第三章 循环群 群的结构 信息安全数学
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第三章 循环群、群的结构
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循环群与其子群
证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是 无限循环群． 证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0ts， 则e = gn = gqs+t， 于是 gt = (gqs)1H， s的最小性使得t = 0，所以 n = qs， H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }． 当s = n时H = {e}．
n
n (k
n (k , n)
) kl
因为
(
n
( k， n ) ( k， n )
,
k
)1
n (k , n) i
所以 故
n
是使(ak)i = e， 成立的最小正整数．证毕．
第三章 循环群、群的结构
(k , n)
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元素的阶及其性质
由定理3.1.2我们可以直接得出 推论 由元素g生成的n阶循环群G中任意元素 gk(0kn1)的阶为，当k，n互素时，gk的阶为n， 也是G的生成元． 例3.1.2 8阶循环群各个元素的阶分别为： g0：1，g：8，g2：4，g3：8， g4：2，g5：8，g6：4，g7：8． 其中共有4个生成元g，g3，g5，g7． 整数集合{0，1，2，…，n1}中与n互素的数有(n) 个（(n)—欧拉函数，以后我们还要深入讨论）， 因此n阶循环群共有(n)个n阶元素或(n)个生成 元．
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剩余类群
定理3.2.2 任意无限循环群与整数加群Z同 构，任意有限n阶循环群与n阶剩余类加群 同构． 证明 设(g)任意循环群． 如果(g)是无限循环群，做整数加群Z到(g)的 映射如下：对于任意kZ，有 f(k) = gk， 这是一个一一映射，而且对于k，hZ， f(k)f(h) = gkgh = gk+h = f(k+h)． 故f是Z到(g)的同构映射，(g)与Z同构．
第三章 循环群、群的结构
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元素的阶及其性质
2）设l = ( k , n )．由于(k，n)k，则 于是由1）有(ak)l = akl = e． 而如果(ak)i = aki = e， n k 则nki， i
( k , n ) ( k， n )
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循环群与其子群
上页不仅证明了H的阶q是n的正因子，而且 给出n的正因子q阶子群．当q跑遍n的所有 正因子时，s也跑遍n的正因子，所以对于n 的每一个正因子q，都有而且仅有一个q阶 循环子群．
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剩余类群
例3.3.1 m = 8，r = 5的剩余类为5，18+5，28+5， 38+5，…． 这样我们将全体整数按模m分成m个剩余类： 0,1, 2, ( m 1) 这m个剩余类可分别表示为： 0 = {0，m，2m，3m，…}； 1 = {1，1m，12m，13m，…}； 2 = {2，2m，22m，23m，…}； … ( m 1) = {(m1)，(m1)m，(m1)2m，(m1)3m，…}．
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元素的阶及其性质
a是n阶元素，则序列 a0 （= e），a1，a2，…，an1 两两不相同，而且a的一切幂都包含在这个序列中。 证明：（反证法）如果 ai = aj，0 j i n1， 则aij = e，而0 ij n1，这与a是n阶元素矛盾． 对于任意整数m，am都包含在上面的序列中．m可表示为： m = qn + r，0rn， 于是 am = aqn + r = (aq)nar = ar， 因为ar在上面的序列中，则am也在上面的序列中
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剩余类群
（证明续）如果(g)是n阶循环群，做模m剩余类加群Zm 到(g)的映射：对于任意 Zm， k f( k ) = gk， 这显然是一一映射，而且对于，h Zm ， f( k )f( h ) = gk gh = gk+h = f( k h )． 故f是Zm到(g)的同构映射，(g)与Zm同构．
m
m
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循环群简单性质
由n阶循环群中gn = e，我们可以得到：设i，j 是任意整数， 1）如果i j (mod n)，则 gi = gj． 2）gi的逆元 gi = gni． 3）是交换群 4）gn=e
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循环群简单性质
对于循环群G中两个任意元 循环群是交换群 gigj = gi+j = gj+i = gjgi， 所以循环群一定满足交换律，是交换群（Abel 群）． 在n阶循环群中，有 gn = e． 因为如果gn e，假设gn = gi (0in1)，则由消去 律得 gni = e (0nin1)， 这与n阶循环群的定义矛盾．
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剩余类群
定理3.2.1 模m的全体剩余类集合对于剩余类加法 构成m阶循环群． 证明 封闭性和结合律显然满足．0 是单位元，i 的逆 元是 i m i
故剩余类集合是一个群．该群是一个循环群，生成元 是，注意对于加法，元素的“幂”就是元素的连加．
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3.1 循环群
定义3.1.1 如果一个群G里的元素都是某一 个元素g的幂，则G称为循环群，g称为G的 一个生成元．由g生成的循环群记为(g)． 无限循环群可表示为： {…，g2，g1，g0，g1，g2，…}，其中g0 = e． 有限n阶循环群可表示为： { g0，g1，g2，…，gn1}，其中g0 = e
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元素的阶及其性质
1）a的所有幂两两不相等，于是以a为生成元的循环群 {…，a2，a1，a0 = e，a1，a2，…}是无限循环群． 2）存在整数ij，使 ai = aj， 则 aij = e． 这表明存在正整数k = ij使 ak = e． 我们称使上式成立的最小正整数n称为元素a的阶．在第1种 情况下，这样的正整数不存在，称a是无限阶元素．
定理3.2.2的意义在于通过了解整数加群和剩余类加群， 就了解了一切无限循环群和有限循环群的构造
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3.3 子群的陪集
引理 设G是一个群． 1）对于任意aG，集合 aG = {ah | hG}= G． 2）GG = {ah | hG，aG}= G．
这m个剩余类称为模m剩余类．记为Zm
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剩余类群
设 i 和 j 是两个模m的剩余类，定义剩余类的加法 如下： i j i j 如Z8的两个剩余类 2 和 4
2 4 6
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循环群与其子群
定理3.1.3 1）循环群的子群是循环群，它或 者仅由单位元构成，或者由子群中具有最 小正指数的元素生成，即生成元为具有最 小正指数的元素； 2）无限循环群的子群除{e}外都是无限循环群； 3）有限n阶循环群的子群的阶是n的正因子， 且对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶 子群．
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元素的阶及其性质
定理3.1.2 对于n阶元素a有 1）ai = e，当且仅当ni． 2）ak的阶为 n ． (k , n) 证明 n阶元素a生成n阶循环群： {a0 = e，a1，a2，…，an1}． 1）由于ni，则i 0(mod n)， 于是ai = a0= e． 反之，由 i = qn + r，0rn， 得ai = aqn+r= (an)qar = ear= ar = e， 而n是使ak = e的最小正整数，所以r = 0，故ni．
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3.1 循环群
例3.1.1 整数加法群Z是一个循环群．1是生成元， 每一个元素都是1的“幂”．这里再次说明我们讨 论的群里“乘法”是抽象的，只代表一种代数运 算．在整数加群中，“乘法”就是普通加法，那么 “幂”就是一个元素的连加，例如 m＝m = 1 111 ， m＝m = ． 1 ( 1) ( 1) ( 1) 而且规定 0 = 1 0， 即0为0个1相加．
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第三章 循环群、群的结构
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第三章 循环群、群的结构
3.1 循环群（重要） 3.2 剩余类群（掌握） 3.3 子群的陪集（掌握） 3.4 正规子群、商群（重要）
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循环群与其子群
例3.1.3 8阶循环群G的真子群． 8的所有正因子为1，2，4，8相应的子群分别 为 {e}， {e，g4}， {e，g2，g4，g6}， G 其中{e}和G是群G的平凡子群
第三章 循环群、群的结构
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3.2 剩余类群
剩余类的概念： 根据同余的概念，我们可以将全体整数Z进行 分类：设m是正整数，把模m同余的整数归 为一类，即可表示为 a = qm+r， 0 r m，q = 0，1，2，…的 整数为一类，称为剩余类，剩余类中的每 个数都称为该类的剩余或代表，r称为该类 的最小非负剩余．
第三章 循环群、群的结构
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循环群与其子群
证明1） 设H是循环群(g)的一个子群． 假设H＝{e}，H自然是循环群．假设H{e}，则有i0使giH， 又因为gi=(gi)1H，所以可以假定i0，说明有正指数存 在． 设s是H中的最小正指数，即s是使gsH的最小正整数，我们 现在证明H = (gs)．对于任意gmH，有 m = qs+t，0ts， 由于gqs= (gs)qH（子群H的封闭性，q个gs连乘也属于H）， 所以 gt = gm(gqs)1H， （gqs存在逆元，且由于封闭性，gm，(gqs)1乘积属于H．） 由于s是使gsH的最小正整数，因此得 t = 0，gm＝(gs)q． H的任意元素都是gs的幂，则H = (gs)．
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元素的阶及其性质
定理3.1.1 一个群G的任意元素a都能生成一个循环群，它是 G的子群．如果a是无限阶元素，则a生成无限循环群；如 果a是n阶元素，则a生成n阶循环群． 证明 设a的幂集合为S． 1）a是无限阶元素情形． 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，…)，有 ai(aj)1 = aijS， 由定理2.2.2，S是G的子群． 2）a是n阶元素情形． 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，…)，有 aiaj = ai+jS， 由定理2.2.3，S是G的子群． 显然无限循环群的元素都是无限阶元素． 显然S是a生成的循环群．定理证毕． 有限循环群生成元的阶就是群的阶．
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循环群与其子群
证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是 无限循环群． 证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0ts， 则e = gn = gqs+t， 于是 gt = (gqs)1H， s的最小性使得t = 0，所以 n = qs， H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }． 当s = n时H = {e}．
n
n (k
n (k , n)
) kl
因为
(
n
( k， n ) ( k， n )
,
k
)1
n (k , n) i
所以 故
n
是使(ak)i = e， 成立的最小正整数．证毕．
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(k , n)
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元素的阶及其性质
由定理3.1.2我们可以直接得出 推论 由元素g生成的n阶循环群G中任意元素 gk(0kn1)的阶为，当k，n互素时，gk的阶为n， 也是G的生成元． 例3.1.2 8阶循环群各个元素的阶分别为： g0：1，g：8，g2：4，g3：8， g4：2，g5：8，g6：4，g7：8． 其中共有4个生成元g，g3，g5，g7． 整数集合{0，1，2，…，n1}中与n互素的数有(n) 个（(n)—欧拉函数，以后我们还要深入讨论）， 因此n阶循环群共有(n)个n阶元素或(n)个生成 元．
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剩余类群
定理3.2.2 任意无限循环群与整数加群Z同 构，任意有限n阶循环群与n阶剩余类加群 同构． 证明 设(g)任意循环群． 如果(g)是无限循环群，做整数加群Z到(g)的 映射如下：对于任意kZ，有 f(k) = gk， 这是一个一一映射，而且对于k，hZ， f(k)f(h) = gkgh = gk+h = f(k+h)． 故f是Z到(g)的同构映射，(g)与Z同构．
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元素的阶及其性质
2）设l = ( k , n )．由于(k，n)k，则 于是由1）有(ak)l = akl = e． 而如果(ak)i = aki = e， n k 则nki， i
( k , n ) ( k， n )
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循环群与其子群
上页不仅证明了H的阶q是n的正因子，而且 给出n的正因子q阶子群．当q跑遍n的所有 正因子时，s也跑遍n的正因子，所以对于n 的每一个正因子q，都有而且仅有一个q阶 循环子群．
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剩余类群
例3.3.1 m = 8，r = 5的剩余类为5，18+5，28+5， 38+5，…． 这样我们将全体整数按模m分成m个剩余类： 0,1, 2, ( m 1) 这m个剩余类可分别表示为： 0 = {0，m，2m，3m，…}； 1 = {1，1m，12m，13m，…}； 2 = {2，2m，22m，23m，…}； … ( m 1) = {(m1)，(m1)m，(m1)2m，(m1)3m，…}．
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元素的阶及其性质
a是n阶元素，则序列 a0 （= e），a1，a2，…，an1 两两不相同，而且a的一切幂都包含在这个序列中。 证明：（反证法）如果 ai = aj，0 j i n1， 则aij = e，而0 ij n1，这与a是n阶元素矛盾． 对于任意整数m，am都包含在上面的序列中．m可表示为： m = qn + r，0rn， 于是 am = aqn + r = (aq)nar = ar， 因为ar在上面的序列中，则am也在上面的序列中
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剩余类群
（证明续）如果(g)是n阶循环群，做模m剩余类加群Zm 到(g)的映射：对于任意 Zm， k f( k ) = gk， 这显然是一一映射，而且对于，h Zm ， f( k )f( h ) = gk gh = gk+h = f( k h )． 故f是Zm到(g)的同构映射，(g)与Zm同构．
m
m
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循环群简单性质
由n阶循环群中gn = e，我们可以得到：设i，j 是任意整数， 1）如果i j (mod n)，则 gi = gj． 2）gi的逆元 gi = gni． 3）是交换群 4）gn=e
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循环群简单性质
对于循环群G中两个任意元 循环群是交换群 gigj = gi+j = gj+i = gjgi， 所以循环群一定满足交换律，是交换群（Abel 群）． 在n阶循环群中，有 gn = e． 因为如果gn e，假设gn = gi (0in1)，则由消去 律得 gni = e (0nin1)， 这与n阶循环群的定义矛盾．
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剩余类群
定理3.2.1 模m的全体剩余类集合对于剩余类加法 构成m阶循环群． 证明 封闭性和结合律显然满足．0 是单位元，i 的逆 元是 i m i
故剩余类集合是一个群．该群是一个循环群，生成元 是，注意对于加法，元素的“幂”就是元素的连加．
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3.1 循环群
定义3.1.1 如果一个群G里的元素都是某一 个元素g的幂，则G称为循环群，g称为G的 一个生成元．由g生成的循环群记为(g)． 无限循环群可表示为： {…，g2，g1，g0，g1，g2，…}，其中g0 = e． 有限n阶循环群可表示为： { g0，g1，g2，…，gn1}，其中g0 = e
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元素的阶及其性质
1）a的所有幂两两不相等，于是以a为生成元的循环群 {…，a2，a1，a0 = e，a1，a2，…}是无限循环群． 2）存在整数ij，使 ai = aj， 则 aij = e． 这表明存在正整数k = ij使 ak = e． 我们称使上式成立的最小正整数n称为元素a的阶．在第1种 情况下，这样的正整数不存在，称a是无限阶元素．
定理3.2.2的意义在于通过了解整数加群和剩余类加群， 就了解了一切无限循环群和有限循环群的构造
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3.3 子群的陪集
引理 设G是一个群． 1）对于任意aG，集合 aG = {ah | hG}= G． 2）GG = {ah | hG，aG}= G．
这m个剩余类称为模m剩余类．记为Zm
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剩余类群
设 i 和 j 是两个模m的剩余类，定义剩余类的加法 如下： i j i j 如Z8的两个剩余类 2 和 4
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循环群与其子群
定理3.1.3 1）循环群的子群是循环群，它或 者仅由单位元构成，或者由子群中具有最 小正指数的元素生成，即生成元为具有最 小正指数的元素； 2）无限循环群的子群除{e}外都是无限循环群； 3）有限n阶循环群的子群的阶是n的正因子， 且对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶 子群．
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元素的阶及其性质
定理3.1.2 对于n阶元素a有 1）ai = e，当且仅当ni． 2）ak的阶为 n ． (k , n) 证明 n阶元素a生成n阶循环群： {a0 = e，a1，a2，…，an1}． 1）由于ni，则i 0(mod n)， 于是ai = a0= e． 反之，由 i = qn + r，0rn， 得ai = aqn+r= (an)qar = ear= ar = e， 而n是使ak = e的最小正整数，所以r = 0，故ni．
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3.1 循环群
例3.1.1 整数加法群Z是一个循环群．1是生成元， 每一个元素都是1的“幂”．这里再次说明我们讨 论的群里“乘法”是抽象的，只代表一种代数运 算．在整数加群中，“乘法”就是普通加法，那么 “幂”就是一个元素的连加，例如 m＝m = 1 111 ， m＝m = ． 1 ( 1) ( 1) ( 1) 而且规定 0 = 1 0， 即0为0个1相加．
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3.1 循环群（重要） 3.2 剩余类群（掌握） 3.3 子群的陪集（掌握） 3.4 正规子群、商群（重要）
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例3.1.3 8阶循环群G的真子群． 8的所有正因子为1，2，4，8相应的子群分别 为 {e}， {e，g4}， {e，g2，g4，g6}， G 其中{e}和G是群G的平凡子群
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3.2 剩余类群
剩余类的概念： 根据同余的概念，我们可以将全体整数Z进行 分类：设m是正整数，把模m同余的整数归 为一类，即可表示为 a = qm+r， 0 r m，q = 0，1，2，…的 整数为一类，称为剩余类，剩余类中的每 个数都称为该类的剩余或代表，r称为该类 的最小非负剩余．
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循环群与其子群
证明1） 设H是循环群(g)的一个子群． 假设H＝{e}，H自然是循环群．假设H{e}，则有i0使giH， 又因为gi=(gi)1H，所以可以假定i0，说明有正指数存 在． 设s是H中的最小正指数，即s是使gsH的最小正整数，我们 现在证明H = (gs)．对于任意gmH，有 m = qs+t，0ts， 由于gqs= (gs)qH（子群H的封闭性，q个gs连乘也属于H）， 所以 gt = gm(gqs)1H， （gqs存在逆元，且由于封闭性，gm，(gqs)1乘积属于H．） 由于s是使gsH的最小正整数，因此得 t = 0，gm＝(gs)q． H的任意元素都是gs的幂，则H = (gs)．
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元素的阶及其性质
定理3.1.1 一个群G的任意元素a都能生成一个循环群，它是 G的子群．如果a是无限阶元素，则a生成无限循环群；如 果a是n阶元素，则a生成n阶循环群． 证明 设a的幂集合为S． 1）a是无限阶元素情形． 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，…)，有 ai(aj)1 = aijS， 由定理2.2.2，S是G的子群． 2）a是n阶元素情形． 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，…)，有 aiaj = ai+jS， 由定理2.2.3，S是G的子群． 显然无限循环群的元素都是无限阶元素． 显然S是a生成的循环群．定理证毕． 有限循环群生成元的阶就是群的阶．