极化恒等式学生版修订版

极化恒等式学生版修订

版

IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】

课题：极化恒等式在向量问题中的应用

学

习

目

标 目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；

目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围；

目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题

难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式

目标达成途径 学习自我评价

阅读以下材料： .

两倍等于两条邻边平方和的平方和

平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设

，，则b a DB b a A -=+=C

()2

22222C C b b a a b a A A +⋅+=+==（1）

目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒

3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____.

解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：

2241BC AM AC AB -=⋅=9-1004

1⨯=-16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。

目标检测

.

________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为

正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，

且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB

（也可用正弦定理求AB ）

又由极化恒等式得：

因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD

当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD

所以]6,2[-∈⋅PB PA

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。 目标检测

问题、疑惑、错解汇集

能力提升

例3.（2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足

014

P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。则()

A.90ABC ∠=

B.90BAC ∠=

C.AB AC =

D.AC BC =

目标检测

问题、疑惑汇集

和点(2,0)

F-分别是双曲线

AC