高中数学练习：正弦定理和余弦定理及其应用

所以∠ACB=30°，
AB=50×420=21 000(m)。
又在△ABC中， = ，
所以BC= ×sin 15°=10 500( - )(m)。
因为CD⊥AD，
所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500( - )× =10 500( -1)≈7 350(m)。
故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m)。
(A)3∶1(B) ∶1
(C) ∶1(D)2∶1
解析：由cos 2B+3cos (A+C)+2=0，得2cos2B-3cos B+1=0，解得cos B=1(舍去)或cos B= ，
所以sin B= ，
所以由正弦定理知c∶sin C=b∶sin B=2∶1。
10。(石家庄一模)在△ABC中，AB=2，C= ，则AC+ BC的最大值为( D )
解：由f(x)=1-cos 2x-（1-cos[2（x- ）］=cos(2x- )-cos 2x= cos 2x+ sin 2x-cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin(2x- )。
(1)令2x- =kπ(k∈Z)，
则x= + (k∈Z)，
所以函数y=f(x)的对称中心为( + ，0)，k∈Z。
B= 。
(1)若△BCD的面积为 ，求CD的长;
(2)若A= ， = ，求 的值。
解：(1)BC=1，B= ，S△BCD= BC·BD·sin B= ×1×BD× = ，BD= 。
在△BCD中，由余弦定理得
CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B
=1+2-2×1× ×
=1，
所以CD=1。
(2)在△ACD中，由正弦定理得
故AC+ BC的最大值为4 。
11。 (内蒙古赤峰模拟)如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s。某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为m。(取 ≈1。4， ≈1。7)
解析： 如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A=15°，∠DBC=45°，
答案：75°
8。(2017·浙江卷)已知△ABC，AB=AC=4，BC=2。点D为AB延长线上一点，BD=2，连接CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=。
解析：依题意作出图形，如图所示。
则sin∠DBC=sin∠ABC。
由题意知AB=AC=4，BC=BD=2，
则cos∠ABC= ，
sin∠ABC= 。
由0<A<π得
- <A- < ，
所以A- = ，即A= 。
又△ABC的外接圆的半径为 ，
所以a=2 sin A=3。
由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2- (b+c)2= 。
即b+c≤6，
当且仅当b=c时取等号，
所以△ABC周长的最大值为9。
(A) (B)2 (C)3 (D)4
解析：由正弦定理可得，
= = = =4。
因为A+B= 。
所以AC+ BC=4sin B+4 sin A
=4sin B+4 sin( -B)
=4sin B+4 ( cos B+ sin B)
=2 cos B+10sin B
=4 sin(B+θ)(tanθ= )，
因为0<B< ，
又因为A= ，∠ABC= ，
所以△ABC为等腰直角三角形。
所以S△ABC= BC2= -cos D。
又因为S△BCD= ·BD·CD·sin D=sin D。
所以S四边形ABDC= -cos D+sin D
= + sin(D- )。
所以当D= 时，S四边形ABDC最大。
最大值为 + 。
答案： +
13。 (福建宁德一检)如图，△ABC中，D为AB边上一点，BC=1，
2。在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则sin A等于( D )
(A) (B) (C) (D)
解析： 如图，设BC边上的高为AD，
因来自百度文库B= ，
所以∠BAD= 。
所以BD=AD，
又AD= BC，所以DC=2AD，
所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)
=sin 45°cos∠DAC+cos 45°sin∠DAC
(2)由f( + )= 得sin（B+ ）= ⇒
sin B+ cos B= ⇒ asin B+acos B=b+c，
由正弦定理得 sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin C⇒ sin Asin B=sin B+cos Asin B，
又因为sin B≠0，
所以 sin A-cos A=1⇒sin(A- )= 。
高中数学练习： www.ks5u.com
第6节 正弦定理和余弦定理及其应用
基础巩固(时间：30分钟)
1。△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知a= ，c=2，cos A= ，则b等于( D )
(A) (B) (C)2(D)3
解析：由余弦定理得5=b2+4-2×b×2× ，解得b=3（b=- 舍去），选D。
= ，
所以sin ∠ACD= = = ，
在△BCD中，由正弦定理得 = ，
所以sin ∠DCB= = = ，
所以 = = × = 。
14。(江西联考)已知函数f(x)=2sin2x-2sin2(x- )，x∈R。
(1)求函数y=f(x)的对称中心;
(2)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（ + ）= ，△ABC的外接圆半径为 ，求△ABC周长的最大值。
所以ac=2-1=1。c2+a2-b2=1。
所以S= = 。故选A。
7。(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b= ，c=3，则A=。
解析：由正弦定理 = 得 = ，
所以sin B= ，
又b<c，所以B<C，
所以B=45°，A=180°-60°-45°=75°。
即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sin C+cos C)，
所以cos∠ABCsin C=sin∠ABCsin C。
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
所以tan∠ABC=1。
又∠ABC∈(0，π)，所以∠ABC= 。
在△BCD中，因为DB=2，DC=1，
所以BC2=12+22-2×2×1·cos D=5-4cos D。
= × + ×
= 。
故选D。
3。(杭州模拟)在△ABC中，cos = ，则△ABC一定是( A )
(A)等腰三角形(B)直角三角形
(C)等腰直角三角形(D)无法确定
解析：由cos = 得
2cos2 -1=cos A=cos B，
所以A=B，故选A。
4。(通辽模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( D )
答案：2 650
12。 (四川泸州二珍)如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。a=b(sin C+cos C)。若A= ，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，则四边形ABDC面积的最大值为。
解析：因为a=b(sin C+cos C)，
所以由正弦定理得sin A=sin∠ABC(sin C+cos C)。
所以S△BDC= BC·BD·sin∠DBC
= ×2×2×
= 。
因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-
=
= ，
所以CD= 。
由余弦定理，得cos∠BDC= = 。
答案：
能力提升(时间：15分钟)
9。(宁波模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos 2B+3cos (A+C)+2=0，b= ，则c∶sin C等于( D )
(A)(0， ］(B)［ ，π)
(C)(0， ］(D)［ ，π)
解析：由正弦定理角化边，得a2≤b2+c2-bc。
所以b2+c2-a2≥bc，
所以cos A= ≥ ，
所以0<A≤ 。
6。(淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实。一 为从隅，开平方得 积。”若把以上这 段文字写成公式，即S= 。现有周 长为2 + 的△ABC满足：sin A∶
sin B∶sin C=( -1)∶ ∶( +1)。试用“三斜求积术”求得△ABC的面积为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析：因为sin A∶sin B∶sin C=( -1)∶ ∶( +1)，
由正弦定理得a∶b∶c=( -1)∶ ∶( +1)。
因为a+b+c=2 + ，
所以a= -1，b= ，c= +1。
(A)10 n mile(B) n mile
(C)5 n mile(D)5 n mile
解析：由题意可知，∠CAB=60°，∠CBA=75°，
所以∠C=45°，由正弦定理得 = ，
所以BC=5 。
5。(南宁模拟)在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C，则A的取值范围是( C )