平面解析几何初步——直线与圆

平面解析几何初步——直线与圆一．考试内容及要求

本章知识结构考试内容

要求层次

A B C

平面解析几何初步直线

与

方程

直线的倾斜角和斜率√

过两点的直线斜率的计算公式√

两条直线平行或垂直的判定√

直线方程的点斜式、两点式及一般式√

两条相交直线的交点坐标√

两点间的距离公式、点到直线的距离公式√

两条平行线间的距离√

圆与

方程

圆的标准方程与一般方程√

直线与圆的位置关系√

两圆的位置关系√

三．基础知识梳理

（一）直线的倾斜角与斜率及直线方程 1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式

(1)若直线l 的倾斜角0

90α≠，则斜率tan k α=；0

90α=时，直线斜率不存在； (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率21

21

y y k x x -=-.

3．直线方程的五种形式

4.几种特殊直线的方程:

①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为a x =;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为b y = ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y kx =

（二）、两条直线的位置关系

1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)

①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.

②已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,

若1l ,与2l 相交,则21k k ≠ ; 若21l l ⊥,则121-=⋅k k ;

若1l //2l ,则21k k =且21b b ≠; 若1l 与2l 重合,则,21k k =且21b b =

2.几个公式

①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =

||21P P 221221)()(y y x x -+-

②设点),(00y x A ，直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d 2

2

00|

|B

A C By Ax +++

③设直线,0:1=++C By Ax l ),(0:2C C C By Ax l '≠='++ 则1l 与2l 间的距离=d 2

2

||B

A C C +'-

3.直线系（拓展）

① 与直线0=++C By Ax 平行的直线系方程为0='++C By Ax ; ②与直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程为0='+-C Ay Bx ;

③过两直线0:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 的交点的直线系方程为

为参数）λλ(,0)(222111=+++++c y b x a c y b x a

（三）、圆的方程

1. 圆的标准方程与一般方程

①圆的标准方程为2

2

2

)()(r b y a x =-+-，其中圆心为),(b a ,半径为r ；

②圆的一般方程为2

2

0x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标(,)22

D E

--，半径为2422F E D -+。方程表

示圆的充要条件是22

40D E F +->

2.以),(),(2211y x B y x A 、为直径端点的圆方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x

3. 若圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-与x 轴相切，则r b =||;若圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-与y 轴相切，则

r a =||

4. 若圆2

2

0x y Dx Ey F ++++=关于x 轴对称，则0=E ； 若圆2

20x y Dx Ey F ++++=关于y 轴对称，则0=D ；

若圆2

2

0x y Dx Ey F ++++=关于x y =轴对称，则E D =； 5、点),(00y x M 与圆02

2

=++++F Ey Dx y x 的位置关系：

M 在圆内⇔0002

020<++++F Ey Dx y x

M 在圆上⇔0002

020=++++F Ey Dx y x M 在圆外⇔0002

020>++++F Ey Dx y x

（四）、直线与圆的位置关系

1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：

①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，若直线与圆相离，则r d >；若直线与圆相切，则r d =；若直线与圆相交，则r d < ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0>∆，则直线与圆相离；若0=∆，则直线与圆相切；若0<∆，则直线与圆相交 2.两圆的的位置关系

(1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d 若两圆相外离，则r R d +> ，公切线条数为4 若两圆相外切,则r R d +=，公切线条数为3 若两圆相交r R d r R +<<-，则，公切线条数为2 若两圆内切，则r R d -=，公切线条数为1 若两圆内含，则r R d -<，公切线条数为0

(2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:2222

22=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 3. 相切问题的解法：

①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1

③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=∆来求解。

特殊地,已知切点),(00y x P ,圆2

22r y x =+的切线方程为200r y y x x =+, 圆2

22)()(r b y a x =-+-的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--

4.圆系方程（拓展）

①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为)0()()(2

2020>=-+-r r y y x x

②过圆0:2

2=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为