圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)
圆锥曲线的切线与切点弦方程
圆锥曲线的切线与切点弦方程圆锥曲线的切线与切点弦方程说明：（1）以上方程可以通过局部分割曲线，利用导数求得.（2）切点弦方程可以通过两切点具有相同结构方程式且切线有公共交点推导而得.1.过点(M 且与圆224x y +=相切的直线方程为2.由点()2,2P 向圆221x y +=引两切线,PA PB ，其中切点为,A B ，则AOB S ∆=3.设抛物线24y x =在()00,P x y 处的切线为l ，则点(2,0)A 到直线l 的距离的最小值为 4.设椭圆2214x y +=在()00,P x y 处的切线为l ，直线l 与两坐标轴交点分别为,A B ，则AOB S ∆最小值为 ；AB 最小值为 .二、抛物线的切线与切点弦方程1.已知抛物线24x y =在1(1,),(2,1)4A B -两点处的切线分别为12,l l ，且1l 与2l 相交于点P（1）求点P 的坐标.（2）求直线AB 的方程.2.已知抛物线22(0)x py p =>，过M 引抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：,,A M B 三点的横坐标成等差数列.（2）若(2,2)M p -且AB =.3.已知抛物线24x y =，过点P 的直线l 交抛物线于,A B 两点，分别以,A B 为切点的两切线12,l l .（1）若(2,2)P ，求1l 与2l 交点M 的轨迹方程.（2）若点P 为抛物线的焦点F ，证明：（i ）MF AB ⊥； （ii ）MA MB ⊥.4.已知抛物线C ：22x py =的焦点(0,)F c (0)c >到直线l ：20x y --=，设P 为直线l 上点，过点P 作抛物线的两条切线12,l l ，求切点分别为,A B .（1）求抛物线C 的方程；（2）当00(,)P x y 为定点时，求直线AB 的方程；（3）当P 在直线上运动时，求FA FB ⋅的最小值. 5.已知椭圆1C ：22221x y a b+=的两个焦点1(2,0)F -，2(2,0)F ，点(2,3)A 在椭圆上，过点A 的直线l 与抛物线2C ：24x y =交于,B C 两点，抛物线2C 在,B C 两点处的切线分别为12,l l 且1l 与2l 相交于点P .（1）求椭圆1C 的方程；（2）是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ，若存在，请指出个数？若不存在说明理由.。
第10讲：圆锥曲线的切线
第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。
（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。
（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半， 与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。
②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。
A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+） 我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数 延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证 毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ， 直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。
高考高频考点(圆锥曲线)3、圆的切线、切点弦结论
第3讲 圆的切线、切点弦结论知识与方法1求过圆()()222:C x a y b r −+−=上一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证经过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆C 相切，若是，如图1所示，所求切线为0x x =，问题求解完毕；若否，则进行下一步；（2）设切线斜率为k ，如图2所示，由PC ⊥切线，求出k ，用点斜式写出切线的方程，问题求解完毕.上述问题的结论：圆C 上点P 处的切线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=. 2求过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆相切，若是，如图3所示，其中一条切线为0x x =（2）设切线的斜率为k ，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离d r =，解出k ，求得切线方程.3.过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，如图4所示，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=典型例题【例l 】圆()22:14C x y −+=在点(P 处的切线方程为______.【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为()()0114x −−=，化简得：30x +=.【答案】30x +=变式1 圆22:230C x y x +−−=在点(2,P 处的切线方程为______.【解析】易验证点P 在圆C 上，故所求切线的方程为222302xx +−−⋅−=，化简得：50x −=【反思】过圆C 上的点()00,P x y 作圆C 的切线，则切线的方程可以在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到.【答案】50x −=变式2 已知圆()22:14C x y −+=，则：（1）圆C 的过点()2,0P −的切线方程为_______；（2）圆C 的过点()3,1Q 的切线方程为_______ 【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线2x =−与圆C 不相切， 故可设切线的方程为()2y k x =+，即20kx y k −+=2=，解得：k =，故圆C 的过点P 的切线方程为)25y x =±+； （2）易得过点Q 且斜率不存在的直线3x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()13y m x −=−，即130mx y m −+−=2=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()3134y x −=−−，化简得：34130x y +−=， 综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为3x =或34130x y +−=.【答案】（1）)2y x =+；（2）3x =或34130x y +−= 【例2】已知圆22:4O x y +=外一点()2,3P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为_______【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为234x y +=，即2340x y +−= 【答案】2340x y +−=变式1 已知圆22:2410C x y x y +−−+=外一点()2,1P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为212241022x yx y −++−+−⋅−⋅+= 化简得：310x y +−=【反思】过圆C 外的点()00,P x y 作圆C 的两条切线，则切点弦所在直线的方程，可在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到. 【答案】310x y +−=变式2 已知圆22:4Q x y +=，P 为直线:4l y x =+上一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PAOB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PAOB 的面积122S AP AO =⨯⋅=由题意，12=，解得:PO =由题意，点P 在直线:4l y x =+上，故可设(),4P m m +，则PO == 解得：6m =−或2，当6m =−时，()6,2P −−，此时直线AB 的方程为624x y −−=，化简得：320x y ++= 当2m =时，()2,6P ，此时直线AB 的方程为264x y +=，化简得：320x y +−=， 所以直线AB 的方程为320x y ++=或320x y +−=【答案】320x y ++=或320x y +−=变式3 已知圆22:4O x y +=，P 为直线:260l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PACB 的面积122S AP AO =⨯⋅=PO 最小时，S 也最小， 此时PO l ⊥，易求得PO 的方程为20x y −=，联立20260x y x y −=⎧⎨++=⎩解得：65x =−，125y =−，所以612,55P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故直线AB 的方程为612455x y −−=，化简得：36100x y ++=.【答案】36100x y ++=变式4 已知直线:4l y x =+与x 轴交于点T ，过直线l 上的动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，设AB 中点为M ，则TM 的最小值为（ ）A. B. D.3【解析】如图，因为点P 在直线:4l y x =+上，所以可设(),4P m m +，则切点弦AB 所在直线的方程为()44mx m y ++=即()440m x y y ++−=，所以直线AB 过定点()1,1Q −，又M 为AB 中点，所以OM AB ⊥，故点M 在以OQ 为直径的圆上，从而点M 的轨迹是以11,22G ⎛⎫− ⎪⎝⎭为半径的圆，显然点()4,0T −在该圆外，所以minTMTG ==.【反思】当动点P 在与圆C 相离的某一定直线上运动时，过点P 作圆C 的两条切线，则切点弦所在的直线是过定点的直线，熟悉这一模型，本题的求解就不困难了. 【答案】A强化训练1.（★★）圆22:40C x y x +−=在点(P 处的切线方程为（ ）A.20x +−=B.40x +−=C.40x +=D.20x +=【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为11402xx y +⋅+−⋅=，化简得：20x +=.【答案】D2.（★★）已知圆()22:11C x y +−=，则：（1）圆C 的过点()0,2P −的切线方程为______； （2）圆C 的过点()1,1Q −的切线方程为______.【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线0x =与圆C 不相切，故可设切线的方程为()()20y k x −−=−，即20kx y −−=1=，解得：k =±C 的过点P的切线方程为2y =±−；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()()11y m x −−=−，即10mx y m −−−=1=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()()3114y x −−=−−，化简得：3410x y ++=， 综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为1x =或3410x y ++=【答案】（1）2y =±−；（2）1x =或3410x y ++=3.（★★）已知圆()22:12C x y −+=外一点()2,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()21122x y −−+=，化简得：230x y +−=. 【答案】230x y +−=4.（★★）已知圆()()22:129C x y −+−=外一点()4,2P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()()()4112229x y −−−+−−=，化简得：45x =−.【答案】45x =−5.（★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=外一点()4,1P −−，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为414244022x y x y −−−−−⋅−⋅−=，化简得：5320x y +−=.【答案】5320x y +−=6.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PACB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅=由题意，12=，解得：5PC =，由题意，点P 在直线20x y ++=上，故可设(),2P m m −−，则PC =5=，解得：4m =−或1，当4m =−时()4,2P −，此时直线AB 的方程为4242244022x yx y −++−+−⋅−⋅−=， 化简得：45x =−，当1m =时，()1,3P −， 此时直线AB 的方程为133244022x yx y +−+−−⋅−⋅−=， 化简得：15y =， 所以直线AB 的方程为45x =−或15y =.【答案】45x =−或15y =7.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =.如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅= 所以当PC 最小时，S 也最小，此时，PC l ⊥， 故PC 的方程为21y x −=−，即10x y −+=，联立1020x y x y −+=⎧⎨++=⎩解得：32x =−，12y =−，即31,22P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫−−−+−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：5530x y ++=.【答案】5530x y ++=8.（★★★★）已知P 为抛物线2:4C y x =上的动点，过P 作圆()22:44M x y −+=的两条切线，切点分别为A 和B ，则当四边形PAMB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==，所以四边形PAMB 的面积122S AP AM =⨯⋅=， 所以当PM 最小时，S 也最小，由题意，()4,0M ，可设()2,2P t t ，则()()2222242244416212PM t t t t t =−+=−+=−+，故当t =PM 取得最小值，此时(2,P ±，所以直线AB 的方程为()()2444x −−±=，化简得：20x ±−=.【答案】20x +−=或20x =−=9.（★★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，AB 的中点为Q ，若点T 的坐标为111,1010⎛⎫⎪⎝⎭，则TQ 的最小值为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =， 设(),2P m m −−，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()112229m x m y −−+−−−−=， 化简得：()140m x y x y −+−−=，所以直线AB 过定点41,55K ⎛⎫− ⎪⎝⎭，如图，显然CQ KQ ⊥，所以点Q 的轨迹是以CK 为直径的圆，其圆心为111,1010G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，CK ==，因为GT =min 12TQ GT GK =−=.【答案】10。
(完整word版)圆锥曲线知识点总结,推荐文档
圆锥曲线的方程与性质1.椭圆（1）椭圆概念的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若 M为椭圆上任意一点，则有|MF 1 I |MF 2 I 2a 。
0的条件，要分清焦点的位置，只要看 X 2和y 2的分表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于X 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心;X 0，得y b ，则B 1（0, b ）， B 2（0,b ）是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令 y 0得X a ，即A （ a,0），A 2（a,0）是椭圆与X 轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
平面内与两个定点 F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于IF 1F 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆上）。
椭圆的标准方程为:22Xy22a b0）（焦点在 x 轴上）2y a 2XP 1 （ a b 0 ）（焦点在y 轴b 2注：①以上方程中 a,b 的大小 a b 0,其中b 2母的大小。
例如椭圆2y nn ）当m n 时表示焦点在X 轴上的椭圆；当 m n 时1两个方程中都有aX 2①范围：由标准方程a1知|X| a ，|y| b ，说明椭圆位于直线 X a ，b 所围成的矩形里; ②对称性：在曲线方程里, 若以 y 代替y 方程不变，所以若点（X, y ）在曲线上时,（X, y ）也在曲线上, 所以曲线关于X 轴对称，同理，以X 代替X 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。
若同时以X 代替X ， y 代替y③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与X 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令焦距。
（2）双曲线的性质同时，线段 AA 、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和2b , a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结圆锥曲线是数学中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在解析几何和微积分中，求解圆锥曲线的切线和法线方程是一个基本的技巧。
本文将总结一些解决这类问题的常见方法和技巧。
一、椭圆的切线与法线方程求解椭圆是一个非常常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长轴与短轴。
求解椭圆的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点首先，我们需要确定切点的坐标。
可以通过将直线 y = kx + c 代入椭圆方程，并解得 x 和 y 关于 k 和 c 的方程组。
解这个方程组即可得到切点的坐标。
2. 求解切线方程在得到切点的坐标后，我们可以使用常见的切线公式 y - y0 = k(x - x0) 来求解切线方程。
其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。
3. 求解法线方程切线的斜率 k 和切点的坐标 (x0, y0) 可以通过对椭圆方程求偏导数得到。
设斜率 k1 为切线斜率，斜率 k2 为法线斜率，斜率之间的关系为 k1 * k2 = -1。
因此，我们可以通过斜率 k1 和切点 (x0, y0) 来求解法线方程。
二、双曲线的切线与法线方程求解双曲线是另一种常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1。
求解双曲线的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点与椭圆类似，我们首先需要确定切点的坐标。
代入直线 y = kx + c 到双曲线方程中，并解得切点的坐标。
2. 求解切线方程切线方程的求解过程与椭圆类似，使用公式 y - y0 = k(x - x0)，其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。
3. 求解法线方程双曲线的法线也满足斜率 k1 和斜率 k2 的关系为 k1 * k2 = -1。
通过切线方程的斜率 k1 和切点的坐标 (x0, y0)，可以求得法线方程。
三、抛物线的切线与法线方程求解抛物线是圆锥曲线中的另一种重要类型，其方程为 y^2 = 2px，其中p 为抛物线的焦点到准线的距离。
圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。
立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴叫做圆锥的轴。
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。
直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。
微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。
为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。
这就要我们考虑可微曲线。
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圆锥曲线的切线方程和切点弦方程[总结]
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圆锥曲线的切线方程和切点弦方程[总结] 课题:圆锥曲线的切线方程和切点弦方程主讲人: 安庆一中李治国教学目标:(1).掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
(2).会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
(3)通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
(4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点:切线方程及切点弦方程的应用教学难点:如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程:1. 引入:通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2. 知识点回顾:2221. 过圆 xyrMxy，,上一点 (,)的切线方程:002 xxyyr，,0022xy设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为:Pxy(,)1，,2. 0022abxxyy00 ，,122ab 22xy设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为:Pxy(,)1,,3. 0022abxxyy 00,,122ab24. 设为抛物线Pxypx(,)2y,上的点，则过该点的切线方程为:00yypxx,，()00圆锥曲线切线的几个性质:性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径(同理:双曲线,抛物线也有类似的性质性质2 过椭圆的焦点F的直线交椭圆于A，B两点，过A，B两点作椭圆的切线交1PFAB,于点P，则P点的轨迹是焦点的对应的准线，并且 F11同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲:4练习1:23抛物线与直线围成的封闭的图形的面积为，若直线l与抛物线相yaxa,,(0)x,1切，且平行于直线，则直线l的方程为 260xy,，,2例1: 设抛物线的焦点为F，动点P在直线 Cyx:,lxy:20,,,上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求?APB 的重心G的轨迹方程.4. 圆锥曲线的切点弦方程: 222设为圆外一点，则切点弦的方程为:Pxyxyr(,)，,1. 002xxyyr，,0022xy 设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，Pxy(,)1，,0022ab2. 切点为A，B则弦AB的方程为:xxyy00，,122ab 22xy过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为:Pxy(,)1,,3. 0022ab xxyy00,,122 ab24. 设为抛物线Pxypx(,)2y,开口外一点，则切点弦的方程为:00yypxx,，()00 22xy对于圆锥曲线，过点，(,,,1(,0)Pmm0)作两条切线，练习2: 22ab切点为，则直线恒过定点ABAB.22例题3: 已知椭圆是在直线位于第一象限上一点，x21,4312，,，,yPxy 由P向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标A,BAB轴围成的三角形面积最小，最小值为多少,OMN5.小结: 1(判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合;小结归纳 2. 掌握求曲线方程的方法:3. 两种方程两种思想作业: 已知是直线:上一点，过点作抛物线Plyx+3P,2 y2A,B.PAB,,x的两条切线，切点分别为求面积的最小值。
有关一类圆锥曲线的切线和切点弦结论的推理和证明
知识导航圆锥曲线问题是高考考查的重点，其中有关圆锥曲线的切线和切点弦问题是比较常见的问题，此类问题主要考查直线与圆锥曲线相切的位置关系，与圆的切线问题较为相似.笔者总结了一些有关圆锥曲线的切线和切点弦的结论，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.结论1：若点P （x 0,y 0）在椭圆x 2a 2+y 2b2=1 上，则在点P 处的切线的方程为x 0x a 2+y 0yb2=1 .证明：因为点P 在椭圆上，所以x 02a 2+y 02b2=1 ，①则直线x 0x a 2+y 0yb2=1 必过点P ,所以直线x 0x a 2+y 0y b 2=1与椭圆x 2a 2+y 2b2=1 至少有一个公共点P ,假设直线l 与椭圆有不同于点P 的公共点Q (x 1,y 1)，则x 12a 2+y 12b2=1 ②，x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1 ③，由①②③得：(x 0-x 1)2a 2+(y 0-y 1)2b 2=0,当x 0=x 1,y 0=y 1,即点P 与点Q 重合时，直线l 与椭圆有唯一的公共点，此时直线l 是椭圆的切线，其方程为x 0x a 2+y 0y b2=1.这里采用了间接法，假设直线l 与椭圆还有其他的公共点，通过联立方程，从而证明出结论.此类问题具有普遍性，我们可以将该结论推广到双曲线、抛物线中，得到如下结论.结论2：若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，则在点P 处的切线的方程为x 0x 1a 2-y 0y1b2=1 .结论3：若点P (x 0,y 0)在抛物线y 2=2px 上，则在点P 处的切线的方程为y 0y =p (x +x 0).此类结论适用于解答有关圆锥曲线的切线问题，运用上述结论可以快速求出有关圆锥曲线的切线方程.相比较于常规方法：联立直线与圆锥曲线方程，通过判别式Δ判定直线与圆锥曲线相切，要简便很多.结论4：已知椭圆为x 2a 2+y 2b2=1，若点M （x 0,y 0）为椭圆外一点，由点M 引椭圆的两条切线，则切点弦直线的方程为x 0x a 2+y 0yb2=1.证明：设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)，因为点A ,B 在椭圆上，由结论1可得在A 点处的切线方程为x 1x a 2+y 1yb2=1，M 经过该切线，所以x 0x 1a 2+y 0y 1b2=1①，同理，在B 点处的切线为x 2x a 2+y 2yb2=1，所以x 0x 2a 2+y 0y 2b2=1②.由①②可得，过点A ，B 切点弦直线为x 0x a 2+y 0yb2=1.我们可以将该结论推广到双曲线、抛物线中，得到如下结论.结论5：若点M （x 0,y 0）为双曲线外一点，由点M 引双曲线的两条切线，则切点弦直线的方程为xx 0a 2-yy 0b2=1.结论6：若点M （x 0,y 0）为抛物线外一点，由M 点向抛物线引两条切线，则切点弦直线的方程为y 0y =p ()x +x 0.以上结论均可用证明椭圆的切点弦直线的方法来证明.例题：若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点为F ()c ,0，点M 为直线x =a 2c上任意一点，由点M 向椭圆引两条切线，其切点为A ,B ，证明：直线AB 恒过焦点F .解：设点M æèçöø÷a 2c ,m ，由结论4可得切点弦直线AB的方程为x c +myb2=1，将F ()c ,0代入上述方程，满足方程，故AB 恒过焦点F .可见，运用有关圆锥曲线的切线和切点弦的结论来解题，能简化解题的过程，有效提升解题的效率.高中数学题型多变，解法多样，同学们在日常学习中要注意总结解题的规律，将同类型的题目放在一起进行对比，归纳出一类问题的通性通法，这样当再次遇到同类问题的时候便能轻松应对.(作者单位:山东省淄博实验中学)张春宁35。
【高考数学二轮复习大题讲义】第27讲 切点弦结论-解析版
第27讲 切点弦结论平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程，切点弦方程是解析几何中的热点问题，而切线往往和导函数相关，近几年高考数学的趋势也是把解析几何和导函数相结合作为压轴题，这类题目综合性强，难度一般较大，圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：(1)导数法：将圆锥曲线方程化为函数y ＝f (x )，利用导数法求出函数y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程，特别是焦点在y 轴上的抛物线常用此法求切线．(2)判别式法：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x (或y )的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件：判别式△＝0，可解出切线方程．圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法．下面介绍一些切线和切点弦相关的结论，来帮助快速解题．一、圆相关的切线结论结论一：点()00 M x y ，在圆222x y R +=上，过点M 作圆的切线方程为200x x y y R +=．结论二：点()00 M x y ，在圆222x y R +=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为200x x y y R +=．结论三：点()00 M x y ，在圆222x y R +=内，过点M 作圆的弦AB (不过圆心)，分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200x x y y R +=．证明：由上述结论二可得过() P P P x y ，的圆的切点弦AB 的直线方程为P P x x y y +=2R ．又弦AB 过点()00 M x y ，，即0P x x +20P y y R =，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线200x x y y R +=．二、一般圆相关的结论结论四：点()00 M x y ，在圆2()x a -+22()y b R -=上，过点M 作圆的切线方程为()()200()()x a x a y b y b R --+--=．结论五：点()00 M x y ，在圆2()x a -+22()y b R -=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()()200()()x a x a y b y b R --+--=．结论六：点()00 M x y ，在圆2()x a -+22()y b R -=内，过点M 作圆的弦AB (不过圆心)，分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为()0()x a x a --+()20()y b y b R --=．三、椭圆相关结论结论七：点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>上，过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y y ab+=．结论八：点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y y a b +=．结论九：点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>内，过点M 作椭圆的弦AB (不过椭圆中心)，分别过 A B ，作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线02x x a+021y y b=．证明：由上述结论八可得过() P P P x y ，的椭圆的切点弦AB 的直线方程为2P x x a +21P y y b =，又弦AB 过点()00 M x y ，，即02P x x a +021P y y b =，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线00221x x y y ab+=．四、双曲线相关结论结论十：点()00 M x y ，在双曲线2222x y a b-=1(0 0)a b >>，上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b -=．结论十一：点()00 M x y ，在双曲线22x a-221(0 0)y a b b =>>，外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y y ab-=．结论十二：点()00 M x y ，在双曲线22x a-221(0 0)y a b b =>>，内，过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心)，分别过 A B ，作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00221x x y y ab-=．五、抛物线相关结论结论十三：点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >上，过点M 作抛物线的切线方程为()00y y p x x =+．结论十四：点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()00y y p x x =+．结论十五：点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过 A B ，作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()00y y p x x =+．切线方程问题【例1】若点()00 P x y ，为曲线22:43x y C +=1上任意一点．证明：直线00:34l x x y y +-120=与曲线C 恒有且只有一个公共点．【解析】证明：(1)当00y =时，由2200143x y +=可得02x =±．①当002 0x y ==，时，直线l 的方程为2x =，直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2 0)，．②当002,0x y =-=时，直线l 的方程为2x =-，直线l 与曲线C 有且只有一个交点( 2 0)-，．(2)当00y ≠时得001234x x y y -=，代入22143x y +=，消去y 整理得()22220000432448160yx x x x y +-+-=． ①由点()00 P x y ，为曲线C 上一点，故2200143x y +=，即22034120x y +-=， 于是方程①可以化简为202x x x -+20x =，解得0x x =．将0x x =代入001234x xy y -=得0y y =．说明直线与曲线有且只有一个交点()00 P x y ，． 综上，不论点P 在何位置，直线0:3l x x +04120y y -=与曲线C 恒有且只有一个交点，交点即()00 P x y ，．【例2】已知抛物线y 2＝x 的焦点为F ，()()0000 M x y y ≠，为抛物线上一点． 证明：过M 点的切线万程为：0020x y y x -+=． 【解析】证明：由已知，切线的斜率存在且不等于0． 设过M 点的切线方程为0(y y k x -=-)0x ， 则联立方程()002y y k x x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消去x 化简可得2000ky y y kx -+-=． ∵直线与抛物线相切，则()00140k y kx ∆=-⋅-=，得2004410x k y k -+=，而点()()0000 M x y y ≠，为抛物线上点，则20y x =，代入可得22004410y k y k -+=，∴012k y =． ()00012y y x x y -=-，即02x y y -+00x =．用切点弦结论解决定点、定值问题【例1】已知椭圆22:16x E y +=，点P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为 A B ，，求证：直线AB 过定点．【解析】证明：设切点为()()1222 A x y B x y ，，，，点(3 )P t ，． 由切线方程结论得直线AP 方程为1116x x y y +=，直线BP 方程为2216x xy y +=． 通过点1122316(3 ) 316x y t P t x y t ⋅⎧+=⎪⎪∴⎨⋅⎪+=⎪⎩，，，∴ A B ，满足方程：12x ty +=．∴直线AB 恒过点(2 0)，．【例2】过椭圆2213:144x y C +=上异于其顶点的任一点Q ．作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为 ( M N M N ，，不在坐标轴上)，若直线MN 的横纵截距分别为m n ，，求证：22113m n+为定值． 【解析】设点()00 Q x y ，，点()11 M x y ，，点()22 N x y ，，由 M N ，是切点可得101020204343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．∵两点唯一确定一条直线，∴直线004:3MN x x y y +=，即0014433x y x y +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由截距式可知0044 33m n x y ==，，()2222000622111999331616483x y x y m n∴+=⋅+=+． ∵Q 在椭圆1C 上，∴22034x y +=．()220022119334843x y m n ∴+=+=，即22113m n +为定值34． 用切点弦结论解决最值问题【例1】已知抛物线2y x =的焦点为F ，点()()0000 M x y y ≠，为抛物线上一点，过直线2x =-上一点N 作抛物线的两条切线，切点为 A B ，，求ABO ∆与AFO ∆(O 为抛物线的顶点)面积之和的最小值．【解析】设点()11 A x y ，，点()22 B x y ，．由切点弦结论可知切线NA 的方程为1120 x y y x NB -+=，的方程为22x y y -+20x =．设 NA NB ，均过 (2)N m -，，∴1122220220 my x my x --+=--+=，． 故AB 的方程为220x my --=，由此可得AB 恒过定点(20 )G ，．联立2220x my y x--=⎧⎪⎨=⎪⎩得22y my --20=，12122 2y y m y y +==-，．设10y >，则20y <，∴()1212ABO AFO S S OG y y ∆∆+=⋅-+()1121111122224OF y y y y ⨯⋅=⨯-+⨯=1298y y -1119292388y y y =+⋅=，当且仅当11928y y =，即143y =时，等号成立． ∴ABO AFO S S ∆∆+的最小值为3．【例2】如下图所示，过圆22:(2)E x y ++1=上任意一点G ，作抛物线2:4C x y =的两条切线12 l l ，，与抛物线相切于点 M N ，，与轴分别交于点 A B ，，求四边形ABNM 面积的最大值．【解析】设点()11 M x y ，，点()22 N x y ，，点()000[31] G x y y ∈--，，，．切线AM的方程为1122x x y y =+，切线BN 的方程为2222x x y y =+．点()00 G x y ，在两切线上，从而满足()()1010202022x x y y x x y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，因此切点弦MN 的方程为()002x x y y =+．直线MN 与抛物线24x y =进行方程联立并化简得200240x x x y -+=，从而12012024x x x x x y +=⎧⎨=⎩，且||MN ==点()00 G x y ，到直线MN 的距离为d =， 12GMN GABABNM S S S ∆∆∴=-=四边形．012y ⋅121222y y x x -()32200121424y x y x x =-+-()32200142x y =-+()20004x y y=-+()20073y y=---，当[ 3 1]y∈--，=133，2200073773924y y y⎛⎫---=-++⎪⎝⎭，当且仅当3y=-时，两个等号同时成立，∴四边形ABNM的最大值为用切点弦结论解决范围问题【例1】经过圆22:10O x y+=上一动点P作椭圆22:19xC y+=的两条切线，切点分别记为A B，，求AOB∆面积的取值范围．【解析】设点()11A x y，，点()22B x y，，则直线PA的方程为1119x xy y+=，直线PB的方程为2219x xy y+=．∵()00,P x y在直线PA PB，上，∴102010201 199x x x xy y y y+=+=，．∴直线AB的方程为019x xy y+=．由221919x xy yxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，结合220010x y+=，利用220010x y=-，同时消0x y，得()2220008101881810y x x x y+-+-=，∴()24200188y y∆=+，∴12||AB x x=-==2281810yy+=+．又∵点O到直线AB的距离d==．228111||22810yS AB dy+=⋅=⋅⋅+99810y==+，又2010y，∴记[1 9]t，，∴993[6 10]102t St⎡⎤+∈⇒∈⎢⎥⎣⎦，，．【例2】以椭圆221:142x yC+=的长轴为直径作圆2C，过直线x=-点T，作圆2C的两条切线，设切点分别为A B，，到直线AB与椭圆1C文于不同的两点C D，，求||||ABCD的取值范围．【解析】由题意可得圆222:4C x y+=．设点()T t-，，点()11A x y，，点()22B x y，，由圆的性质可得直线11:4AT x x y y+=，直线2:BT x x+24y y=，代入()T t-，可得112244tyty⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴点A B，满足方程40ty-+-=．则O到AB的距离O ABd-，∴||AB==下面计算||CD：联立方程()2222416824tyt y tyx y⎧-+=⎪⇒+--⎨+=⎪⎩160=．设点()33C x y，，点()44D x y，，3434228161616ty y y yt t∴+==-++，．∴()212248||16tCD y yt+=-=+，∴()22||16||48AB tCD t+==+22168tt++．不妨设28(8)m t m=+．||||ABCD=设118s sm⎛⎫=<⎪⎝⎭，||||ABCD∴=设3()112256f s s s=+-，21()1276808f s s s'=-=⇒=，∴()f s在18⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，()(1 2]f s∴∈，，即||(1||ABCD∈。
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文圆锥曲线是一类由一条直线和一个定点（焦点）生成的曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、抛物线和双曲线。
在数学和物理学中，圆锥曲线的切线方程和切点弦方程是非常重要的应用。
一、圆锥曲线的切线方程1.椭圆的切线方程椭圆是一个凹向两侧的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
如果椭圆上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$2.抛物线的切线方程抛物线是一个开口向上或向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若抛物线的标准方程是$y^2=4ax$其中a是抛物线的焦点到曲线的距离。
如果抛物线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{1}{2a}(x-x1)$3.双曲线的切线方程双曲线是一个开口向上和向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是双曲线的距焦点到曲线的距离。
如果双曲线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$二、圆锥曲线的切点弦方程1.椭圆的切点弦方程椭圆的切点弦方程表示的是通过椭圆上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果椭圆上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），椭圆的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$2.抛物线的切点弦方程抛物线的切点弦方程表示的是通过抛物线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果抛物线上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），抛物线的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$3.双曲线的切点弦方程双曲线的切点弦方程表示的是通过双曲线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
高中数学圆锥曲线重要结论.总结
圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=. 8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
(完整版)圆锥曲线的切线方程总结(附证明)
运用联想探究圆锥曲线的切线方程现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆222r y x =+上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为200r y y x x =+。
那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点),(00y x M 切线方程为12020=+by y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆12222=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+byy a x x证明：（1）22221x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b'+=，得0202x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为200020()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。
（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别为),(11y x A 、),(22y x B 。
由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b yy a x x 、12222=+b yy a x x 。
又因),(00y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、1202202=+b y y a x x 。
观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+byy a x x 。
评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a bya x 上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程12020=+byy a x x 表示直线的几何意义亦不同。
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程教学目标：1) 掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
2) 能够使用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
3) 通过复渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1.引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2.知识点回顾：1) 过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$(x_0,y_0)$的切线方程为：$xx_0+yy_0=r^2$2) 设$P(x,y)$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$3) 设$P(x,y)$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$4) 设$P(x,y)$为抛物线$y^2=2px$上的点，则过该点的切线方程为：$y=y_0+p(x+x_0)$圆锥曲线切线的几个性质：1) 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径。
同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。
2) 过椭圆的焦点$F_1$的直线交椭圆于$A$，$B$两点，过$A$，$B$两点作椭圆的切线交$PF_1\perp AB$于点$P$，则$P$点的轨迹是焦点$F_1$的对应的准线，并且同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。
3.例题精讲：1) 练1：已知抛物线$y=ax^2(a>0)$与直线$x=1$围成的封闭图形的面积为3，若直线$l$与抛物线相切，且平行于直线$2x-y+6=0$，则直线$l$的方程为。
圆锥曲线的切线与法线的解析
圆锥曲线的切线与法线的解析圆锥曲线是数学中的一种重要曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在研究这些曲线时，我们经常需要求解曲线上某一点处的切线和法线。
本文将介绍圆锥曲线的切线和法线的解析方法。
一、椭圆的切线与法线椭圆是平面上一点到两个给定点（焦点）距离之和等于常数的点的轨迹。
对于椭圆上的任意一点P(x, y)，我们来求解它的切线和法线。
1. 切线的解析式设椭圆的焦点为F₁和F₂，椭圆上的点P(x, y)。
连接F₁P和F₂P，并垂直平分F₁P和F₂P的中垂线，交椭圆于点M。
连接点M和点P，我们发现线段MP恰好就是切线。
由于F₁M = F₂M，根据垂直平分线的性质，有F₁P = F₂P。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则F₁M = F₁P - MP = a - xF₂M = F₂P + MP = a + x根据椭圆的定义，有F₁P + F₂P = 2a。
结合上面的等式，我们可以得到：2(a - x) + 2(a + x) = 2a4a = 2ax = a即当P(x, y)在椭圆的长轴上时，切线与椭圆的长轴垂直。
因此，椭圆的切线方程可以表示为：x = a当P(x, y)不在椭圆的长轴上时，切线的斜率可以通过求解导数来得到。
设椭圆的方程为x²/a² + y²/b² = 1，对该方程两边求导得：2x/a² + 2y/b² * dy/dx = 0dy/dx = -x(a²/b²)可以看出，切线的斜率等于曲线在切点处的导数值。
再通过点斜式求解切线的方程，即可得到椭圆上任一点的切线方程。
2. 法线的解析式椭圆上任意一点P(x, y)处的法线垂直于切线。
设法线的斜率为k，由于切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，所以有k = -x(a²/b²)。
通过点斜式求解法线的方程，设法线与切点P(x, y)的坐标为(Nx, Ny)，有：(Nx - x) / (Ny - y) = -x(a²/b²)(Ny - y) = (x² - a²) / (b²x)由于法线过点P(x, y)，代入坐标可得：(Nx - x) / ((Nx² - a²) / (b²Nx) - y) = -x(a²/b²)化简以上方程可以得到椭圆上任一点的法线方程。
圆锥曲线的切点弦与应用
圆锥曲线的切点弦探究题引：由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，求即切点弦方程．一探：切点弦在圆中剖析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为()13-=-x k y ，利用r d =，求出k ，进而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可．尽管运算较复杂，但却是解析几何中最基础、最重要的方法．解法1：如图75—1所示，设过P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：()13-=-x k y ⇒03=-+-k y kx ．由题意易得r d =⇒3132=+-k k⇒0=k ，或43-=k ．故设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：1l ：3=y ，2l ：01543=-+y x ． 设两个切点分别为A 、B ，则联立3=y 与922=+y x ⇒)30(，A ．01543=-+y x 与922=+y x ⇒B （51259，）．故由两点式或点斜式易得两切点A 、B 所在的直线方程为093=-+y x ．剖析2：如图75—1所示，设两个切点分别为A 、B ，利用逆向思维及抽象思维，由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，亦可看作分别过A 、B 作圆922=+y x 的两条切线相交于P ．解法2：设切点A(11y x ，)，切点B(22y x ，)，则过A ，B 的圆的切线方程为：3l ：0911=-+y y x x ，4l ：0922=-+y y x x ．又3l 及4l 都过P(1，3)，由此得到09311=-+y x ， 09322=-+y x ．从具体到抽象，则过两个切点的直线方程为093=-+y x ．剖析3：因为过P(1，3)引922=+y x 的两条切线切线分别为PA 、PB ，则有2π=∠PAO ，2π=∠PBO ．联想到初中的四点共圆，得到巧解．解法3：如图75—1所示，由图和题意及上面的剖析得到四点P 、A 、O 、B 共圆，且圆的直径为OP ，以直径的OP 为直径的圆的方程为：0322=--+y x y x ．那么过A ，B 的直线就是圆0322=--+y x y x 与圆922=+y x 的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析4：由上述解法3得到启示，切点弦其实就是以P 点为圆心，以PA 为半径的圆与圆922=+y x 的公共弦．解法4：由题意易得PO =10，在POA Rt ∆中，PA =1，则以P 点为圆心，以PA 为半径的圆的方程为1)3()1(22=-+-y x ，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质．解法5：设两个切点分别为A 、B ，连接AB 与PO 相交于Q ，则有=OQ k OP k 30103=--=31-=⇒AB k ． 由于直线OQ 的方程为x y 3=，于是令)3(x x Q ，，利用 OBP ∆∽OQB ∆⇒OBOQOP OB =⇒3)30()0()30()10(32222x x -+-=-+-⇒109=x ⇒)1027109(，Q ⇒⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 这正是所要求的切点弦AB 的直线方程．剖析6：利用定比分点公式得到一种很少人使用的好方法．解法6：如图75—1所示，连接AB ，PO ，设AB 与PO 相交于点C ，则由平面几何中的射影定理等知识得到=COPC =POCO PO PC 22OAPA =91⇒λ=91． 由定比分点公式得到C x =9111+=109，C y =9113+=1027．上述解法5已得31-=AB k ，由直线的点斜式得到 ⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 二探我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切得到的交点，因此我们先从圆锥曲线的切线入手来展开探究．结论1：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+上，过点M 作圆的切线方程为200R y y x x =+．结论2：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200R y y x x =+．结论2：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．证明：由上述结论2可得过)(p p y x P ，的圆的切点弦AB 的直线方程为2R y y x x P P =+．又弦AB 过点M （0x ，0y ），即200R y y x x P P =+，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．上述结论能推广到圆心不在原点的情况吗？回答是肯定的！结论3：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-上，过点M 作圆的切线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：200))(())((R b y b y a x a x =--+--．那么对于圆的一般方程呢？也会得到同样的结论吗？结论5：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 上，过点M 作圆的切线方程为0220000=++++++F yy E x x Dy y x x ． 结论6：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 结论6：（补充）点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 运用类比推理，那么椭圆会有相似的结论吗？回答是肯定的！ 我们知道：椭圆方程可以通过变换得到圆的方程，于是得到结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ． 证明：由上述结论8可得过)(p p y x P ，的椭圆的切点弦AB 的直线方程为122=+byy a x x P P ，又弦AB 过点M （0x ，0y ），即12020=+by y a x x P P ，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线12020=+byy a x x ． 我们知道圆与椭圆均属于封闭曲线，那对于非封闭曲线，如双曲线是否也有同样的性质呢？回答也是肯定的！结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ． 我们知道圆、椭圆及双曲线均属于有心二次曲线，那对于无心二次曲线，如抛物线来说，上述性质能继续得到延伸吗？回答还是肯定的！结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=．上述研究的都是圆锥曲线的标准形式，那么对于圆锥曲线的非标准形式是否也有类似的结论呢？结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-b n y a m x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 内，过点M 作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ．结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．由上述结论8、10、12及结论16、17、18可得：结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．以下证明结论19:证明如下：设椭圆方程为12222=+by a x ，M⎪⎪⎭⎫⎝⎛t c a ，2，由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12=+btyc x ，显然过焦点)0(，c F ．当然容易验证：1-=⋅MF AB k k ． 同理可证结论20、21．事实上，结论19、20、21的逆命题也是成立的．由此得到：结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上．结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．以下证明结论22:证明如下：设M （0x ，0y ），由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ，因过焦点)0(，c F ，则有120=acx ，即c a x 20=，故点M 必在相应的准线c a x 2=上． 同理可证结论23、24．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27：M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．以下证明结论27：证明如下：由结论21可得AB 必为切点弦，因点M 在对称轴上，由对称性可得A ，B 也关于对称轴对称，故AB 就是通径．同理可证结论25、26．结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论11得到切线AM 的方程为)(11x x p y y +=．又切线AM 过)0,(m M -（0>m ），代入推出m x =1，同理m x =2，即切点弦AB 所在的直线方程为m x =，故必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ； （2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论7得到切线AM 的方程为12121=+byy a xx ． 又由于切线AM 过点),(n m M ，则得到12121=+bny a m x ． （1）当0=n ，a m >时，即点M 在x 轴时，代入得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． （2））当0=m ，b n >时，即点M 在y 轴时，代入得到n b y 21=，同理n b y 22=，即切点弦AB所在的直线方程为n b y 2=，故必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ． 证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论9得到切线AM 的方程为12121=-byy a xx ．又由于切线AM 过点)0,(m M ，则得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． 结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．证明如下：如图所示，令),2(121y p y A ，),2(222y pyB ，则221y y y N +=，又由结论11得到切线AM ，BM 的方程分别为：)2(211p y x p y y +=，)2(222p yx p y y +=⇒)(21y y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-p y y y y p 2))((2121 ⇒M y 221y y +=⇒N M y y =．故直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）与双曲线12222=-ny m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．证明如下：由题意易得2222n m b a +=-⇒2222n b m a +=-．令其交点M （0x ，0y ），则代入上述椭圆及双曲线方程得到1220220=+b y a x ，122220=-ny m x ⇒220y x =)()(22222222m a n b n b m a -+．依据结论7及结论9得到过点M 的椭圆与双曲线的切线方程分别为：12020=+b y y a x x ，12020=-nyy m x x ⇒21k k =20202222y x m a n b ⋅-=2222ma nb -+-=1-． 结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设椭圆方程为：12222=+b y a x （0>>b a ）由已知条件易得BQAQ BPAP =，令P 分有向线段AB 所成的比为λ，结合图便知Q 分有向线段AB 所成的比为λ-，设),(00y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x Q ，由定比分点公式推出⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x ⇒⎩⎨⎧+=++=+210210)1()1(y y y x x x λλλλ． ⎪⎩⎪⎨⎧--=--=λλλλ112121y y y x x x ⇒⎩⎨⎧-=--=-2121)1()1(y y y x x x λλλλ． 由上述两式结合并相乘得到⎩⎨⎧-=--=-22221202222120)1()1(y y yy x x xx λλλλ ⇒⎩⎨⎧-=--=-)()1()()1(222212220222212220y y a a yy x x b b xx λλλλ． ① 事实上，两个交点A ，B 都在椭圆上，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222221221)(1λλb y a x b y a x ． 由上述两式结合并相减整理得到+-)(222212x x b λ)(222212y y a λ-=)1(222λ-b a ． ②由①及②推出12020=+byy a x x ． 由结论33及圆锥曲线的共性同理可得：结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论33及其结论34的证明完全雷同于结论33的证明过程．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设双曲线方程为：12222=-b y a x （00>>b a ，），我们令),(00y x P ，),(''y x Q ，由前面结论10可得切点弦AB 所在的直线方程为12'2'=-byy a xx ，又点P 在直线AB上，则12'02'0=-by y a x x ，即),(''y x Q 在直线12020=-b y y a x x ，故动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．由结论36及圆锥曲线的共性同理可得：结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论37及其结论38的证明完全雷同于结论36的证明过程．结论39：从椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．三、一题多用的教学价值应用1．（补充）（2011年江西省高考试题）椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点⎪⎭⎫⎝⎛211，作圆122=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程．分析如下：由上述结论2可得切点弦AB 的直线方程为121=+y x ，因此可得右焦点为 )01(，，上顶点为)20(，，即1=c ，1=b ，故椭圆的方程为14522=+y x ． 应用2：（补充）（2012年福建省厦门一中模拟试题）设P 是抛物线x y 22=上的一个动点，过点P 作抛物线的切线与圆：122=+y x 相交于M 、N ，分别过M 、N 作圆的切线相交于Q ，求动点Q 的轨迹方程．分析如下：设)(00y x P ，，)(11y x Q ，，显然0202x y =，由上述结论11可得过点)(00y x P ，的抛物线的切线MN 方程为00x x y y +=，再由上述结论2可得过点)(11y x Q ，的圆的切点弦MN 直线方程为111=+y y x x ，依据两条直线重合，则对应项系数成比例得到101x x -=，110x y y -=，并代入0202x y =得到1212x y -=． 联立方程组：122=+y x 与00x x y y +=得到012)1(2000220=-+-+x y y x y y ，利用判别式可得0>∆，即2100+<<x ，即211-<x ，故动点Q 的轨迹方程1212x y -=，且211-<x ，即动点Q 的轨迹方程x y 22-=（21-<x ）．应用1．（2010年浙江省高中会考试题）设点)(n m P ，在圆222=+y x 上，l 是过点P 的圆的切线，且切线l 与抛物线k x x y ++=2相交于A ，B ． （1）若2-=k ，点P 恰好是线段A B 的中点，求点P 坐标；（2）是否存在实数k ，使得以A B 为底边的等腰三角形AOB 恰有3个？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．分析如下：（1）由结论1可得切线l 的方程为2=+ny mx （0≠n ），设)(11y x A ，，)(22y x B ，，将切线l 的方程与抛物线方程联立可得0)1(2)(2=+-++n x n m nx⇒m nm x x =+-=+221⇒mn n m -=+． 将之与222=+n m 联立解得⎩⎨⎧-=-=11n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=231231n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=231231n m ． 代入0>∆验证可得)11(--，P ，)231231(+-，P ． （2）由（1）可得以A B 为底边的等腰三角形AOB 当且仅当点P 恰好是线段A B 的中点，等腰三角形AOB 恰有3个可相应地转化为点P 有三解，故只要（1）中的三个解都满足0>∆，可得2331--<k ． 应用2．（课本习题）求证：椭圆192522=+y x 与双曲线111522=-y x 在其交点处的切线相互垂直． 证明如下：易得椭圆与双曲线的焦点相同，由结论32即可得证．应用3．（2008年安徽省高考试题压轴题第22题）设椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）过点)1,2(M ，且左焦点)0,2(1-F ．（1）求该椭圆的方程；（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，在线段AB 上任取一点Q ，=，证明点Q 总在某条定直线上．分析如下：（1）由已知易得所求椭圆的方程为12422=+y x ． （2）直接利用结论33即可得证．应用4．（2008年江西省高考试题第21题）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程； （2）求证：A M B 、、三点共线．分析如下：（1）（略）．（2）由结论10显然可得切点弦AB 所在的直线方程为100=-y y x x ，由于点P 的坐标为（m ，0y ），即m x =0，于是切点弦AB 所在的直线方程为10=-y y mx ，显然定点M (m1，0)满足该方程，于是三点A M B 、、共线．值得注意的是：其实，纵观近几年的高考试题，不难发现一个共同之处，那就是如果压轴题是解析几何，几乎其结论都是带有规律的普遍性结论，如2008年江西省高考试题第21题就是结论36的特例，2008年安徽省高考试题压轴题第22题就是结论33的一个特例．应用5．（2008年南通市第一次调研试题）已知点)10(，F ，点P 在x 轴上运动，点M 在y 轴上，N 为动点，且满足：0=⋅，+=．（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）由直线1-=y 上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．分析如下：（1）设)(y x N ，代入已知条件易得动点N 的轨迹C 的方程为y x 42=． （2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论21可得AQ ⊥BQ ．应用6．（2006全国高考试题）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（1）证明FM →·AB →为定值；（2）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．证明如下：（1） F 点的坐标为(0,1)设点A 、点B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由(0).AF FB λλ=>可得221212,1,144x x x x λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒1222121(1)44x x x x λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩． 由上述结论11可得过A 点、B 点的切线方程分别为2111()42x x y x x -=-，2222()42x xy x x -=-．联立可得点M 的坐标，代入得到FM →·AB →=0． （2）由（1）可得FM AB ⊥，我们易得2FM AB ==⇒2)(ABFM f S ⋅==λ=41213≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλ（当且仅当1λ=时取等号）．应用7．（2008年广东省（理科）高考试题）椭圆方程122222=+by b x （0>b ），抛物线方程为)(82b y x -=．如图所示，过点)20(+b F ，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 处的切线经过椭圆的右焦点1F ． （1）求满足条件的椭圆与抛物线方程；（2）设A ，B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．分析如下：（1）事实上，点)20(+b F ，就是抛物线的焦点，易得)24(+b G ，，由上述结论15易得抛物线在点G 处的切线方程为2-+=b x y ，显然椭圆的右焦点1F )0(，b ，代入得到1=b ，故椭圆方程11222=+y x ，抛物线方程为)1(82-=y x ．（2）因为过点A 作x 轴的的垂线与抛物线只有一个交点P ，所以以PAB ∠为直角三角形只有一个；同理以PBA ∠为直角三角形也只有一个．若以APB ∠为直角，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+1812x x P ，，因为)02(，-A ，)02(，B ，则有⋅=14564124-+x x =0． 易得上述方程只有两解，即以APB ∠为直角的三角形存在两个． 综上所述，抛物线上存在四个这样的点P ，使得ABP ∆为直角三角形． 应用8．证明结论39．证明如下：设椭圆上切点M )sin cos (ααb a ，，由结论7可得过点M 的切线方程为1sin cos 22=+by b a x a αα⇒ab y a x b =+ααsin cos ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααsin cos sin ac y b x a =-． 上述两式平方相加即可得证．四、一组巩固训练题练习1．从191622=-y x 的右焦点向双曲线的动切线引垂线，求垂足的轨迹图形的面积． 练习2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点)10(，B ，点)0(，a A （0≠a ）是x 轴上的动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使得AD AP =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）点Q 是直线1-=y 上的一个动点，过点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求证：MQ ⊥NQ ．练习3．（2005年江西省高考试题）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程； （2）证明∠PFA=∠PFB ．练习4．（2010年江西省九江一中模拟试题）开口向上的抛物线2:ax y C =与经过点)0,3(A 且斜率为)0(<k k 的直线l 相交于点M 、N ，已知抛物线C 在点M 、N 处的切线所成的角为55arccos，并且18||||=AN AM ，求直线l 与抛物线C 的方程． 练习5．证明结论40．练习6．（2004年济南市高考模拟试题）过椭圆C ：14822=+y x 上一点)(00y x P ，向圆O ：422=+y x 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴相交于M 、N ． （1）试用0x ，0y 来表示直线AB 的方程； （2）求MON ∆面积的最小值．练习7．（2005年福建省模拟试题）从直线x y =上任一点P 引抛物线12+=x y 两条切线，切点分别为A ，B ，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程．五、巩固训练题参考答案1．分析如下：由结论40可得垂足的轨迹方程为1622=+y x ，则图形面积为π16．2．分析如下：（1）易得动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=（0≠y ）．（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论可得MQ ⊥NQ ．3．分析如下：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，由上述结论11可得切线AP ，BP 的方程分别为为：02200=--x y x x ，02211=--x y x x ，解得10102x x y x x x P P =+=， ⇒P PG x x x x x =++=310，3310212010x x x x y y y y P G ++=++=343)(210210pP y x x x x x -=-+= ⇒243GG p x y y +-=． 由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：02)43(2=-+--x y x ⇒)24(312+-=x x y ．（2）).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x由于P 点在抛物线外，则0||≠FP ，由此可得||||cos FA FP AFP =∠41)1)(1(102010010x x x x x x x x +=--+⋅+=． 同理可得41cos 10x x BFP +=∠，故∠AFP=∠PFB ．4．分析如下：设),(211ax x M 、),(222ax x N ，不妨设M 在第一象限，N 在第二象限，由结论11可得抛物线在点M 处的切线斜率为12ax ，点N 处的切线斜率为22ax ，设两条切线所成的角为α，则2tan =α，即241)(221212=+-x x a x x a ⇔)(4112212x x a x x a -=+． ① 由于M 、N 、A 共线，所以33222121-=-x ax x ax ⇒)(32121x x x x += ． ②由已知18||||=⋅AN AM ，则有18),3(),3(222211=-⋅-ax x ax x ⇒933222122121=+--x x a x x x x ．将②代入得到922212=x x a ，又0>a ，01>x ，02>x ，则有321-=x ax ，ax x 321-=． ③ 将③代入②得到ax x 121-=+． ④ 将③代入①得到12112-=-ax x ． ⑤ 将③、④、⑤代入21221212)(4)(x x x x x x +=+-得到22)1()3(4)121(a a a -=-+-⇒41=a ，0=a （舍去）． 将41=a 代入④、⑤得6,221-==x x ． 故直线l 的方程为：3+-=x y ，抛物线C 的方程：241x y =． 5．证明如下：设双曲线上切点M )tan sec (ααb a ，，由结论9可得过点M 的切线方程为1tan sec 22=-by b a x a αα⇒ab y a x b =-ααtan sec ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααtan sec tan ac y b x a =+．上述两式平方相加即可得证．6．分析如下：（1）由结论2可得直线AB （切点弦）的方程为400=+y y x x ．（2）由（1）易得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040，x M ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040y N ，，则三角形面积公式及均值不等式可得 =S 008y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛22222200y x 2248222020=+≥y x ． 7．分析如下：设)(00y x P ，，)(y x Q ，，)(11y x A ，，)(22y x B ，，由结论12可得切点弦AB 的方程为1200+=+x x y x ，即02200=-+-x y x x ，与12+=x y 联立得到 012002=-+-x x x x ⇒0212x x x =+．)22()22(02001021x x x x x x y y -++-+=+=424020+-x x⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+==+=222202021021x x y y y x x x x ⇒222+-=x x y ．。
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧阐述
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧阐述圆锥曲线是解析几何中的重要内容，其中包括椭圆、双曲线和抛物线等。
在研究圆锥曲线的性质时，常常需要找到曲线上某点处的切线和法线方程。
本文将重点探讨圆锥曲线的切线和法线方程求解技巧。
1. 切线的求解技巧切线是曲线在某一点处的切线，它与曲线仅相交于该点。
我们可以通过求解切线的斜率和通过给定点的方程来确定切线方程。
为了求解切线，首先需要求曲线在某点处的导数。
以椭圆为例，其方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b）。
假设我们要求解椭圆上一点P的切线方程，P的坐标为(x0, y0)。
（1）求解切线斜率：椭圆的导数可以通过隐函数求导法求得。
对椭圆方程两边同时求导，得到2x/a^2 + 2yy'/b^2 = 0。
将点P的坐标代入上式，可得到斜率m = -xb^2/ya^2。
（2）切线的方程：切线方程的一般形式为y - y0 = m(x - x0)。
将m和P的坐标代入切线方程中，可得到椭圆上点P处的切线方程。
2. 法线的求解技巧法线是与切线垂直的直线。
与切线类似，我们可以通过求解法线的斜率和通过给定点的方程来确定法线方程。
为了求解法线，同样需要求曲线在某一点处的导数。
以抛物线为例，其方程为y^2 = 4ax（a > 0）。
假设我们要求解抛物线上一点P的法线方程，P的坐标为(x0, y0)。
（1）求解法线斜率：抛物线的导数可以通过隐函数求导法求得。
对抛物线方程两边同时求导，得到2yy' = 4a。
将点P的坐标代入上式，可得到斜率m = -1/(2a)。
（2）法线的方程：法线方程的一般形式为y - y0 = -1/m(x - x0)。
将m和P的坐标代入法线方程中，可得到抛物线上点P处的法线方程。
3. 切线和法线方程求解实例通过以上技巧，我们可以来解决一个具体的求解问题。
示例：求解椭圆x^2/4 + y^2/9 = 1上点P(2, 3)处的切线和法线方程。
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结谢吉【摘要】 切点弦方程是平面解析几何中的热点问题，求常见曲线的切点弦方程也成 了近年来高考的热门题型。
随着导数的引入 , 它的内涵更加深刻、题型更加丰富 熟练掌握切点弦方程的基本知识点，熟记圆锥曲线切点弦的基本性质，巧妙的应用 切点弦的几个定理，能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。
本文将会总结出 常见曲线切点弦方程相关的知识点，探究圆锥曲线的基本性质，并对切点弦方程的 相关定理及应用技巧做简要介绍，其目的在于说明运用此定理可以有效简化解题过 程，提高解题速度，启迪思维开阔视野。
【关键词】：切点弦 圆锥曲线 1、常见曲线的切点弦知识点归纳 (1)圆的切点弦方程命题 1 过圆 C: x2+ y2= r2 外一点 M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA 、MB ， 则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2证明: 因为 OA MA , O B MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为 直径的圆 x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0 上 , 它与圆 C 的公共弦即为 AB 。
两圆方程相减 , 得切点弦 AB 所在的直线方程为 x0 x + y0y = r2 (2) 椭圆的切点弦方程x0x y0y12 21MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 a 2b 2也成立。
L : x 2x y2 y1MB 2 2a b 。
x1x 0 y 1y 0 1, x 2x 0 y 2y0 1 22 2 2又 M( x 0 , y 0 ) 在直线 MA 、 MB 上 , 则 a 2b 2a 2b2命题 22 x 2 过椭圆 C: a 22b y21外一点M ( x0 , y0 )作椭圆的两条切线 MA 、证明: 设 A ( x1 , y1 )、 B ( x2 , y2 )，将方程 2x 2a2y2212b 2两边对 x 求导2x 2 22y y '1a 2b 2。
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圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22221x y a b+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+byy a x x 。
12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay b k x bx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx xy x b ay a -=--，又'',x yx y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a-=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅，000022()()y y y x x x b a --=-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴2200221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y ya b+=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。
综上，推导完毕。
2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），一直线L 方程为：0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离⇔2222A a B b +<2C 。
12222=+by a x '2'2()()1x y +=推导：如图所示，在右图中根据点到直线的距离公式，易求得圆心O （0，0）到直线''':0L Aax Bby C ++= 的 距 离 d ==。
直线L 与椭圆C 相交⇔直线'L 与单位圆相交⇔d =<1⇔2222A a B b +>2C直线L 与椭圆C 相切⇔直线'L 与单位圆相切⇔d ==1⇔2222A a B b +=2C直线L 与椭圆C 相离⇔直线'L 与单位圆相离⇔d =>1⇔2222A a B b +<2C推导完毕。
3、椭圆切点弦推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），C 外一点P （00,y x ），过点P 作与C的切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：12020=+byy a x x12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，设椭圆切点1,122(),(,)A x y B x y ，转换后为圆上切点''1122(,(,x y x yA B a b a b。
当直线'OP 斜率存在且不为0，设直线'OP 、''A B 的斜率分别为1k ，2k ，易知'''OP A B ⊥，即121k k ⋅=-，1k =∴02101bx k k ay -==-，又切点弦经过点'11(,x y A a b ''A B 所在直线方程为：''0110()bx y xy x b ay a-=--，又'',x yx y a b==，∴椭圆切点弦AB 所在直线方程为：0110(bx y x y x b b ay a a-=--，化简得：0001012222x x y y x x y y a b a b +=+；又'00(,x y OP a b =，'11(,)x y OA a b =，''0011x y x y OP OA a a b b ⋅=⋅+⋅=010122x x y y a b +；又易知'OA =1，在''AOP Rt ∆中，''''cos OA A OP OP ∠=='1OP ，∴''''''cos OP OA OP OA AOP⋅=⋅⋅∠='1OP ⋅⋅'1OP =1，即''OP OA ⋅=010122x x y y a b +=1。
∴ 0001012222x x y y x x y y a b a b+=+=1。
当直线'OP 斜率1k =0，即'P 在'x 轴上时（即P 在x 轴上，00y =），P 0(,0)x ，转换后'0(,0)x P a，如下左图所示，设切点弦''A B 交'x 轴于点N ，在'AON Rt ∆与''AOP Rt ∆中，易知''''cos ON OA A ONOA OP ∠==，又易知'1OA =，'0x OP a =，故0aON x =，易知''A B ⊥'x 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0a x ON x ==又'xx a =，∴椭圆的切点弦AB 所在直线方程0x a a x =，整理得021x x a =，00y =，∴满足推论；同理，当直线'OP 斜率不存在，即'P 在'y 轴上时（即P 在y 轴上，00x =），0(0,)P y ，转换后'0(0,)y P b，如上右图所示，设切点弦''A B 交'y 轴于点E ，在'AOE Rt ∆与''AOP Rt∆中，易知''''cos OE OA A OE OA OP ∠==，又易知'1OA =，'0y OP b =，故0b OE y =，易知''A B ⊥'y 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0b y OE y ==又'yy b =，∴椭圆的切点弦AB 所在直线方程：0y b b y =，整理得021y y b =，00x =，∴也满足推论。
综上，推导完毕。
4、双曲线切线推论：已知双曲线C 方程221a b-=（a >0，b >0），C 上一点P （00,y x ），过点P且与C 相切的切线L 方程为：00221x x y ya b-=。
22221x y a b-= '2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay ib k x ibx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101ibx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y ibx xy x ib ay a-=--，又'',x yx y a ib==，∴双曲线切线L 方程为：000()y ibx x y x ib ib ay a a -=--，化简如下：0000y y ibx x x ib ay a--=-⋅，0000222()()y y y x x x i b a --=-， 220000222222x x y y x y a i b a i b +=+，又21i =-，即2200002222x x y y x y a b a b -=-；P(00,y x )是双曲线上点，∴2200221x y a b -=，即切线L 方程为：0022x x y ya b-=1； 当切线L 斜率不存在时，易知P （,0a ±），即0x a =±，此时切线L 方程为：x a =±，易知满足上式；当切线L 斜率为0，则L 与x 轴重合或平行，此时L 与双曲线C 便有两个交点，不满足相切条件，故切线L 斜率不可能为0；综上，推导完毕。
5、双曲线切点弦推论：已知双曲线C 方程221a b-=（a>0，b>0），C 外一点P （00,y x ），过点P作与C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：00221x x y ya b-=22221x y a b-='2'2()()1x y +=推导：如图所示，设双曲线切点1,122(),(,)A x y B x y ，转换后为圆上切点''1122(,),(,x y x y A B a ibaib。
当直线'OP 斜率存在且不为0，设直线'OP 、''A B 的斜率分别为1k ，2k ，易知'''OP A B ⊥，即121k k ⋅=-，1k =，∴02101ibx k k ay -==-，又切点弦经过点'11(,)x y A a ib ''A B 所在直线方程为：''0110()ibx y x y x ib ay a-=--，又'',x yx y a ib ==， ∴双曲线切点弦AB 所在直线方程为：0110()ibx y x y x ib ib ay a a -=--，化简如下：0110ibx y y x x ib ay a--=-⋅， 0101222()()y y y x x x i b a --=-，000101222222x x y y x x y y a i b a i b +=+，21i =-，即0001012222x x y y x x y y a b a b -=-（*），又'00(,x y OP a ib =，'11(,x y OA a ib =，故''0011x y x y OP OA a a ib ib ⋅=⋅+⋅=010122x x y y ab -；易知'OA =1，在''AOP Rt ∆中，''''cos OA A OP OP ∠=='1OP ，''''''cos OP OA OP OA AOP ⋅=⋅⋅∠='1OP ⋅⋅'1OP =1，∴''OP OA ⋅=010122x x y y a b -=1，代入上面（*）式得 00221x x y ya b-=；当直线'OP 斜率1k =0，即'P 在'x 轴上时（即P 在x 轴上，00y =），P 0(,0)x ，转换后'0(,0)x P a，如下左图所示，设切点弦''A B 交'x 轴于点N ，在'AON Rt ∆与''AOP Rt ∆中，易知''''cos ON OA A ONOA OP ∠==，又易知'1OA =，'0x OP a =，故0aON x =，易知''A B ⊥'x 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0ax ON x ==，又'xx a =，∴双曲线的切点弦AB 所在直线方程：0x a a x =，整理得021x x a =，00y =，∴满足推论；同理，当直线'OP 斜率不存在，即'P 在'y 轴上时（即P 在y 轴上，00x =），0(0,)P y ，转换后'0(0,)y P ib，如上右图所示，设切点弦''A B 交'y 轴于点E ，在'AOE Rt ∆与''AOP Rt ∆中，易知''''cos OE OA A OE OA OP ∠==，又易知'1OA =，'0y OP ib =，故0ib OE y =，易知''A B ⊥'y 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0ib y OE y ==又'yy ib =，∴双曲线的切点弦AB 所在直线方程：0y ib ib y =，整理得2021y y i b ==-，00x =，∴00022200(1)1x x y y y ya b b-=-=--=，也满足推论。