立体几何中的空间距离问题优秀课件
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在 Rt△SAD 中，SA＝3a，AD＝AB×sin60°＝ 3a， ∴AH＝ SSAA×2＋AADD2＝ 33aa×2＋3a3a2＝32a， 即点 A 到平面 SBC 的距离为32a.
方法二：设 A 到平面 SBC 的距离为 h，∵VS-ABC＝VA-SBC， ∴13×SA×S△ABC＝13×h×S△SBC，其中 SA＝3a. 在△ABC 中，
AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝ 4a2＋4a2－2×4a2×－12＝2 3a，
S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×2a×2a× 23＝ 3a2.
在△SBC 中，SB＝ SA2＋AB2＝ 13a，BC＝2a，SC＝
SA2＋AC2＝
21a.cos∠SBC＝132a×2＋143aa2－×221aa2＝－
1， 13
∴sin∠SBC＝
1－113＝2
39 13 .
∴S△SBC＝12×SB×BC×sin∠SBC
＝12× 13a×2a×21339＝2 3a2，
于是 h＝
＝32a·33aa22＝32a.
方法三：如图8-7-6，以A 为坐标原点，以AC，AS 所在直 线为y 轴，z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，以过 A 点且垂直于yOz 平面的直线为x 轴建 立空间直角坐标系.
S→C＝(0,2 3a，－3a)，
可得nn··SS→→BC＝＝a0·＋x＋2
3a·y－3a·z＝0， 3a·y－3a·z＝0，
即x＋ 2
3y－3z＝0， 3y－3z＝0.
不妨取 n＝(3，
3，2).
设点 A 到平面 SBC 的距离为 d，
则 d＝|A→|Sn·|n|＝|0＋9＋0＋3＋6a4|＝32a.
(1)求点A到平面PCF的距离；
(2)求AD与平面PBC间的距离.
分析（1）通过论证平面 PAC⊥平面
PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位 于PC上，然后解三角形求AH的长.
（2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问 题情境在AD上选择具备特殊位置的点A， 然后推理过A点的平面PAD⊥平面PBC， 找到过点A的垂线.
2.直线与平面间的距离、平行平面间 的距离可归结为求⑧ 点面间 的距离.
一 异面直线的距离
与异面直线都垂直且相交的直线有且只有 一条，它叫两异面直线的公垂线.两条异面 直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段 的长度是两条异面直线的距离.
D’ A’
D A
C’
如图所示：线段_A_B
B’
为异面直线AA’
C 与BC的距离。
B
练习1
在 直 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 ， AA1=2 ， AB=BC=1 ， ∠ ABC=90°. 点 D 是 BB1 中 点 ， 则异面直线DA1与B1C1的距离是
2
_____2 ___.
二 点面距离的求法
例 ：如图 8-7-4，S 是△ABC 所在平面外一点，AB＝BC ＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面 ABC，SA＝3a，求点 A 到 平面 SBC 的距离.
(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所 以PA⊥CF. 又CF⊥PC，PA∩PC=P， 所以CF⊥平面PAC， 所以平面PFC⊥平面PAC. 过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF， 即AH为点A到平面PCF的距离.
由已知AB=BC=1，所以AC= 2 ,PC= 3 . 在Rt△PAC中，得AH= 6.
3
(2)因为BC∥AD，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC. 过A作AE⊥PB于E， 又AE⊥BC,PB∩BC=B, 所以AE⊥平面PBC, 所以AE的长度即为所求的距离. 在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1, 所以AE= 2 .
2
方法提炼
1.对于空间中的距离，我们主要研究点 到平面的距离、直线和平面的距离及两个 平行平面之间的距离，其重点是点到平面 的距离.点到平面的距离要注意其作法，一 般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面 的距离也可以用等体积法.
5.异面直线间的距离:两条异面直线的公 垂线夹在这两条异面直线间的⑤ 线段 的长 度.
6.直线与平面间的距离:如果一条直线和 一个平面平行,从这条直线上任意一点向平 面引垂线,⑥ 这点到垂足间线段 的长度.
7.两平行平面间的距离：夹在两平行平 面之间的⑦ 公垂线段 的长度.
二、求距离的一般方法
1.两点间距离、点到直线的距离和两 平行线间的距离其实是平面几何中的问题， 可用平面几何方法求解.
点评 线 面 距 离 、 面 面 距 离 通 常 情 况 下
化归为点面距离求解，求空间点面距离， 若利用传统构造法，关键是“找射影”， 一般是应用垂面法求射影，或等积法间 接求.若利用向量法，建系和求平面法向 量是关键.
练习2
如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∠ABC= ,AB=BC= 1 AD=1,PA⊥平面ABCD, 且PA=1，2 点F在AD上3 ，且CF⊥PC.
图8-7-6
∵在△ABC 中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，
∴AC＝ AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝2 3a.
于是 A(0,0,0)，B(a， 3a,0)，C(0,2 3a,0)，S(0,0,3a). 设平面 SBC 的一个法向量 n＝(x，y，z).
由 n⊥S→B，n⊥S→C及S→B＝(a， 3a，－3a)，
图 8-7-4
解：方法一：如图8-7-5，作AD⊥BC 交BC 延长线于点D， 连接 SD.
∵SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC.
又 SA∩AD＝A，∴BC⊥平面 SAD. 又 BC⊂平面 SBC，
图 8-7-5
∴平面 SBC⊥平面 SAD，且平面 SBC∩平面 SAD＝SD. 过点 A 作 AH⊥SD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理， 可知：AH⊥平面 SBC.于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离.
立体几何中的空间距离问题
一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的① 线段的长度.
2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引 垂线，② 点到垂足间线段 的长度.
3.点到平面的距离：自点向平面引垂线 ， ③ 点到垂足间线段 的长度.
4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一 条上任意取一点向另一条直线引垂线,④___点 到垂足间线段 的长度.
方法二：设 A 到平面 SBC 的距离为 h，∵VS-ABC＝VA-SBC， ∴13×SA×S△ABC＝13×h×S△SBC，其中 SA＝3a. 在△ABC 中，
AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝ 4a2＋4a2－2×4a2×－12＝2 3a，
S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×2a×2a× 23＝ 3a2.
在△SBC 中，SB＝ SA2＋AB2＝ 13a，BC＝2a，SC＝
SA2＋AC2＝
21a.cos∠SBC＝132a×2＋143aa2－×221aa2＝－
1， 13
∴sin∠SBC＝
1－113＝2
39 13 .
∴S△SBC＝12×SB×BC×sin∠SBC
＝12× 13a×2a×21339＝2 3a2，
于是 h＝
＝32a·33aa22＝32a.
方法三：如图8-7-6，以A 为坐标原点，以AC，AS 所在直 线为y 轴，z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，以过 A 点且垂直于yOz 平面的直线为x 轴建 立空间直角坐标系.
S→C＝(0,2 3a，－3a)，
可得nn··SS→→BC＝＝a0·＋x＋2
3a·y－3a·z＝0， 3a·y－3a·z＝0，
即x＋ 2
3y－3z＝0， 3y－3z＝0.
不妨取 n＝(3，
3，2).
设点 A 到平面 SBC 的距离为 d，
则 d＝|A→|Sn·|n|＝|0＋9＋0＋3＋6a4|＝32a.
(1)求点A到平面PCF的距离；
(2)求AD与平面PBC间的距离.
分析（1）通过论证平面 PAC⊥平面
PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位 于PC上，然后解三角形求AH的长.
（2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问 题情境在AD上选择具备特殊位置的点A， 然后推理过A点的平面PAD⊥平面PBC， 找到过点A的垂线.
2.直线与平面间的距离、平行平面间 的距离可归结为求⑧ 点面间 的距离.
一 异面直线的距离
与异面直线都垂直且相交的直线有且只有 一条，它叫两异面直线的公垂线.两条异面 直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段 的长度是两条异面直线的距离.
D’ A’
D A
C’
如图所示：线段_A_B
B’
为异面直线AA’
C 与BC的距离。
B
练习1
在 直 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 ， AA1=2 ， AB=BC=1 ， ∠ ABC=90°. 点 D 是 BB1 中 点 ， 则异面直线DA1与B1C1的距离是
2
_____2 ___.
二 点面距离的求法
例 ：如图 8-7-4，S 是△ABC 所在平面外一点，AB＝BC ＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面 ABC，SA＝3a，求点 A 到 平面 SBC 的距离.
(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所 以PA⊥CF. 又CF⊥PC，PA∩PC=P， 所以CF⊥平面PAC， 所以平面PFC⊥平面PAC. 过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF， 即AH为点A到平面PCF的距离.
由已知AB=BC=1，所以AC= 2 ,PC= 3 . 在Rt△PAC中，得AH= 6.
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(2)因为BC∥AD，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC. 过A作AE⊥PB于E， 又AE⊥BC,PB∩BC=B, 所以AE⊥平面PBC, 所以AE的长度即为所求的距离. 在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1, 所以AE= 2 .
2
方法提炼
1.对于空间中的距离，我们主要研究点 到平面的距离、直线和平面的距离及两个 平行平面之间的距离，其重点是点到平面 的距离.点到平面的距离要注意其作法，一 般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面 的距离也可以用等体积法.
5.异面直线间的距离:两条异面直线的公 垂线夹在这两条异面直线间的⑤ 线段 的长 度.
6.直线与平面间的距离:如果一条直线和 一个平面平行,从这条直线上任意一点向平 面引垂线,⑥ 这点到垂足间线段 的长度.
7.两平行平面间的距离：夹在两平行平 面之间的⑦ 公垂线段 的长度.
二、求距离的一般方法
1.两点间距离、点到直线的距离和两 平行线间的距离其实是平面几何中的问题， 可用平面几何方法求解.
点评 线 面 距 离 、 面 面 距 离 通 常 情 况 下
化归为点面距离求解，求空间点面距离， 若利用传统构造法，关键是“找射影”， 一般是应用垂面法求射影，或等积法间 接求.若利用向量法，建系和求平面法向 量是关键.
练习2
如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∠ABC= ,AB=BC= 1 AD=1,PA⊥平面ABCD, 且PA=1，2 点F在AD上3 ，且CF⊥PC.
图8-7-6
∵在△ABC 中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，
∴AC＝ AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝2 3a.
于是 A(0,0,0)，B(a， 3a,0)，C(0,2 3a,0)，S(0,0,3a). 设平面 SBC 的一个法向量 n＝(x，y，z).
由 n⊥S→B，n⊥S→C及S→B＝(a， 3a，－3a)，
图 8-7-4
解：方法一：如图8-7-5，作AD⊥BC 交BC 延长线于点D， 连接 SD.
∵SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC.
又 SA∩AD＝A，∴BC⊥平面 SAD. 又 BC⊂平面 SBC，
图 8-7-5
∴平面 SBC⊥平面 SAD，且平面 SBC∩平面 SAD＝SD. 过点 A 作 AH⊥SD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理， 可知：AH⊥平面 SBC.于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离.
立体几何中的空间距离问题
一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的① 线段的长度.
2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引 垂线，② 点到垂足间线段 的长度.
3.点到平面的距离：自点向平面引垂线 ， ③ 点到垂足间线段 的长度.
4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一 条上任意取一点向另一条直线引垂线,④___点 到垂足间线段 的长度.