7向量内积的坐标运算与公式

变式训练 1 平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若
A→B＝(2,4)，A→C＝(1,3)，则A→D·B→D等于( )
A．6
B．8
C．－8
D．－6
解析 A→D·B→D＝(A→C＋C→D)·(A→D－A→B) ＝(A→C－A→B)·(A→C－2A→B) ＝(－1，－1)·(－3，－5)＝3＋5＝8.
名师点拨 1.平面向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并 将数与形紧密结合起来． 2．在坐标运算中，要注意向量垂直的条件与向量平行的条 件的区别，向量垂直的条件可简化为“对应乘积和为零”；平 行的条件可简化为“交叉相乘积相等”.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例 1 已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求 a·b，|a|，|b|，〈a， b〉．
2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则 a⊥b⇔ a1b1＋a2b2＝0
.
3．向量的长度、距离和夹角公式
向量模公式 两点间距离公式
向量的夹角公式
设 a＝(a1，a2)，则|a|＝ a21＋a22
若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝
x2－x12＋y2－y12
4．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，如果 ka＋b 与 a－3b
垂直，那么实数 k 的值为( )
A．－19
B．－13
11 C. 9
D．19
解析 (ka＋b)·(a－3b)＝0， ka2＋(1－3k)a·b－3b2＝0， ∴5k＋(1－3k)－39＝0，∴2k＝38，∴k＝19.
答案 D
则 a0＝±|a1|a＝±|ax|，|ay|

＝±

x2x＋y2，
y

x2＋y2
其中正号，负号分别表示与 a 同向和反向．
易知 b＝(－y，x)和 a＝(x，y)垂直，

∴与 a 垂直的单位向量 b0 的坐标为±

x－2＋y y2，
x2x＋y2，
其中正，负号表示不同的方向.
设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a 与 b 的
夹角为 θ，则 cosθ＝
a1b1＋a2b2 a21＋a22· b21＋b22
思考探究 已知向量 a＝(x，y)，你知道与 a 共线的单位向量的坐标是 什么吗？与 a 垂直的单位向量的坐标又是什么？
提示 设与 a 共线的单位向量为 a0，
∵90°<α<180°，∴－1<cosα<0.
∴－1<
－2λ－1 5· λ2＋1<0.
∴－－22λλ－－11><0－， 5λ2＋5.
即λ>－12，
即λ>－12，
2λ＋12<5λ2＋5， λ≠2.
∴λ 的取值范围是－12，2∪(2，＋∞)．
规律技巧 由于两个非零向量 a，b 的夹角 θ 满足 0°≤θ≤180°，所以用 cosθ＝|aa|·|bb|来判断，可将 θ 分五种情况： cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0 且 cosθ≠－1，θ 为钝角；cosθ>0 且 cosθ≠1，θ 为锐角．
第七章 平面向量
平面向量的数量积
向量数量积的坐标运算与公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐 标运算． 2．能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度， 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
自学导航
1.向量数量积的坐标运算 已知 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a·b＝ a1b1＋a2b2 . 即两个向量的数量积等于 它们对应坐标乘积的和．
剖析 考查向量数量积的坐标运算与度量公式．
解析 a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5；
|a|＝ 32＋－12＝ 10；
|b|＝ 12＋－22＝ 5；
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
5 10·
＝ 5
1＝ 2
22，
∴〈a，b〉＝45°.
规律技巧 熟记向量数量积的坐标公式，结合数量积的运 算律和性质解决该类问题．
解析 设 a 与 b 的夹角为 θ， 则 cosθ＝|aa|·|bb|＝1×6＋5＋－3 25×3＝0， ∴θ＝90°.故选 B.
答案 B
3．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－2,2)，若 c＝a＋(a·b)b，则|c|
等于( )
A．6 5
B．6 3
C．6 2
Байду номын сангаасD．6
解析 c＝a＋4b＝(－6,12)，|c|＝ －62＋122＝6 5 答案 A
自测自评
1.已知向量 a＝(1,2)，b＝(x＋1，－x)，且 a⊥b，则 x＝( )
A．2
2 B.3
C．1
D．0
解析 ∵a⊥b，∴(x＋1)－2x＝0，∴x＝1.故选 C. 答案 C
2．向量 a＝(1，－2)，b＝(6,3)，则 a 与 b 的夹角为( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
答案 B
例 2 已知 a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若 a 与 b 的夹角 α 为钝角，求 λ 的取值范围．
剖析 a 与 b 夹角 α 为钝角时，a·b<0，但是 a·b<0 时，2π<α≤π， 因而求解本题时，要注意研究 α＝π，即 a 与 b 反向的时候．
解析 由题意 cosα＝|aa|·|bb|＝ －5·2λλ－2＋11，