单自由度及多自由度系统模态分析概述
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
工程振动——模态分析、多自由度系统振动响应
1.复习模态分析理论1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等）系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H()是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。
即有：复频率响应的实部复频率响应的虚部单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征，对频响函数特征的描述采用的几种表达式1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线2）相频图：相位与频率之间的关系曲线3）实频图：实部与频率之间的关系曲线4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线5）矢端轨迹图（Nyquist图）1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式频响函数的基本表达式：频响函数的极坐标表达式：，—幅频特性，—相频特性。
频响函数的直角坐标表达式：，—实频特性，—虚频特性频响函数的矢量表达式：1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征Nyquist图：无论阻尼多大，半功率点总位于水平直径两端，半功率点之间的曲线范围相当大，共振区在Nyquist图上最易反映出来，故用Nyquist图作参数识别较好。
对数幅频图：Bode图不仅能在很宽频段内反映系统的幅频特性而且能将低频段和高频段内幅频特性用最突出的特征反映出来。
2.预习多自由度系统振动响应2.1实模态分析对一个有n个自由度的振动系统，需用n个独立的物理坐标描述其物理参数模型。
在线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为n个主振动的线性叠加，每个主振动都是一种特定形态的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率），振动形态即系统的主振型（模态或固有振型），对应每个阻尼系统的主振型有相应的模态阻尼。
本节用模态坐标法研究模态参数模型和非参数模型。
坐标变换法的基础是求解系统特征值问题。
特征值与模态频率和模态阻尼有关（不一定就是模态频率）特征矢量与模态矢量相联系（不一定就是模态矢量）。
对无阻尼和比例阻尼系统，表示系统主振型的模态矢量实数矢量，故称实模态系统，相应的模态分析过程是实模态分析。
随机振动系统的建模与分析
随机振动系统的建模与分析随机振动是指振动的激励力和/或系统自身的固有参数具有不确定性的振动。
随机振动系统普遍存在于许多领域，如航空航天、土木结构、能源、环境和生物医药等。
因此，研究随机振动现象具有重要的理论和实际意义。
本文将介绍随机振动系统的建模与分析方法。
一、随机振动系统的特点随机振动系统相比于确定性振动系统而言，其具有以下几个显著的特点：1. 激励力的随机性。
激励力通常是噪声、风、地震、电磁干扰等不稳定因素，其具有随机性和不可预测性。
2. 系统特性参数的随机性。
振动系统的特性参数，如质量、刚度、阻尼等都有可能受到制造和安装误差的影响而产生随机性。
3. 振动响应的随机性。
由于振动系统存在着上述两种随机因素的影响，其振动响应也具有随机性。
二、建模方法随机振动系统建模的主要方法有两种，即时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域是指由时间t表示的振动信号的域。
时域方法是指通过时间t和振动响应x(t)或速度v(t)、加速度a(t)等时域信号进行随机振动系统的建模和分析。
其中常用的时域方法包括统计时域分析、偏微分方程映射（PDE）方法和随机分析方法等。
2. 频域方法频域是指通过频率f表示的振动信号的域。
频域方法是指通过频率f和振动响应X(f)、速度V(f)、加速度A(f)等频域信号进行随机振动系统的建模和分析。
其中常用的频域方法包括功率谱密度（PSD）分析、阻尼比分析和极值理论等。
不同的振动系统建模方法适用于不同的振动系统类型，选择适当的方法进行建模和分析非常重要。
三、分析方法1. 单自由度（SDOF）系统SDOF系统是指具有一个自由度的振动系统，例如简谐振子、单摆等。
对于SDOF系统，可通过阻尼比和显著性水平等简易参数来描述其振动响应特性。
SDOF系统的分析可以采用传递函数、相关函数、频率响应函数等方法。
2. 多自由度（MDOF）系统MDOF系统是指具有多个自由度的振动系统，例如桥梁、建筑物等。
由于振动系统的振动响应受到多种因素的影响，其分析复杂度较高。
单自由度模态分析理论
要点二
非线性模态分析的研 究
目前，大多数模态分析研究都集中在 线性系统上。然而，在许多工程应用 中，非线性因素对结构振动的影响是 不可忽视的。因此，未来可以进一步 研究非线性模态分析方法，以更准确 地描述这些非线性效应。
要点三
智能材料和结构的应 用
随着智能材料和结构的发展，它们在 许多领域的应用越来越广泛。这些材 料和结构具有独特的动态特性，需要 新的模态分析方法来描述。因此，未 来的研究可以探索适用于智能材料和 结构的模态分析方法。
背景
随着工程结构的日益复杂化，模态分析在结构健康监测、振 动控制、地震工程等领域的应用越来越广泛。单自由度模态 分析作为模态分析的基础，为多自由度模态分析提供了理论 支持。
模态分析的定义
模态
模态是结构的固有振动特性，包 括频率、阻尼比和振型。
模态分析
模态分析是通过试验或数值方法 识别结构的模态参数的过程。
模态振型之间具有正交性， 即不同模态的振动不会相 互干扰。
选择性
在实际工程中，可以根据需要 选择特定的模态进行分析，以 简化计算和提高分析效率。
Part
03
单自由度系统的01
激振器激励
STEP 02
自由衰减振动
通过激振器对系统施加激励 ，使其产生振动响应，然后 采集响应信号进行分析。
04
单自由度系统的模态特性分析
模态正交性分析
模态正交性是指在模态空间中，不同的模态之间相互独立， 没有耦合关系。在单自由度系统中，模态正交性表现为各模 态振型函数的正交性，即它们的内积为零。
模态正交性的意义在于，它使得各模态之间互不干扰，各自 独立地响应外部激励，从而使得系统的响应可以通过叠加各 模态的响应得到。
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
第2讲 多自由度系统实模态分析
若 K 是正定矩阵，则 U 0 ，系统没有刚体位移， 称为正定振动系统；若是半正定矩阵，则 U 0 ，系 统将出现刚体位移，称为半正定系统。 一个振动系统是正定或半正定，与结构的边界条件 有关。
1 T 1 x Mx 0,U xT Kx 0 2 2
无阻尼系统的实模态
自由振动时，令 f (t ) 0 则 Μx + Kx = 0 （1）特征值问题 设特解 x = Φe jt Φ —系统自由响应幅值阵列。 jt 将 x = Φe 代入式 Μx + Kx = 0 ，得 ( K 2 M )Φ 0 当 Φ 为零时，这是一个广义特征值问题， 为特征 值， Φ 为特征矢量。上式也是以 Φ 中元素为变量 的n阶代数齐次方程组， K 2 M 为其系数矩阵。该 方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零， 即 K 2 M 0
2014/9/7
桥梁结构振动与抗震 （结构动力学部分）
第2讲 多自由度系统 实模态分析
多自由度系统实模态
绝大多数振动结构可离散成为有限个自由度 的多自由度系统。对一个有个自由度的振动系统， 需用个独立的物理坐标描述其物理参数模型。在 线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为个 振动的线性叠加，每个主振动都是一种特定形态 的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率 即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率）， 振动形态即系统的主振型（模态），对应每个阻 尼系统的主振动有相应的模态阻尼。
X ΦU Φ diag[
n ΦiΦiT 1 ]ΦT F F 2 ki 2 mi k i 1 i mi
将它代入强迫振动方程，并考虑式 f (t ) Fe jt ，得 则
diag[ki 2 mi ]U ΦT F
振动学知识点总结
振动学知识点总结振动学知识点总结如下：一、振动的基本概念1. 振动的定义：指物体在某一平衡位置附近作来回运动的现象。
2. 振幅：振动物体在做往复运动时，离开平衡位置的最远距离。
3. 周期：振动物体完成一个完整的往复运动所需要的时间。
4. 频率：振动物体每秒钟完成的往复运动次数。
5. 相位：描述振动物体在振动周期中的位置关系。
二、单自由度振动系统1. 单自由度振动系统的概念：由一个自由度由一个自由度运动的质点和它的运动机构构成。
2. 自由振动：指单自由度振动系统在没有外力作用下的振动。
3. 阻尼振动：指单自由度振动系统的振动受到阻尼力的影响。
4. 强迫振动：指单自由度振动系统受到外力作用的振动。
三、非线性振动1. 非线性振动的概念：指振动系统的振动特性不满足线性振动方程的振动现象。
2. 非线性系统的分类：按系统的非线性特征分为几何非线性、材料非线性和边界非线性等。
3. 非线性振动的分析方法：包括解析法和数值法等。
四、多自由度振动系统1. 多自由度振动系统的概念：由多个自由度组成的振动系统。
2. 自由振动：指多自由度振动系统在没有外力作用下的振动。
3. 阻尼振动：指多自由度振动系统的振动受到阻尼力的影响。
4. 特征值问题：多自由度振动系统的固有振动特征。
5. 模态分析：多自由度振动系统振动特征的分析方法。
五、控制振动1. 振动控制的目的：减小系统振动、防止系统振动引起的损伤。
2. 主动振动控制：通过主动装置对系统进行振动控制。
3. 被动振动控制：通过被动装置对系统进行振动控制。
4. 半主动振动控制：融合了主动和被动振动控制的特点。
六、振动信号与分析1. 振动信号的特点：包括时间域特征、频域特征和相位特征等。
2. 振动信号采集与处理：使用传感器采集振动信号，并通过信号处理方法对其进行分析。
3. 振动分析方法：包括频谱分析、波形分析、振动模态分析和振动信号诊断分析等。
七、振动与工程应用1. 振动在机械领域的应用：包括减振、振动吸收、振动监测及振动诊断等。
多自由度模态分析理论
针对大规模系统，可以采用高效的数值算法和并行计算技术 来提高计算效率。同时，也可以采用适当的模型简化方法来 平衡计算效率和精度。
05 多自由度模态分析的未来 发展方向
混合模态分析方法
混合模态分析方法是一种结合了线性与非线性理论的分析方法，旨在更全面地描述系统的动态特性。 这种方法结合了线性模态分析的准确性和非线性模态分析的实用性，能够更好地处理复杂系统的振动 问题。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过建立系统的有限元模型，利用 数值方法求解特征方程得到模态参 数。
参数识别方法
包括频域法和时域法，其中频域法 通过频率响应函数识别模态参数， 时域法通过时间历程数据识别模态 参数。
03 多自由度模态分析在工程 中的应用
结构健康监测
结构损伤识别
01
多自由度模态分析能够通过比较结构在不同模态下的振动特性，
智能优化算法在模态分析中的应用
智能优化算法是一类基于人工智能的 优化算法，如遗传算法、粒子群算法 和蚁群算法等。这些算法在解决复杂 优化问题方面具有高效性和鲁棒性。
VS
在模态分析中，智能优化算法可以用 于求解系统的最优模态参数，如模态 频率、模态阻尼比和模态振型等。通 过智能优化算法，可以自动搜索系统 的最优模态参数，提高模态分析的效 率和准确性。
多自由度模态分析理论
目录
• 引言 • 多自由度模态分析理论概述 • 多自由度模态分析在工程中的应用 • 多自由度模态分析的局限性与挑战 • 多自由度模态分析的未来发展方向 • 结论
01 引言
背景介绍
机械系统振动分析
多自由度模态分析理论起源于机 械系统振动分析，用于研究复杂 机械结构的动态特性。
多自由度体系模态分析Matlab编程
多自由度体系模态分析1. 模态分析原理单自由度体系运动方程为()()()()10D s f t f t f t P t +++= (1)其中()()1g f t m u u =-+ (2)()D f t cu =- (3) ()()1g f t m u u =-+ (4)由单自由度体系运动方程推广到多自由度体系，则有(){}(){}(){}(){}{}10Dsf t f t f t P t +++= (5)其中(){}[]{}{}()1()()gf t M u t ut I =-+ (6)(){}[]{}()Df t C u t =- (7)(){}[]{}()Sf t K u t =- (8)综合上式并忽略阻尼项和外力项，可得到无阻尼多自由度体系自由振动方程：[]{}[]{}{}()()0M u t K u t += (9)设方程的解为如下简谐振动形式：{}{}()sin()u t t φωθ=+ (10)式中{}φ是与时间无关的N 阶向量，N 是体系自由度数量，ω是振动圆频率，θ是相位。
对式(10)求二阶导数，可得到结构的加速度：{}{}(){}22()sin()u t t u t ωφωθω=-+=- (11)将式(10) 和式(11)带入式(9)中，可得到：[]{}[]{}{}0K M φλφ-= (12)上式称为N 阶广义特征值问题，式中2λω=，刚度矩阵[]K 和质量矩阵[]M 是N 阶正定或半正定的对称矩阵。
上式也可以写为：[][](){}{}0K M λφ-= (13)根据齐次非线性方程组的特性，上式有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即：()[][]0p K M λλ=-= (14)式(14)是一个关于λ的一元N 次方程，称为多自由度体系的频率方程。
求解可得N 个特征根()1,2,...,i i N λ= 。
将N 个特征根i λ分别代入式(13)，可求得相应的N 个特征向量{}()1,2,...,i i N φ=。
机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析
机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析引言机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象以及振动特性的一门学科。
振动系统在受到外部激励时会产生瞬态响应，瞬态响应是指系统在初始时刻受到外部干扰后，振动幅值和相位都发生变化的过程。
了解振动系统的瞬态响应对于分析系统的动态特性和设计控制策略至关重要。
一、单自由度系统的瞬态响应分析单自由度系统是机械振动学中最基本的振动系统之一，通常由质点和弹簧-阻尼器构成。
在受到外部激励时，单自由度系统的瞬态响应可以通过拉普拉斯变换等方法进行分析。
振动系统的瞬态响应主要包括自由振动和受迫振动两种情况，其中自由振动是指在没有外部激励的情况下系统的振动响应，而受迫振动是指在受到外部激励时系统的振动响应。
二、多自由度系统的瞬态响应分析多自由度系统是由多个质点和弹簧-阻尼器构成的振动系统，具有更加复杂的动力学特性。
在受到外部激励时，多自由度系统的瞬态响应需要通过矩阵计算等方法进行分析。
多自由度系统的振动模态是研究系统振动特性的重要方法，通过振动模态分析可以得到系统的固有频率和振动模型。
三、瞬态响应分析在工程应用中的意义瞬态响应分析在工程实践中具有重要的应用意义，可以帮助工程师了解系统在受到外部干扰时的振动特性，并设计合适的控制策略。
工程领域中的许多振动问题都需要进行瞬态响应分析，例如建筑结构的地震响应、风力作用下桥梁的振动响应等。
结论机械振动学是一门研究物体振动现象和振动特性的重要学科，瞬态响应分析是分析振动系统动态特性的关键方法。
通过对振动系统的瞬态响应进行深入研究，可以更好地理解系统的振动机制，为工程实践提供重要参考依据。
我们需要不断深化对振动系统的瞬态响应分析，推动机械振动学领域的进步与发展。
多自由度振动系统的特征值问题与模态分析
多自由度振动系统的特征值问题与模态分析自由度是描述物体运动状态的重要概念，而多自由度振动系统则是指由多个物体组成的振动系统。
在工程领域中，多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是非常重要的研究内容。
特征值问题是指在多自由度振动系统中，寻找系统的固有振动频率和振动模态的问题。
对于一个n自由度振动系统，其特征值问题可以表示为：[K] {x} + [M] {x} = \lambda [M] {x}其中[K]是系统的刚度矩阵，[M]是系统的质量矩阵，{x}是系统的振动位移向量，\lambda是特征值。
解特征值问题可以得到系统的特征值和特征向量，从而确定系统的固有振动频率和振动模态。
在解特征值问题时，常常采用模态分析的方法。
模态分析是一种将多自由度振动系统的特征值问题转化为一组独立振动模态的方法。
通过模态分析，可以得到系统的振动模态和相应的特征值。
振动模态是指系统在不同频率下的振动形态，而特征值则代表了系统的固有振动频率。
在进行模态分析时，通常需要进行模态求解和模态分解两个步骤。
模态求解是指求解特征值问题，得到系统的特征值和特征向量。
而模态分解则是将系统的振动模态表示为一组独立的振动模态，通常采用线性组合的形式表示。
在实际工程中，多自由度振动系统的特征值问题和模态分析具有广泛的应用。
例如，在建筑结构设计中，通过模态分析可以确定结构的固有振动频率，从而避免共振现象的发生。
在机械系统中，通过模态分析可以评估系统的动态性能和稳定性。
在航天器设计中，模态分析可以帮助设计师优化结构，提高航天器的抗振能力。
总之，多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是工程领域中重要的研究内容。
通过解特征值问题和进行模态分析，可以得到系统的固有振动频率和振动模态，从而对系统的振动特性进行分析和优化。
在实际应用中，特征值问题和模态分析对于工程设计和结构分析具有重要的意义。
模态分析与振动测试技术
模态分析与振动测试技术固体力学S0902015李鹏飞模态分析与振动测试技术模态分析的理论基础是在机械阻抗与导纳的概念上发展起来的。
近二十多年来，模态分析理论吸取了振动理论、信号分析、数据处理数理统计以及自动控制理论中的有关“营养”，结合自身内容的发展，形成了一套独特的理论，为模态分析及参数识别技术的发展奠定了理论基础。
一、单自由度模态分析单自由度系统是最基本的振动系统。
虽然实际结构均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能揭示振动系统很多基本的特性。
由于他简单，因此常常作为振动分析的基础。
从单自由度系统的分析出发分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深刻理解他的基本特性。
对于线性的多自由度系统常常可以看成为许多单自由度系统特性的线性叠加。
二、多自由度系统模态分析对于多自由度系统频响函数数学表达式有很多种，一般可以根据一个实际系统来讨论，给出一种形式；也可根据问题的要求来讨论，给出其他不同的形式。
为了课程的紧凑，直接联系本课程的模态分析问题，我们就直接讨论多自由度系统通过频响函数表达形式的模态参数和模态分析。
即多自由度系统模态参数与模态分析。
多自由度系统模态分析将主要用矩阵分析方法来进行。
我们以N个自由度的比例阻尼系统作为讨论的对象。
然后将所分析的结果推广到其他阻尼形式的系统。
设所研究的系统为N个自由度的定常系统。
其运动微分方程为：MX CX KX 二F （2—1）式中M , C，K分别为系统的质量、阻尼及刚度矩阵。
均为（N N ）阶矩阵。
并且M及K矩阵为实系数对称矩阵，而其中质量矩阵M是正定矩阵，刚度矩阵K对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。
当阻尼为比例阻尼时，阻尼矩阵C为对称矩阵（上述是解耦条件）X及F分别为系统的位移响应向量及激励力向量，均为N 1阶矩阵。
即X（2— 1）式是用系统的物理坐标X 、X 、X 描述的运动方程组。
在其每一 个方程中均包含系统各点的物理坐标，因此是一组耦合方程（请大家想象一下其 展开式）。
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。
而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。
在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。
一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。
模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。
具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。
二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。
首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。
此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。
在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。
三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。
对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。
总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。
通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。
振动学知识点总结归纳
振动学知识点总结归纳一、振动学基础知识1.1 振动的基本概念振动是物体在某一平衡位置附近来回作周期性运动的现象。
当物体在平衡位置周围出现微小偏离时，物体受到恢复力的作用，使其朝着平衡位置运动，从而形成振动。
1.2 振动的分类振动可分为自由振动和受迫振动。
自由振动是指物体在没有外力作用下的振动，而受迫振动是指物体受到外力作用下的振动。
1.3 振动的描述振动可以通过振幅、周期、频率等指标进行描述。
振幅是指振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，频率是指单位时间内振动的次数。
1.4 振动的动力学方程物体在振动过程中受到恢复力和阻尼力的作用，可以通过动力学方程进行描述。
动力学方程可以用来描述物体的振动规律，求解物体的振动响应。
二、单自由度系统2.1 单自由度系统的基本模型单自由度系统是指只有一个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的基本模型之一。
单自由度系统的受力分析和振动方程可以通过牛顿定律和动能定理进行推导。
2.2 单自由度系统的自由振动单自由度系统在没有外力作用下的振动是自由振动，它可以通过解振动方程得到振动的时间变化规律。
自由振动的特点是振幅不变，频率固定。
2.3 单自由度系统的受迫振动单自由度系统受到外力作用时会发生受迫振动，外力的作用使得系统产生特定的振动响应。
受迫振动可以通过傅立叶分析和频谱分析进行研究，得到系统的振动响应特性。
2.4 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统在振动过程中会受到阻尼力的作用，阻尼振动是指系统在振动过程中能量不断减少的现象。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，频率不变。
2.5 单自由度系统的参数对振动的影响单自由度系统的质量、刚度和阻尼等参数对振动的影响是振动学研究的重要内容。
通过改变系统的参数，可以调控系统的振动特性，实现对系统振动的控制和优化。
三、多自由度系统3.1 多自由度系统的基本概念多自由度系统是指具有多个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的扩展和深化。
模态分析理论
模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。
首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。
特征根问题以图3所示的三自由度无阻尼系统为例，设123m =m =m =m ，123k =k =k =k ，图 1 三自由度系统其齐次运动方程为：（8）其中分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵，123m 00m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，11212221k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则运动方程展开式为： ¨11¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（9）定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。
主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。
主振型定义如下：()i ij ωt+i i sin ωt+=Im(e)φφi mi mi z =z z （10）其中为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为初始相位。
对于三自由度系统，在第i 阶频率下，等式可以写成1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（11）mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵。
机械振动原理
机械振动原理机械振动原理是研究物体在特定条件下的振动特性的科学。
机械振动在实际生活和工程中有着广泛的应用，例如汽车发动机的振动、楼梯的震动以及地震引起的结构振动等。
本文将介绍机械振动的基本原理和相关的振动特性。
一、振动的基本概念振动是指物体在平衡位置周围作往复运动的现象。
振动可分为自由振动和受迫振动两种形式。
自由振动是指物体在无外界干扰下自发地振动，受迫振动是指物体受到外力驱动而进行振动。
二、单自由度系统的振动单自由度系统是指只有一个自由度的振动系统，如简谐振动和阻尼振动。
简谐振动是指在没有外力的情况下，被考虑的系统能够以恒定频率进行振动。
而阻尼振动则是考虑了阻尼因素，振动的幅值随时间逐渐减小。
三、多自由度系统的振动多自由度系统是指具有复杂结构和多个自由度的振动系统。
其动力学方程可以通过矩阵方法求解。
多自由度系统的振动行为包括模态分析，即求解各个振动模态的频率和振型。
四、振动的传递与控制振动的传递与控制是指在机械振动中，振动能量的传递和对振动进行控制的问题。
振动传递的路径通常包括机械结构和材料，在设计和制造过程中需要考虑结构的刚度和材料的阻尼特性。
而振动控制可以通过结构的优化设计、振动吸收器等手段来实现。
五、应用领域机械振动原理在许多领域都有广泛的应用。
例如，振动传感器可以用于测量机械设备的振动情况，以及监测地震等自然灾害引起的振动。
同时，机械振动原理也是汽车设计、航天工程、建筑结构等领域中不可或缺的一部分。
结论本文简要介绍了机械振动原理及其应用。
机械振动是研究物体在特定条件下的振动特性的科学，包括单自由度系统和多自由度系统的振动行为。
理解机械振动原理对于解决实际工程问题以及改善产品性能都具有重要的意义。
第二章 振动结构模态分析
2.2 单自由度系统自由振动 ——有阻尼
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
mx cx kx 0
x Aet
m2 c k 0
2 2 2 0
1,2 2 1
2 k
m
c 2
m
2.2 单自由度系统自由振动——有阻尼
n
x(t) qi (t)i q(t) i1 T M q(t) T Cq(t) T Kq(t) T f (t)
miqi (t) ciqi (t) kiqi (t) iT f (t)
2.6 多自由度系统振动响应
频响函数：
Mx(t) Cx(t) K x(t) f (t)
x(t) Xeit
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
t
x(t) 0 f (t )h( )d
2.3 单自由度系统强迫振动——频响函数与单位脉冲函数
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
定义：
(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入相量之比。
(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。
表示体系可能存在的n个振型
对应的频率。具有最低频率的阵型称之为第一阶振型，第二低频率
对应的振型为第二阶振型。
2.5 多自由度无阻尼系统自由振动
振型分析：Mx(t) K x(t) 0
x(t) Xsin( t )
1
(K 2M)X 0 1.特征向量，或振型，
一般用i来表示；
(K i2M)Xi 0
/
2.3 单自由度系统强迫振动——简谐激励
x(t) 2 x(t) 2 x(t) F0 sin t
m
通解： xc (t) A1 cosdt A2 sin dtexp(t)
模态分析理论
机械模态分析理论基础假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统 线性：描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性;定常：振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐激励-响应的频率必定与激励一致。
稳定：系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。
振动系统分类：空间角度：离散（有限自由度）系统和连续（无限自由度）系统 时间角度：连续时间系统和离散时间系统 连续模拟信号--离散数字信号研究步骤：（1）建立结构的物理参数模型（以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程）（2）研究其特征值问题，求得特征值和特征矢量，得到结构的模态参数模型（模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数）。
正则化，解耦。
（3）通过研究受迫动力响应问题，可得到系统的非参数模型（频响函数和脉冲响应函数）。
频响函数和脉冲响应函数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。
根据阻尼模型的不同，分为：无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统1、 单自由度系统的振动粘性阻尼系统的振动微分方程：)(t f kx x c x m =++&&&自由振动：0=++kx x c x m &&&正则形式：0220=++x x x ωσ&&&其中：m c 2=σ：衰减系数（衰减指数）；mk =0ω：无阻尼固有频率（固有频率） 引入阻尼比（无量纲阻尼系数）：mkc 20==ωσζ运动微分方程可写成：02200=++x x x ωζω&&&特解为：t e xλϕ=，λ为方程的特征值，因此： 0)(2=++ϕλλk c m为使系统有非零解，很显然：02=++k c m λλ因此可得到λ的解为：d j ωσλ±-=2,1 式中：201ζωω-=d 成为阻尼固有频率。
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• 稳态加速度响应： x ( j)2 Xe jt 2 Xe jt
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
( 2 m jc k ) X F
• 位移频响函数为稳态位移响应与激励幅值之比： X 1 H ( ) F k m 2 jc • 速度频响函数： V j X j HV ( ) F F k m 2 jc • 加速度频响函数：
jk0 t x ( t ) X ( )e k k T X ( ) 1 2 x(t )e jk0t dt T k T 2
系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值 与激励的幅值之比
X (k ) H (k ) F (k )
H ( )
Gxf ( ) G ff ( )
单自由度系统频响函数曲线（1）
• 由频响函数表达式
H ( ) X 1 F k m 2 jc
• 可得频响函数复指数形式 1 1 H ( ) ei , k (1 2 )2 4 2 2
arctan
j ( t )
h( )d Fe
h( )e- j d
• 已知此时系统稳态输出为 x(t ) Xe jt H () Fe jt • 因此 H ( ) h( )e- j d
h(t ) H ( )
• 脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频 响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描 述系统固有特性。
单自由度系统脉冲响应函数
• 单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉 冲响应函数（脉冲响应函数）
mx cx kx (t )
单自由度系统脉冲响应函数
mx cx kx (t )
• 该式的解为
1 t e sin D t , t 0 x(t ) h(t ) mD 0, t 0
A jV 2 H A ( ) F F k m 2 jc
频 响 函 数
单自由度系统频响函数
• 频响函数的倒数称为阻抗
F • 位移阻抗： Z () k m 2 jc X
F k • 速度阻抗： ZV ( ) V c j m j
F k c • 加速度阻抗： Z A ( ) m 2 A j
(k 1,2,
, )
不同激励下频响函数表达式
• 瞬态激励f(t)下响应为x(t) ，一般可做傅里叶变换
F ( ) F[ f (t )]
X ( ) F[ x(t )]
系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换 之比
X ( ) H ( ) F ( )
• 随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只 能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率 谱与输入的自功率谱之比
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比
单自由度及多自由度系统 模态分析
结构振动分析基本理论
• 振动分析的“理论路线”
空间模型 模态模型 响应模型
（质量、阻尼、 刚度）
（固有频率， 模态振型）
（频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成 • 在理论分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
X H ( )F
• 周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数 x(t)，都可写为傅里叶级数的形式
jk0t f ( t ) F ( )e k k T 1 jk0 t F ( ) 2 f ( t )e dt T k T 2
实频特性
虚频特性
单自由度系统频响函数曲线（3）
1 1 2 H ( ) k (1 2 )2 4 2 2
R
H I ( )
线性系统的输入与输出关系
• 频响函数H()是h(t)的傅里叶变换。
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d
f (t )h( )d
jt
• 若系统的激励为 f (t ) Fe jt
x(t )
f (t )h( )d Fe
2 1 2
幅频特性
• 式中 称为频率比
相频特性
单自由度系统频响函数曲线（2）
• 频响函数表示成复数形式：
H () H R () jH I ()
• 其中
1 1 2 H ( ) k (1 ຫໍສະໝຸດ 2 )2 4 2 2R
H I ( )
1 2 k (1 2 )2 4 2 2
• 式中， D 1 2
• 若系统受到任意函数f(t)激励，则响应为（Duhamel积分）：
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
mx cx kx f (t )
• 设系统作用简谐激励 f (t ) Fe jt • 稳态位移响应： x Xe jt