物理竞赛12：机械振动二三事

平衡位置 所在位置 x 0在平衡位置时： 0mg kx =m gkx 0 x m g k (x 0+x ) 在距平衡位置x 处时： ()0F mg k x x ∑=-+kx=-则该振动系统做简谐运动,且周期为 2T m kπ=振动系统1 竖直面内振动的弹簧振子θm g T θF 回 sin F mg θ=回当θ角很小时sin θθ≈O B BO BO x ≈=x 则有 sin F mg mg θθ==回BOmg l=⋅l xmg l=⋅mg l =-x k =-2mT k π=2lT gπ∴=振动系统2 单摆如图所示，劲度系数为k 的弹簧一端固定，另一端与质量为m 的物体a 相连，当弹簧处于自然长度时，将a 无初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带上，弹簧轴线保持水平，设A 与传送带间动摩擦因数为μ，试说明A 将做什么运动？在平衡位置时： mg kAμ= a 平衡位置mg μkA A x 在距平衡位置x 处时： mgμ()k A x -()F k A x mg ∑=--μkx=-振动系统3 a 该振动系统做简谐运动,且周期为 2T m kπ=v a如图所示，密度为ρ的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与水平面的交角为α、β，液柱总长为l ．若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期．毛细管作用及摩擦忽略不计．x 0 该液片在平衡位置时： 0F F gh sρ==左右h 0 取管之底端一截面积为s 的液片若液柱向右侧振动,液片在平衡位置右侧x 时： xx()()00sin sin F gs h x gs h x ραρβ=--+∑()2sin sin ls T gs ρπραβ=+()sin sin gs ραβ=-+xk =-专题12-例2 ()2sin sin l g παβ+=x L R A B Ｏ d F 3323r M m GMm R F G r r R ⋅==F 回3GMm x F r r R =⋅回3GMm x R=-⋅可知小球在隧道中做简谐运动!m v A ω=mg x R =-⋅2L g R 2L g R=小球过平衡位置时速度最大,为: 2R T g π=t R g π=r 如图所示，设想在地球表面的A 、B 两地之间开凿一直通隧道，在A 处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力．试求小球的最大速度，以及小球从A 到B 所需时间．已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，A 和B 之间的直线距离为L ，地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球自转．专题12-例3F B F A 22K k R r = A B OR r x 质点在平衡位置O 时： K k l l K k K k R r ==++則质点在距平衡位置x 的某位置时： ()2221A K K x F R R R x -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+()2221B k k x F r r r x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭-221212K x k x F R r R r ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑22332K k K k x R r Rr ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭33K k x R r ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()432K k x Kkl +-()4322m T K kKkl π=+()22l ml KkK k π=+ 力心A 、B 相距l ，一质量为m 的质点受与距离平方反比的有心斥力作用而平衡于两点连线上的O 点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情况． 专题12-例5≈ 在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方向一小角度θ时，乙摆线仍为竖直乙甲M gθF 回sin Mg F Mg x lθ==-回由简谐振动周期公式： 2m T kπ=M +m ()2M lMg T m π+= 如图所示，甲、乙二摆球质量分别为M 、m ，以不计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为l ，乙球摆线很长，两球在同一水平面上静止．现使之做小振幅的摆动，它的周期是 ．框架处于静止 ,受力如图: M g sin 60mgx f l =⋅ A BC m g f 对C 点必有: 23mg f x l=⋅x 对松鼠有: f '23m f g x l-'=⋅可知松鼠做谐振且有: 32 2.62T l gπ≈=s 三根长度均为l ＝2.00 m ，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ，Ｃ点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述．当重物位置在距铰接点l 时 ,系统处于平衡时,若弹簧形变量为x 0受力如图: 0mg l kx L⋅=⋅有Ｌlkx 0m g 振动中重物有一对平衡位置位移x 时,重物受力如图: x 0L k x x l ⎛⎫+ ⎪⎝⎭m g F N 轻杆受力如图: N F '对轻杆有 0N L F l k x x L l ⎛⎫'⋅=+⋅ ⎪⎝⎭对重物有 N F mg F =-∑0L L mg k x x l l ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭22L k x l -=⋅2T l m L k π= 长度为Ｌ的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另一端搁在劲度系数为k 的弹簧上，如图．试确定铁杆小振动周期与质量为m 的重物在杆上的位置之关系．木板处于平衡位置时,受力如图,22mg F g f F m f μ'====左右有mglF 右F 左ff '若木板有一位移-重心向右轮移过x 时Ox F 右 F 左f 'f F f f'=-∑有22l l x x mg mg l lμμ-+=-mg 2mg xlμ=-22T l gπμ= 如图，质量为m 的均匀长木板水平地置于两个匀速反向转动的轮上．设轮与木板间摩擦因数为μ，两轮间距离l ，平衡时长木板重心在l/2处．若将木板稍稍拉过一小段后放手，则木板将在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期．x ⑴若左轮不光滑且顺时针转动, l O f kx 0 x 0 板在平衡位置时有 002l x kx mgl μ-=⋅mg F 左设再向右有一小位移x 时()002lx x F k x x mgl μ--=-++⋅∑mg k xl μ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭k g m lωμ=+此时如图，质量为m 的均匀木板对称地放在两个滚柱上，两滚柱轴线间的距离为l ，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为μ，而在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动．用一劲度系数为k 的弹簧将板连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋转起来．问摩擦因数μ为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简谐运动？振动的圆频率是多少？⑵若左轮不光滑且逆时针转动,lOxfkx 0x 0板在平衡位置时有 002lx kx mglμ+=⋅mg F 左设再向左有一小位移x 时()002lx x F k x x mgl μ++=-++⋅∑mg k x l μ⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭k g m lωμ=-此时mg k lμ>若右轮不光滑且逆时针转动同⑴ 右轮不光滑且顺时针转动同⑵mgk l μ若<质点P 以角速度ω沿半径为R 的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点P 在某直径上的投影的运动为简谐运动．x R F n22x x F m R m xRωω=⋅=⋅P 所受向心力F n2n F m Rω=P 'PP 的投影运动所受回复力F xF x --α2cos x F m R ωα=令为kx F kx=-0tαϕω=+()()00c cos os x R t A t ϕωϕω=+=+O xy2F m x kxω=-⋅=-回2T πω=kmω=而∴简谐运动的周期公式为∵参考圆运动的周期2mT kπ=简谐运动的速度公式为()sin v A t ωω=-简谐运动的位移公式为()cos x A t ω= AOxyxωA P 'P vt ωP 'vPωAtω根据题给条件，物体振动方程为0.24cos 2x t π⎛⎫= ⎪⎝⎭m⑴ c m m10.24cos 0.21522x π⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭N221121220.01023210010000F m x ωππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭⑵ 1224cos 2t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭由s 143t =m/sm/s 244sin 2102300335v πππ⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭-得 ⑷⑶质量为10 g 的物体做简谐运动，振幅为24 cm ，周期为4 s ；当t ＝０时坐标为+24 cm.试求⑴当t ＝0.5 s 时物体的位置．⑵当t ＝0.5 s 时作用在物体上力的大小和方向．⑶物体从初位置到x ＝-12 cm 处所需的最短时间．⑷当x ＝－12 cm 时物体的速度．⑴作如图所示谐振参考圆，由图得ωAv8610ϕϕO xrad/ssin 3v A ωϕω=⇒=s23T π=⑵cm22112x v A x A ω⎛⎫=-⇒= ⎪⎝⎭⑶路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供：2mg m Aμω=0.09μ= 一物体在水平面上做简谐运动，振幅为10 cm ，当物体离开平衡位置6 cm 时，速度为24 cm/s ．⑴问周期是多少？⑵当速度为±12 cm/s 时，位移是多少？⑶如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？⑴确定摆球振动的平衡位置；⑵确定摆在此位置时摆线上的力F T ；⑶等效的重力加速度2l T gπ=lgω''=TF g m'=l '由理想单摆周期公式 ，通常可由三条途径确定T ：．★确定等效悬点及摆长⑴联结两悬点的直线为转轴；⑵摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点； ⑶取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长 ★确定等效的重力加速度 ．★确定等效的圆频率 ⑴确定摆球振动中的机械能守恒关系⑵比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式 ⑶在同一参考圆下提取等效的角速度 g 'ω'示例示例示例若单摆在加速度竖直向上的电梯中做小幅振动，在振动的“平衡位置”amgF T()T T F mg ma F m g a -=⇒=+由()g g a '=+故则2l T g aπ=+若单摆在加速度水平向左的车厢中做小幅振动， 在振动的“平衡位置”m gF Tma()2222T T F mg ma F m g a-=⇒=+由22g g a'=+故则222l T g aπ=+振动系统4mgqEF TE 带正电摆球在水平向右的电场中做小幅振动在振动的“平衡位置”()()2222T qE F mg qE m g m ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭22qE g g m ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭故则()()222mlT mg qE π=+振动系统5φm gF Tma()()()222cos 90T T mg F mg F maϕ+--=由222sin g a g ag ϕ'=+-故则2222sin lT a g ag πϕ=+- 如图所示，摆线长为l 的单摆悬于架上，架固定于小车．使小车沿倾角为的斜面以加速度a 做匀加速运动，求此时单摆振动的周期．专题12-例5 222sin T F m g a ag ϕ+-=某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上．电梯向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同．试问电梯服务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？g g a '=+g g a'=-00t tT T=由 向上加速的电梯中，摆的等效而加速下降电梯中，摆的等效规律000t T g t t Tg'==g a t t g+=上0g a t t g-=下0112a at g g ⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭222411221a a ag g g ⎛⎫++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭<0<因加速，上升过程钟面时间t 比客观时间t 0长， 下降过程钟面时间t 比客观时间t 0少， 每上下一次，钟面读数与客观时间相差说明每上下一次，钟面指示时间比实际时间少， 以此钟指示时间为据此人 工作了．返回t N T=t 0正 误 不准钟当其钟面读数时间为t 时，客观时间为t 0．t ＞t 0，钟走快； t ＜t 0，钟走慢．摆式钟的特点 1.振动次数相同，则钟面读数变化相同 2.标准钟钟面读数与客观时间一致 不准钟钟面读数与客观时间不一致 3.T 大钟慢，T 小钟快设标准钟摆的周期为T 0，不准钟摆的周期为T ．如图，当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数t 时标准钟是在与钟面读数一致的时间t 内走成这样的： 0t N T =根据特点1，有 00t tT T =不准钟是在客观时间t 0(t 0≠t )内走成这样的：t00g t tg=0t l tl =返回l lmg2αl 'tan l l α'=αtan 2l gT απ∴=振动系统6 如图，小铁球用长度为l 的细线AC 、BC 悬挂，两线与A 、B 连线的夹角均为α，AC 恰好水平．球由于受到扰动，垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求小球振动的周期．ACB如图所示， 光滑的细杆组成夹角为α的人字架．一根长度为l 的轻线套在架子上，线的两端共系一个重球C ，架竖直放置，试求重球在人字架平面内做小振动的周期．专题12-例6B AC O αTβ ααβTO '振动是在线拉力与重力之合力作用下发生的,若证得振动中线拉力之合力始终通过O 点,即可与单摆等效! OABθ122πα∠=∠=-2αθ-22OO B παθ⎛⎫'∠=-+ ⎪⎝⎭D C22DO C πααθ⎛⎫⎛⎫'∠=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=2sin l l α'=22sin lg T πα=专题12-例7l 1CA Bab l 2mgαOxα由几何关系得C 到AB 的距离1222l l x a b=+等效摆长为12cos l l xl aα'==秋千周期为122l T l agπ∴= 如图所示，秋千的一根绳子的固定点A 比另一根绳固定点B 高b ，秋千两根支架相距为a ，两根绳子长度分别是l 1和l 2，并且．试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期．（人的大小与上述长度相比可忽略不计）222212l l a b +=+一端带有重物的轻硬杆，另一端用铰链固定在墙上A 点，杆可以向各个方向转动，如图所示．一根长度为l 的不可伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置．使重物具有垂直图面方向的动量，试求系统小振动的周期 T ．AB l llmgl '2l l'=22lT gπ∴=如图是一种记录地震的仪器——倾斜摆的示意图.摆球m 固定在边长为l 、质量可忽略的等边三角形框架ABC 上，可绕AB 杆摆动，AB 杆和竖直墙夹角为α.求摆球做微小摆动的周期.ABCαmllmgl 'sin sin 60l lα'=322sin lT g πα∴=α60返回 32sin ll α'=专题12-例8 未放凹形滑块的单摆，是以圆频率 glω=设带凹形滑块的异形摆圆频率为ω',有()mM mg m lmM ωω'=+=+()2M lmgT m π+=则谐振,满足()()211cos 2mgl m A θω-=比较两式得 ()()()211cos 2mgl M m A θω'-=+θ如图，摆球质量为m ，凹形滑块质量为M ，摆长为l ．m 与M 、M 与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释放，求系统的振动周期T ．专题12-例9 未加另一质量重物的单摆 (),A l ωθ=设带另一质量的复摆圆频率为 ω',有()22l x ll xωω+'=+则谐振,满足()()211cos 2mgl m A θω-=比较两式得()()()22111cos 22x mg l x m A m A lθωω⎛⎫''+-=+ ⎪⎝⎭()221T l x Tl x lδ∆+==-+ 一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端的重物组成，做小振幅的自由振动．如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同的重物，使原单摆变成一个异形复摆，其振动周期最多改变百分之几？续解()2222l x l x ll x ll l x ++=+-++2,l x ll l x+=+当()21x l =-时,有最小值故 ()max1221T T ∆⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0.08989=≈%查阅m 在天花板下用两根长度同为l 的轻绳吊一质量为M 的光滑匀质木板，板中央有一质量为m 的小滑块，如图．开始时系统静止，然后使板有一个水平的横向小速度v 0，试求振动周期．llMm v 0摆长为l 、振幅为l θ的理想单摆满足()()()()2011cos 2M m gl M m A θω+-=+对振动实体机械能守恒，有()()()211cos 2M m gl M A θω+-=比较两式得()M m Mωω+=()2Mlm gT M π=+则数学摆是由长度为l 的轻杆，一个固定在杆的自由端上的小铅球所组成．现在，在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠，它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示．试求这种摆小振动的周期，摩擦不计．摆长为l 、振幅为l θ 的理想单摆满足()()2011cos 2mgl m A θω-=此题中复摆振动实体机械能守恒，有()()22111cos 222A mgl m A m θωω⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭21522m A ω⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭比较两式得045ωω=5T lgπ=则ll/2如图所示，质量为M 、长为L 的均匀细刚杆一端悬挂，可在竖直平面内绕悬点O 无摩擦地摆动．质量为m =M /3的小虫相对杆以速度v 缓慢地沿杆向下爬行．开始时，杆静止并与竖直线成一个小角度θ0，小虫位于杆上端悬点处．释放杆，杆开始摆动，小虫开始爬行，试求⑴小虫沿杆爬行l 距离时，杆振动的圆频率；⑵小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的 ，求杆的摆动幅度θt ．56确定绕杆一端以角速度转动的均匀细杆的动能，如图m nLi n()22111lim 26nk n i m L E i m L n n ωω→∞=⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑()223111lim 2n n i m L i n ω→∞==⋅∑()()2222311lim 122n m L nn ω→∞=+++()()()2312111lim 26n n n n m L n ω→∞++=⋅()216m L ω=续解⑴当小虫爬到距悬点l 处时，虫与杆构成的振动系统能量关系为()()()()22111cos 1cos 226L mgl Mg m l M L θθωθωθ-+-=+对A=L θ 的理想单摆满足()()2011cos 2gL L θωθ-=比较两式得()22232l Lgl Lω++=⑵小虫在悬点时 ()00201c s 214o L E M gL g M θθ≈⋅=-小虫在杆最下端时()()1cos 1cos 2t t t LE Mg mgL θθ=-+-2512tMgL θ⋅=40310i θθ=则2236,55iiE E θθ==查阅O ϕθ摆长为l 、振幅为l φ的理想单摆满足()()2011cos 2mgl m A θω-=此题中复摆振动实体机械能守恒，有()1cos mgl E ϕ-=板其中角速度为ω、半径为r 圆板的动能为2211lim 22nk n i m r r r E i i n n n r πωπ→∞=⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∑()2222411lim 4n n n mr nω→∞+=⋅()214m r ω=()214m A ω=比较两式得2ωω=22T lgπ=则如图所示，一质量为m 、半径为r 的圆板用三根长均为l 的细线悬于天花板上，连接点恰好三等分圆板的圆周，若圆板绕其过中心O 的铅直轴做微小转动，试求其周期．如图所示，细轴环用铰链固定于A 点，开始这样放置轴环，使它的质心位于A 点正上方，此后轴环自由下落，经时间τ＝0.5 s ，轴环的质心处于最低位置．有一摆是小重球B 固定在轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位置并自由落下．试问此摆经过多少时间t 返回到下面的平衡位置．比较两者的角速度关系： 对轴环：()()2121cos 22mg r m r θω∆-=∆对重球： ()()2011cos 2mgr m r θω-=则022ωω=故转过半周所需时间 002t t ωω==s24t =如图所示，半径为R 的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同小重物相比可忽略不计．在环上与两小重物等距处钻个孔，将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样）．两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离2α表征．试求该摆的振动周期T 及其随变化的图线．αθ系统从平衡位置偏离最大幅度为角θ：取小重物其摆长为：l 2sin2l R α=振幅为： 2sin 2A R αθ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭摆长为l 、振幅为A 的理想单摆满足()2012sin 1cos 2sin 222mg R m R ααθωθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦续解02sin2g R ωα=此题中复摆振动实体机械能守恒，有[]21222mg h m A ω∆=⋅θh∆()()1cos 1cos R αθ-⋅-()()211cos 1cos 2sin 22gR R ααθωθ⎡⎤⎛⎫-⋅-=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 2αωω=22T Rgπ=则查阅如图所示，质量为M 的小平板固定在劲度系数为k的轻弹簧上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为m 的小球沿入射角θ方向以速度v 0射向小平板，并发生完全弹性碰撞．忽略一切摩擦，求碰撞后小平板的振动方程．专题12-例10 ()ωϕ0cos x A t =+振动标准方程：对本题振动实体： ϕπ02=M k v 0 vθ m Ox kvxv 'yv 'v 'V θv 0 θ速度关系如示:由图示关系: θθ00sin cos x y v v v v V '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩由弹性碰撞能量关系:()22220111222x y mv m v v MV ''=++02cos m V v M mθ+=续解2cos m V v M mθ+=由振动中能量关系:220112cos 22m kA M v M m θ⎛⎫= ⎪+⎝⎭02cos m mkA v M M θ+=查阅()0cos x A t ωϕ=+对k M02cos cos 2mv M k t M mk M x θπ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭=专题12-例11 车与缓冲器一起自由振动过程是谐振过程,其中平衡位置时的压缩量为: αsin Mg x k=初相位时的速度为: m/s 120v gh ==振幅由振动能量关系求得: 2222011112222kA kx Mv MV=+=m 2A ≈m/s10.05V ≈弹簧最大压缩量为: m0 2.2x x A =+=振动时间借助参考圆: O xy Mx 0 A 0ϕϕ10cos x A-=缓冲时间为:πππ10cos2x M A t k--=⋅s 0.7≈ 如图所示，小车质量M ＝4 kg ，由静止开始沿倾角的斜面自h =5 m 高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由振动，然后又冲上斜面．若缓冲器弹簧的劲度系数k =100 N/m ．求缓冲器弹簧的最大压缩量及小车被缓冲的时间．h30如图所示，在盛密度为的液体的大容器中放入一只底面积为S 的小圆柱形容器，在这个容器的底部又插入一根细导流管．两只容器壁均静止不动，在小的容器中注入密度为（ρ2＞ρ1）的染了颜色的液体，使其高度至H ，以使与外面容器的液面相平．然后打开细管上端，可以看到重液通过细管流入大容器并沉入底部，但经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重复地进行着．如果假设液体不会混合且表面张力不计，试求第一次从小容器里流出的重液的质量Δm 1是多少？在以后每次循环中，流进小容器的轻液的质量Δm n 和从小容器里流出的重液的质量Δm k 各是多少？解答H2ρ1ρ设小容器底部开口与细管相接部截面积为s ，从此处流过的小液片恰受力平衡时，重液液面下降x 0，若称此为平衡面，则有x 0x2ρH()201H x gs Hgsρρ-=1ρ在此前（后）液面高（低）于平衡面x 时，对应地正流经细管上口的小液片所受合力为()1202F Hgs H x x gs gsxρρρ=--+=-∑即:小液片以谐振形式从开口流出，当重液面下降2x 0时，重液片向下速度减为零，此后将换成轻液片上升．故第1次从小容器中流出的重液质量为()1202122m x S HSρρρ∆==-()2102122m x S HS ρρρ'∆==-读题续解此后将换成轻液片上升,静止于重液上层，当细管口轻液片受力平衡时，小容器内下部是高(H-2x 0)的重液，上部轻液高度设为 0x 'H ()201012H x gs x gs Hgs ρρρ'-+=1ρ2101x Hρρρ-'=即:轻液片亦以谐振形式从开口流入，当轻液面上升2x 0时，轻液片向上速度减为零，此后将换成重液片下降．故第2次流入小容器的轻液质量为x '2ρ1ρ()()2010112F H x gs x x gs Hgs gsx ρρρρ'=-+--=-∑x()2102122m x S HS ρρρ'∆==-每次循环中进出小容器的重液与轻液质量相同,直至小容器中重液全部替换成轻液!查阅如图所示，平台A 的质量为m ，由劲度系数为k 的轻弹簧来支持．弹簧上端与A 相连，下端与地面相连，物块B 的质量也是m ，自由地放在平台中心，现用竖直向下的力F =mg 把弹簧压下（仍在弹性限度内），并在系统静止时撤去外力，求此后A 、B 的运动情况及两者各自到达的最大高度．AkO y B A 、B 处于平衡位置时弹簧压缩02mg x k=π224mgA k=+系统振幅为圆频率为ω2k m=续解A 、B 一起振动的运动方程ππ224cos 2mgk y t k m ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭A 、B 一起振动至弹簧自然伸长时速度为ωϕωsin v A A ==22A x A-O y xx 0 AϕωAv π2222242k mg mg m k k ⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πmgk=A 、B 在此位置分离，B 竖直上抛到达最大高度 π2222B v h g mgk==B 返回分离位置处历时 π22B v t g mk==续解查阅Ak A 、B 分离后A 谐振！圆频率为 ωk m'=振幅由()ω22201112222x k mv m A ⎛⎫''+= ⎪⎝⎭O yxx 0/2 A ′ϕ'vπ21mg A k'=+初相位()ϕππ1122/1coscos/11mg kmg k --'=-=-++A 振动的运动方程ππ21211cos cos 1mg k y t k m -⎛⎫'=+- ⎪ ⎪+⎝⎭O ′y 'A 继续上升可达最大高度为()π02211A x h gA m k'=-=+-A 返回分离位置处历时一周期 π2A t T m k'==查阅 续解由于A 、B 分离后经相同时间回到分离处，故对碰而交换速度，再经 π2mt k=A 、B 同速相遇一起向下做参数为A 、ω及初相为 π121cos 1-+的谐振，至向上过初始位置v ytωAvωA ''-v-ωA-查阅续解整个过程中B 到达的最高点距释放点ππ222242B mg k H ⎛⎫+++ ⎪ =⎪⎝⎭整个过程中A 到达的最高点距释放点()ππ222411A mg kH ++++=。