因式分解之十字相乘法教案(供参考)
十字相乘法进行因式分解详案(供参考)
十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）明白得二次三项式的意义；（2）明白得十字相乘法的依照；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是把握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，若是把y 看做常数，确实是关于x 的二次三项式；若是把x 看做常数，确实是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看做一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，确实是关于ab 的二次三项式．一样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看做一个整体，确实是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方式．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法那么．它的一样规律是：（1）关于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，若是能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，而且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就能够够运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方式的特点是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 能够表示单项式，也能够表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）关于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来讲，若是存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特点是“拆两头，凑中间”，那个地址要确信四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情形复杂，因此，一样要借助“画十字交叉线”的方法来确信．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意幸免以下两种错误显现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是不是等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一样要遵循的步骤多项式因式分解的一样步骤：先考虑可否提公因式，再考虑可否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．关于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀归纳如下：“第一提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要适合，四种方式反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把以下各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看做常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把以下各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：咱们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，那个地址a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要实验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积存体会，才能提高速度和准确性．例3 把以下各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看做一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ ]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a )108)(128(22++++=a a a a)108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻明白得换元的思想，这能够帮忙咱们及时、准确地发觉多项式中究竟把哪个看成整体，才能组成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是不是能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看做一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，那么原式＝(y －3)(y －24)＋90 162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：此题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题进程，表现了换元法化简求解的良好成效．另外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，咱们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ， 令y xx =+1，那么 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：此题持续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方式巧妙，令人眼花瞭乱．可是，体味之余应想到对换元后得出的结论必然要“还原”，这是一个重要环节．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方式1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．方式2：把字母y 看做是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x)1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部份从头分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-=)()()(222b a ab b a c b a c -+---=)())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--=])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、从头分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，依照字母c 的次数分组，显现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又显现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和那个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，依照多项式的乘法原那么可明白另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．依照此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，那么 12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，因此其对应项系数别离相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方式称为待定系数法，是很有效的方式．待定系数法、配方式、换元法是因式分解较为经常使用的方式，在其他数学知识的学习中也常常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有把握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．【同步练习】一、选择题1．若是))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．若是305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，那么b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，那么a ，b 的值别离为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( ) A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a m n a ．12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．假设x －y ＝6，3617=xy ，那么代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把以下各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把以下各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把以下各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,m n 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x)4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a)43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---=)1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x)32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x )1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x)2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x 120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x)3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4， 2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ， 解之得，a ＝－7．。
十字相乘法分解因式教案
十字相乘法分解因式教案教案标题：十字相乘法分解因式教案一、教学目标：1. 理解十字相乘法的概念和原理。
2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。
3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。
二、教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。
2. 学生准备：纸和笔。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）a. 引入十字相乘法的概念和意义，解释十字相乘法在因式分解中的作用。
b. 通过一个简单的例子，引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。
2. 知识讲解（15分钟）a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。
b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。
c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。
3. 案例分析（15分钟）a. 给出一个具体的多项式，引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。
b. 通过几个不同难度的案例，让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。
4. 练习与巩固（20分钟）a. 分发练习题，让学生独立完成。
b. 针对练习题进行讲解和答疑，确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。
5. 拓展与应用（10分钟）a. 提供一些拓展题目，让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。
b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。
6. 总结与反思（5分钟）a. 总结本节课学到的知识点和方法。
b. 鼓励学生提出问题和疑惑，及时解答。
四、教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 批改学生完成的练习题，评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。
五、教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。
2. 提供更多的练习题和挑战题，以提高学生的解题能力。
六、教学反思：本节课通过引入概念、讲解原理、案例分析和练习巩固等环节，有利于学生理解和掌握十字相乘法分解因式的方法。
然而，在教学过程中，可能会遇到学生对概念理解不清晰、运算错误等问题，需要教师及时解答和指导。
此外，为了增加学生的学习兴趣和参与度，可以设计一些趣味性的活动或游戏，使学生更主动地参与到教学中来。
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
因式分解法之十字相乘法教案
第7课时§2.4.1 因式分解法——十字相乘法教学目标1、 会对多项式运用十字相乘法进行分解因式；2、 能运用十字相乘法求解一元二次方程。
教学重点和难点重点：运用十字相乘法求解一元二次方程难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题这节课，我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。
二、师生共同研究形成概念1、 复习分解因式分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。
3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。
二）能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？它们有什么特点？特点：1）二次项系数是1；2）常数项是两个数之积；3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
2、 十字相乘法步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。
关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式3、 讲解例题例1 分解因式：1）562++x x ； 2）862++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102+-a a ；5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322--x x 。
分析：关键之处在于把常数项分解成两数的积，再找它们的和等于一次项的系数的两个因数。
例2 分解因式：1）652++x x ； 2）652+-x x ； 3）652-+x x ； 4）652--x x 。
分析：此例题中各式都有很大的相同之处。
只有深刻理会十字相乘法，才可以正确地把四个多项式分解因式。
十字相乘法教案
十字相乘法教案课题：十字相乘法一、教学设计与说明一、教材分析：“十字相乘法分解因式”是七年级第二学期第八章第4节的内容，也是学生在学习提取公因式与公式法两种因式分解后的内容。
学生对因式分解已有了解及应用，再借助十字交叉线分解因式，学生容易掌握，同时这节课也为以后学习分式的运算、一元二次方程、二次函数、分式方程、一元二次不等式等作铺垫，这节课无论从它的内容还是它的地位都十分重要。
二、教学目标：1、进一步理解因式分解的定义；2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解；3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。
三、教学的重点难点教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。
教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。
四、教学设计1、通过学生对问题的“议一议”，发现“232++x x ”不是一个完全平方形式，产生了究竟是否还能分解的问题，学生带着问题进入新课。
（吸引学生）2、通过学生对多项式乘法的“算一算”，巩固了多项式的乘法的知识，又观察到了计算中含有“232++x x ”这个结论，为以下“想一想”作了充分准备。
3、通过学生对多项式乘法遗留问题的“想一想”，既加深了对因式分解定义的理解，又得到了“232++x x ”的分解结果，从而过渡到“ab x b a x +++)(2”的分解。
4、借助十字交叉线给师生互动，让学生“动一动”理解十字相乘法的定义。
5、通过学生的多次尝试，用“做一做”的环节来体验“如何用十字相乘法因式分解”。
6、知道了十字相乘法，那么“练一练”的环节是不可缺少的，通过“练一练”，学生就有实践的体会，并能把知识延伸与拓展，学生学习兴趣盎然。
7、最后是学生的自主小结，交流各自的感受，达成共识。
总之，整节课力争体现学生学习的主动性，让学生完全参与整节课的教学活动，体验知识的发生发展过程，通过多次尝试，培养学生的耐心和信心，提高学生的观察能力。
十字相乘法分解因式的教案
十字相乘法分解因式的教案教案标题：十字相乘法分解因式的教案教学目标：1. 理解十字相乘法在分解因式中的应用。
2. 掌握使用十字相乘法分解因式的步骤和方法。
3. 能够独立应用十字相乘法分解因式解决相关问题。
教学准备：1. 教学PPT或白板，以及相应的绘图工具。
2. 教学中使用的教材和习题。
3. 十字相乘法分解因式的示例题目和解答。
4. 讲解板书的工具，如白板笔或彩色粉笔。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回想并复习乘法分配律的概念和应用。
2. 提问学生：在学习因式分解中，如何应用乘法分配律？请举例说明。
讲解十字相乘法分解因式的概念和步骤：1. 在白板上绘制一个简单的多项式示例，并使用乘法分配律展示如何通过分解因式的方法化简多项式。
2. 讲解十字相乘法的概念：十字相乘法是一种用于分解因式的方法，通过将多项式的首项和尾项相乘，然后找到满足相乘结果的两个数，进而分解因式。
3. 讲解十字相乘法分解因式的步骤：a. 将多项式的首项和尾项相乘得到一个结果。
b. 找到两个数，使其乘积等于上一步得到的结果，同时使其和等于多项式中的线性项系数。
c. 将多项式重新写成两个括号内的乘积形式。
d. 化简和测试分解因式的正确与否。
示范和练习：1. 在白板上示范一个具体的例子，展示应用十字相乘法分解因式的步骤。
2. 指导学生根据示例进行练习，并及时给予反馈和指导。
巩固和扩展：1. 提供更多的练习题，让学生进一步巩固和加深对十字相乘法分解因式的理解和应用。
2. 提供一些挑战性的问题，扩展学生对于十字相乘法的运用。
总结：1. 总结十字相乘法分解因式的步骤和方法。
2. 强调理解和掌握十字相乘法分解因式对解决相关问题的重要性和实用性。
3. 鼓励学生在日常学习中主动应用并巩固所学的知识和技巧。
评估：1. 提供一组习题，让学生独立应用十字相乘法分解因式解答问题。
2. 评估学生对于十字相乘法的理解和运用能力。
备注：教案中的具体内容应根据教育阶段和学生实际情况进行相应调整和修改。
十字相乘法教学设计
用十字相乘法分解因式教学设计【教学目标】知识目标：学会用十字相乘法分解二次三项式；注意分解因式的基本步骤。
能力目标：渗透待定系数的思想。
情感目标：感受数学的简洁之美。
【教学重点】：恰当将系数分解质因数，凑出符合的“十字”。
【教学难点】：二次项系数不为1的二次三项式的因式分解。
【课前准备】：学案，阅读教材P172.【教学课时】：1课时。
【教学过程】：一、课前阅读。
阅读教材P172，尝试解决下面的问题。
1、完成后面的四道练习。
2、能用十字相乘法分解的二次三项式有何特征？3、已知x2+mx-12可以分解为两个一次二项式之积，则整数m的值可能是多少？二、新课学习。
（一）引入。
解一元二次方程x2-2x-3=0.（二）阅读效果交流。
1、请学生订正课本上的练习。
【教师点拨】①可应用前面所学的配方思想来解决；②注意一次项系数的符合.③在此处教画十字。
2、请学生谈问题2.【教师点拨】即公式x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。
概括：能够分解为（x＋p）（x＋q）的二次三项式满足以下条件：①二次项系数为____；②一次项系数等于_________；③常数项等于________.3、订正问题3.【教师点拨】因-12=-1×12=-12×1=-2×6=-6×2=-3×4=-4×3，故m应有六种可能的值。
4、预习检测：将下列各式因式分解。
（1）x2 —6x ＋8 （2）x2 —2x —15（3）x2 —8x +12（三）阅读中学习。
1、例1、解方程：x2 +6x－7＝0口诀：“竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
阅读后反思：A、联系：本题与前面的因式分解题有什么相同之处？B、区别：本题与单纯的因式分解题有何区别？C、方法与思想：几个因式的积为0，则必有一个因式为0.【教师点拨】一元二次方程的标准形式为二次三项式的和为0，则只需将二次三项式分解为几个因式之积，就能应用“几个因式的积为0，则必有一个因式为0”求出未知数的值，可见，解方程与整式的变形是统一的。
因式分解(十字相乘)教案
因式分解（十字相乘）教案目的：掌握因式分解的四种方法，并能够解决与此相关的数学题目和问题，为以后的学习打下基础。
1.概念：把一个多项式回味几个整式积地形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
通俗地说就是——多项式的差和化积的过程，因式分解的最后结果是积的形式。
2.和整式的乘法有什么关系？互为逆运算：因式分解是和差化积的过程；整式乘法是积化和差的形式例.：x(x+y)=x^2+xy3.书本上因式分解的四种方法（1）提取公因式法所有相同的项写到一起，其余的写到括号里（2）公式法：平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;(a-b)^2=a^2-2ab+b^2（3）分组分解法一般试四项，较为容易，注意，分完组提取公因式之后，能不能再次分解（4）十字相乘法＊（重要）今天要讲的内容是十字相乘法：十字相乘：适用形如ax^2+bx+c 的二次三项式首先：二次项系数a等于1时：套用书上公式：x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)例.：x^2-5x+4其中两个数a,b的和-5，两个数a,b的乘积是4.那这两个数是多少：－1和－4 即这个式子分解因式为（x-1)(x-4)例.：x^2+5x+6 其中两个数a,b的和5，两个数a,b的乘积是6.那这两个数是多少：2和3 即这个式子分解因式为(x+2)(x+3)然后看二次项系数不为1时：ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)如何得出：首先画一个十字：系数a分解成a1和a2，c分成c1和c2，a1乘a2等于a ，c1乘c2等于c,交叉乘积的和等于b，即b＝a1c2+a2c1;在得出最后结果的时候一定要注意要横着写即(a1x+c1)(a2x+c2)例：3x^2-11x+10=(x-2)(3x-5)__不是一次性成功的，可以吗慢试，做多了题目就会越来越快。
例：3a^2-7a-6=(X-3)(3X+2)例：6x^2+x-35=(2x+5)(3x-7)例：(x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8=(x^2+3x+2)(x^2+3x-4)课后思考：（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x^2+5x+5)^2（综合）。
七年级数学下册《十字相乘法》教案、教学设计
5.通过课堂小结，让学生总结本节课所学内容，巩固知识点，提高记忆效果。
（三）情感态度与价值观
在本章节的教学过程中，注重培养学生的以下情感态度与价值观：
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发他们主动探索、积极思考的学习热情。
2.培养学生的耐心和细心，让他们在解题过程中体会到付出努力的重要性，从而形成良好的学习习惯。
3.鼓励学生积极与他人合作，培养他们的团队精神，提高人际交往能力。
4.培养学生勇于面对困难和挑战的精神，让他们在解决问题中增强自信心，树立正确的价值观。
二、学情分析
七年级下册的学生在数学学习上已经具备了一定的基础，包括因式分解的基本概念和简单运用，以及多项式乘法的运算规则。在此基础上，他们对十字相乘法这一新知识点的学习将更加得心应手。然而，学生在运算过程中可能会出现以下问题：对十字相乘法理解不透彻，容易混淆运算步骤；对特定类型的因式分解题目不能迅速找到解题思路；以及在运算过程中忽视细节，导致答案错误。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：掌握十字相乘法的运算步骤，能够熟练运用到实际问题中，特别是解决因式分解相关问题。
2.难点：理解十字相乘法的原理，以及在复杂问题中灵活运用该方法。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用情境教学法，通过生活实例引入十字相乘法，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
针对这些情况，教师需要关注以下几个方面：首先，通过生动有趣的案例引入，帮助学生建立起对十字相乘法的直观认识，降低学习难度；其次，设计梯度性练习题，让学生在逐步提高难度的过程中，熟练掌握十字相乘法的运用；最后，注重培养学生的细心和耐心，引导他们在解题过程中关注细节，提高解题准确率。
因式分解之十字相乘法教案
例 3 把 x2 4x 21分解因式。
分析:这里，常数项是负数,所以分解成的两个因数必是异号,－21 可以分解成-21=(-1) ×21＝１×（-２1)=(-3)×7＝3×（－７)，其中只需取 3 与-７,其和 3+(-7）等于一次项 的系数－4。
2
--
解：x2 3xy 2 y2 =x2 3yx 2y2
=x yx2y
我们知道， x 23x 5 3x2 11x 10 。反过来就得到 3x2 11x 10 的因式分解
的形式,即 3x2 11x 10 x 23x 5 。
我们发现,二次项的系数 3 分解成 1,３两个因数的积；常数项１0 分解成２,5 两个因数的积；
(2) a b2 4a b 3 = a b 1 a b 3 a b 1a b 3
例６ 把 x2 3xy 2 y2 分解因式。
分析：把 x2 3xy 2 y2 看成ｘ的二次三项式,这时，常数项是 2 y2 ，一次项系数是-3y,
把 2 y2 分解成－y 与－2ｙ的积，(-y)+（-2y)=-3ｙ,正好等于一次项的系数。
解：因为 2=１×2，并且 1＋2=3,所以 x2 3x 2 x 1 x 2
例 2 把 x2 7x 6 分解因式。
分析：这里,常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号,而 6=1×6=(-1)×(-6)＝
1
--
2×3=（－2)×(－3),要使它们的代数和等于-7，只需取-１,-6 即可。 解：因为 6=(-1)×（-6），并且(-1)+(-6)=-7,所以
如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数 p 的符号相同。
十字相乘法教学设计(多篇)
十字相乘法教学设计（多篇）篇：十字相乘法设计因式分解——十字相乘法东莞市可园中学教材与学情分析本课时属数学教材八年级上学期《分解因式》的补充内容，依据一是这一内容在九年级解一元二次方程中有很大的应用价值，二是学生的掌握难度并不大，增补此内容并不会增加学生负担，三是学习此内容可开阔学生视野，锻炼学生的思维，所以，我们也安排了课时讲解此内容。
教学目标：1、会用十字相乘法进行二次三项式（x2px q）的因式分解；2、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，在尝试中提高学生的观察能力和逆向思维能力。
教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（x2px q）的因式分解。
b，a b q。
教学难点：在x2px q分解因式时，准确地找出a、使ab p，教学过程：一、复习引入分解因式：把一个多项式分解成几个整式的_______的形式。
已学的因式分解方法有_______________和______________.思考：你知道x25x6怎样分解因式吗？二、探究(x2)(x3) = ____；(x2)(x4)= _。
填空：（1）（2）(x3)(x4)= ___；(x a)(x b)= _。
（3）（4）根据上面结果，你会对下列二次三项式进行因式分解？请试一下。
它们有什么共同的特点？(1)x25x 6 =____________ , (2) x22x8=_______________。
(3)x27x12 =____________ , (4)x2(a b)x ab =_______________。
共同特点：①二次项系数是_____；②常数项是两个数之_______；③一次项系数是常数项的两个因数之_______。
例题讲解例1.因式分解x25x 6十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
练习1 .因式分解（1）x27x 6 （2）x25x 6例2.因式分解x22x8练习2.因式分解（1）x22x8 （2）x27x8四、巩固练习练习3.因式分解（1）x27x10 （2）x27x10（3）x29x10 （4）x23x10练习4.若x2mx n(x4)(x9)，则m=______，n=________.五、拓展提升出题比赛练习5.在横线上填一个整数，然后因式分解（1）x2____x15 （2）x2____x 15练习6.若x2ax6在整数范围内可以因式分解，则a的值可能是_____________.六、小结七、教学反思在读书的时候学到十字相乘法时，曾经心里有这样一个疑惑，是不是所有的二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解呢？这留作我们今天这节课的第三个思考题。
“十字相乘法”教学设计(优秀3篇)
“十字相乘法”教学设计(优秀3篇)“十字相乘法”教学设计篇一【教学内容】8．壹五十字相乘法（第一课时，课本P.49～P.51）【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式；2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质。
【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式。
【教学难点】把x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b，使a·b=q；a+b=p.【教学过程】一、复习导入1．口答计算结果：(1)(x+2)(x+1)(2)(x+2)(x－1)(3)(x－2)(x+1)(4)(x－2)(x－1)(5)(x+2)(x+3)(6)(x+2)(x－3)(7)(x－2)(x+3)(8)(x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢？[在多项式的乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab]二、探索新知1、观察与发现：等式的左边是两个一次二项式相乘，右边是二次三项式，这个过程将积的形式转化成和差形式，进行的是乘法计算。
反过来可得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).等式的左边是二次三项式，右边是两个一次二项式相乘，这个过程将和差的形式转化成积的形式，进行的是因式分解。
2、体会与尝试：①试一试因式分解：x2+4x+3；x2－2x－3将二次三项式x2+4x+3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3+1=4，恰好等于一次项系数，所以用十字交叉线表示：x2+4｛WWW.JIAOXUELA｝x+3=(x+3)(x+1).x+3x+13x+“十字相乘法”教学设计篇二教学目标：1.使学生经历整十、整百数乘整十数的口算乘法的过程，能比较正确熟练地进行口算。
2学会运用整十、整百数乘整十数的口算乘法解决简单的实际问题。
人教版八年级上册9.15：因式分解十字相乘法教学设计
人教版八年级上册9.15：因式分解十字相乘法教学设计
一、教学目标
1.知识目标：了解因式分解的定义和方法，掌握十字相乘法的运用。
2.能力目标：能够对简单的多项式进行因式分解。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
二、教学重难点
1.教学重点：因式分解和十字相乘法的学习。
2.教学难点：多项式因式分解的学习。
三、教学过程
1. 导入环节
•介绍本次课将要学习的内容，引入因式分解和十字相乘法的概念。
2. 新课讲解
（1）因式分解的定义和方法
•通过示例引导学生了解因式分解的概念。
•教师讲解因式分解的方法：提取公因数法、分组法、十字相乘法。
（2）十字相乘法的运用
•具体讲解十字相乘法的步骤和运用。
3. 练习环节
•通过课堂练习节目，让学生掌握因式分解的方法。
•课堂分组，同学之间可以互相合作，相互交流，互相矫正。
4. 知识点总结和归纳
•总结本节课所学的知识点，让学生在脑海中形成对这些知识点的一个清晰的概念。
四、教学资源
•教学课件、白板、笔记本、教材、练习册。
五、教学反思
通过本节课，学生能够了解因式分解的定义和方法，掌握十字相乘法的运用。
在教学过程中，通过示例的引导，让学生更好地理解了因式分解的概念；并在练习环节中，让学生锻炼了自己的思维能力。
同时，也意识到在这个过程中，教师的引导作用是非常重要的。
在这个基础上，我们需要努力，使学生能够更好地掌握这个知识点。
人教初中数学八上《因式分解》十字相乘法》教案 (公开课获奖)
因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：〔1〕 (x＋2)(x＋1) 〔2〕 (x＋2)(x－1) 〔3〕(x－2)(x＋1) 〔4〕 (x－2)(x－1)〔5〕(x＋2)(x＋3) 〔6〕 (x＋2)(x－3)〔7〕 (x－2)(x＋3) 〔8〕 (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将以下多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例根底题〔1〕x2＋7x＋6 〔2〕x2－5x－6 〔3〕x2－5x＋6四.练习：〔1〕x2－7x＋6 〔2〕a2－4a－21〔3〕t2－2t－8 〔4〕m2＋4m－12拓展题〔1〕x2＋xy－12y2〔2〕x4＋5x2－6五.练习：〔1〕x2－13xy－36y2 〔2〕a2－ab－12b2〔3〕m4－6m2＋8 〔4〕x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x 2＋px ＋q 进行因式分解，应重点掌握以下三个方面： 1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q ＞0时，a 、b 同号，且a 、b 的符号与p 的符号相同；当q ＜0时，a 、b 异号，且绝对值较大的因数与p 的符号相同.七.课外延伸：把以下多项式分解因式：〔1〕 342+-x x 〔2〕1282+-x x 〔3〕1582++x x 〔4〕762-+x x 〔5〕11102--a a 〔6〕432-+m m 〔7〕302-+x x 〔8〕13122--x x 〔9〕2282y xy x -+ 〔10〕2234b ab a ++ 〔11〕22208y xy x -- 〔12〕2254n mn m -- 〔13〕434--x x 〔14〕1522--x x 〔15〕24102-+x x 〔16〕24142+-x x八.思考：1.请将以下多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x xx2. 先填空,再分解〔尽可能多的〕： x 2( )x + 60 = ； ◆板书设计◆因式分解之十字相乘法二. 创设情境 二．探索尝试 三．例题举例 课 堂 小 结 课 外 延 伸 ◆课后思考◆15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习D CA BD CABDC A B〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D C A BEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕 A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，那么其腰长为〔x+2〕cm ，根据题意，得 2〔x+2〕+x=16．解得x=4．E DC A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算：(1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
十字相乘因式分解教案
十字相乘因式分解教案教案标题：十字相乘因式分解教案教案目标：1. 理解十字相乘法在因式分解中的应用；2. 掌握使用十字相乘法分解二次多项式的技巧；3. 能够独立运用十字相乘法解决相关问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板/白板、彩色粉笔/马克笔、教学PPT；2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔和橡皮擦。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师用简单的例子引入十字相乘因式分解的概念，例如：(x+3)(x+2)；2. 提问学生是否知道如何将上述式子进行因式分解。
二、讲解十字相乘法（10分钟）1. 教师介绍十字相乘法的步骤：将二次多项式的首项和末项的系数相乘，找出两个数的乘积等于中间项的系数；2. 通过示例演示如何使用十字相乘法分解二次多项式，例如：x^2+5x+6；3. 强调步骤的重要性，并提醒学生在计算过程中注意符号。
三、练习与巩固（15分钟）1. 教师提供一些练习题，让学生独立进行因式分解，例如：2x^2+7x+3；2. 学生在课堂上完成练习题，并相互讨论解题方法；3. 教师巡视课堂，解答学生疑问，纠正他们的错误。
四、拓展与应用（10分钟）1. 教师提供一些拓展题，让学生运用十字相乘法解决实际问题，例如：已知一个矩形的长和宽之和为x，面积为x^2+3x+2，求矩形的长和宽；2. 学生独立解答拓展题，并将答案写在纸上；3. 教师选几位学生上台讲解解题思路，并与学生一同讨论。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师对十字相乘因式分解的方法进行总结，强调学生在课后需要多加练习；2. 学生反思本节课的学习情况，提出问题并与教师进行交流。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的作业，要求学生独立完成；2. 强调作业的重要性，并提醒学生将问题及时反馈。
教学反馈：1. 教师对学生的课堂表现进行评价，记录学生的掌握情况；2. 针对学生的问题进行解答和指导，帮助学生提高。
备注：教案中的时间安排仅供参考，实际教学中可根据具体情况进行调整。
14.3.2因式分解—十字相乘法教案
科目
数学
年级
八年级
班级
授课时间
2019年月日
课题
14.3.2十字相乘法
课型
新授课
教学目标
1、理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式的方法。
2、通过复习导入，启发学生从现有的知识探索新知。
3、通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，让学生在学习中体验成功的喜悦。
（2）常数项因数分解的一般规律
（3）因式分解时有时还要用到整体思想
作
业
布
置
板
书
设
计
教
学
反
思
教学重点
能较熟练地用十字相乘法把二次三项式分解因式
pxx2
的二次三项式分
解因式
教学难点
能够准确的应用十字相乘法把系数不为1的二次三项式分解因式
。
教具准备
多媒体、课件
教学内容及过程
教学方法和手段
一、复习引入
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.
小结：常数项分解的一般规律：
①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，符号与一次项系数的符号相同；
②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
综合训练：将下列各式因式分解
课堂小结
（1）运用公式x2+(a+b)x+ab =(x+a)(x+b)分解因式的步骤
2.前面我们都学习了那些分解因式的方法？
提取公因式法、公式法.
十字相乘法(多项式因式分解--教案)
十字相乘法教案教学目标：1.知识目标：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。
理解运用十字相乘法分解因式的关键。
2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。
3.情感目标：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。
教学设计思想：本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好地实现有效学习。
在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。
感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。
化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。
教学过程：一、复习引入1．回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤例１：把多项式x2－3x + 2分解因式。
x －１x －２解：x2－3x + 2 ＝ (x－１) (x－２)像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。
提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？答：不是，（反例：x2 +３x－2）。
提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？请同学总结：（板书）x2＋px＋q当q＝ab，p ＝a＋b时，x2＋px＋q = (x＋a) (x＋b) （*）再提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。
应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
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当我们把 1,3，2,5 写成
1
2
3
5
后发现 1×5+2×3 正好等于一次项的系数 11。
由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式 ax2 bx c 进行因式分解。
a1x c1 a2x c2
我们知道， a1a2 x2 a1c2 x a2c1x c1c2
a1a2 x2 a1c2 a2c1 x c1c2
例 4 把 x2 2x 15 分解因式。
解：因为-15=(-3)×5，并且(-3)+5=2，所以
通过例 1︿4 可以看出，把 x2 px q 分解因式时：
如果常数项 q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数 p 的
符号相同。
如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次
积 ， 并 且 a+b 等 于 一 次 项 的 系 数 p ， 那 么 它 就 可 以 分 解 因 式 ， 即
x2 px q x2 a b x ab x a x b。运用这个公式，可以把某些二次项系数
为 1 的二次三项式分解因式。
例 1 把 x2 3x 2 分解因式。
分析：这里，常数项 2 是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而 2=1×2=(-1)(-2)， 要使它们的代数和等于 3，只需取 1,2 即可。
考点分析
第（ 1 ）课时 共（ 1 ）课时
授课时段
学生活动
教师活 动
分解因式之十字相乘法
我们知道 x 2 x 3 x2 5x 6 ，反过来，就得到二次三项式 x2 5x 6 的因式
分解形式，即 x2 5x 6 x 2 x 3 ，其中常数项 6 分解成 2,3 两个因数的积，而且
把 2 y2 分解成-y 与-2y 的积，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。
我们知道， x 23x 5 3x2 11x 10 。反过来就得到 3x2 11x 10 的因式分解
的形式，即 3x2 11x 10 x 23x 5 。
我们发现，二次项的系数 3 分解成 1,3 两个因数的积；常数项 10 分解成 2,5 两个因数的积；
1 -5
2y -4y
教师活 动
课后作业
学生成长 记录
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ ____________________________
项系数 p 的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数 p。 例 5 把下列各式分解因式：
(1) x4 6x2 8
(2) a b2 4a b 3
例 6 把 x2 3xy 2 y2 分解因式。
分析：把 x2 3xy 2 y2 看成 x 的二次三项式，这时，常数项是 2 y2 ，一次项系数是-3y，
这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1 c2 + a2 c1 ，如果它们正好等于 ax2 bx c 的一次
项系数 b ，那么 ax2 bx c 就可以分解成
a1x c1 a2x c2 ，其中 a1 ， c1 位于上图的上一行， a2 ， c2 位于下一行。
像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫 做十字相乘法。
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十字相乘法教学设计
教师
王洪
学生姓名
上课日期
学科
数学
年级
教材版本
类型
知识讲解□：
考题讲解□:
本人课时统计
学案主题 教学目标
复习 教学内容
课时数量 第（ 1 ）课时
（全程或具体时间）
复习应用
教学重点、 如何进行系数的分解 难点 十字相乘法主要是在解题过程中的一个重要的方法
1
2
3
5
相乘就可以了。
例 7 把下列各式分解因式：
(1) 2x2 7x 3 (2) 6x2 7x 5 (3) 5x2 6xy 8 y2
解 : (1)2x2 7x 3
x 32x 1
(2)6x2 7x 5
2x 13x 5
教学过程
课堂练习
1 2 2 3
学生活动 2 5
-3 -1
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确
定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式 3x2 11x 10
中，二次项的系数 3 可以分解成 1 与 3，或者-1 与-3 的积，常数项 10 可以分解成 1 与 10，
或者-1 与-10，或者 2 与 5，或者-2 与-5 的积，其中只要选取十字
这两个因数的和等于一次项的系数 5，即 6=2×3，且 2+3=5。
一 般 地 ， 由 多 项 式 乘 法 ， x a x b x2 a b x ab ， 反 过 来 ， 就 得 到
教学过程
x2 a b x ab x ax b
这就是说，对于二次三项式 x2 px q ，如果能够把常数项 q 分解成两个因数 a、b 的
反过来，就得到 a1a2 x2 a1c2 a2c1 x c1c2 a1x c1 a2x c2
我们发现，二次项的系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，并且把 a1 ，a2 ，c1 ，c2
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文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 排列如下：
解：因为 6=(-1)×(-6)，并且(-1)+(-6)=-7，所以
例 3 把 x2 4x 21分解因式。
分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21 可以分解成-21=(-1) ×21=1×(-21)=(-3)×7=3×(-7)，其中只需取 3 与-7，其和 3+(-7)等于一次项的系数-4。
解：因为 2=1×2，并且 1+2=3，所以 x2 3x 2 x 1 x 2
例 2 把 x2 7x 6 分解因式。
分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而 6=1×6=(-1)×(-6)=2
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文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. ×3=(-2)×(-3)，要使它们的代数和等于-7，只需取-1，-6 即可。