 2⎭………………13 分5所以不存在 n ，使得{a n }的前 n 项和 Sn 为 2 。

,0] = ,= 2,==116 , x0 12.16．解：（Ⅰ） .......................................................................................................... 6 分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f (x ) = 3sin(2x +6………………7 分x ∈[-因为2 ，2x + ∈[- 5, ]所以6 6 6 ………………9 分2x + = - 6 2 x = -3f (x )-3当即时，的最小值为 ...................................... 1 1 分2x + 6 6x =03f (x )2当即时，的最大值为 .............................................. 13 分17．解：（Ⅰ）由已知，当空气相对湿度在45% 55% 时，病毒死亡较快.而样本在[45, 55) 上的频数为 30，30 = 1 所以所求频率为300 10 ………………3 分（Ⅱ）设事件 A 为“从区间[15, 35) 的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于[25, 35) ” ............................................................... 4 分设区间[15, 25) 中的两个数据为a 1 , a 2 ，区间[25, 35) 中的三个数据为b 1 , b 2 , b 3 ，因此，从区间[15, 35) 的数据中任取两个数据，包含(a 1 , a 2 ), (a 1 , b 1 ), (a 1 , b 2 ), (a 1 , b 3 ), (a 2 , b 1 ), (a 2 , b 2 ), (a 2 , b 3 ), (b 1 , b 2 ), (b 1 , b 3 ), (b 2 , b 3 )) ,共 10 个基本事件， ........................................................................................................................ 6 分而事件 A 包含(a 1 , b 1 ), (a 1 , b 2 ), (a 1 , b 3 ), (a 2 , b 1 ), (a 2 , b 2 ), (a 2 , b 3 ) 共 6 个基本事件，P ( A ) = 6 = 3…………………….…8 分所以 10 5 (10)分（Ⅲ）第 6 组 ........................................................................................................................... 13 分CB18．（Ⅰ）证明：取线段 EB 的中点 N ，连接 MN , AN . E因为 M 为棱CE 的中点，所以在∆CBE 中 MN / / BC ， MN = 1BC 2. …………………….…1 分又 AD / / BC ， AD = 1BC2 ,所以 MN / / AD , MN = AD .所以四边形 DMNA 是平行四边形,所以 DM / / AN ........................................................................................................... 2 分又 DM ⊄ 平面 ABE , AN ⊂ 平面 ABE ,所以DM / / 平面 ABE ................................................................................................ 4 分 DMAN（Ⅱ）因为AE =AB , N 为EB 中点,所以 AN ⊥BE. …………………….…5 分又BC ⊥平面ABE , AN ⊂平面ABE ,所以 BC ⊥AN.…………………….…6 分又 BC BE =B ,所以AN ⊥平面BCE ........................................................................................................... 7 分又DM / / AN ，所以DM ⊥平面BCE ................................................................................................. 8 分因为DM ⊂平面CDE ,所以平面CDE ⊥平面CBE......................................................................................... 9 分（Ⅲ）AE ⊥CD. .…………………….…10 分设∠EAB =，V =1⨯1AE ⋅AB ⋅sin⋅AD =1sin则四面体D -ABE 的体积 3 2 6 . ………………….…11 分当= 90︒，即AE ⊥AB 时体积最⎩a = b + c + = 大 ............................................................................................. 12 分又 BC ⊥ 平面 ABE , AE ⊂ 平面 ABE ,所以 AE ⊥ BC. .…………………….…13 分因为 BC AB = B ,所以 AE ⊥ 平面 ABC .因为CD ⊂ 平面 ABCD ，所以AE ⊥ CD ...............................................................................................................14 分x 2 + y 2=> >a 2b 21(a b 0) 19. 解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为 ，⎧c = 1 ⎪ c = 1 ⎨ ⎪ ⎪ 2 2 2 则 ..................................................................................................... 2 分得a = 2,b = 3..…………………….…4 ，所以椭圆方程为 x 2 y 21.4 3.…………………….…5 分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得 A (2, 0) .P (- 3 -1, - 3)当直线 PQ 不存在斜率时，可得1, ), Q (2 2直线 AP 方程为y = -1( x - 2) 2，令 x = -4, 得 M (-4, 3) ,a 21 = (- ) = (- - )18k 同理，得 N (-4, -3) .F M 3, 3 , F N 3, 3 所以,得 F 1M ⋅ F 1 N = 0 .所以∠MF 1 N = 90︒ , F 1 在以 MN 为直径的圆上 .................................................................. 7 分当直线 PQ 存在斜率时，设 PQ 方程为y = k ( x +1)⎧ y = k ( x +1) ⎪， P (x 1 , y 1 ) 、Q (x 2 , y 2 ).⎨ x 2 y 2⎩⎪ 4 + 3 = 1(3 + 4k 2 ) x 2 + 8k 2 x + 4k 2 -12 = 0 由 可得 .∆ > 0 2 x 1 + x 2 = - 3 + 4k 2 , x 1 x 2 = 4k 2 -12 3 + 4k 2 显然 , , ....................................................... 8 分y = 直线 AP 方程为 y 1x 1 - 2 (x - 2)M (-4, -6 y 1) ，得x 1 - 2 ,同理，N (-4, -6 y 2 ) x 2 - 2. .…………………….…9 分-6 y 1 -6 y 2F 1M = (-3, x - 2), F 1N = (-3, x - 2) 所以 1 2 .F 1M ⋅ F 1 N = 9 + (x 36 y 1 y 2- 2)(x- 2) 1 2因为y 1 = k ( x 1 +1), y 2 = k ( x 2 +1) .…………………….…10 分36 y y36k 2 (x +1)(x +1) 1 2 =1 2所以(x 1 - 2)(x 2 - 2)(x 1 - 2)(x 2 - 2).…………………….…11 分36k 2 ( x x + x + x +1) 1 212( x 1x 2 - 2(x 1 + x 2 ) + 4)36k 2 =4k 2 -12 - 8k 2 + 3 + 4k 2(3 + 4k 2 ) 4k 2 -12 +16k 2 +12 +16k 23 + 4k 2=-9 ⋅ 36k 2 36k 2 = -9所以 F 1M ⋅ F 1 N = 0 ..…………………….…13 分所以∠MFN = 90︒ , F 在以MN 为直径的圆上 ....................................................................... 14 分综上， F 在以 MN 为直径的圆上.20. 解：（Ⅰ）当a = 0 时， f (x ) = e x sin x ,f '(x ) = e x (sin x + cos x )，x ∈ R ..................................................................................1 分得 f '(0) = 1..…………………….…2 分又f (0) = e 0 sin 0=0 , .............................................................................................................. 3 分所以曲线 y = f (x ) 在(0, f (0)) 处的切线方程为 y = x ..…………………….…4 分方法 1：（Ⅱ）因为 f (x ) = e xsin x - ax ，所以f '(x ) = e x(sin x + cos x ) - a .= 2e xsin(x + ) - a 4.…………………….…5 分=] x x ∈[0,3因为4 ，+ ∈[ ,] 所以 4 4. .…………………….…6 分2e x sin(x + 所以 4 ≥ 0..…………………….…7 分所以 当 a ≤ 0 时， f '(x ) ≥ 0 ，f (x )[0, 34 所以在区间单调递增 ...................................................... 8 分[0,3a ≤ 0f (x )4 ]（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，x ∈[0, 3 4 f (x ) ≥f (0) = 0所以时， ..................................................................................................... 9 分当0 < a < 1时，设 g (x ) = f '(x ) ，则 g '(x ) = e x (sin x + cos x ) + e x (cos x - sin x ) = 2e xcos x ，g (x ), g '(x ) 随 x 的变化情况如下表：x(0,) 223 ( , ) 24 3 4g '(x )+-g (x )1- a极大值-a) ] ]2 2 e 2- 3 2 2 )f '(x )[0, ]2 3 ( , ]所以 在上单调递增，在 2 4 上单调递减 ............................................. 10 分f '(0) = 1- a > 0f '(3= -a < 0 4因为， ，x 0 所以存在唯一的实数3 ∈( , ) 2 4，使得f '(x 0 ) = 0， ........................................ 11 分x ∈(x ,3且当x ∈(0, x 0 ) 时， f '(x ) > 0 ，当4] 时， f '(x ) < 0 ，[x ,3所以 f (x ) 在[0, x 0 ] 上单调递增， f (x ) 在4] 上单调递减 (12)分3 3 3 3 f ( ) = e4 ⨯ - a > e 4 ⨯ - 3 > > 0又 f (0) = 0 ， 42 4 2 ,x ∈[0,30 < a < 14 ] f (x ) ≥ 0所以当时，对于任意的 ，.x ∈[0,3a < 14]f (x ) ≥ 0综上所述，当时，对任意的，均有..…………………….…13 分方法 2：（Ⅱ）因为 f (x ) = e xsin x - ax ，所以f '(x ) = e x(sin x + cos x ) - a .................................................................................... 5 分令 g (x ) = f '(x ) ，) 则g '(x ) = e x (sin x + cos x ) + e x (cos x - sin x ) = 2e xcos x ， .............................................. 6 分g (x ), g '(x ) 随 x 的变化情况如下表：x(0,) 223 ( , ) 24 3 4g '(x )+-g (x )1- a极大值-a.…………………….…7 分g (0) = 1- a > 0, g (3) = -a ≥ 0当 a ≤ 0 时，x ∈[0, 34g (x ) ≥ 04 .f '(x ) ≥ 0所以时，，即，f (x )[0, 34 所以在区间单调递增 .................................................................................. 8 分a ≤ 0f (x )[0,34 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，x ∈[0, 3 4 f (x ) ≥f (0) = 0所以时， ..................................................................................................... 9 分0 < a < 1f '(x )[0, ]2 3 ( , ]当 时， 由（Ⅱ）可知， 在上单调递增，在 2 4 上单调递减，f '(0) = 1- a > 0f '(3= -a < 0 4因为，，]] ]]2 2 e 2- 3 2 2 x 0 所以存在唯一的实数3 ∈( , ) 2 4，使得f '(x 0 ) = 0 ， ........................................ 11 分x ∈(x ,3且当x ∈(0, x 0 ) 时， f '(x ) > 0 ，当4 ] 时， f '(x ) < 0 ，[x ,3所以 f (x ) 在[0, x 0 ] 上单调递增， f (x ) 在 04] 上单调递减..…………………….…12 分3 3 3 3 f ( ) = e4 ⨯ - a > e 4 ⨯ - 3 > > 0又 f (0) = 0 ， 42 4 2 ,x ∈[0,30 < a < 14 ] f (x ) ≥ 0所以当时，对于任意的 ，.x ∈[0,3a < 14]f (x ) ≥ 0综上所述，当时，对任意的，均有 .................................................... 13 分。