3-4随机变量的独立性(2013)

X ,Y独立！
解：X的分布函数为：
1 e x , x 0 FX ( x ) PX x F ( x,) 其它 0,
FY ( y ) P Y y F (, y )
0 y 1, FY ( y ) F ( , y ) y 当y 1, FY ( y ) F ( , y ) 1 其它情形, FY ( y ) F ( , y ) 0.
一、随机变量的相互独立性
1.定义
设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数及边缘分布 函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
第四节
相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结
第四节
相互独立的随机变量
引例1 设A,B为两个事件，则A,B相互独立的 含义是？A发生与否与B发生与否无关； 若P(B)>0,P(A|B)=P(A)； 此时有P ( A | B ) P ( A) ?
一般有P ( AB) P ( A) P ( B ).
X PX
1 0.3
则边缘概率密度 .
1 f X ( x) e 2πσ1 1 fY ( y ) e 2πσ 2
( x μ1 )2 2 2 σ1
, x . , y .
X、Y独立
( x μ2 )2 2 2σ2
若 0，则显然有f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) x . y .
例2
设随机变量 X 和Y 相互独立, 并且 X 服从
N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y ) 的联合概率密度 . 解 由于X 与Y 相互独立, 所以 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
1 又 f X ( x) e 2πσ
fY ( y ) 0
显然f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )当x 0, y x时不成立！
例4 设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为 1 f ( x, y) 2σ1σ 2 1 ρ2
1 ( x μ1 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 exp 2ρ 2 2 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
F ( x, y) FX ( x )FY ( y), 对任意 x, y
所以 X,Y相互独立。
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为 X 1 2 Y 1 1/6 1/3 2 1/9 3 1/18


(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
在X的正半轴和Y的正半轴上不成立
在R2几乎处处成立
( 3) X 和 Y 相互独立, 则
f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
f(x),g(y)为两个任意实函数。
例题1。设随机变量( X ,Y )的分布律为： P{ X i ,Y j } p 2 (1 p)i j 2 , i , j 1,2,3,...
X,Y 相互独立。
例题2.设随机变量( X ,Y )的分布函数为：
(1 e x ) y , x 0,0 y 1 F( x , y ) 1 e x , x 0, y 1 0, 其它 其中 0是一个给定常数。
问X ,Y是否独立？
F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ). x, y
P{ X i ,Y j } P{ X i }P{Y j }
i x j y i x j y
P{ X i } P{Y j } FX ( x )FY ( y )
i x j y
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } FX ( x )FY ( y )


f ( x , y )dy
(1) x 0, f x ( x ) ( 2 ) x 0,
e y dy e x ,
f x ( x ) 0;
y


f ( x , Biblioteka Baidu )dx
y y f ( y ) e dx ye , ( 3 ) y 0, Y 0
( 4 ) y 0,
, 其中 x , b y b.
当 y b 时,
f ( x, y ) 0.
1 又 f X ( x) e 2πσ
( x a )2 2σ 2
, x ;
1 , b y b, fY ( y ) 2b 其他. 0,
( x a )2 2σ 2
, x ;
由 f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
1 , b y b, fY ( y ) 2b 其他. 0,
1 1 f ( x, y) e 2b 2πσ
( x a )2 2σ 2
例6 设(X,Y)的联合分布函数为
1 e 2 x e 3 y e 2 x 3 y , x 0, y 0 F ( x, y) 0 ，其它
问 X，Y是是否相互独立？
2 x ( 1 e ) ,x0 解： FX ( x ) PX x F ( x,) 其它 0, 3 y ( 1 e ) ,y0 FY ( y ) P Y y F (, y ) 其它 0,
问X,Y 是否独立？
解：验证P { X xi ,Y y j } P { X xi } P {Y y j } 是否成立即可。
j 1
P { X i } P{ X i ,Y j } p (1 p)
2 j 1 2 i 2

i j2
p (1 p)
即 pij pi p j .
( 2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
在R2几乎处处成立,即除去“面积”为0的集合以外处处 成立。 y
引例2 独立试验：将一枚骰子抛掷两次，观察其中 出现的点数；设第一次试验中出现的点数为X;第二 次试验中出现的点数为Y；
A={X=2},B={Y=4}为两个事件，则A,B相互独立吗？
独立！ 且有P ( AB) P ( A) P ( B ).
引例2 独立试验：将一枚骰子抛掷两次，观察其中出 现的点数；设第一次试验中出现的点数为X;第二次试 验中出现的点数为Y； A={X=2},B={Y=4}为两个事件，则A,B相互独立吗？ 独立！
X 的分布律为 解 1 1 1 1 P{ X 1}
6 9 18
3
1 P{ X 2} 3
1 1 ( ) 1 3 3
1 3
X
1 2
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18

1 9

1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
,x0 其它
,y0 其它
故
F ( x, y) FX ( x )FY ( y)
所以X、Y相互独立
一般求分布函数 比较繁冗。
2.说明
(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P{ X i ,Y j } pij , i , j 1,2,.
X 和 Y 相互独立

P { X x i ,Y y j } P { X x i } P {Y y j },
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
2 3
p j P{Y y j } 1 2
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi p j , (i 1,2; j 1,2,3)
1 1 1 p p p 特别有 2, 12 1 2 9 3 9 9 1 1 又 , 得 . 3 9
(1 p) j 1
j
p (1 p)
2
i 2
1 p i 1 p(1 p) 1 (1 p)
类似地 P{Y j } p(1 p)
成立,
j 1
( j 1,2,...)
( i 1,2,...)
P { X xi ,Y y j } P { X xi } P {Y y j }
2e 2 x , x 0 f X ( x) 0, 其 它
e ,y0 fY ( y ) 0, 其 它
G: x>0,y>0
X、Y相互独立
2e ( 2 x y ) , x 0, y 0 f ( x, y ) 0, 其 它
f ( x , y ) f X ( x ) f Y ( y ) 在G处处成立
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的.
例 设(X,Y)的分布函数为
1 e 2 x e 3 y e 2 x 3 y , x 0, y 0 F ( x, y) 0, 其它
问：X、Y是否相互独立？
2 x 1 e 解： F ( x ) PX x F ( x,) X 0, 3 y 1 e FY ( y ) P Y y F (, y ) 0,
且有P ( AB) P ( A) P ( B ).
即P{X=2,Y=4}=P{X=2}P{Y=4} X，Y的所有可能取值为1,2,3,4,5,6. 一般P{X=I,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}(I,j=1,2,3,4,5,6.) 是否成立？
随机试验独立性
随机变量的独立性
若P{X=I,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}(I,j=1,2,3,4,5,6.)成立 F ( x , y ) P { X x ,Y y } P { X i ,Y j } i x j y
由 f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
得
1 1 f ( x, y) e 2b 2πσ
( x a )2 2σ 2
,
其中 x , b y b.
当 y b 时, f ( x, y ) 0.
例3 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
例题3. 若(X,Y)的概率密度为
e y , x 0, y x . f ( x, y) 0, 其它
问X,Y是否相互独立？
解： 验证f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 是否几乎处处成立！
X,Y不相互独立！
x
fX x fY y
2 3
p j P{Y y j } 1 2
1 故与 应满足的条件是: 0, 0 且 . 3
2 (1)由分布律的性质知 0, 0, 1, 3
X
1 2
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18

1 9