11【提高】有理数的乘方及混合运算(培优课程讲义例题练习含答案)

有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）

【学习目标】

1．理解有理数乘方的定义；

2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

3. 进一步掌握有理数的混合运算.

4. 会用科学记数法表示大数. 【要点梳理】

要点一、有理数的乘方

定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．

即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个

.在n

a 中，a 叫做底数， n 叫做指数．

要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．

（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51

，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 2

a ≥0．

要点诠释：

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．

(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：

(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；

（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．

(3)在运算过程中注意运算律的运用． 要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯. 要点诠释：

（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3

310-⨯； （2）把一个数写成10n

a ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.

【典型例题】

类型一、有理数的乘方

1．（•虞城县一模）下列各数：①﹣12

；②﹣（﹣1）2

；③﹣13

；④（﹣1）2

，其中结果等于﹣1的是（ ）

A ．①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①②③④ 【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【答案】A ．

【解析】解：①﹣12

=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2

=﹣1，符合题意；③﹣13

=﹣1，符合题

意；④（﹣1）2

=1，不符合题意． 故选A ．

【总结升华】注意()n a -与n a -的意义的区别．

22()n

n a a -=（n 为正整数），

2121()n n a a ++-=-（n 为正整数）．

举一反三：

【变式】已知2a <，且24a -=，则3

a 的倒数的相反数是 ． 【答案】

1

8

类型二、乘方运算的符号法则

2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．

(-2)7

，(-3)24

，(-1.0009)2009

，5

53⎛⎫ ⎪⎝⎭

，-(-2)

2010

【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则． 【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：

(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009

运算的结果是负；5

53⎛⎫ ⎪

⎝⎭

运算的结果是正；-(-2)2010

运算的结果是负． 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三：

【变式】（春•富阳市校级期中）计算（﹣2）2015

+（﹣2）

2014

所得的结果是（ ）

A ．﹣2

B ． 2

C ． ﹣22014

D ． 22015

【答案】C ．

解：（﹣2）2015

+（﹣2）2014

=（﹣2）2014

（﹣2+1）=2

2014

×（﹣1）=﹣22014

.

类型三、有理数的混合运算

3．计算：

（1）-(-3)2+(-2)3

÷[(-3)-(-5)]

（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214

)

（3）3

1122

22233⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

（4）()

2

3

111

13121121324424340.2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 【答案与解析】 解：（1）-(-3)2+(-2)3

÷[(-3)-(-5)] ＝-9+(-8)÷(-3+5) ＝-9+(-8)÷2 ＝-9+(-4)＝-13

（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214

)

＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214

-24)

＝[72

×(7-6)-1]÷(-24) ＝(49-1)÷(-24) ＝-2

（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.

原式11221111[(2)]82338324

=-+

⨯--=--=- （4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.

()2

3

311113121121324424340.215457551

()()241162434()5

1257

2424125165231

6056125

4039120

40⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=

÷-++-⨯-

-=-⨯-⨯+⨯+=--++=

【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提． 类型四、科学记数法

4．（•酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（ ）

A ．0.675×105

B ． 6.75×104

C ． 67.5×103

D ． 675×102

【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n

的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【答案】B ．

将67500用科学记数法表示为：6.75×104

．