高中数学练习：正弦定理和余弦定理及其应用
正弦定理、余弦定理及其应用-高考数学【解析版】
专题24 正弦定理、余弦定理及其应用近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）正弦、余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C=== a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2. 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边、或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B C a A=3.余弦定理的变式应用：公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角 （二）三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．（三）常用结论 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ． 4．三角形中的大角对大边在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ． 5.海伦公式：()()()()1,2S p p a p b p c p a b c =---=++ 6.向量方法：()()2212S a ba b=⋅-⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==- ()()221cos 2S ab ab C ∴=-cos a b ab C ⋅=∴ ()()2212S a b a b =⋅-⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =- 7.三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）.()sin()sin sin A B C C π+=-= ()cos()cos cos A B C C π+=-=-8.三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设AD 为ABC 的一条中线，则()22222AB AC AD BD +=+ （知三求一）证明：在ABD 中2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅ ① 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅ ②D 为BC 中点 BD CD ∴=ADB ADC π∠+∠= cos cos ADB ADC ∴=-∴ ①+②可得：()22222AB AC AD BD +=+（2）角平分线定理：如图，设AD 为ABC 中BAC ∠的角平分线，则AB BDAC CD=证明：过D 作DE ∥AC 交AB 于EBD BEDC AE∴= EDA DAC ∠=∠ BBEAD 为BAC ∠的角平分线EAD DAC ∴∠=∠ EDA EAD ∴∠=∠EAD ∴为等腰三角形 EA ED ∴= BD BE BEDC AE ED ∴==而由BED BAC 可得：BE ABED AC=AB BDAC CD ∴=（四）测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡度坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i ＝hl＝tan θ135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．【典型考题解析】热点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1 B 2C 5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.【典例2】（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3 B ．13- C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得22sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=， 22sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.【典例3】（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． (1)由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． (2)由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．【总结提升】1.解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 2.解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C ． (3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C ．(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．热点二 三角形面积问题【典例4】（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】5(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及45a c =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积． (1)由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为45a c =， 由正弦定理知4sin 5A C ，则55sin A C ==(2)因为45a c =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=． 【典例5】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin A C =，求b ．【答案】2 (2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由1233S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.(1)由题意得222212313333,,2S a S S =⋅===，则2221233333S S S -+==即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则2122cos 13B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭132cos ac B ==12sin 2ABCS ac B ==(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则223294sin sin sin sin sin 42b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 【规律方法】 1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 热点三 三角形的周长问题【典例6】（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为3ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)663 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长. (1)解：因为()0,C π∈，则sin 0C >32sin cos C C C =， 可得3cos C =，因此，6C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCSab C a ===3a = 由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=，23c ∴= 所以，ABC 的周长为36a b c ++=.【典例7】（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. (1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=. 【规律方法】求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用已知条件列方程求解．【典例7】反映的“整体代换”思想，具有一定的技巧性. 热点四 判断三角形的形状【典例8】（2020·海南·高考真题）在①3ac ①sin 3c A =，①3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由sin 3sin AB 可得：3ab=()3,0a m b m m ==>， 则：22222232cos 323c a b ab C m m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 若选择条件①：据此可得：2333ac m m m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 若选择条件②：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-， 则：213sin 12A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3sin 3c A m ==，则：23c m ==若选择条件③： 可得1c mb m==，c b =，与条件3=c b 矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由,6C A B C ππ=++=，得56A B π=-． 由sin 3sin A B ，得5sin 36B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即13cos 32B B B =， 得3tan B =．由于0B π<<，得6B π=．所以2,3b c A π==．若选择条件①：由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得3a c =． 解得1,3c b a ===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 若选择条件②： 由sin 3c A =，得2sin33c π=，解得3c =23b c == 由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得36a c ==． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c =．若选择条件③：由于3c b 与b c =矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,a b c 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A ，可求出角B ，从而可得2,,36b c A B C ππ====，再根据选择条件即可解出．【典例9】（2020·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ； （2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将3b c -=代入可找到,,a b c 关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①， 又3b c -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =， 所以3a c =， 故222b a c =+， 即ABC 是直角三角形． 【总结提升】1.判定三角形形状的两种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 3.确定三角形要素的条件： （1）唯一确定的三角形：① 已知三边（SSS ）：可利用余弦定理求出剩余的三个角② 已知两边及夹角（SAS ）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 ③ 两角及一边（AAS 或ASA ）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边 （2）不唯一确定的三角形① 已知三个角（AAA ）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：::sin :sin :sin a b c A B C =② 已知两边及一边的对角（SSA ）：比如已知,,a b A ，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求B 时，sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒=，而0,,22B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，一个sin B 可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点）热点五 正弦定理、余弦定理实际应用【典例10】（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 【解析】 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】 如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A.【典例11】（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案． 【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=， 所以210042''100(31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【典例12】（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²） 【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 【解析】 【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD ==，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值. (1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD == 则AE EH =，所以直角ADE 与直角HED △全等 所以20ADE HDE ∠=∠=︒在直角HED △中，tan2015tan20EH DH =︒=︒90250HDF ADE ∠=︒-∠=︒在直角FHD △中，tan5015tan50HF AD =︒=︒()sin 20sin5015tan 20tan5015cos20cos50EF EH HF ︒︒⎛⎫=+=︒+︒=+ ⎪︒︒⎝⎭()sin 2050sin 20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50︒+︒︒︒︒+︒︒=⨯=⨯︒︒︒︒sin 70151523.3cos 20cos50cos50︒=⨯=≈︒︒︒(2)设ADE θ∠=,902HDF θ∠=︒-，则15tan AE θ=，()15tan 902FH θ=︒- ()115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFDS EF DH θθθθ⎛⎫=⨯⨯=⎡+︒-⎤=+ ⎪⎣⎦⎝⎭ 11515tan 22ADESAD AE θ=⨯⨯=⨯ 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADEDEFS S Sθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2251225122533tan 23tan 4tan 4tan 2θθθθ⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且当13tan tan θθ=，即3tan θ=时取得等号，此时315tan 15538.7AE θ===≈ 即当3tan θ=时，梯形AEFD 2253则此时梯形FEBC 的面积有最大值22531530255.14⨯≈ 所以当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 热点五 平面几何中的解三角形问题【典例13】（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，23AM =AC =___________，cos MAC ∠=___________. 【答案】 13239【解析】 【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC ∠. 【详解】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以13AC =在AMC 中，由余弦定理得222239cos 2223213AC AM MC MAC AM AC +-∠=⋅⨯⨯. 故答案为：213239【典例14】（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin C （2）2tan 11DAC ∠=.【解析】 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）方法一：根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b = 由正弦定理得sin 5sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. [方法二]【最优解】：几何法过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由2,45c B，可得1AE BE ==，又3a =，所以2EC =．在Rt ACE 中，225AC AE EC =+5sin 5C ==（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =- 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法在（1）的方法二的图中，由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos cos()cos 5ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=，从而4sin 4sin cos ,tan 5cos 3DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．又由（1）可得tan 2EC EAC AE ∠==，所以tan tan 2tan tan()1tan tan 11EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠．[方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC === 在Rt ADE △中，45,cos sin 3AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，所以23CD CE DE =-=． 在ACD △中，由正弦定理可得25sin sin CD DAC C AD ∠=⋅=， 由此可得2tan 11DAC ∠=． [方法四]：构造直角三角形法如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC ===由4cos 5ADC ∠=-，可得243cos ,sin 1cos 55ADE ADE ADE ∠=∠=-∠．在Rt ADE △中，22542,,sin 333AE AD DE AD AE CD CE DE ADE ==-==-=∠．由（1）知5sin C =Rt CDG △中，222545sin DG CD C CG CD DG =⋅==-=，从而115AG AC CG =-=在Rt ADG 中，2tan 11DG DAG AG ∠==． 所以211DAC ∠=． 【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得5b =sin C ；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC ∠的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC ∠的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC ∠的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 【典例15】（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+ 条件③：ABC 33【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =， 23sin 2sin 3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 231sin 2c Cb B=== 与2c b =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin33c R R π=， 则周长23423a b c R R ++==+ 解得2R =，则2,23a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：()222312231cos76π+-⨯⨯⨯若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 22ABCSab C a ===，解得3a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 3322342a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭【总结提升】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．【精选精练】一、单选题1．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（文））“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D 在同一水平面上的A ，B 两点，在A 点和B 点测得C 点的仰角分别为45°和30°，测得257AB =150ADB ∠=︒，则云楼的高度CD 为（ ）A ．20米B ．25米C ．7D ．257【答案】B【分析】设CD x =，由锐角三角函数得到AD x =，3BD x =，再在ABD △中利用余弦定理求出x ，即可得解.【详解】解：依题意45CAD ︒∠=，30CBD ︒∠=， 设CD x =，在Rt ACD △、Rt BCD 中，tan 1CD CAD AD∠==，3tan 3CD CBD BD ∠==，所以AD x =，3BD x =，在ABD △中由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即()()22232573232x x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭，解得25x =或25x =-（舍去）， 所以云楼的高度CD 为25米； 故选：B2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知三个向量,cos 2A m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos ,,cos 22B C n b p c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭共线，则ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是6π的直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得cos cos 22B Aa b =，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得sinsin 22A B=，结合角的范围求得A B =，同理可得B C =，则答案可求． 【详解】向量(,cos )2A m a =，(,cos )2B n b =共线，cos cos 22B A a b ∴=，由正弦定理得：sin cos sin cos 22B A A B =， 2sincos cos 2sin cos cos 222222A A B B B A ∴=，则sin sin 22A B=， 022A π<<，022B π<<，∴22A B =，即A B =．同理可得B C =．ABC ∴形状为等边三角形．故选：A ．3．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）约为33.65，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）约为80.51.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD 的长）为7米，则表高（即AC 的长）约为（ ）（已知229tan33.65,tan80.5135≈≈）A ．4.36米B ．4.83米C ．5.27米D ．5.41米【答案】C【分析】由题意可求出35,229BC AC CD AC ==，再由BD 的长为7米，求出AC ，即可得出答案. 【详解】由图可知229tan33.65,tan80.5135AC AC BC CD =≈=≈， 所以35,229BC AC CD AC ==， 得3577587 5.272295811BD AC AC AC ⎛⎫=-==⇒=≈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 二、多选题4．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）下列命题错误的是（ ） A ．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 B ．在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >C ．在ABC 的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个D ．当2220b c a +->时，ABC 为锐角三角形；当2220b c a +-=时，ABC 为直角三角形；当2220b c a +-<时，ABC 为钝角三角形 【答案】ACD【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，利用正弦定理结果合三角形的性质判断.【详解】对于A ，等腰直角三角形的三边比为1:1:2，而三个内角的比为1:1:2，所以A 错误， 对于B ，在ABC 中，当sin sin A B >时，由正弦定理可得a b >，因为在三角形中大边对大角，所以A B >，所以B 正确，对于C ，在ABC 中，若三个角,,A B C 确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C 错误，对于D ，在ABC 中，2220b c a +->时，由余弦定理可知角A 为锐角，而角,B C 的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D 错误， 故选：ACD5．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）在ABC 中，已知2,3,AB AC AD ==是角A 的平分线，则AD 的长度可能为（ ） A ．2.1 B ．2.2 C ．2.3 D ．2.4【答案】ABC【分析】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，由题设可得3AC EC ==且ADB EDC ，进而有23AD ED =，令2AD x =并在ACE 中应用余弦定理求x 范围，即可得AD 范围. 【详解】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，又AD 是角A 的平分线，得CAE BAE E ∠=∠=∠，故3AC EC ==， 而ADB EDC ，则23AD AB ED EC ==， 令2AD x =，则5AE x =，在ACE 中，22221825cos (1,1)218AC EC AE x ACE AC EC +--∠==∈-⋅， 可得605x <<，则122(0,)5AD x =∈，故A 、B 、C 满足要求.故选：ABC6．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）．现有ABC 满足::2:7a b c =ABC 的面积63ABC S =△列结论正确的是（ ） A ．ABC 的最短边长是2 B ．ABC 的三个内角满足2A B C +=C ．ABC 221D ．ABC 的中线CD 的长为32【答案】BC【分析】依题意设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），利用面积公式求出t ，即可求出边长，从而判断A ，再由余弦定理求出C ，即可判断B ，利用正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C ，最后由数量积的运算律求出中线CD ，即可判断D.【详解】解：由::2:3:7a b c =，设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），因为63ABC S =△，所以2222221749637442t t t t t ⎡⎤⎛⎫+-=+-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2t =，则4a =，6b =，27c =，故A 错误；因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==，故B 正确； 因为π3C =，所以3sin 2C =，由正弦定理得4212sin 3c R C ==，2213R =，故C 正确； ()12CD CA CB =+，所以()22111361624619442CD CA CB ⎛⎫=+=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故19CD =，故D 错误．故选：BC ． 三、填空题7．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且42c =B =4π，若ABC 的面积S =2，则b =___________. 【答案】5【分析】先由面积公式计算1a =，再利用余弦定理计算5b =. 【详解】由三角形面积公式，1sin 22S ac B ==， 所以，1a =.由余弦定理，2222cos 25b a c ac B =+-=.所以，5b =. 故答案为：5.8．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________. 【答案】等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A bbc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=， ∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 四、解答题9．（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin cos 0a B b A -=.(1)求A ； (2)若3c =3a =ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=(2)338【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A ； （2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形的面积公式可求得结果. （1）因为3sin cos 0a B b A -=所以由正弦定理得3sin sin sin cos A B B A =， 因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠， 所以3sin cos A A =，即3tan 3A =， 又因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
第7节 余弦定理、正弦定理应用举例--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第七节余弦定理、正弦定理应用举例测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线01上方的叫做仰角，目标视线在水平视线02下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i ＝hl＝tan θ解三角形应用问题的步骤：1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同．()(2)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.()(5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2．小题热身(1)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为()A．502m B．503m C．252m D．2522m 答案A解析在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以AB＝AC sin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝502(m)．故选A.(2)(人教A必修第二册6.4.3例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(303＋30)m B．(153＋30)m C．(303＋15)m D．(153＋15)m 答案A解析在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB＝AB sin30°sin∠APB＝60×126－24＝30(6＋2)，所以该树的高度为30(6＋2)sin45°＝303＋30(m)．故选A.(3)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.答案507解析连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，解得OC ＝507.则该扇形的半径为507m.考点探究——提素养考点一测量距离问题例1(2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A 地出发，向西骑行了2km 到达B 地，然后再由B地向北偏西60°骑行了23km 到达C 地，再从C 地向南偏西30°骑行了5km 到达D 地，则A 地到D 地的直线距离是()A ．8kmB ．37kmC ．33kmD ．5km答案B解析如图，在△ABC 中，∠ABC ＝150°，AB ＝2，BC ＝23，依题意，∠BCD ＝90°，在△ABC中，由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝4＋12＋83×32＝27，由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin ∠ABC AC＝714，在△ACD 中，cos ∠ACD ＝cos(90°＋∠ACB )＝－sin ∠ACB ＝－714，由余弦定理得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ＝28＋25＋2×27×5×714＝37.所以A 地到D 地的直线距离是37km.故选B.【通性通法】距离问题的类型及解法(1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．【巩固迁移】1．已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．(1)计算渔政船C与渔港O的距离；(2)若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？(参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，11≈3.32，13≈3.61)解(1)∵AO⊥OB，∠OBA＝68.20°，OB＝160，∴AO＝OB tan∠OBA≈160×2.50＝400，∵AO⊥OC，∠OCA＝63.43°，∴OC＝OAtan63.43°≈4002.00＝200.即渔政船C与渔港O的距离为200海里．(2)由题意知∠OBC＝60°＋60°＝120°，在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2＋BC2－2OB·BC cos∠OBC，即40000＝25600＋BC2＋160BC，解得BC＝－80－4013(舍去)或BC＝－80＋4013，即BC≈－80＋40×3.61＝64.4，∵64.425＝2.576<3，∴渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能在3小时内赶到出事地点．考点二测量高度问题例2(1)(2024·江苏南通调研)湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A 级景区，也是神农架探秘的必经之地，为了测量湖北宜昌三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为π3，则该瀑布的高度约为()A ．60mB ．90mC ．108mD ．120m答案A解析根据题意作出示意图，其中tan α＝32，β＝θ＝π3，AB ＝20，在Rt △AOH 中，tan α＝OHOA，所以OA ＝23OH .在Rt △BOH 中，tan β＝OH OB ，所以OB ＝33OH .在△AOB 中，由余弦定理，得OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB cos θ，即13OH 2＝49OH 2＋202－2×23OH ×20×12，解得OH ＝60.所以该瀑布的高度约为60m ．故选A.(2)(2023·辽宁协作校联考)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB ，选取了与楼底B 在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，现测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝95°，CD ＝116m ，在点D 处测得黄河楼顶A 的仰角为45°，求黄河楼的实际高度．(结果精确到0.1m ，取sin55°＝0.82)解由题知，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝55°，在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，则BD ＝CD sin ∠BCD sin ∠CBD＝116×sin30°sin55°＝580.82≈70.7m ，在△ABD 中，AB ⊥BD ，∠ADB ＝45°，所以AB ＝BD tan ∠ADB ＝BD ≈70.7m.故黄河楼的实际高度约为70.7m.【通性通法】(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．【巩固迁移】2．(2023·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角(即∠ABC )约为33.65°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC )约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD 的长)为7米，则表高(即AC 的长)约为()A ．cos80.51°7tan46.86°B ．7tan46.86°sin33.65°C ．7sin33.65°sin80.51°sin46.86°D ．sin33.65°7sin80.51°答案C解析由图可知∠BAD ＝∠ADC －∠ABC ＝80.51°－33.65°＝46.86°.在△ABD 中，BDsin ∠BAD＝AD sin ∠ABC ，得AD ＝7sin33.65°sin46.86°.在△ACD 中，AC ＝AD sin ∠ADC ＝7sin33.65°sin80.51°sin46.86°.故选C.考点三测量角度问题例3已知在岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A 北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5sin38°≈5314，解如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD .故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．【通性通法】(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．【巩固迁移】3.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝()A ．33B ．6－2C ．3－1D ．2－1答案C解析由题意知，∠CAD ＝15°，∠CBD ＝45°，所以∠ACB ＝30°，∠ABC ＝135°.在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin30°＝ACsin135°，又AB ＝100m ，所以AC ＝1002m ．在△ADC 中，∠ADC ＝90°＋θ，CD ＝50m ，由正弦定理，得AC sin （θ＋90°）＝CDsin15°，所以cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC sin15°CD＝3－1.故选C.课时作业一、单项选择题1.如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案B解析由已知，得AD ＝2010m ，AC ＝305m ，又CD ＝50m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°＜∠CAD ＜180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.故选B.2.如图，设A ，B 两点在河的两岸，在A 所在河岸边选一定点C ，测量AC 的距离为50m ，∠ACB ＝30°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点间的距离是()A ．252mB ．502mC ．253mD ．503m答案A解析在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，得AB ＝AC sin ∠ACB sin ∠ABC ＝50sin30°sin45°＝50×1222＝252(m)．故选A.3．(2023·山东济南模拟)如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A 点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB 成12°角的方向飞行，飞行到中途C 点，再沿与原来的飞行方向AB 成18°角的方向继续飞行到终点B 点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km 大约多飞了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)()A ．10kmB ．20kmC ．30kmD ．40km 答案B 解析在△ABC 中，由A ＝12°，B ＝18°，得C ＝150°，由正弦定理，得500sin150°＝BC sin12°＝AC sin18°，所以50012≈BC 0.21≈AC 0.31，所以AC ≈310km ，BC ≈210km ，所以AC ＋BC －AB ≈20(km)．故选B.4.(2023·安徽六安一中校考模拟预测)《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A ，B 处分别作切线相交于点C ，测得AC ＝100cm ，BC ＝100cm ，AB ＝180cm ，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为()A ．0.62B ．0.56C ．－0.56D ．－0.62答案A 解析如图所示，设弧AB 对应的圆心是O ，根据题意可知，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，则∠AOB＋∠ACB ＝π，因为AC ＝100，BC ＝100，AB ＝180，则在△ACB 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝1002＋1002－18022×100×100＝－0.62，所以cos ∠AOB ＝cos(π－∠ACB )＝－cos ∠ACB ＝0.62.故选A.5．(2023·山西太原模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度BC 为60m ，则此时气球的高度为()A ．15(3－1)mB ．15(3＋1)mC ．30(3－1)mD ．30(3＋1)m 答案B 解析在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°，BC ＝60m ，则∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°.又sin105°＝sin(60°＋45°)＝32×22＋12×22＝6＋24，BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，所以AC ＝60×6＋2422＝30(3＋1)m ，所以气球的高度为AC sin ∠ACB ＝30(3＋1)×12＝15(3＋1)m ．故选B.6.(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面B ，C 两受灾点的视角为∠BPC ，且tan ∠BPC ＝13.已知地面上三处受灾点B ，C ，D 共线，且∠ADB ＝90°，BC ＝CD ＝DA ＝1km ，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是()A ．2kmB ．2kmC ．3kmD ．4km 答案B 解析解法一：由题意得BD ⊥平面PAD ，∴BD ⊥PD .设PD ＝x ，∠PBD ＝α，∠PCD ＝β，则tanα＝x2，tanβ＝x，∴tan∠BPC＝tan(β－α)＝x－x21＋x·x2＝xx2＋2＝13，解得x＝1或x＝2，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.故选B.解法二：由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝13，可得cos∠BPC＝31010，在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2＋5·x2＋2·31010，解得x2＝3，进而PD＝x2＋1＝2.故选B.7.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进72米后到达D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan71.565°≈3)()A．19米B．20米C．21米D．22米答案C解析在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝72，由正弦定理得ADsin∠ACD＝CDsin∠CAD，所以AD＝CD sin∠ACDsin∠CAD＝7(米)，在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，所以AB＝AD tan71.565°≈7×3＝21(米)．故选C.8．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m答案B解析如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，则BC＝2100012×sin15°＝10500(6－2)(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin45°＝10500(6－2)×22＝10500(3－1)≈7350(m)，所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．故选B.二、多项选择题9．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好3km，那么x的值是()A．3B．23C．3D．6答案AB解析如图，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°.由余弦定理，得3＝x2＋9－2×3×x×cos30°，解得x＝23或x＝ 3.故选AB.10．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是()A．A处与D处之间的距离是24n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是83n mileC ．灯塔C 在D 处的南偏西30°D ．D 处在灯塔B 的北偏西30°答案ABC 解析在△ABD 中，由已知，得∠ADB ＝60°，∠DAB ＝75°，则∠B ＝45°.由正弦定理，得AD＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24，所以A 处与D 处之间的距离为24n mile ，故A 正确；在△ADC中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos30°，又AC ＝83，所以CD ＝8 3.所以灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile ，故B 正确；因为AC ＝CD ＝83，所以∠CDA ＝∠CAD ＝30°，所以灯塔C 在D 处的南偏西30°，故C正确；因为灯塔B 在D 处的南偏东60°，所以D 处在灯塔B 的北偏西60°，故D 错误．故选ABC.三、填空题11．神舟载人飞船返回舱成功着陆，标志着返回任务取得圆满成功．假设返回舱D 垂直下落于点C ，某时刻地面上A ，B 两个观测点，观测到点D 的仰角分别为45°，75°，若点A ，B间的距离为10千米(其中向量CA →与CB →同向)，估算该时刻返回舱距离地面的距离CD 约为________千米．(结果保留整数，参考数据：3≈1.732)答案14解析在△ABD 中，A ＝45°，∠ABD ＝180°－75°＝105°，∠ADB ＝30°，由正弦定理得AB sin30°＝AD sin105°，AD ＝20sin105°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)，所以CD ＝AD sin A ＝5(6＋2)×22＝53＋5≈14(千米)．12.魏晋南北朝时期，数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高谷深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步．关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》．受此启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG ＝1，表高CD ＝EF ＝2，后表却行FH ＝3，表间DF ＝85.则塔高AB ＝________米．答案87解析由题意可知，△EFH ∽△ABH ，△CDG ∽△ABG ，所以EF AB ＝FH BH ，CD AB ＝DG BG，又EF ＝CD ＝2，DG ＝1，FH ＝3，DF ＝85，所以2AB ＝3BD ＋88，2AB ＝1BD ＋1，则3BD ＋88＝1BD ＋1，解得BD ＝852，所以AB ＝2BD ＋2＝87.13．海面上有相距10n mile 的A ，B 两个小岛，从A 岛望C 岛，和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛，和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离为________n mile.答案56解析由题意，知C ＝45°，A ＝60°，AB ＝10.由BC sin A ＝AB sin C，得BC ＝56n mile.14．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°，60°(A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内)，则A ，B 两点之间的距离为________米．答案10015解析由题意，∠DCB ＝30°，∠CDB ＝60°，所以∠CBD ＝90°，所以在Rt △CBD 中，BD ＝12CD ＝300，BC ＝32CD ＝3003，又∠DCA ＝75°，∠CDA ＝45°，所以∠CAD ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin45°＝CD sin60°，所以AC ＝60032×22＝2006，在△ABC 中，∠ACB ＝∠ACD －∠BCD ＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(2006)2＋(3003)2－2×2006×3003×22＝150000，所以AB ＝10015.四、解答题15．某市广场有一块不规则的绿地，如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用更低(请说明理由)?解(1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用更低．理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD ＞AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD ＞S △ABC .故选择△ABC 的形状建造环境标志费用更低．16．一颗人造地球卫星在地球上空1600km 处沿着圆形的轨道运行，每2h 沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站点A 的正上空，地球半径约为6400km.(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离；(2)如果此时卫星跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？(参考数据：cos9°≈0.988，sin9°≈0.156)解(1)如图所示，设人造卫星在12：03时位于点C ，其中∠AOC ＝β，则β＝360°×3120＝9°，在△ACO 中，OA ＝6400km ，OC ＝6400＋1600＝8000(km)，β＝9°，由余弦定理得AC 2＝64002＋80002－2×6400×8000cos9°≈3.79×106，解得AC ≈1.95×103，因此在12：03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约1950km.(2)如图所示，设此时天线瞄准的方向与水平线的夹角为γ，则∠CAO ＝γ＋90°，由正弦定理得1950sin9°＝8000sin （γ＋90°），故sin(γ＋90°)＝80001950·sin9°≈0.64，即cos γ≈0.64，因此，天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64.17．近年来临夏州深入实施生态环境保护和流域综合治理，城区面貌焕然一新．某片水域，如图，OA ，OB 为直线型岸线，OA ＝200米，OB ＝400米，∠AOB ＝π3，该水域的水面边界是某圆的一段弧AB ︵，过弧AB ︵上一点P 按线段PA 和PB 修建垃圾过滤网，已知∠APB ＝3π4(1)求岸线上点A 与点B 之间的距离；(2)如果线段PA 上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约50元的经济效益，线段PB 上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约402元的经济效益，则这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为多少元？(参考数据：102≈10.1，170≈13.04)解(1)由题意，OA ＝200米，OB ＝400米，∠AOB ＝π3，故AB ＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB＝2002＋4002－2×200×400×12＝2003(米)．(2)设∠PAB ＝θ，θ则在△PAB 中，ABsin ∠APB ＝PA ＝PB sin θ，即2003sin 3π4＝PA ＝PB sin θ，故PA ＝2006sin PB ＝2006sin θ，设这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益为y 元，则y ＝50PA ＋402PB ＝100006160003sin θ＝100006θ－22sin 160003sin θ＝60003sin θ＋100003cos θ＝20003(3sin θ＋5cos θ)＝2000102sin(θ＋φ)，其中φ为辅助角，不妨取其为锐角，tan φ＝53<3，则φ当θ＋φ＝π2，即θ＝π2－φ时，y 取到最大值2000102，故经济总效益的最大值为2000102≈2000×10.1＝20200(元)，即这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为20200元．18.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 处沿直线步行到C 处，另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到C 处．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 处乘缆车到B 处，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到C 处．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 的长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理得AB ＝AC sin B ·sin C ＝12606365×45＝1040(m)，所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客的距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)＝＋6251369.因为0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，所以当t ＝3537时，甲、乙两游客距离最短，即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．。
正弦定理、余弦定理的应用举例练习题(基础、经典、好用)
正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题图3－8－91．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－9)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里图3－8－103．(2013·广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是() A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里图3－8－114．如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714图3－8－125．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()A．10 m B．30 m C．10 3 m D．10 6 m二、填空题6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．7．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．图3－8－138．如图3－8－13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________．三、解答题图3－8－149．(2013·佛山调研)如图3－8－14，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？图3－8－1510．如图3－8－15，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．图3－8－1611．(2013·惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－16所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】在△ABC中，由正弦定理BCsin 30°＝ABsin 45°，AB＝50 2.【答案】 A2．【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．【答案】 C3．【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin 45°×sin 30°＝10 2.【答案】 A4．【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝21 7.【答案】 A5．【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC＝206×2 2＝203(m)．在Rt△CBD中，CD＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)．【答案】 B二、填空题6．【解析】如图，依题意甲楼高度AB＝20tan 60°＝203米，又CM＝DB＝20米，∠CAM ＝60°.所以AM＝CM·1tan 60°＝2033米，所以乙楼的高CD＝203－2033＝4033米．【答案】403 37．【解析】如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16.【答案】168．【解析】设AB＝h，在△ABC中tan 60°＝h BC，∴BC＝33h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC ＝BCsin∠BDC，即30sin 135°＝33hsin 30°，解得h＝15 6.【答案】15 6三、解答题9．【解】在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝DB2＋DC2－BC22DB·DC＝－17，所以cos∠ADC＝17，sin∠ADC＝437，在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314，由正弦定理ADsin∠ACD ＝CD sin A，所以AD＝2132×5314＝15，故这时此车距离A城15千米．10．【解】 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线， 所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B ，D 间的距离约为0.33 km.11．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝356－320cos C ， ① 在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝392－392cos C ， ② 由①②得：356－320cos C ＝392－392cos C ， 整理可得，cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°， 又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ， 所以△ABD 是等边三角形， 故AB ＝14，即A 、B 两点的距离为14. (2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ， 因为AD ·BD ＞AC ·BC ， 所以S △ABD ＞S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．因此小李的设计符合要求．。
(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求ac的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-= 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。
正余弦定理知识点+经典题(有答案)
正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。
即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形： （1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角： （3）已知两边和它们所夹的角： （4）已知三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得 AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
高中数学-余弦定理、正弦定理应用举例跟踪测试卷及答案
课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例层级(一) “四基”落实练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°.又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m, 2 0 3 m C ．10(3－2)m, 20 3 mD.1532 m ，2033m 解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠ CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010(m)， AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22.又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为3m ，那么x 的值为_______．解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余 弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°， ∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝3或2 3. 答案：23或 37.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236) 解析：由题意可知，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ， 由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×－22≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.68.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示，AC ＝100 2 m ．在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°解得AM ＝100 3 m ．在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×23＝150(m)． 层级(二) 能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C解出c .故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x . 依据正弦定理可得2sin 60°＝xsin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°， 即α＝30°时，影子最长． 答案：30°3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米， AP ＝x .在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217s ．A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH . (声音的传播速度为340 m/s)解：(1)由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2BA ·AC cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 所以A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°， 所以CH ＝AC tan ∠CAH ＝140 3 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树 顶端点C 的仰角大小为75°. (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4. 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°， 解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. 所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m. 层级(三) 素养培优练1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A (如图2)距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ .测得PQ 的高度约为25米，并从P 点测得A 点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点、P 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，M ，Q 三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．59B ．60C ．65D ．68解析：选A 如图所示，由题意得∠AMB ＝75°，∠PMQ ＝30°，∠AMP ＝75°，∠APM ＝60°，∠PAM ＝45°，在△PMQ 中，PM ＝PQsin ∠PMQ＝50，在△PAM 中，由正弦定理得AM sin ∠APM ＝PMsin ∠PAM，AM sin 60°＝50sin 45°，所以AM ＝256， 在△ABM 中，AB ＝AM ·sin ∠AMB ＝256×sin 75° ＝256×6＋24， 所以AB ＝150＋5034≈150＋50×1.734＝236.54＝59.125，所以赛道造型最高点A 距离地面的高度约59.2．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理，可得S ＝900t 2＋400－2×30t ×20cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意可知(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 化简得，v 2＝400t2－600t 900＝400 1t －342＋675. 由于0<t ≤12，所以1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/时． (3)存在．由(2)知，v 2＝400t2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)， 于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即6002－1 600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<v <30， 所以v 的取值范围是(153，30)．。
高三数学正弦定理与余弦定理的应用-四边形问题
正弦定理与余弦定理的应用一、解答题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且:2a b =2sin B A +=． (1)求角B 的大小；(2)若2a =，求△ABC 的面积．2．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22()a b c ab -=-. (1)求C ；(2)若5b =，cos 1c A =，求ABC 的面积.3．在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ．已知cos23cos()1=++B A C ． (1)求B ；(2)若ABC 的面积10==S a ，求sin sin A C 的值．4．在锐角ABC 中，60B =︒，3AB =，AC = (1)求ABC 的面积；(2)延长边BC 到D ，使得4BD BC =，求sin ADB ∠．5．如图，在平面四边形ABCD 中，已知2,,623A B AB ππ∠=∠==，点E 在AB 上且AE =2BE ，2,73CED EC π∠==． (1)求sin BCE ∠的值； (2)求CED 的周长．6．如图，在ABC 中，BAC B ACB ∠∠∠､､对边分别为a b c ､､，且cos 3sin c c B b C +=. (1)求角B 的大小；(2)已知27,10b a c =+=，若D 为ABC 外接圆劣弧AC 上一点，且2AD DC =，求四边形ABCD 的面积.7．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，已知2223c a b bc =-+，cos cos 3a BA b=-． (1)求角A 及cb的值；(2)若D 为AB 边上一点，且CD AC ⊥，2CD =，求BCD △的面积．8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2223sin sin sin sin sin sin 3A B C A B C ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭. (1)求C ；(2)若213c =，3a b =，点D 在边AB 上，且ACD BCD ∠=∠，求CD 的长.9．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD 休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道,2AC D B ∠∠=，且31,3,cos 3AD CD B ===. (1)求氢能源环保电动步道AC 的长；(2)若6=BC ，求花卉种植区域总面积（电动步道AC 的面积忽略不计）.10．在四边形ABCD 中，已知112BC CD AB ===，1AB BC -⋅=，23BCD π∠=．(1)求四边形ABCD 的面积； (2)求sin D 的值．11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =+． (1)求角B 的大小；(2)若23b =，D 为AC 边上的一点，1BD =，且______，求ABC 的面积．△BD 是B 的平分线；△D 为线段AC 的中点．（从△，△两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．12．在△()3sin 3cos b a C C =+；△sin sin2B Ca C c +=；△1cos 2a C cb +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知______. (1)求角A ；(2)若1b =，3c =，求BC 边上的中线AD 的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.参考答案：1．(1)4B π=；(2)12ABCS =+或1 【解析】(1)由正弦定理知：sin sin a bA B=，则sin sin a A b B ==，所以2sin 4sin B A B ==sin B 0B π>>，可得4B π=或34B π=， 又0A B π>>>，所以4B π=.(2)由题设，2a =，则b =4B π=，所以22221cos 242a cbc B ac c +-+===，整理得210c -+=，解得1c =，满足题设.由1sin 22ABCS ac B ==，所以，当1c =时1ABCS =；当1c =时1ABCS =； 2．(1)3π(2)【解析】(1)由22()a b c ab -=-得2222a b ab c ab +-=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos .22a b c C ab +-==因为(0,)c π∈，所以.3C π= (2)由正弦定理得2sinsin()33cbA =-ππ=cos sin A c A +=cos 1c A =，sin c A ∴=11sin 522ABCSbc A ==⨯⨯= 故△ABC的面积为 3．(1)3B π=(2)528【解析】(1)因为cos23cos()1=++B A C ，由二倍角公式及诱导公式化简可得：22cos 3cos 20B B +-= 解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍），因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)由1sin 2S ac B ==10a =，3B π=，代入解得：2c =.由余弦定理2222cos 84b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得：225sin sin sin 28ac A C B b ==. 4．sin ADB ∠=【解析】(1)设BC x =．由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， 整理得2320x x -+=，解得1x =或2x =．当1x =时，222BC AC AB +<，此时ABC 是钝角三角形，不符合条件．当2x =时，符合条件，1sin 2ABC S AB BC B =⋅=△． (2)根据题意48BD BC ==，由余弦定理得2222cos 49AD AB BD AB BD B =+-⋅=，所以7AD =． 由正弦定理知sin sin AD AB B ADB =∠3sin ADB =∠，解得sin ADB ∠=． 5．(2)7+【解析】(1)由题知4AE =，2BE =，在BCE 中，由正弦定理得sin sin BE CEBCE B=∠，因为2π3B ∠=，2BE =，CE =sin sin 7BE B BCE CE ⋅∠===．(2)因为23B CED π∠=∠=,所以,33BCE BEC BEC DEA ππ∠+∠=∠+∠=，所以DEA BCE ∠=∠，所以cos DEA ∠==== 在AED 中，因为2A π∠=，4AE =，所以cos AE ED DEA ===∠在CED中，由余弦定理得7CD ， 所以CED的周长为77CE DE CD ++==+ 6．(1)60B =.(2)【解析】(1)解：由正弦定理及已知，得sin sin cos sin C C B B C∴+=，sin 0C ⋅≠，cos 1B B -=，12sin cos 12B ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，()1sin 302B ∴-=， 又0180B <<，所以3030B -=，即60B =； (2)解：由A ､B ､C ､D 四点共圆得180,120c c B D D +==，设,2AD x DC x ==，在三角形ADC 中，由余弦定理得2222(2)4cos120,2,x x x x =+-∴= 所以1sin 2ACD SAD DC D =⨯=11sin sin6022ABCS AB BC B ac =⨯=， 22222(7)2cos60,28()3a c ac a c ac =+-=+-，24ac ∴=124sin60632ABCS∴=⨯⨯=ABCDS =7．(1)6π，3(2)9-【解析】(1)解：由已知得2223cos 22c b a A bc +-==， 因0A π<<，所以6A π=， 因为cos cos 3a B A b=-，由正弦定理得sin cos cos 3sin A BA B =-()3sin sin cos cos sin sin sin B A B A B A B C =+=+=，所以3c b =，即3cb= (2)解：由（1）得6A π=，在ACD △中，由正弦定理得，sin sin sin AD CD ACACD A ADC==∠∠，所以2sinsin 21241sin sin 62CD ACD AD A ππ⨯∠⨯==== ， 32sin2sin 32231sin sin 62CD ADC AC A ππ⨯⨯∠====，所以23b =， 又3c b =，所以634BD c AD =-=-，所以()113sin 2634923222BCD S CD BD BDC =⨯∠=⨯⨯-⨯=-△.8．(1)23π(2)32【解析】(1)由已知借助正弦定理可得：222222323sin sin sin sin sin sin sin 33A B C A B C a b c ab C ⎛⎫+=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭， 即232cos sin 3ab C ab C =-，即tan 3C =-，(0,π)C ∈，故23C π=； (2)由余弦定理知221952232b b b b ⎛⎫+-=⋅⋅- ⎪⎝⎭，△2b =，由CBD CAD ABC S S S +=△△△知，1112sin ?3sin 3sin 232323b CD b CD b b πππ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，即3342CD b ==.9．(1)23AC =(2)42 【解析】(1)解：因为3cos 3B =，2D B ∠=∠，所以21cos cos 22cos 13D B B ==-=-，因为1AD =，3CD =，所以由余弦定理得22212cos 196123AC AD DC AD DC D ⎛⎫=+-⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，因为0AC >，所以23AC =；(2)解：因为6=BC ，所以在ABC 中，由余弦定理得26123cos 326AB B AB +-==⨯，解得32AB =或2-（舍去），因为3cos 3B =，所以6sin 3B =，所以116sin 63232223ABCS AB BC B =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，因为1cos 3D =-，所以sin D ==11sin 1322ADCSAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯=所以花卉种植区域总面积为=10． 【解析】(1)1BC =，2AB =，21cos 1AB BC ABC ∴⋅=-⨯⨯∠=-，可得1cos 2ABC ∠=， (0,)ABC π∠∈，则3ABC π∠=，2222cos 3AC AB BC AB BC ABC ∴=+-⋅⋅∠=，AC ∴222BC AC AB ∴+=，故2ACB π∠=，又23BCD π∠=，6ACD π∴∠=，故1sin 2ACD ∠=，△四边形ABCD 的面积11sin 22ABC ACD S S S AC BC AC CD ACD =+=⋅+⋅⋅∠==△△(2)在△ACD 中，2222cos 1AD AC DC AC DC ACD =+-⋅⋅∠=，1AD ∴=，sin sin AC D ACD AD =⋅∠11．(1)2π3B =【解析】(1)由正弦定理知：2sin cos 2sin sin B C A C =+又：()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+代入上式可得：2cos sin sin 0B C C +=()0,πC ∈，则sin 0C >故有：1cos 2B =-又()0,πB ∈，则2π3B =故B 的大小为：2π3(2)若选△：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCD S S S =+△△△ 则有：12π1π1πsin1sin 1sin 232323ac c a =⨯⨯+⨯⨯，即ac a c =+ 在ABC 中，由余弦定理可得：2222π2cos3b ac ac =+-，又b =2212a c ac ++= 联立2212ac a c a c ac =+⎧⎨++=⎩可得：()--=2120ac ac 解得：4ac =（3ac =-舍去）故12π1sin 4232ABC S ac ==⨯=△若选△：可得：12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222211244BD BA BC BA BA BC BC →→→→→→→⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212π12cos 43c ac a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，可得：224a c ac +-= 在ABC 中，由余弦定理可得：2222π2cos3b ac ac =+-，即2212a c ac ++=联立2222412a c ac a c ac ⎧+-=⎨++=⎩解得：4ac =故12π1sin 4232ABC S ac ==⨯=△12．(1)任选一个，答案均为3π．【解析】(1)选()sin a C C =sin (sin )B A C C =+，)sin sin cos A C A c A C +=cos cos sin )sin sin cos A C A C A C A C +=，sin sin sin A C A C =，三角形中sin 0C ≠，所以tan A =(0,)A π∈，所以3A π=；选△sin sin 2B C a C c +=由正弦定理得sin sin sin sin sin cos 22B C AA C C C +==，三角形中sin 0C ≠， 所以2sincos cos 222A A A =，又三角形中cos 02A ≠，所以1sin 22A =，(0,)A π∈，所以26A π=，即3A π=；选△1cos 2a C c b +=，由余弦定理得222122a b c c b b +-+=，整理得222b c a bc +-=， 所以2221cos 22b c a A bc +-==，而(0,)A π∈，3A π=；(2)由（1）2222cos 19213cos73a b c bc A π=+-=+-⨯⨯=，a =由余弦定理得：2222cos b AD CD AD CD CDA =+-⋅∠2222cos c AD BD AD BD BDA =+-⋅∠，又BD CD =，cos cos CDA BDA ∠=-∠，所以22222221222b c AD BD CD AD a +=++=+，所以21113(197)224AD =+-⨯=，AD =。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =o ，30C =o ，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C=Q ， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===oo∴ 180()105B A C =-+=o o ， 又sin sin b c B C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯====⨯=o o o 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆===o 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b c B C=， ∴sin 1sin 23c B C b ===o ， （方法一）∵0180C <<o o ， ∴30C =o 或150C =o ，当150C =o 时，210180B C +=>o o ，（舍去）；当30C =o 时，90A =o ，∴222a b c =+=．（方法二）∵b c >，60B =o ， ∴C B <，∴60C <o 即C 为锐角， ∴30C =o ，90A =o ∴222a b c =+=．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
正弦定理与余弦定理的应用练习题
正弦定理与余弦定理的应用练习题在数学中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
它们可以帮助我们计算三角形的边长或角度，解决实际生活中的测量和定位问题。
本文将通过一些应用练习题来展示正弦定理与余弦定理的实际运用。
练习题1：已知一个三角形的两边和夹角，计算第三边的长度。
假设三角形ABC中，已知边AB的长度为3，边AC的长度为4，夹角BAC的度数为60°。
我们需要计算边BC的长度。
解题思路：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：sinA / a = sinB / b = sinC / c其中，A、B、C分别代表三角形ABC的角度，a、b、c分别代表三角形的边长。
根据已知信息：A = 60°，a = 4，b = 3。
代入公式，我们可以求得：sin60° / 4 = sinB / 3。
通过单位圆表格或计算器，我们可以得到sin60°的值为√3/2。
将该值代入公式，我们可以求得：√3 / 2 / 4 = sinB / 3。
通过简单的变形，我们可以得到：sinB = （3 * √3）/ 8。
通过计算器计算sinB的反函数（即B的值），我们得到B约等于30.96°。
因为三角形的内角和为180°，所以C = 180° - 60° - 30.96° ≈ 89.04°。
现在我们已经得到了三个角的度数，可以使用余弦定理来计算边BC的长度。
根据余弦定理的公式：c² = a² + b² - 2ab * cosC代入已知信息，我们可以得到：BC² = 3² + 4² - 2 * 3 * 4 * cos89.04°。
通过计算器计算cos89.04°的值，我们得到其约等于0.0175。
代入计算式，我们可以得到：BC² ≈ 9 + 16 - 24 * 0.0175。
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )km.( )A ．a B.2a C ．2aD.3a[答案] D[解析] 依题意得∠ACB ＝120°.由余弦定理cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2 ∴AB ＝3a .故选D.2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC 中，“sin A >32”是“∠A >π3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 在△ABC 中，若sin A >32，则∠A >π3，反之∠A >π3时，不一定有sin A >32，如A ＝5π6时，sin A ＝sin 5π6＝sin π6＝12. (理)在△ABC 中，角A 、B 所对的边长为a 、b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝b 时，A ＝B ， ∴a cos A ＝b cos B ； 当a cos A ＝b cos B 时， 由正弦定理得 sin A ·cos A ＝sin B ·cos B ，∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.则a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以“a ＝b ”⇒“a cos A ＝b cos B ”， “a cos A ＝b cos B ”⇒/ “a ＝b ”，故选A.3．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，观测得∠ABC ＝120°，则AC 两地的距离为( )A ．10km B.3kmC ．105kmD ．107km[答案] D[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700， ∴AC ＝107km.∴选D.4．(文)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形[答案] B[解析] sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴a 2＋b 2＝c 2，故选B.(理)(2010·河北邯郸)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A.54B. 2 C ．1D.32[答案] D[解析] ∵sin 2A ＋cos 2B ＝1，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∵0<A ，B <π，∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B . 故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos2A＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2(cos A －12)2＋32，∵0<A <π2，∴0<cos A <1，∴cos A ＝12时，取得最大值32.5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，那么角C 的大小为( )A.π3 B.π2 C.π4D.2π3[答案] C[解析] 由正弦定理得，a 2－c 2＝2ab －b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∵0<C <π，∴C ＝π4.(理)已知a 、b 、c 是△ABC 三内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c <2aB ．b ＋c ≤2aC ．b ＋c ＝2aD ．b ＋c ≥2a[答案] B[解析] ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos2A ＝－12，又A 为锐角，∴A ＝60°，∴B ＋C ＝120°， ∴b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C2sin A＝2sinB ＋C 2cos B －C23＝cos B －C 2≤1，∴b ＋c ≤2a .6．(2010·北京顺义一中月考)在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] ∵cos A ＝513，∴sin A ＝1213>35＝sin B ，∴A >B ，∵sin B ＝35，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.[点评] 在△ABC 中，有sin A >sin B ⇔A >B .7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257[答案] A[解析] 如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．(文)(2010·青岛市质检)在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a 、b 、c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 6[答案] D[解析] 由条件2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ＝a 2＋c 2＋12，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴12＝a 2＋c 2－b212，∴a 2＋c 2＝6＋b 2， ∴4b 2＝18＋b 2，∴b ＝ 6.(理)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23[答案] B[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又∵c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.[点评] 在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题，复习时要注意强化．9．如图所示的曲线是以锐角△ABC 的顶点B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线，若△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝6，c sin A a ＝32，则此双曲线的离心率为( )A.3＋72B.3－72C ．3－7D ．3＋7[答案] D [解析]c sin A a ＝32⇒a sin A ＝c 32＝c sin C⇒sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3， 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×12＝28，∴c ＝27∴e ＝a b －c ＝66－27＝3＋7.10．(文)(2010·山东济南)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12B.3＋12 C ．2D.5＋12[答案] D[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2－4ac ＝4c 2－4ac ，∴a 2＋ac －c 2＝0，∴1＋e －e 2＝0， ∵e >1，∴e ＝5＋12. (理)(2010·安徽安庆联考)如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案] A[解析] ∵AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ， ∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝43＝AHCH，又∵AB →·(CA →＋CB →)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AHBH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2C ＝AH ＝2x,2a ＝AB－BH ＝(5－1)x ，∴e ＝c a ＝25－1＝5＋12，故选A.二、填空题11．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．[答案] 60(3－1)[解析] 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD ＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)． 12．(2010·福建三明一中)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．[答案]13[解析] 如图可知，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴AC ＝5，∠BAC ＝60°，从而∠DAC ＝45°， 又AD ＝32，∴由余弦定理得， CD ＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos45°＝13.13．(文)(2010·山东日照模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积等于3，则a ＋b ＝________.[答案] 4[解析] 由条件知，12ab sin π3＝3，∴ab ＝4，∵cos π3＝a 2＋b 2－42ab，∴a 2＋b 2＝8，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝8＋8＝16， ∴a ＋b ＝4.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝10，则bc 的最大值是______．[答案] 100＋50 2[解析] 由题意得，12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理得，sin A ＝cos A ，∴∠A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，∴bc ≤1002－2＝100＋50 2.14．(文)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．[答案] 10[解析] 设该船的速度为v 海里/小时，如图由题意知，AD ＝v 2，AC ＝32v ，∵tan75°＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝2＋3，又tan75°＝ABAD，∴2＋3＝10＋3v2v 2，解得v ＝10. (理)(2010·合肥质检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．[答案] m cos αcos β>n sin(α－β)[解析] ∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ，∴∠AMB ＝α－β，由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)>n ，所以α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．三、解答题15．(2010·河北唐山)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且a cos B ＋b cos A ＝1.(1)求c ；(2)若tan(A ＋B )＝－3，求CA →·CB →的最大值． [解析] (1)由a cos B ＋b cos A ＝1及正弦定理得， c sin A sin C ·cos B ＋c sin Bsin C ·cos A ＝1， ∴c sin(A ＋B )＝sin C ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0， ∴c ＝1.(2)∵tan(A ＋B )＝－3，0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π3.由余弦定理得，12＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ＝2CA →·CB →，∴CA →·CB →≤12，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”号． 所以，CA →·CB →的最大值是12.16．(文)(2010·广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10km ，AB ＝14km ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 的距离(精确到0.1km)．参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236.[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ， 则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ， 即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°， 整理得：x 2－10x －96＝0， 解之得，x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， 由正弦定理得， BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin135°·sin30°＝82≈11.3(km)答：两景点B 与C 的距离约为11.3km.(理)(2010·湖南十校联考)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R 的圆面．该圆的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2)因地理条件的限制，边界AD 、CD 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整．为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出其最大值．[解析] (1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理：AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC ＝42＋22－2×2×4cos ∠ADC .∴cos ∠ABC ＝12.∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝60°.则S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋12×2×4×sin120°＝83(万平方米)． 在△ABC 中，由余弦定理： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝16＋36－2×4×6×12＝28，故AC ＝27.由正弦定理得，2R ＝AC sin ∠ABC ＝2732＝4213，∴R ＝2213(万米)．(2)S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ， S △ADC ＝12AD ·CD ·sin120°＝2 3.设AP ＝x ，CP ＝y ， 则S △APC ＝12xy ·sin60°＝34xy .又由余弦定理：AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝28.∴x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy .∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号．∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93，即当x ＝y 时面积最大，其最大面积为93万平方米．17．(2010·上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到点A 的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值．(2)求P 到海防警戒线AC 的距离(结果精确到0.01千米)．[解析] (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x同理，在△P AC 中，AC ＝50cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x， ∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x，解之得，x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531得， sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠APD ＝31·42131＝421≈18.33千米， 答：静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为18.33千米．。
正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
课时作业3 应用举例时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．103海里B ．106海里C ．52海里D ．56海里【答案】 D【解析】 如图，∠A ＝60°，∠B ＝75°， 则∠C ＝45°， 由正弦定理得：BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin60°sin45°＝5 6.2．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m【答案】 A【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝ABsi n45°，解得AB ＝502m ，选A.3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m.【答案】 521【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，设电视塔高度为h m，则OA＝33h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝(33h)2＋h2－2×33h×h×(－32)解得h＝521.4．如图所示，海中小岛A周围38海里有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．【解析】在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°由正弦定理BCsin A＝ACsin B，即：30sin15°＝ACsin30°∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)，∴A到BC的距离为d＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【答案】 B【解析】 如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°，∴∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.2．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要( )A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元【答案】 C【解析】S△＝12×20×30×sin150°＝12×20×30×12＝150(m2)，∴购买这种草皮需要150a元，故选C.3．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A．5 B．10C．10 2 D．10 3【答案】 C【解析】如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°.在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB ′中，∠B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m. 由正弦定理，得BB ′＝AB sin45°sin30°＝10×2212＝102(m)．∴坡底延长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．一船以226km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为( )A ．66 kmB ．132 kmC ．96 kmD ．33 km【答案】 A【解析】 如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°， AB ＝226×32＝336，由正弦定理336sin120°＝SBsin45°，∴SB ＝66(km)．5．据新华社报道，强台风“珍珠”在饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米B ．106米 C.1063米D ．202米【答案】 A【解析】 设树干底部为O ，折断点为P ，树尖着地处为M ，如图，△OPM 中，∠P ＝180°－∠M －∠O ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得PO sin M ＝MOsin P ，∴PO ＝MO sin M sin P ＝20×sin45°sin60°＝2063.6．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507min B.157h C ．21.5min D ．2.15h【答案】 A 【解析】如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－1 2 )＝28x2－20x＋100.当x＝－b2a＝514时，s2最小，此时x＝514h＝1507min.7．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为( ) A．215km B．6kmC．221km D．8km【答案】 B【解析】如图，∵|OA→|＝2，|OB→|＝4，∠AOB＝120°，∴∠A＝60°，|OC→|＝22＋42－2×2×4cos60°＝2 3.经过3h，该船的航程为23×3＝6(km)．8．如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( )A．75° B．60°C．50° D．45°【答案】 C【解析】 如图，作CE ⊥平面ABD 于点E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE ＝40°，延长DE 交直线AB 于点F ，连接CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大．在△CFD 中，CF sin40°＝DF sin 140°－α. ∴DF ＝CF ·sin 140°－αsin40°.∵CF 为定值，∴当α＝50°时，DF 最大．二、填空题(每小题10分，共20分)9．如图在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，又测得山顶P 的仰角为γ，则山高为________．【答案】 a sin α·sin γ－βsin γ－αm 【解析】 在△PAB 中，已知∠BAP ＝α－β，∠APB ＝γ－α，AB ＝a ，由正弦定理可得PA ＝a sin γ－βsin γ－α， 在Rt △PAQ 中，PQ ＝PA sin α＝a sin αsin γ－βsin γ－α. 10．一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm 后，再向右转105°爬行20cm ，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x ＝________.【答案】 2036【解析】如图△ABC中，∠A＝45°＋15°＝60°，∠B＝45°＋30°＝75°，∠ACB＝45°，由正弦定理知xsin∠ACB ＝20sin A，∴x＝2036.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D 是点C到水平面的垂足，求山高CD.【分析】 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．【解析】 在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 (m)．答：山高CD 为2 m.12．如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O 点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．【分析】根据题意画出示意图如图所示．在△MON中，利用余弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式，然后利用二次函数求最值．【解析】 如图所示，设快艇从M 处以v 千米/小时的速度出发，沿MN 方向航行，t 小时后与汽车相遇．在△MON 中，MO ＝500，ON ＝100t ，MN ＝vt ，设∠MON ＝α，由题意得sin α＝35，则cos α＝45. 由余弦定理，得MN 2＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON ·cos α，即v 2t 2＝5002＋1002t 2－2×500×100t ×45. v 2＝5002×1t 2－2×500×80×1t ＋1002＝(500×1t－80)2＋3 600. 当1t ＝80500，即t ＝254时，v 2min ＝3 600. 即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶，此时MN ＝60×254＝375，MQ 是M 到ON 的距离，且MQ ＝300. 设∠MNO ＝β，则sin β＝300375＝45.所以可得α＋β＝90°， 即MN 与OM 所成的角为90°.。
高考数学正弦定理和余弦定理及其应用
第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2016²北京大兴区模拟)在△ABC中,a=错误！未找到引用源。
,b=错误！未找到引用源。
,B=错误！未找到引用源。
,则A等于( B ) (A)错误！未找到引用源。
(B)错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
解析:由正弦定理得sin A=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,又b>a,所以A=错误！未找到引用源。
.故选B.2.若错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,则△ABC的形状为( B )(A)等边三角形(B)等腰直角三角形(C)有一个角为30°的直角三角形(D)有一个角为30°的等腰三角形解析:由正弦定理和已知错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,得sin B=cos B,sin C=cos C,所以B=45°,C=45°.故选B.3.(2016²厦门一中期中)如果D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于( D )(A)10 m (B)5错误！未找到引用源。
m(C)5(错误！未找到引用源。
-1)m (D)5(错误！未找到引用源。
+1)m 解析:错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=10,解得AB=5(错误！未找到引用源。
+1).故选D.4.(2016²黑龙江哈尔滨模拟)在△ABC中,AB=错误！未找到引用源。
,AC=1,B=30°,△ABC的面积为错误！未找到引用源。
,则C等于( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°解析:因为S△ABC=错误！未找到引用源。
正、余弦定理在实际中的应用应用题
正、余弦定理在实际中的应用应用题正弦定理和余弦定理是三角形中的重要定理，它们在实际问题中有着广泛的应用。
下面将通过几个例子来说明它们在实际问题中的应用。
例1：一座山的高度是100米，从山顶到山脚的水平距离是500米。
现在我们要在山脚处建造一座高塔，使得从山顶到塔顶的视角恰好等于直角的一半（即45度）。
求塔的高度。
h/sin45° = 500/sin90°因为 sin45° = √2/2， sin90° = 1，例2：一座大桥的桥面宽度为 10米，桥下水流的深度为 2米。
为了使桥下水的流速达到每秒 5米，现要在桥边修建一条人行道，要求人行道的宽度为 3米。
问人行道的长度应该是多少？解：设人行道的长度为 L米。
由余弦定理得：L2 = （10 - 3）2 + （2 + 5）2 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 9 + 67 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 76 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （17 ×√3）×（√3/2）× 2答：人行道的长度为 25米。
本节课是介绍余弦定理和正弦定理的内容。
这两个定理是三角学的基本定理，对于理解三角形的属性和解决三角形的问题有着重要的意义。
余弦定理和正弦定理的发现和证明，也体现了数学中普遍存在的一种方法——归纳法。
通过本节课的学习，学生将更好地理解三角形的属性和解三角形的方法，同时也能提高他们的数学思维能力和推理能力。
正弦、余弦定理及其应用(附答案)
书航教育正弦、余弦定理及其应用正弦、余弦定理及其应用一、选择题（共12小题）1、线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小．（）A、B、1C、D、22、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题：①•＞0，则△ABC为钝角三角形．②若b=csinB，则C=45°．③若a2=b2+c2﹣bc，则A=60°．④若已知E为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足，设，则λ=2，其中正确命题的个数是（）A、1B、2C、3D、43、△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的外接圆半径为（）A、B、C、2D、4、在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A、B、C、（0，2）D、5、△ABC，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积为：（）A、B、C、D、6、在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A、x＞2B、x＜2C、D、7、已知△ABC的三个角分别为A，B，C，满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则sinA的值为（）A、B、C、D、8、已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值为（）A、2B、C、2D、49、在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A、B、C、D、10、下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A、①②④B、②④C、②③D、③④11、北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A、（米/秒）B、（米/秒）C、（米/秒）D、（米/秒）12、有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为（）A、300mB、400m二、填空题（共12小题）13、在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f（x）=（sinA﹣sinB）•x在R上是增函数；②若a2﹣b2=（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值为；④若cosA=cosB，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中正确命题的序号是_________．14、设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则的值等于_________．15、在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．16、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，向量=，若，且，则角A，B的大小分别是_________．17、如图，在海岸上A、C两地分别测得小岛B在A地的北偏西α方向，在C地的北偏西﹣α方向，且，则C与B的距离是_________km．18、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：6，则=_________．19、已知△ABC的面积为S，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若4S=a2+b2﹣c2，那么C=_________．20、在△ABC中，已知a2+b2﹣ab﹣c2=0，且，则A=21、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若A=60°，b、c分别是方程x2﹣7x+11=0的两个根，则a等于_________．22、如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．23、有一广告气球，直径为6 m，如图所示，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角θ=2°，若θ的弧度数很小时，可取si nθ=θ，由此可估计该气球的高BC约为_________．24、将边长为1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最大值是_________．三、解答题（共6小题）25、（2008•湖南）已知△ABC的外接圆的半径为，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又向量，，且，（I）求角C；（II）求三角形ABC的面积S的最大值．26、（2006•江西）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．27、（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．28、（2009•山东）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．29、（2007•浙江）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sin B=sin C（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．30、（2005•湖北）在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值．答案与评分标准一、选择题（共12小题）1、线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小．（）A、B、1C、D、2考点：函数模型的选择与应用；余弦定理。
【高中数学】专题强化练2 余弦定理、正弦定理的综合应用
专题强化练2 余弦定理、正弦定理的综合应用一、选择题 1.()若钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5 B .√5 C.2 D .1 2.()若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积S=a 2+b 2-c 24=a 23sinA,则sin B=( ) A.√63B.√22C.√32D.2√233.()在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且BC 边上的高为√36a,则b c +cb的最大值为( )A.8 B .6 C .3√2 D.44.(2020广西大学附属中学高三月考,)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的面积为S,若sin(A+C)=2S b 2-c2,则tan C+12tan(B -C)的最小值为( ) A.√2 B.2 C .1 D .2√2 二、填空题5.(2020山东泰安高三上期末,)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cosA a+cosB b=sinC c,b 2+c 2-a 2=65bc,则tan B= .6.(2020北京清华大学附属中学高三下统练,)在△ABC 中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b=4,给出下列说法: ①若c=√3,则角C 有两个解;②若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,则AC 边上的高为3√3;③a+c 不可能等于9.其中正确说法的序号是 . 7.()在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6,则△ABC 面积的最大值为 . 8.(2020安徽合肥高三模拟,)在锐角△ABC 中,BC=2,sin B+sin C=2sinA,则中线AD 的取值范围是 . 三、解答题9.(2020安徽黄山高一期末,)几千年的沧桑沉淀,凝练了黄山的美,清幽秀丽的自然风光,文化底蕴厚重的旅游环境.自明清以来,文人雅士,群贤毕至,旅人游子,纷至沓来,使黄山成为江南的旅游热点.如图,游客从黄山风景区的景点A 处下山至C 处有两处路径,一种是从A 沿直线步行到C,另一种是先从A 乘景区观光车到B,然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50米/分钟,在甲出发2分钟后,乙从A 乘观光车到B,在B 处停留20分钟后,再从B 匀速步行到C.假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟,山路AC 长为2 340米,经测量,cos A=2425,cos C=35.(1)求观光车路线AB 的长;(2)乙出发多少分钟后,乙在观光车上与甲的距离最短?10.(2020四川遂宁高一期末,)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C.(1)求A;(2)从下列条件:①a=√3;②S△ABC=√3中任选一个作为已知条件,求△ABC周长的取值范围.答案全解全析一、选择题1.B 由题意得,12AB ·BC ·sin B=12×1×√2sin B=12,∴sin B=√22,∴B=π4或B=3π4.当B=3π4时,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BCcos B=1+2+2=5,∴AC=√5(负值舍去),此时△ABC 为钝角三角形,符合题意;当B=π4时,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1(负值舍去),此时AB 2+AC 2=BC 2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故AC=√5. 2.D∵S=a 2+b 2-c 24,∴12absin C=2abcosC4,即sin C=cos C,∴C=π4.∵S=a 23sinA ,∴12bcsin A=a 23sinA ,由正弦定理得12sin Bsin Csin A=sin 2A3sinA ,即sin Bsin C=23,∴sin B=2√23.故选D.3.D ∵BC 边上的高为√36a, ∴S △ABC =12a×√36a=12bcsin A,∴a 2=2√3bcsin A,由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 可得2√3bcsin A=b 2+c 2-2bccos A,整理得,b 2+c 2bc =2√3sin A+2cos A,即b c +cb =4sin (A+π6).∵A ∈(0,π),∴A+π6∈(π6,76π), ∴当A+π6=π2,即A=π3时, 4sin (A +π6)有最大值,为4. ∴b c +cb 的最大值为4. 4.A 因为sin(A+C)=2S b 2-c2,即sin B=2S b 2-c 2,所以sin B=acsinB b 2-c 2,因为sin B ≠0,所以b 2=c 2+ac,由余弦定理得,c 2+ac=a 2+c 2-2accos B,即a-2ccos B=c, 再由正弦定理得sin A-2sin Ccos B=sin C,因为sin A-2sin Ccos B=sin(B+C)-2sin C ·cos B=sin(B-C),所以sin(B-C)=sin C, 所以B-C=C 或B-C+C=π,所以B=2C 或B=π(舍去).因为△ABC 是锐角三角形,所以{0<C <π2,0<2C <π2,0<π-3C <π2,得π6<C<π4,所以tan C ∈(√33,1),所以tan C+12tan(B -C)=tan C+12tanC ≥√2, 当且仅当tan C=√22时取等号.故选A. 二、填空题 5.答案 4解析 ∵b 2+c 2-a 2=65bc,∴由余弦定理得b 2+c 2-a 2=2bccos A=65bc, ∴cos A=35,sin A=√1−cos 2A =45. ∵cosA a+cosB b =sinCc , ∴由正弦定理得cosA sinA +cosB sinB =sinCsinC , ∴34+1tanB =1,∴tan B=4. 6.答案 ②③解析 对于①,当c=√3时,c<b,∴C<B,角C 只有1个解,①错误.对于②,∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,∴ac ·cos B=ac ·cos 60°=12ac=12,∴ac=24. ∴12ac ·sin B=12×24×√32=6√3. 设AC 边上的高为h,则12bh=12×4h=6√3,解得h=3√3,②正确.对于③,b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+c 2-2ac ·cos 60°=a 2+c 2-ac=16,∴a 2+c 2=16+ac,∵a 2+c 2≥2ac(当且仅当a=c 时取等号), ∴16+ac ≥2ac,∴ac ≤16,∴(a+c)2=a 2+c 2+2ac=3ac+16≤3×16+16=64, ∴a+c ≤8<9,即a+c 不可能等于9,③正确. 综上,正确说法的序号是②③. 7.答案3√334解析 ∵|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,即c=3. ∵CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6,∴abcos C=6,∴cos C=6ab. 由余弦定理得9=a 2+b 2-2abcos C=a 2+b 2-12≥2ab-12,∴ab ≤212(当且仅当a=b 时取等号).∴S △ABC =12absin C=12ab √1−cos 2C =12ab √1−36a 2b2=12√a 2b 2(1−36a 2b 2)=12√a 2b 2-36≤12√(212)2-36=3√334.故△ABC 面积的最大值为3√334. 8.答案 [√3,√132)解析 设AB=c,AC=b,BC=a=2,根据正弦定理及sin B+sin C=2sin A,得b+c=2a=4, ∴c=4-b.∵△ABC 为锐角三角形,∴{b 2+c 2=b 2+(4−b)2>4,c 2+4=(4−b)2+4>b 2,b 2+4>c 2=(4−b)2,解得32<b<52.故bc=b(4-b)=-b 2+4b (32<b <52),结合二次函数的性质,得154<bc ≤4.∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·cos ∠BAC =12√b 2+c 2+2bc ·b 2+c 2-42bc=12√2b 2+2c 2-4=12√28−4bc , ∵154<bc ≤4,∴√3≤12√28−4bc <√132,即AD 的取值范围为[√3,√132).三、解答题9.解析 (1)在△ABC 中,因为cos A=2425,cos C=35,所以sin A=725,sin C=45, 从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=117125. 由正弦定理得ABsinC =ACsinB ,所以AB=AC sinB ×sin C=2 340117125×45=2 000(m), 所以观光车路线AB 的长为2 000 m.(2)假设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客的距离为d m,此时甲行走了(100+50t)m,乙距离A 处250t m,由余弦定理得d 2=(100+50t)2+(250t)2-2×250t×(100+50t)×2425=1 000(41t 2-38t+10)=1000[41(t -1941)2+4941].因为0≤t ≤2 000250,即0≤t ≤8,所以当t=1941 min 时,甲、乙两游客的距离最短. 10.解析 (1)因为(b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C, 所以由正弦定理得(b-a)(b+a)=(b-c)c, 即b 2+c 2-a 2=bc, 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =12, 又A ∈(0,π), 所以A=π3. (2)选择①a=√3.由正弦定理得bsinB =csinC =asinA =2,所以△ABC 的周长l=2sin B+2sin C+√3=2sin B+2sin (2π3-B)+√3=3sin B+√3cos B+√3=2√3sin (B +π6)+√3, 因为B ∈(0,2π3), 所以π6<B+π6<5π6,12<sin (B +π6)≤1,所以2√3<2√3sin (B +π6)+√3≤3√3, 即△ABC 周长的取值范围为(2√3,3√3]. 选择②S △ABC =√3.由S △ABC =12bcsin A=√34bc=√3,得bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,所以△ABC的周长l=a+b+c=√(b+c)2-12+b+c,因为b+c≥2√bc=4,当且仅当b=c=2时,等号成立,所以l=a+b+c≥√42-12+4=6,即△ABC周长的取值范围为[6,+∞).高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
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= 。
故选D。
3。(杭州模拟)在△ABC中，cos = ，则△ABC一定是( A )
(A)等腰三角形(B)直角三角形
(C)等腰直角三角形(D)无法确定
解析：由cos = 得
2cos2 -1=cos A=cos B，
所以A=B，故选A。
4。(通辽模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( D )
(A)(0， ］(B)［ ，π)
(C)(0， ］(D)［ ，π)
解析：由正弦定理角化边，得a2≤b2+c2-bc。
所以b2+c2-a2≥bc，
所以cos A= ≥ ，
所以0<A≤ 。
6。(淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实。一 为从隅，开平方得 积。”若把以上这 段文字写成公式，即S= 。现有周 长为2 + 的△ABC满足：sin A∶
(A)3∶1(B) ∶1
(C) ∶1(D)2∶1
解析：由cos 2B+3cos (A+C)+2=0，得2cos2B-3cos B+1=0，解得cos B=1(舍去)或cos B= ，
所以sin B= ，
所以由正弦定理知c∶sin C=b∶sin B=2∶1。
10。(石家庄一模)在△ABC中，AB=2，C= ，则AC+ BC的最大值为( D )
所以S△BDC= BC·BD·sin∠DBC
= ×2×2×
= 。
因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-
=
= ，
所以CD= 。
由余弦定理，得cos∠BDC= = 。
答案：
能力提升(时间：15分钟)
9。(宁波模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos 2B+3cos (A+C)+2=0，b= ，则c∶sin C等于( D )
sin B∶sin C=( -1)∶ ∶( +1)。试用“三斜求积术”求得△ABC的面积为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析：因为sin A∶sin B∶sin C=( -1)∶ ∶( +1)，
由正弦定理得a∶b∶c=( -1)∶ ∶( +1)。
因为a+b+c=2 &#;1。
由0<A<π得
- <A- < ，
所以A- = ，即A= 。
又△ABC的外接圆的半径为 ，
所以a=2 sin A=3。
由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2- (b+c)2= 。
即b+c≤6，
当且仅当b=c时取等号，
所以△ABC周长的最大值为9。
(A)10 n mile(B) n mile
(C)5 n mile(D)5 n mile
解析：由题意可知，∠CAB=60°，∠CBA=75°，
所以∠C=45°，由正弦定理得 = ，
所以BC=5 。
5。(南宁模拟)在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C，则A的取值范围是( C )
答案：2 650
12。 (四川泸州二珍)如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。a=b(sin C+cos C)。若A= ，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，则四边形ABDC面积的最大值为。
解析：因为a=b(sin C+cos C)，
所以由正弦定理得sin A=sin∠ABC(sin C+cos C)。
(A) (B)2 (C)3 (D)4
解析：由正弦定理可得，
= = = =4。
因为A+B= 。
所以AC+ BC=4sin B+4 sin A
=4sin B+4 sin( -B)
=4sin B+4 ( cos B+ sin B)
=2 cos B+10sin B
=4 sin(B+θ)(tanθ= )，
因为0<B< ，
解：由f(x)=1-cos 2x-（1-cos[2（x- ）］=cos(2x- )-cos 2x= cos 2x+ sin 2x-cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin(2x- )。
(1)令2x- =kπ(k∈Z)，
则x= + (k∈Z)，
所以函数y=f(x)的对称中心为( + ，0)，k∈Z。
B= 。
(1)若△BCD的面积为 ，求CD的长;
(2)若A= ， = ，求 的值。
解：(1)BC=1，B= ，S△BCD= BC·BD·sin B= ×1×BD× = ，BD= 。
在△BCD中，由余弦定理得
CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B
=1+2-2×1× ×
=1，
所以CD=1。
(2)在△ACD中，由正弦定理得
又因为A= ，∠ABC= ，
所以△ABC为等腰直角三角形。
所以S△ABC= BC2= -cos D。
又因为S△BCD= ·BD·CD·sin D=sin D。
所以S四边形ABDC= -cos D+sin D
= + sin(D- )。
所以当D= 时，S四边形ABDC最大。
最大值为 + 。
答案： +
13。 (福建宁德一检)如图，△ABC中，D为AB边上一点，BC=1，
即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sin C+cos C)，
所以cos∠ABCsin C=sin∠ABCsin C。
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
所以tan∠ABC=1。
又∠ABC∈(0，π)，所以∠ABC= 。
在△BCD中，因为DB=2，DC=1，
所以BC2=12+22-2×2×1·cos D=5-4cos D。
答案：75°
8。(2017·浙江卷)已知△ABC，AB=AC=4，BC=2。点D为AB延长线上一点，BD=2，连接CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=。
解析：依题意作出图形，如图所示。
则sin∠DBC=sin∠ABC。
由题意知AB=AC=4，BC=BD=2，
则cos∠ABC= ，
sin∠ABC= 。
故AC+ BC的最大值为4 。
11。 (内蒙古赤峰模拟)如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s。某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为m。(取 ≈1。4， ≈1。7)
解析： 如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A=15°，∠DBC=45°，
所以∠ACB=30°，
AB=50×420=21 000(m)。
又在△ABC中， = ，
所以BC= ×sin 15°=10 500( - )(m)。
因为CD⊥AD，
所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500( - )× =10 500( -1)≈7 350(m)。
故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m)。
= ，
所以sin ∠ACD= = = ，
在△BCD中，由正弦定理得 = ，
所以sin ∠DCB= = = ，
所以 = = × = 。
14。(江西联考)已知函数f(x)=2sin2x-2sin2(x- )，x∈R。
(1)求函数y=f(x)的对称中心;
(2)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（ + ）= ，△ABC的外接圆半径为 ，求△ABC周长的最大值。
所以ac=2-1=1。c2+a2-b2=1。
所以S= = 。故选A。
7。(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b= ，c=3，则A=。
解析：由正弦定理 = 得 = ，
所以sin B= ，
又b<c，所以B<C，
所以B=45°，A=180°-60°-45°=75°。
2。在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则sin A等于( D )
(A) (B) (C) (D)
解析： 如图，设BC边上的高为AD，
因为B= ，
所以∠BAD= 。
所以BD=AD，
又AD= BC，所以DC=2AD，
所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)
=sin 45°cos∠DAC+cos 45°sin∠DAC
高中数学练习：
第6节 正弦定理和余弦定理及其应用
基础巩固(时间：30分钟)
1。△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知a= ，c=2，cos A= ，则b等于( D )
(A) (B) (C)2(D)3
解析：由余弦定理得5=b2+4-2×b×2× ，解得b=3（b=- 舍去），选D。
(2)由f( + )= 得sin（B+ ）= ⇒
sin B+ cos B= ⇒ asin B+acos B=b+c，
由正弦定理得 sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin C⇒ sin Asin B=sin B+cos Asin B，