双曲线专题复习讲义
双曲线专题复习讲义及练习学生
双曲线专题复习讲义考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义题型1求离心率或离心率的范围 2 2［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右焦a b点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。
| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.【新题导练】双曲线x264 y236=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方程,求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的b 、f c2 — a2 /c2. ----------斜率与离心率的关系，如k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 21. 设P 为双曲线X 2- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲线2X ~2a2莒 1（a 0,b 0）的焦点到渐b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为7. 【新题导练】2双曲线— 42y_ 9 1的渐近线方程是A.2 x B. 3C.D.2则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线1有相同的渐近线A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2—=1有公共焦点, 4的双曲线方程是2A .—122y 2421B .—122x24 )2C . 乂242 x12 2 D .— 24 2乂 112双曲线专题练习且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4•以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .考点2双曲线的几何性质一、填空题21 .椭圆工9k= 。
双曲线专题复习讲义自理
双曲线专题复习讲义★知识梳理★1. 双曲线的定义（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为★热点考点题型探析★考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．242.如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e为 ．c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ） A.2 B.3C.5D.29. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A. 23y x =±B. 49y x =±C. 32y x =±D. 94y x =±基础巩固训练1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-=2.已知双曲线的两个焦点为1(0)F 、20)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅= ，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -=C ．22137x y -=D ．22173x y -=3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A ．53B ．4C ．54D ．54..曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对7. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程。
专题50 双曲线-高考数学复习资料(解析版)
的取值范围是( )
33 －， A. 3 3
22 22 －， C. 3 3
33 －， B. 6 6
23 23 －， D. 3 3
【答案】 A
【解析】 因为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，x20－y20＝1，所以M→F1·M→F2＝(－ 3－x0，－y0)·( 3－x0，－y0) 2
＝x20＋y20－3<0，即 3y20－1<0，解得－
a2 b2
的垂线，垂足为 A，且交 y 轴于 B，若 A 为 BF 的中点，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.2
6 D.
2
【答案】 A
π －1
【解析】
由题易知双曲线
C
的一条渐近线与
x
π 轴的夹角为 ，故双曲线
C
的离心率
e＝
cos
4
＝ 2.
4
x2 y2 3．(2019·宁夏模拟)设 P 是双曲线 － ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则
b 2a，即 ＝
2，所以该双曲线
a
a
b 的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
c 法二 由 e＝ ＝
a
b2
b
b
1＋ a ＝ 3，得 ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
a
（2）（2017
山东）在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0)
的右支与焦点为 F
F1
的直线与双曲
线的上下两支分别交于点 B，A，若△ABF2 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
高考数学双曲线全套复习课件
第九章 平面解析几何
23
解析：通解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P 为双曲线右支上一点，则 S△PF1F2＝12 mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又 e＝ac＝ 5，所以 a＝1，选 A. 优解：由题意得，S△PF1F2＝tanb425°＝4，得 b2＝4，又ac22＝5，c2＝b2＋a2，所 以 a＝1.
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第九章 平面解析几何
6
性质
实、虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴
长
a，b，c 的关系
c2＝__a_2＋__b__2 _ (c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_y_＝__±__x__，离心
率为 e＝ 2.
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第九章 平面解析几何
7
常用结论 1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min ＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2ab2，异 支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.
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第九章 平面解析几何
22
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P.若△PF1F2 的面积为
2025高考数学总复习双曲线精品课件
第二部分
探究核心题型
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与
圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
A.x2－y82＝1
B.x82－y2＝1
√C.x2－y82＝1(x≤－1)
D.x2－y82＝1(x≥1)
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
自主诊断
3.(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是 _y_＝__±_43_x__.
依题意知，双曲线1y62 －x92＝1 的焦点在 y 轴上，实半轴长 a＝4，虚半 轴长 b＝3， 所以双曲线 9y2－16x2＝144 的渐近线方程是 y＝±43x.
自主诊断
知识梳理
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时 动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大 于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
专题54直线与双曲线(课件)-2024年中职数学对口升学考试专题复习精讲课件_42057202
即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且
仅有一个公共点．
4－3k2＜0， ③1－k2≠0，
即 k＜－23 3，或 k＞23 3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无
公共点．
专题54——直线与双曲线的关系 综上所述， 当－2 3 3＜k＜－1，或－1＜k＜1，或 1＜k＜2 3 3时，直线与双曲线有两个公共点； 当 k＝±1，或 k＝±2 3 3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 当 k＜－23 3，或 k＞2 3 3时，直线与双曲线没有公共点．
1
x2
12x 24 0
则 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 (12)2 4 24 4 6
故 AB 4 6
专题54——直线与双曲线的关系
【题型一 】 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2
2k2－3k222－1k22k－2＋2 8
＝ 1＋k2 16k2k－2＋212＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝± 22，故这样的直线有 3 条．
专题54——直线与双曲线的关系
2.过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于 A，B 两
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．
专题54——直线与双曲线的关系
当直线 l 的斜率存在时，其方程为 y＝k(x－ 3)，
y＝k x－ 3 ， 由x2－y22＝1，
双曲线专题复习讲义及练习
双曲线专题导学案知识梳理1. 双曲线的定义第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程)0,(12222>=-b a b y a x )0,(12222>=-b a b x a y 性 质焦点 )0,(),0,(c c -，),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 R y a x ∈≥,||R x a y ∈≥,||顶点 )0,(),0,(a a -),0(),,0(a a -对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称离心率 (1,)ce a=∈+∞ 准线c a x 2±=c a y 2±=渐近线x a b y ±=x ba y ±=与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；易错题1.注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e 热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义[例1 ].设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF222121252,52,PF PF F F +==为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
双曲线高二数学专题复习培优讲义
第02讲双曲线必备方法巧设双曲线方程：（1）与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)有共同渐近线(离心率)的方程可表示为：2222(0)x y t t a b -=≠.有共同焦距的双曲线方程可表示为：22221x y a b λλ-=+-.（2）过已知两个点的双曲线方程可设为()2210mx ny mn +=<．易误提醒（1）双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >.当焦点在x 轴上，渐近线斜率为ba±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（2）注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（3）易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为b a ±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（4）在双曲线的焦点三角形12PF F 中，12F PF α∠=，点P 的坐标为00()x y ，，12PF F ∆的面积122=tan2PF F b S α△.考点一双曲线的定义及标准方程命题点1利用双曲线定义求轨迹方程例题1.1已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=≥命题点2双曲线定义的应用例题1.2过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例题1.3（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e，且满足21e =，1F ，2 F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（）ABC ．2D规律方法求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点（1）在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．（2）求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．变式训练1.1如图，圆E ：(x ＋2)2＋y 2＝4，点F (2,0)，动圆P 过点F ，且与圆E 内切于点M ，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程．1变式训练1.2（2018·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（文））已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．变式训练1.3若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且122||3||F PF P =⋅，试求12F PF ∆的面积.考点二渐近线与离心率问题命题点1渐近线例题2.1已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 上的一点，若线段1PF 与y 轴的交点M 恰好是线段1PF 的中点，21MF MO b ⋅=，其中，O 为坐标原点，则双曲线C 的渐近线的方程是（）A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x=±D ．12y x =±命题点2离心率例题2.2（1）（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________.（2）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左,右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ,B 是圆()2224x c y c -+=与C 位于x 轴上方的两个交点(A在左支，B 在右支)，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A ．23B ．43C ．34+D ．54+命题点3渐近线和离心率的综合应用例题2.3已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为________.规律方法解决有关渐近线与离心率关系问题的方法（1）已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝a b 或|m |＝ba 讨论．（2）注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．变式训练2.1已知双曲线C ：22219x y a -=(0a >)的左、右焦点分别为1F 、2F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且26MF =，则1MF =（）A ．2或14B ．2C ．14D ．2或10变式训练2.2已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆()2224b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C ．3D ．4变式训练2.3已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．考点三直线与双曲线的综合应用命题点1直线与双曲线的位置关系例题3.1设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（）A ．221k e ->B ．221e k ->C ．221k e -<D ．221e k -<（2）已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.命题点2中点弦问题例题3.2（1）（2017·湖南长沙市·长郡中学高二月考（理））双曲线2221x y -=与直线10x y +-=交于P ，Q 两点，M 为PQ 中点，则OMk 为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为12的直线l 交双曲线于M 、N ，O 为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2，则双曲线的离心率为（）A B C ．D ．4命题点3定点问题例题3.3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．规律方法解决直线与双曲线位置关系的两种方法（1）法一：解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．法二：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．（2）与中点有关的问题常用点差法．直线l 与双曲线22221x y a b-=相交于,A B ,M 为AB 的中点，则22AB OMb k k a⋅=.变式训练3.1已知双曲线2212x y m -=(12)m ≤≤的离心率为e ，直线:2l y x =-，则（）A ．存在m ，使得2e =B ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有一个公共点C ．存在m ，使得e =D ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有两个公共点变式训练3.2已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ,B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．43B ．2C D。
双曲线专题复习课件(精品,完美,好用)
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已知动圆M与圆C1 ：(x＋4)2 ＋y2 ＝2外切，与圆C2 ：(x －4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
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其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋ |PF2|的值为________．
【解析】 设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2| ＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2， 所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8， 所以x＝ 3 －1，x＋2＝ 3 ＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝ 2 3.
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1．(人教A版 材 题 编 教习改
)设 曲 双线
的渐近线方程为3x± 2y＝0，则a的值为( A．4 B．3 C．2
【析 解】 渐线程化 近方可为
x2 y2 － ＝1 ＞0) a ( a2 9 ) D．1
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1 22 ( (1· 大 全 卷 )已知F1、F2为 曲 ) 0 纲国 双 线 C：x2－y2＝ 2的 、 焦 ， 左右点点 P在C上，|F 1|＝2 2|，则c ∠F1PF2 P P |F o s ＝( ) 1 3 3 4 A. B. C. D. 4 5 4 5 (2)已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)；以点C为 一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程．
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《圆锥曲线》 ---------双曲线主要知识点1、双曲线的定义 :(1)定义： _____________________________________________________________(2)数学符号： ________________________(3)应注意问题：2、双曲线的标准方程：图像标准方程不一样点同样点注意：怎样依据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，怎样求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质标准方程焦点焦距性范围极点质实轴虚轴对称性离心率渐近线注意：（ 1）怎样比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？（3）当a b时，双曲线有什么特色？4．双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系①已知双曲线段的标准方程是x2y21 (a 0, b 0)x2y21(a 0, b 0) ），a2b2（或2a2b则渐近线方程为________________________________________________________________ ；②已知渐近线方程为 bx ay0 ，则双曲线的方程可表示为__________________________ 。
（2）待定系数法求双曲线的方程x2y21 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________ ；①与双曲线b2a2②若双曲线的渐近线方程是y b_____________________ ；x ，则双曲线的方程可表示为ax2y21 共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________ ；③与双曲线b2a2④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________ ；x2y2⑤与椭圆a2b2 1 (a b 0) 有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________ 。
双曲线高三数学一轮复习考点课件
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
《双曲线》复习课件
共 68 页
1
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考： （1）2a< |F1F2| ； （2）2a >0 ；
(2)双曲线的渐近线方程为 且经过P(
2x 3 y 0
6， 2 )。
共 68 页 7
小试牛刀：
（1）焦点在坐标轴上，且经过点（3，-
4 2 ），
9 ,5 （ ） 4
x2 y2 1 有相同渐近线且经过A （2）求与双曲线 16 9
（ 3 3， -3 ）的双曲线方程。
共 68 页
8
点睛一刻：
②设交点坐标代入曲线方程—作差（点差法）。
2、弦长问题：弦长公式
AB 1 k 2 x1 x2
共 68 页
15
F1 o F2 M
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线 （2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是？ (3)线段F1F2的垂直平分线
2.双曲线的标准方程与几何性质
共 68 页
3
共 68 页
4
典例剖析
x2 y 2 1 上一点P到点（5,0） 例1、双曲线 16 9
于A,B两点，且M为AB中点 （ 68 页
13
小试牛刀：
2 y 2 x 1 ，过P（1,3）点作一直线交 已知双曲线 3
双曲线于A、B两点，若P为AB的中点， （1）求直线AB的方程； （2）求弦AB的长。
双曲线复习PPT优秀课件
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双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1. 双曲线的定义
（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;
当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义
平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线
与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22
22≠=-λλb y a x
与双曲线122
22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a
-=
等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；
★重难点突破★
1.注意定义中“陷阱”
问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为
点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支
12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116
92
2>=-
x y x 2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为x y 2
3
±
=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，
23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2
3
=b a ，313=e ★热点考点题型探析★
考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义
[例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同
时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线
122
22=-b
y a x 上， 依题意得a=680, c=1020，
1
3405680340568010202
2
22222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为
用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,
10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】
1.设P 为双曲线112
2
2
=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）
A ．36
B ．12
C ．312
D ．24
解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①
又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF
,52||,52||||2212221==+F F PF PF
为21F PF ∴直角三角形，
.12462
1
||||212121=⨯⨯=⋅=
∴∆PF PF S F PF 故选B 。
2.如图2所示，F 为双曲线116
9:
2
2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，
则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27
[解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C
3. P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距
为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -
（B ）b -
（C ）c -
（D ）c b a -+
［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，
由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162
x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C
的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组
[解析] 解法一：设双曲线方程为22
a x －22b
y =1.由题意易求c =25.
又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －2
4
b =1.
又∵a 2
+b 2
=（25）2
，∴a 2
=12，b 2
=8.。