平面解析几何初步——直线与圆
高中数学第2章平面解析几何初步 直线与圆的位置关系同步练习湘教版选择性必修第一册
2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1 直线与圆的位置关系A级必备知识基础练1.(2022江苏盐城伍佑中学高二月考)点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，|PA|=1，则点P的轨迹方程是()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.x2+y2=2xD.x2+y2=-2x2.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是()A.k≤-2或k≥2B.k≤-2C.k≥2D.k≤-2或k>23.(2022山东高二学情联考)过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，则切线长为()A. B.2C.2D.4.(多选题)(2022重庆育才中学高二月考)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0，则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(4，3)B.圆M的半径为5C.圆M被x轴截得的弦长为6D.圆M被y轴截得的弦长为65.圆x2+y2-2x-8y+13=0截直线ax+y-1=0所得的弦长为2，则a=()A.-B.-C. D.26.已知圆C与直线x-y=0及x-y=4都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为.7.若点P(2，-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为.8.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0，直线l过点A(1，0).(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程;(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|.B级关键能力提升练9.(2020全国Ⅰ，文6)已知圆x2+y2-6x=0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.410.已知直线l:x-y+m=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，O为坐标原点，且=0，则实数m为()A.2B.2C.±2D.±211.(多选题)(2022云南罗平县高二检测)过点(2，2)，斜率为k的直线与圆x2+y2-4x=0的位置关系可能是()A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且经过圆心12.(多选题)(2022辽宁葫芦岛协作校高二联考)已知直线l:3x+4y=0，圆C:x2-4x+y2=m-5，则()A.m的取值范围为(0，+∞)B.当直线l与圆C相切时，m=C.当1<m<2时，l与圆C相离D.当直线l与圆C相交时，m的取值范围是13.已知k∈R，若直线l:y=kx+1被圆x2-2x+y2-3=0所截，则截得的弦长最短为，此时直线l的方程为.14.如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=2时，求直线l的方程.C级学科素养创新练15.(2022黑龙江大庆中学高二月考)若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为()A.2B.1C.D.16.若直线l:y=ax-3与圆C:x2+y2=4相交，求a的取值范围.参考答案2.6直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系1.B∵PA是圆的切线，|PA|=1且圆的半径为r=1，∴点P到圆心的距离恒为.又圆心(1，0)，设P(x，y)，由两点间的距离公式得(x-1)2+y2=2，即点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.故选B.2.A若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx-y-3=0的距离d=≤1，即≥3，∴k2+1≥9，即k2≥8，解得k≤-2或k≥2.∴圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是k≤-2或k≥2.故选A.3.D由圆C:(x+2)2+(y-1)2=5，可得圆心C(-2，1)，半径r=，过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，两条切线长相等，只取其中一条切线，设切点为M，则CM⊥PM，由题得|PC|==3，|CM|=r=，所以切线|PM|=.故选D.4.BD将x2+y2-8x+6y=0化为圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25，所以圆M的圆心坐标为(4，-3)，半径为5，故A错误，B正确;圆心(4，-3)到x轴的距离为3，所以圆M被x轴截得的弦长为2=8，故C错误;对选项D，圆心(4，-3)到y轴的距离为4，所以圆M被y轴截得的弦长为2=6，故D正确.故选BD.5.A将x2+y2-2x-8y+13=0化为(x-1)2+(y-4)2=4，则该圆圆心为(1，4)，半径为2.又弦长为2，则圆心到直线距离为=1.根据点到直线距离公式可知d==1，化简可得(a+3)2=a2+1.解得a=-，故选A.6.(x-1)2+(y+1)2=2设圆心为点C(a，-a)，由点到直线的距离公式得，解得a=1，所以圆心为(1，-1)，且半径为，故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.7.x-y-3=0圆心坐标为点C(1，0)，由题可得，k PC==-1.又|CP|⊥|AB|，因此k AB=1.因为直线AB过点P，可知直线AB的方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.8.解将圆C的方程化成标准式方程得(x-3)2+(y-4)2=22.(1)圆C的圆心坐标是(3，4)，半径为2.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1，满足题意;当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是y=k(x-1)，即kx-y-k=0.由圆心(3，4)到直线l的距离等于圆C的半径，可得=2，解得k=，故直线l的方程是3x-4y-3=0.综上所述，直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0.(3)由(2)可得直线l的方程是3x-4y-3=0.圆C的圆心是点C(3，4)，则|AC|==2，所以|AB|==4.9.B圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为=2<3，所以点(1，2)在圆内.如图所示，设圆心O1(3，0)，A(1，2)，当弦BC与O1A垂直时弦最短，因为|O1A|==2，|O1B|=3，所以|AB|==1，所以|BC|=2|AB|=2.10.C由=0可知∠AOB=90°.由于圆半径为r=2，则圆心(0，0)到直线l的距离d=，解得|m|=2，即m=±2，故选C.11.BC由题得，圆的标准方程为(x-2)2+y2=4，则圆心为(2，0)，半径为2.设过点(2，2)，斜率为k的直线为y=k(x-2)+2，即kx-y-2k+2=0，∴圆心到kx-y-2k+2=0的距离d=≤2，∴当d=2时，直线与圆相切;当d<2时，直线与圆相交但直线不过圆心.故B，C正确，A，D错误.故选BC.12.BC圆C的标准方程为(x-2)2+y2=m-1，则圆C的圆心为C(2，0)，半径r=，由r=>0，得m>1，故A错误;因为C(2，0)到直线l的距离为，所以当直线l与圆C相切时，r=，解得m=，故B正确; 当1<m<2时，0<r<1<，所以直线l与圆C相离，故C正确;当直线l与圆C相交时，，解得m>，故D错误.故选BC.13.2y=x+1圆x2-2x+y2-3=0的标准方程为(x-1)2+y2=22，所以圆心为O(1，0)，半径为r=2.直线l:y=kx+1过定点P(0，1).故|OP|=.当l⊥OP时，截得的弦长最短，则最短弦长为2=2.由题得，k OP=-1，所以k l=1，故直线l的方程为y=x+1.14.解(1)设圆A的半径为r.∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，∴r==2.故圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=-2，易得|MN|=2，符合题意;②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0.取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|=2，∴|AQ|==1.∴=1，解得k=.∴直线l的方程为3x-4y+6=0.综上，直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.15.C将方程x2+y2-2x-6y+1=0化为(x-1)2+(y-3)2=9，则圆心(1，3)，半径为3.∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，∴圆心(1，3)到直线y=kx的距离为1，即=1，解得k=.故选C.16.解(方法1)圆C:x2+y2=4的圆心C(0，0)，r2=4.直线l:y=ax-3可化为ax-y-3=0.圆心C(0，0)到直线l:ax-y-3=0的距离d=.由直线l与圆C相交可得r>d，则r2>d2，即4>，解得a>或a<-.因此a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.(方法2)将y=ax-3代入x2+y2=4得到x2+(ax-3)2=4，整理可得(1+a2)x2-6ax+5=0.因为直线与圆相交，则Δ=(-6a)2-4×(1+a2)×5=36a2-20-20a2=16a2-20>0，即a2>，解得a>或a<-，故a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.11。
高中数学典型例题解析(第七章平面解析几何初步1)
第七章 平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|.2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x .3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
直线方程的形式很多，但必须注意各种.5．两条直线的夹角。
当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ=21121k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2⇔1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2⇔1k ·2k = -1（2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1，B 2都不为零时，有以下结论：①l 1∥l 2⇔21A A =21B B ≠21C C②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交⇔21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合⇔21A A =21B B =21C C 7．点到直线的距离公式.（1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离d =2200||BA C By Ax +++；（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离d=2221||BA C C +-.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
直线与圆的位置关系.ppt
d<r d=r d>r
d
第二章
平面解析几何初步
3．代数判定法： ．代数判定法：
Ax＋By＋C＝0 ＋ ＋ ＝ (x－a)2＋(y－b)2＝r2 － －
相交 ； (2)∆＝0⇔直线与圆 相切 ＝ ⇔ ； (1)∆>0⇔直线与圆 ⇔ (3)∆<0⇔直线与圆 ⇔ 相离 ．
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在圆内时， 当P在圆内时，直线与圆的位置关系： 相离 在圆内时 直线与圆的位置关系： 在圆上时， 当P在圆上时，直线与圆的位置关系： 相切 在圆上时 直线与圆的位置关系： 在圆外时， 当P在圆外时，直线与圆的位置关系： 相交 在圆外时 直线与圆的位置关系：
第二章
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2. 圆的切线方程（利用垂直性） 圆的切线方程（利用垂直性）
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平面解析几何初步
已知点P(2,1) 方程为( x − 1) + ( y − 1) = 1，
2 2
求过点P的切线方程。
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已知点P(x 已知点 0，y0) ，圆x2＋y2＝r2 直线x ＋ ＝ 直线 0x＋y0y＝r2
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已知圆的方程为x 已知圆的方程为 2＋y2＝r2，求过圆 的切线方程． 上一点P(x 上一点 0，y0)的切线方程． 的切线方程 过圆x 上一点P(x 过圆 2 ＋ y2＝ r2 上一点 0 ， y0)的切 的切 线 x0x＋ y0y＝ r2 应熟记 ； 过圆 － a)2 ＋ ＋ ＝ 应熟记； 过圆(x－ (y－b)2＝ r2 上一点 0 ， y0)的切线方程 － 上一点P(x 的切线方程 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 － ＋ － ＝
高中数学 第2章 平面解析几何初步 直线与圆综合学案 苏教版必修2 学案
直线与圆综合（定点、定值、最值问题）一、解答题1．已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点. （1）求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.①若42AB =，求MQ 及直线MQ 的方程； ②求证：直线AB 恒过定点.2．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．(1)若圆分别与x 轴、y 轴交于点A 、B(不同于原点O)，求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M 的方程；(3)设直线与(2)中所求圆交于点E 、F ， P 为直线x=5上的动点，直线PE ，PF 与圆的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线异侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标.3．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,当2AOB π∠=时，求k 的值.（2）若1,2k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求四边形FGFH 的面积的最大值.4．已知平面直角坐标系xoy 内两个定点()1,0A 、()4,0B ,满足2PB PA =的点(),P x y 形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点,当⊿COD 的面积最大时,求直线l 的方程(O 为坐标原点); (3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点,点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN 交x 轴于点E 、连结QM 交y 轴于F .求证四边形MNEF 的面积为定值.5．已知圆22:9O x y +=，直线1l :x =6，圆O 与x 轴相交于点A B 、（如图），点P (-1,2)是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点A B 、），直线A Q 、与1l 相交于点C ．（1）若过点P 的直线2l 与圆O 相交所得弦长等于，求直线2l 的方程； （2）设直线BQ BC 、的斜率分别为BQ BC k k 、，求证：BQ BC k k ⋅为定值.6．已知圆C 经过点()()0,2,2,0A B ，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为3点P 为圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . （1）求圆C 的方程；（2）求证:AN BM 为定值；（3）当PA PB 取得最大值时，求MN ．7．如图，已知定圆22:(3)4C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点. （Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； （Ⅱ）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）设t AM AN =，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由. 8．已知圆，相互垂直的两条直线都过点，（1）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线都相切，求圆的方程；（2）当时，记被圆所截得的弦长分别为，求：①的值；②的最大值.9．已知圆C ：()2244x y +-=，直线l ：()()31140m x m y ++--= （Ⅰ）求直线l 所过定点A 的坐标；（Ⅱ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数。
平面解析几何直线与圆的方程
平面解析几何直线与圆的方程平面解析几何是数学中的一个重要分支，研究几何图形在坐标平面上的表示和性质。
本文将探讨平面解析几何中直线和圆的方程，并对其相关性质进行解析。
一、直线的方程在平面解析几何中，直线可以通过不同的表达式来表示。
最常见的方式是使用直线的一般式方程和截距式方程。
1. 一般式方程一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不同时为0。
该方程表达了直线上所有的点(x, y)满足该方程。
具体来说，A和B表示直线的斜率（即直线上两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值），而C则表示直线与坐标轴的交点。
例如，对于直线L1: 2x + 3y - 6 = 0，我们可以通过该方程确定直线上的任意一点。
例如，当x = 0时，我们可以解得y = 2，这意味着直线经过点(0, 2)。
同样，当y = 0时，我们可以解得x = 3，这意味着直线经过点(3, 0)。
因此，直线L1可以通过方程2x + 3y - 6 = 0准确表示。
2. 截距式方程截距式方程是直线方程的另一种常见形式，它表示为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线与x轴和y轴的截距。
该方程清晰地显示了直线与坐标轴的交点，因此更容易理解直线的特征。
例如，对于直线L2: x/2 + y/3 = 1，我们可以通过该方程确定直线上的任意一点。
当x = 0时，我们可以解得y = 3，这意味着直线与y轴在点(0, 3)相交。
同样，当y = 0时，我们可以解得x = 2，这意味着直线与x轴在点(2, 0)相交。
因此，直线L2可以通过方程x/2 + y/3 = 1准确表示。
二、圆的方程在平面解析几何中，圆的方程有多种不同的表示形式。
最常见的方式是使用圆的标准方程和一般式方程。
1. 标准方程标准方程表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
该方程表达了所有满足与圆心距离等于半径的点(x, y)。
解析几何-直线与圆的方程(二)
高二数学授课教案学生姓名授课教师班主任上课时间9 月 23 日时—时科目数学课题第1课时平面解析几何——直线与圆的方程学习目标1．回顾、加强空间坐标系、直线与圆的方程基础知识．2．巩固直线、圆的方程的主要求解方法．(重点)3．能够解决综合性解析几何问题．(难点)教学过程教学设计一、主干知识梳理1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b，常设其方程为y kx b=+；2．知直线横截距x，常设其方程为x my x=+(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)x y，当斜率k存在时，常设其方程为00()y k x x y=-+，当斜率k不存在时，则其方程为x x=；4．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： (1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2. (2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1•k2＝－1.提醒:当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. (2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒:应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等．4．圆的方程的三种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何初步 直线与圆的位置关系
变式训练2
过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的
方程.
解 由题知,圆(x+1)2+(y-2)2=25 的圆心坐标是(-1,2),半径 r=5.
由圆的性质可得,圆心到直线 l 的距离 d=
8
2
5 -( )
≤ √2,则|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.
1
2
2
6.已知圆C的方程:x +(y-2) =8,直线l的方程y= x-1.试用几何法与代数法判
2
断直线l与圆C的位置关系.
2
2
+ (-2) = 8,
5 2
解(方法 1)由
消去 y 并整理得4x -3x+1=0.
1
= -1,
2
5
由于 Δ=(-3) -4× ×1=9-5=4>0,故直线 l 与圆 C 有两个交点,所以直线 l 与
A.相交
B.相切
C.相离
)
D.与m的值有关
(2)直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2+ax+by+c=0(a2+b2-4c>0)的位置关系
是(
)
A.相交
B.相切
C.相离
D.与a,b,c的值有关
答案 (1)A
(2)C
解析 (1)由题知圆(x-2)2+(y-1)2=5 的圆心 C(2,1),半径 r=√5,则
-1 = (-2),
只有一组解.
因为切线 l 与圆相切,所以方程组 2
平面解析几何直线与圆的位置关系
平面解析几何直线与圆的位置关系在平面解析几何中，直线和圆是两个基本的几何概念。
它们之间存在着不同的位置关系，这些位置关系在几何学中有着重要的应用。
本文将介绍直线与圆的七种位置关系，并探讨其几何特征和判别方法。
一、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆不相交，且它们的最短距离大于圆的半径。
这种情况下，直线上的每个点到圆的距离都大于圆的半径。
图1是直线与圆相离的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若距离大于半径，则直线与圆相离。
二、直线与圆相切直线与圆相切是指直线与圆有且只有一个公共的切点。
这个切点既在直线上，也在圆上。
图2是直线与圆相切的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若距离等于半径，则直线与圆相切。
三、直线穿过圆直线穿过圆是指直线与圆有两个交点。
这种情况下，直线分为两部分，一部分在圆内，一部分在圆外。
图3是直线穿过圆的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若距离小于半径，则直线穿过圆。
四、直线与圆相交但不穿过圆直线与圆相交但不穿过圆是指直线与圆有两个交点，但直线的一部分在圆的外部，另一部分在圆的内部。
图4是直线与圆相交但不穿过圆的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若直线与圆相交但距离大于半径，则直线与圆相交但不穿过圆。
五、直线与圆内切直线与圆内切是指直线与圆有且只有一个公共切点，并且这个切点在直线的一侧。
图5是直线与圆内切的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若直线与圆相切且距离小于半径，则直线与圆内切。
六、直线与圆外切直线与圆外切是指直线与圆有且只有一个公共切点，并且这个切点在直线的另一侧。
图6是直线与圆外切的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若直线与圆相切且距离大于半径，则直线与圆外切。
七、直线在圆内直线在圆内是指直线的所有点都在圆的内部。
图7是直线在圆内的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若直线到圆心的距离小于圆的半径，则直线在圆内。
平面解析几何中的直线与圆的性质
平面解析几何中的直线与圆的性质在平面解析几何中，直线和圆是两个重要的基本图形。
直线具有许多独特的性质，而圆也有其独特的性质。
本文将分别探讨直线和圆的性质，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、直线的性质直线是平面上最简单的图形之一，具有以下几个重要性质：1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的，其中任意两点可以确定一条唯一的直线。
2. 直线的无限延伸性：直线没有起点和终点，可以无限延伸。
3. 直线的直角：直线可以与其他直线或线段相交，形成直角。
4. 直线的斜率：直线上的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其斜率为m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
5. 直线的截距式方程：直线上的一点为(x₁, y₁)，在直线上的任意一点(x, y)，直线的方程可以表示为 y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
二、圆的性质圆是平面上的一条曲线，具有以下几个重要性质：1. 圆的定义：圆是平面上一组到定点的距离等于定长的所有点组成的曲线。
2. 圆心和半径：圆心是到圆上任意一点距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 圆的直径：圆上任意两点间的线段，经过圆心的线段称为圆的直径，直径是圆半径的2倍。
4. 圆的弦：圆上任意两点间的线段。
5. 圆的切线：与圆相切并且只与圆相切于一个点的线段。
6. 圆的面积和周长：圆的面积公式为A = πr²，周长公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π≈3.14。
综上所述，直线和圆是平面解析几何中的重要概念。
直线具有无限延伸性和直角等性质，可以通过斜率和截距式方程来描述。
而圆则是由到定点距离相等的所有点组成的曲线，具有圆心、半径、直径等重要性质。
对于解析几何中的直线和圆的性质的理解和运用，对于解决许多几何问题具有重要的意义。
希望本文对您的学习和理解有所帮助。
感谢阅读！。
平面解析几何直线与圆部分一
平面解析几何直线与圆部分一、直线的倾角和斜率倾斜角的取值范围：斜率的取值范围：经过两点的斜率的公式：作出y=tan θ ,[），πθ0∈内的图象三点共线 已知A,B,C 三点（横坐标均不相同），它们共线的充要条件是：考点1 求直线的倾斜角和斜率1 求直线.023cos 的取值范围的倾斜角αθ=++y x2 的直线的倾斜角为：，则经过两点若)0,(cos ),sin ,0(2021ααπαP PA.α B. απ+2 C.απ- D. α-3 设直线L 过坐标原点O ，它的倾斜角为α，如将L 绕坐标原点按逆时针方向旋转4π，得到直线L1 ,那么直线L1的倾斜角为 B. 4πα+ B. 43πα- C.απ-43 D. .43434430⎢⎣⎡-∈⎢⎣⎡+∈παππαπαπα）时，为，；）时，为， 4 下列命题：①任何一条直线都有倾斜角；②任何一条直线都有斜率；③若直线的倾角为α，则此直线的斜率为tan α;④直线的斜率为tan α，则直线的倾角为α；⑤直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；⑥直线的倾斜角[)），（，000018090900⋃∈α时，直线斜率分别在这两个区间上单调递增. 正确命题的序号是---------5 两直线21,l l 的倾斜角分别为1α，2α，则下列命题正确的是（ ）A.若1α<2α,则两条直线的斜率K1<K2;B.1α=2α,则两条直线的斜率K1=K2;C.若两条直线的斜率K1<K2; 则1α<2α;D.若两条直线的斜率K1=K2，则2α=1α.6 如图，321321,,,,k k k l l l 的斜率分别为，则（ ）A.K1<K2<K3;B.K3<K1<K2.C .K3<K2<K1.D .K1<K3<K27 已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线L 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线L 的斜率.考点 2 三点共线问题8 求证：已知三点A,B,C ，如果直线AB,AC 的斜率相同，那么这三点在同一直线上.9 已知过原点O 的一条直线与函数x y 8log =的图像交于两点A,B ，分别过点A,B 作Y 轴的平行线与函数x y 2log =的图像依次交于C,D 两点，（1）证明：C,D 两点与原点O 共线；（2）若直线BC 平行于X 轴，求点A 的坐标.10 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线L 与线段AB 有公共点，求直线L 的斜率K 的取值范围.11 如图，已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一条光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上，不含端点，则直线FD 斜率的取值范围是多少.考点 4 利用斜率的几何意义求取值范围12 直线 ax-y+2=0 与连接A(-3,1),B(-1,4)的线段相交，则a 的取值范围是————13 已知矩形ABCD 中，A(-4,4),D(5,7),中心E 在第一象限内且与Y 轴的距离为1个单位，动点P(X,Y)沿矩形一边BC 运动，求xy 的取值范围.二、直线的方程各种形式的直线方程考点 1 求各种形式的直线方程1 设直线L 的方程为,62)12()32(22-=-+---m y m m x m m 根据下列条件确定实数m 的值.（1）在x 轴上的距是 - 3 ；（2）斜率为 - 1 .2 对于直线l 上任意一点（x,y),点（4x+2y,x+3y)仍在直线上，求直线l 的方程.3 经过点A(1,2),并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（ ）条.。
解析几何初步第9课时--直线与圆的位置关系
第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程§2.3.1 直线与圆的位置关系【预习导航】1.若设直线与圆的交点个数为n ,则有:0n =⇔直线与圆______；1n =⇔直线与圆______； 2n =⇔直线与圆______.2.若设圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,则有:d r <⇔直线与圆______； d r =⇔直线与圆______； d r >⇔直线与圆______. 【基础自测】1.直线3450x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 2.直线3460x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 3.直线3450x y ++=与圆222x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 4.若直线3410x y +=与圆22x y m +=相离,则实数m 的取值范围为( )A.2m >B.4m >C.02m <<D.04m <<【典例剖析】题型1: 直线与圆位置关系的判定 例1 已知直线y x m =+与圆222x y +=,求实数m 的取值范围,直线与圆有两个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点？ [思路分析]判断直线与圆的位置关系,可以利用交点个数判断,也可以利用圆心到直线的距离与圆半径的大小来判断. [解法一]由方程组222y x mx y =+⎧⎨+=⎩得:222220x mx m ++-=.令22(2)42(2)4(2)(2)m m m m ∆=-⋅⋅-=--+ 则当0∆>,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当0∆=,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当0∆<,即2m <-或2m >时,直线与圆无公共点. [解法二]由题意可知圆的半径为2r =,且圆心到直线的距离为||2m d =.则当d r <,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当d r =,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当d r >,即2m <-或2m >时,直线与圆无公共点.[规律技巧]直线与圆位置关系的判断可以从代数角度、几何角度分别进行.但具体到某一题目时,往往需要我们选择一种相对简捷的方法,这需要同学们多体会如何选择. [变式训练]若直线2210x y m -+-=与圆225x y +=有公共点,则实数m 的取值范围为________.题型2: 直线与圆相切的问题例2 已知过点(2,3)-且与圆229x y +=相切的直线方程.[思路分析]直线与圆相切意味着直线与圆的方程联立后得到的一元二次方程的两个实数根相等,或者是圆心到直线的距离与圆半径相等.[解法一]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由方程组22(2)39y k x x y =--⎧⎨+=⎩可得:222(1)2(23)(23)90k x k k x k +-+++-=.令222(2(23))4(1)((23)9)k k k k ∆=⋅+-++-224(9(1)(23))k k =+-+ 24(512)k k =-由直线与圆相切得0∆=,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为: 3y =-或125390x y --=.[解法二]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由题意知圆心为(0,0),半径为3,圆心到直线的距离为2|23|1k d k +=+.由直线与圆相切得2|23|31k k +=+,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为:3y =-或125390x y --=.[规律技巧]直线的斜率存在与否,在设直线时一定要注意讨论.另外,直线与圆的相切问题仍需关注代数与几何两个角度的求解思路.[变式训练]圆C :222()()x a y b r-+-=上点00(,)P x y 处的切线方程为________.题型3: 有关弦长的问题例3 求过点(6,4)P -且被圆2220x y +=截得弦长为62的直线方程.[思路分析]设出直线的方程,再根据弦长列方程求解即可.[解]由题意可知直线的斜率必存在,故可设直线方程为(6)4y k x =-+,又由圆的半径为20,弦长为62,故圆心到直线距离为222|64|(20)(32)1k d k +=-=+,整理得:2172470k k ++=,解得:1k =-或717k =-.从而可得直线的方程为: 20x y +-=或717260x y ++=.[规律技巧]在解决直线与圆相交的有关问题时,首先考虑半径、弦长、弦心距之间的关系,然后利用由此得到的等量关系建立方程进行求解,往往可以简化运算.当然,本题也可以利用直线与圆的方程,结合韦达定理和弦长公式建立方程求解.[变式训练]求经过点(5,5)P ,且被圆2225x y +=截得弦长为45的直线方程.题型4: 直线与圆的综合问题例 4 求过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=交点,且面积最小圆的方程.[思路分析]利用相交圆系的知识,求半径的最小值；求直线与圆的交点,用直径式写出圆的方程.[解法1]设过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=交点的圆的方程为:22241(24)0x y x y x y λ++-++++=整理得222(1)(4)140x y y λλλ+++--++= 要使圆的面积最小,即要半径r 最小,故有: 2214(1)(4)4(14)2r λλλ=++--+ 21516162λλ=-+218165()255λ=-+ 11625255≥=. ∴圆的方程是222612370555x y x y ++-+=． [规律技巧]本题中涉及到了两个重要知识点.(1)若圆的一条直径的两个端点坐标分别为111(,)P x y ,222(,)P x y ,则圆的方程为：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=.(2)过圆221110x y D x E y F ++++=和直线0Ax By C ++=的交点的圆的方程为: 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.[变式训练]求过圆2260x y x ++=和直线240x y ++=交点,且面积最小圆的方程.【课时作业】 一、选择题1.若2222()c a b =+,则直线0ax by c ++=与圆224x y +=的位置关系是( ) A.相离 B.相交且过圆心 C.相切 D.相交但不过圆心 2.过点(2,0)-,且与圆221x y +=相切的直线的斜率为( )A.1±B.12± C.33± D.3±3.过坐标原点,且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=截得的弦长为( )A.23B.6C.2D.3 4.过点(1,3)-,且与圆2210x y +=相切的直线的方程为( )A.3100x y -+=B.360x y -+=C.380x y +-=D.30x y +=二、填空题5.以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是为______．6.圆22(1)(1)9x y -++=与直线3412x y +=的位置关系是______.7.过坐标系第一象限内的定点(,)M a b ,且与两坐标轴均相切的圆的个数为______. 8.若直线l 的斜率是1,被圆224x y +=截得的弦长是2,则l 的方程为______．三、解答题9．已知圆C :22(12)(5)169x y -+-=和圆内一点(13,6)P ,过点P 作直线l ,设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,若AP PB =,求直线l 的方程.10.自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在的直线方程.第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程§2.3.1 直线与圆的位置关系【预习导航】1.若设直线与圆的交点个数为n ,则有:0n =⇔直线与圆______；1n =⇔直线与圆______； 2n =⇔直线与圆______.2.若设圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,则有:d r <⇔直线与圆______； d r =⇔直线与圆______； d r >⇔直线与圆______.参考答案:1.相离,相切,相交. 2.相交,相切,相离.【基础自测】1.直线3450x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 2.直线3460x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 3.直线3450x y ++=与圆222x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能4.若直线3410x y +=与圆22x y m +=相离,则实数m 的取值范围为( ) A.2m > B.4m > C.02m << D.04m << 参考答案: 1.B 2.C 3.A 4.D【典例剖析】题型1: 直线与圆位置关系的判定 例1 已知直线y x m =+与圆222x y +=,求实数m 的取值范围,直线与圆有两个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点？ [思路分析]判断直线与圆的位置关系,可以利用交点个数判断,也可以利用圆心到直线的距离与圆半径的大小来判断. [解法一]由方程组222y x mx y =+⎧⎨+=⎩得:222220x mx m ++-=.令22(2)42(2)4(2)(2)m m m m ∆=-⋅⋅-=--+ 则当0∆>,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当0∆=,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当0∆<,即2m <-或2m >时,直线与圆没有公共点.[解法二]由题意可知圆的半径为2r =,且圆心到直线的距离为||2m d =.则当d r <,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当d r =,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当d r >,即2m <-或2m >时,直线与圆没有公共点.[规律技巧]直线与圆位置关系的判断可以从代数角度、几何角度分别进行.但具体到某一题目时,往往需要我们选择一种相对简捷的方法,这需要同学们多体会如何选择. [变式训练]若直线2210x y m -+-=与圆225x y +=有公共点,则实数m 的取值范围为________. 解:由方程组2222105x y m x y -+-=⎧⎨+=⎩得:2254(21)(21)50y m y m --+--=.令22(4(21))20((21)5)m m ∆=----24(25(21))m =--由于直线与圆有两个公共点,故0∆≥,从而可求得:23m -≤≤. 题型2: 直线与圆相切的问题例2 已知过点(2,3)-且与圆229x y +=相切的直线方程.[思路分析]直线与圆相切意味着直线与圆的方程联立后得到的一元二次方程的两个实数根相等,或者是圆心到直线的距离与圆半径相等.[解法一]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由方程组22(2)39y k x x y =--⎧⎨+=⎩可得:222(1)2(23)(23)90k x k k x k +-+++-=.令222(2(23))4(1)((23)9)k k k k ∆=⋅+-++-224(9(1)(23))k k =+-+ 24(512)k k =-由直线与圆相切得0∆=,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为: 3y =-或125390x y --=.[解法二]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由题意知圆心为(0,0),半径为3,圆心到直线的距离为2|23|1k d k +=+.由直线与圆相切得2|23|31k k +=+,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为:3y =-或125390x y --=.[规律技巧]直线的斜率存在与否,在设直线时一定要注意讨论.另外,直线与圆的相切问题仍需关注代数与几何两个角度的求解思路.[变式训练]圆C :222()()x a y b r-+-=上点00(,)P x y 处的切线方程为________. 解:当0x a =时,切线的斜率必为0,此时切线方程为y b r =-或y b r =+； 当0y b =时,切线的斜率不存在,此时切线方程为x a r =-或x a r =+； 当0x a ≠,且0y b ≠时,00CP y bk x a-=-,故切线斜率为00x ay b---,由点斜式可得切线方程为0000()x ay y x x y b--=---,整理可得0000()()()()0x a x x y b y y --+--=.又由于00()()x x x a x a -=---,00()()y y y b y b -=---, 22200()()x a y b r -+-=,故切线方程为:200()()()()x a x a y b y b r --+--=.题型3: 有关弦长的问题例3 求过点(6,4)P -且被圆2220x y +=截得弦长为62的直线方程.[思路分析]设出直线的方程,再根据弦长列方程求解即可.[解]由题意可知直线的斜率必存在,故可设直线方程为(6)4y k x =-+,又由于圆的半径为20,弦长为62,因此圆心到直线的距离为222|64|(20)(32)1k d k +=-=+,整理得:2172470k k ++=, 解得:1k =-或717k =-. 从而可得直线的方程为:20x y +-=或717260x y ++=.[规律技巧]在解决直线与圆相交的有关问题时,首先考虑半径、弦长、弦心距之间的关系,然后利用由此得到的等量关系建立方程进行求解,往往可以简化运算.当然,本题也可以利用直线与圆的方程,结合韦达定理和弦长公式建立方程求解.[变式训练]求经过点(5,5)P ,且被圆2225x y +=截得弦长为45的直线方程.解:由题意可知直线的斜率必存在,故可设直线方程为(5)5y k x =--,又由于圆的半径为5,弦长为45,因此圆心到直线的距离为222|55|(5)(25)1k d k -=-=+,解得:2k =或12k =. 从而可得直线的方程为:250x y -+=或250x y --=.题型4: 直线与圆的综合问题例 4 求经过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=的交点,且面积最小的圆的方程.[思路分析]利用相交圆系的知识,求半径的最小值；求直线与圆的交点,用直径式写出圆的方程.[解法1]设过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=交点的圆的方程为:22241(24)0x y x y x y λ++-++++=整理得:222(1)(4)140x y y λλλ+++--++=要使圆的面积最小,即要半径r 最小,故有: 2214(1)(4)4(14)2r λλλ=++--+ 21516162λλ=-+ 218165()255λ=-+11625255≥=. ∴当85λ=时,半径r 最小,这时圆的方程是222612370555x y x y ++-+=． [解法2]由22240,2410.x y x y x y ++=⎧⎨++-+=⎩解得交点112(,)55A -,(3,2)B -. 因为经过A ,B 两点,且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆,所以圆的方程是: 112()(3)()(2)055x x y y +⋅++-⋅-= 即,222612370555x y x y ++-+=． [规律技巧]本题中涉及到了两个重要知识点.(1)若圆的一条直径的两个端点坐标分别为111(,)P x y ,222(,)P x y ,则圆的方程为：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=.(2)过圆221110x y D x E y F ++++=和直线0Ax By C ++=的交点的圆的方程为: 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.[变式训练]求经过圆2260x y x ++=和 直线240x y ++=的交点,且面积最小的 圆的方程.解:由题意可设经过圆2260x y x ++=和直线240x y ++=交点的圆的方程为:226(24)0x y x x y λ+++++=整理得:222(3)40x y x y λλλ+++++=要使圆的面积最小,即要半径r 最小,故有: 2214(3)162r λλλ=++- 2154362λλ=-+ 2121765()255λ=-+1176411255≥=. 故当25λ=时,半径r 最小,这时圆的方程是2234280555x y x y ++++=． 【课时作业】 一、选择题1.若2222()c a b =+,则直线0ax by c ++=与圆224x y +=的位置关系是( ) A.相离 B.相交且过圆心 C.相切 D.相交但不过圆心 答案:D 由题意可知圆心到直线的距离为22||22c d a b==<+,又由题意知0c ≠,故直线与圆相交,但不过圆心.2.过点(2,0)-,且与圆221x y +=相切的直线的斜率为( )A.1±B.12± C.33± D.3±答案:C 由题意设切线方程为(2)y k x =+,联立直线与圆的方程,消去y 可得一元二次方程2222(1)4410k x k x k +++-=,再由判别式为0可求得33k =±.另,本题也可以利用平面几何知识求解.3.过坐标原点,且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=截得的弦长为( )A.23B.6C.2D.3 答案:A 由题意知直线方程为3y x =,从而圆心(0,2)到直线的距离为2113d ==+,又由于圆的半径为2r =,因此截得的弦长为2222123-=.4.过点(1,3)-,且与圆2210x y +=相切的直线的方程为( )A.3100x y -+=B.360x y -+=C.380x y +-=D.30x y += 答案:A 由于点(1,3)-在圆2210x y +=上,切线方程为1310x y -⋅+=,整理即得解.二、填空题5.以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是为______． 答案:22235(2)()()22x y ++-= 直线的两截距为(4,0)-,(0,3),据圆的直径式方程整理得22235(2)()()22x y ++-=.6.圆22(1)(1)9x y -++=与直线3412x y +=的位置关系是______.答案:相交 由题意可知圆心到直线的距离|314(1)12|13355⋅+⋅--=<,故相交.7.过坐标系第一象限内的定点(,)M a b ,且与两坐标轴均相切的圆的个数为______. 答案:2 由题意可设圆的方程为:222()()x t y t t -+-=,将点(,)M a b 入方程可得2222()0t a b t a b -+++=,再由,a b 均为正实数知2224()4()80a b a b ab ∆=+-+=>,从而得解.8.若直线l 的斜率是1,被圆224x y +=截得的弦长是2,则l 的方程为______． 答案:6y x =±. 由题意可设直线l 的方程为y x m =+,则有2224d =-,其弦心距3d =,从而22|00|311m -+=+,||6m =.故直线l 的方程为6y x =±.三、解答题9．已知圆C :22(12)(5)169x y -+-=和圆内一点(13,6)P ,过点P 作直线l ,设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,若AP PB =,求直线l 的方程.解:根据圆的垂径定理知6511312PC k -=-=,所以直线l 的斜率1k =-,从而直线l 的方程为190x y +-=.10.自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在的直线方程.解: 将圆224470x y x y +--+=,配方可得22(2)(2)1x y -+-=,该圆关于x 轴对称的方程是22(2)(2)1x y -++=.设直线l 的方程为:(3)3y k x =++,即330kx y k -++=与圆相切,从而有:2|2233|11k k k ⋅+++=+,即22450240k k ++=,解得43k =-,或34k =-,带入得直线方程为:4330,3430x y x y ++=+-=或. 所以直线l 所在的直线方程为4330,3430x y x y ++=+-=或.。
高中数学知识点：平面解析几何初步知识点总结
高中数学知识点：平面解析几何初步知识点总结高中数学知识点：平面解析几何初步知识点总结
平面解析几何初步：
①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。
直接考查主要考查直线的倾斜角、
直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现
在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆
的集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为
圆的切线问题。
③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要
的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。
空间直角坐标系也是
解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排
除出现考查基础知识的选择题和填空题。
平面解析几何直线与圆的方程与性质
平面解析几何直线与圆的方程与性质几何学是研究空间、形状和相对位置的学科。
人们通过使用几何原理和方法，能够更深入地理解和解释物体的形态和结构。
在几何学中，直线和圆是两个基本的几何元素，其方程和性质在解决实际问题时具有重要的作用。
本文将探讨平面解析几何中直线和圆的方程以及各自的性质。
一、直线的方程与性质直线是两个不同点的连线，其方程形式可表示为 y = kx + b，其中 k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
斜率表示直线的倾斜程度，正斜率表示向上倾斜，负斜率表示向下倾斜，斜率为零表示水平线，斜率不存在则表示垂直线。
直线的另一种表示形式是一般式方程 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 分别是直线方程的系数。
一般式方程可以转换为标准式方程 y = mx + c，其中 m = -A/B 是斜率，c = -C/B 是截距。
直线的性质还包括：1. 直线的斜率相等时两直线平行，斜率的乘积为 -1 时两直线垂直。
2. 直线经过点 (x1, y1) 且斜率为 k，则直线方程可表示为 y - y1 =k(x - x1)。
3. 直线与坐标轴的交点即为直线在坐标系中的截距。
二、圆的方程与性质圆是由平面上所有到圆心距离相等的点构成的图形。
设圆心为 (h, k)，半径为 r，则圆的标准方程为 (x - h)² + (y - k)² = r²。
圆的性质包括：1. 圆心坐标 (h, k) 是圆的几何中心，圆的半径 r 是从圆心到圆上任一点的距离。
2. x 轴和 y 轴将圆分为四个象限，圆上的任何点都满足 x² + y² = r²。
3. 圆的直径是通过圆心的由一边到另一边的直线段。
圆的直径是半径的两倍。
4. 弧是圆的一部分，它是圆上的一段连续的弯曲部分。
5. 弦是在圆的内部连接两个点的线段，而这两个点也在圆上。
直线与圆的关系包括：1. 直线与圆相切时，直线与圆的切点坐标满足直线方程和圆的方程。
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平面解析几何初步——直线与圆一．考试内容及要求本章知识结构考试内容要求层次A B C平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率√过两点的直线斜率的计算公式√两条直线平行或垂直的判定√直线方程的点斜式、两点式及一般式√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式、点到直线的距离公式√两条平行线间的距离√圆与方程圆的标准方程与一般方程√直线与圆的位置关系√两圆的位置关系√三．基础知识梳理（一）直线的倾斜角与斜率及直线方程 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角090α≠，则斜率tan k α=；090α=时，直线斜率不存在； (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率2121y y k x x -=-.3．直线方程的五种形式4.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为a x =;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为b y = ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y kx =（二）、两条直线的位置关系1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.②已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,若1l ,与2l 相交,则21k k ≠ ; 若21l l ⊥,则121-=⋅k k ;若1l //2l ,则21k k =且21b b ≠; 若1l 与2l 重合,则,21k k =且21b b =2.几个公式①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P 221221)()(y y x x -+-②设点),(00y x A ，直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d 2200||BA C By Ax +++③设直线,0:1=++C By Ax l ),(0:2C C C By Ax l '≠='++ 则1l 与2l 间的距离=d 22||BA C C +'-3.直线系（拓展）① 与直线0=++C By Ax 平行的直线系方程为0='++C By Ax ; ②与直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程为0='+-C Ay Bx ;③过两直线0:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 的交点的直线系方程为为参数）λλ(,0)(222111=+++++c y b x a c y b x a（三）、圆的方程1. 圆的标准方程与一般方程①圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为),(b a ,半径为r ；②圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标(,)22D E--，半径为2422F E D -+。
方程表示圆的充要条件是2240D E F +->2.以),(),(2211y x B y x A 、为直径端点的圆方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x3. 若圆222)()(r b y a x =-+-与x 轴相切，则r b =||;若圆222)()(r b y a x =-+-与y 轴相切，则r a =||4. 若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x 轴对称，则0=E ； 若圆220x y Dx Ey F ++++=关于y 轴对称，则0=D ；若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x y =轴对称，则E D =； 5、点),(00y x M 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：M 在圆内⇔0002020<++++F Ey Dx y xM 在圆上⇔0002020=++++F Ey Dx y x M 在圆外⇔0002020>++++F Ey Dx y x（四）、直线与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，若直线与圆相离，则r d >；若直线与圆相切，则r d =；若直线与圆相交，则r d < ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0>∆，则直线与圆相离；若0=∆，则直线与圆相切；若0<∆，则直线与圆相交 2.两圆的的位置关系(1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d 若两圆相外离，则r R d +> ，公切线条数为4 若两圆相外切,则r R d +=，公切线条数为3 若两圆相交r R d r R +<<-，则，公切线条数为2 若两圆内切，则r R d -=，公切线条数为1 若两圆内含，则r R d -<，公切线条数为0(2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 3. 相切问题的解法：①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=∆来求解。
特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为200r y y x x =+, 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--4.圆系方程（拓展）①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为)0()()(22020>=-+-r r y y x x②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++220)(=+++c by ax λ③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为11122F y E x D y x ++++0)(22222=+++++F y E x D y x λ（不表示圆2C ）四．基本方法和数学思想1、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法。
2、在研究直线与圆的方程的过程中，体会函数与方程的思想；数形结合的思想3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。
五．典例分析 一．直线与圆1.“a =1l ：210x ay --=与2l ：3+0a x y =垂直”的（ B ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2.“12a =”是“直线40ax y --=与直线20x y m --=平行”的 （ C ） A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭4.设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，则a =____0____．5.若直线40kx y k --=与曲线y =有公共的点，则实数k 的取值范围是（ D ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则AB 的方程是 ．7.若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a >0）的公共弦的长为=a 18. 已知点P 是直线30kx y ++=4()3k >-上一动点，PA PB ,是圆22:20C x x y -+=的两条切线，A B ,为切点.若四边形PACB 的最小面积为2，则此时线段PC 的长为 ；实数k 的值是 .9.（全国Ⅰ卷理11文11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB•的最小值为(A) 4-+(B)3-(C) 4-+ (D)3-+【答案】D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB •=-+.此时x =10.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论： ① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD aS ∆∃≥<则所有正确结论的序号是 CA.①②B.②③C.①③D.①②③xy A lO二．曲线与方程1.已知点A (2,0)-，点P 为圆O ：224x y +=上任意一点，当点P 在圆上运动时，线段AP 的中点M 的轨迹是什么？2．如图，在等腰梯形ABCD 中，12AB CD =，E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点， 把四边形BEFC 沿直线EF 折起，使得面BEFC ⊥面ADFE ，若动点P ∈平面ADFE ， 设PB ，PC 与平面ADFE 所成的角分别为1θ，2θ（1θ，2θ均不为0)．若12θθ=， 则动点P 的轨迹为（ ） （A ）直线 （B ）椭圆 （C ）圆 （D ）抛物线3.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由08852≥+-a a 得R x ∈ 由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 4. 【2014高考北京文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 三．立体几何与平面解析几何的交汇1. 如图,在边长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为 （ D ） A.45B. 2C.22D. 32. 已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上. 若5=PM ，则PQ 长度的最小值为 ( C )(A)21- （B ）2（C ）3515- （D ）353.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为42，M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上.若1PM =，则PQ 长度的最小值为 ．33五.真题回顾（7）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是C（A ）AB（B ）CD （C ）EF（D ）GH（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为C（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）412．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．36．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎣D ．2232⎡⎣ （12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．2220x y x +-=（11）已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是_________．【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2. （12）已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(−2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．【答案】6【解析】||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=所以最大值是6.六.课本中例习题归纳必修21. (第90页习题3.1B 组第6题）经过点()0,1P -做直线l ，若直线l 与连接()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，找出直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围，并说明理由2.（110页第4题）已知点()()3,4,6,3A B --到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值3.（115页第10题）已知正方形的中心为点()1,0M -,一条边所在的直线的方程是350x y +-=，求正方形其他三边所在的直线方程。