通信网性能分析基础参考答案

第二章习题答案

2-2 验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。

解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间(),t t t +∆内从状态k 转移到k+1（k>=0）的概率为()t o t λ∆+∆，λ为状态k 的出生率；

当有顾客服务完毕离去时，在时间(),t t t +∆内从状态k 转移到k-1（k>=1）的概率为

()t o t μ∆+∆，μ为状态k 的死亡率；

在时间(),t t t +∆内系统发生跳转的概率为()o t ∆；

在时间(),t t t +∆内系统停留在状态k 的概率为()()1t o t λμ-+∆+∆； 故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。

2-3 对于一个概率分布{}k p ，令()∑∞

==+++=02

210...k k k x p x p x p p X g 称为分布

{}k p 的母函数。 利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。

解：对于M/M/1

)1(ρρ-=k k p 0≥k

()

'12

2''212

1

1

1()(1)(1)...(1)1[]()/1[][]()/[]([])1z k k z k k g z z z

E k g z Var k k p kp g z E k E k ρρρρρρ

ρ

ρρ=∞

∞===∴=-+-+=--∴==

-=-=+-=

-∑∑

2-4 两个随机变量X,Y 取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y ，证明：Z 的母函数为X,Y 母函数之积。根据这个性质重新证明性质2-1。

证：设Z(!!!此处应为X ???)的分布为：...,,210p p p ，Y 的分布为：...,,210q q q 由于

{}{}{}{}{}∑∑∑=-===-===-====+==k

r r

k r k r k r q p r k Y p r X p r k Y r X p k Y X p k Z p 0

,

()()()

()...

(01100110022102210)

0++++++++=++++++-k k k k x q p q p q p x q p q p q p x q x q q x p x p p

所以 g(Z)=g(X)g(Y)

对于两个独立的Poisson 流，取任意一个固定的间隔T ，根据Poisson 过程性质，到达k 个呼叫的概率分别为：

T

k i k i e k T T p λλ-=!

)()( i=1,2 这两个分布独立

分布列的母函数分别为：

)1(0

0!)()(--∞

=-∞

====∑∑x T T Tx k T

k k i k

k k i i i i e e e e x k T x T p λλλλλ 他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积)1()()

1()1(2121-+--==x T x T x T e e

e λλλλ

所以 合并流为参数21λλ+的 Poisson 过程。

2-7 求k+1阶爱尔兰（Erlang ）分布1+k E 的概率密度。

可以根据归纳法验证，1+k E 的概率密度为x

k e k x μμμ-!

)( x>=0 证明：

利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求Z X Y =+的分布，当X 和Y 相互独立时，且边缘密度函数分别为()X f x 和()Y f y ，则()()()Z X Y f z f x f z x dx ∞

-∞

=

-⎰

。

1k +阶Erlang 分布是指1k +个彼此独立的参数为μ的负指数分布的和。

用归纳法。

当1k =时，需证2阶Erlang 分布的概率密度为2x

x e

μμ-

()()

221t

t

t x x

t t f t e

e

dx e dx t e μμμμμμμμ------∞

-∞

===⎰⎰

令n k =时成立，即()()!

k t

k t f t e k μμμ-= 则当1n k =+时，

()()()()

()121

()!

()

!1!

k t

t

t x x k k k k t t k t

x f t f x f t x dx e e dx

k t e x dx e k k μμμμμμμμμμ---+-∞-∞++---∞=-===+⎰⎰⎰ 第三章习题答案

3-1 证明：)

,1()

,1(),(a s aB s a s aB a s B -+-=

证：11

0111000

!(1,)(1)!(1)!

!(,)(1,)!!!(1)!(1)!s s s k s k s s s s s k k k k k k a a a a a k aB s a s s s B s a a a s aB s a a a a s a s k k k s s --=---===---====+-++--∑∑∑∑

3-2 证明：（1）a s a s B a s a s sB a s C >--=

,

)]

,(1[)

,(),(

（2）a s a B a s aB a s a s C >=--+=-，且1),0()],1()[(11

),(1

（1）证：

),(/11

!!)/1(!!

!!!!!!!

)],(1[),(01

100

0100

a s C s

a p s a k a s a s a s a

k a s a k a s a k a k a a s k a s a s a s B a s a s sB s s k k s

s

s k k s

k k s

s k k s k k s

k k

s

=-=-+=

-=-=--∑∑∑∑∑∑

-=-===-==

（2）证：

),(/11!!

)/1(!

!

)!

1(!

)

(11

)]

,1()[(11

010

1

1

01

a s C s

a p s a k a s a s a s a s a a

k a a s a s aB a s s s k k

s

s

s s k k =-=-+=--+=--+∑

∑-=--=-