经济数学微积分-反函数与复合函数

那么称 为函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的x的复合函数.
x→自变量，u→中间变量，y→因变量
习惯上，称函数u=g(x)为内函数，y=f(u) 为外函数.
例2
因此能够构成复合函数 例3
复合 复合
例4
分解
分解
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数;
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 要学会分解复合函数：由外向里，逐层剥开！
按习惯，将函数y=f(x)的反函数记为y=f-1(x).
反函数
W
W
D
D
注意：函数y=f(x)与x=f -1(y)在同一坐标系中
表示同一曲线；而y=f(x)与y=f -1(x)在同一坐
标系中表示关于y=x对称的曲线.
定理 （反函数存在定理） 单调函数 f 必存在单调的反函数 ，且
此反函数与 f 具有相同的单调性.
y=arcsinx，y=arccosx， y=arctanx，y=arccotx，
（四）初等函数
常值函数,幂函数,指数函数,对数函数,三 角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
由基本初等函数经过有限次的四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式 子表示的函数，称为初等函数.分段函数一般 不是初等函数. 但有例外，
经济数学——微积分
1.2 反函数与复合函数
一、反函数 二、三角函数与反三角函数 三、复合函数 四、基本初等函数 初等函数 五、小结
一、反函数
定义 设函数f 的定义域为D, 值域为W, 如果对W
中的任何一个实数y, D中有唯一的一个x, 使 y=f(x)成立. 那么把y看成自变量, x看成因变量, x是定义在W上y的函数, 称为y=f(x)的反函数, 记 为x=f -1(y), 其定义域是W, 值域 D.
四、基本初等函数与初等函数
（一）常值函数 y=C(C为常数） （二）幂函数 （三）指数函数与对数函数 （四）三角函数与反三角函数 （五）初等函数
（二）幂函数
幂函数
（二）指数和对数函数
1来自百度文库 指数函数
2. 对数函数
（三）三角函数与反三角函数
1、三角函数
y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx ， 2y、=s反ec三x，角函y=数cscx
例1 解
故值域为
二、三角函数与反三角函数
1. 三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
,
余切函数
正割函数
余割函数
2. 反三角函数
值域
值域
值域
值域
一些三角关系式
arcsin(-x)=-arcsinx， arccos(-x)=π-arccos x arctan(-x)=-arctanx ，arccot(-x)=π-arccotx sin(arcsin x)=x ， cos(arccos x)=x tan(arctan x)=x ，cot(arccotx)=x
当x在相应反三角函数的值域内时，有
arcsin(sinx)=x ， arccos(cosx)=x arctan(tanx)=x ，arccot(cotx)=x
常用三角公式
和差化积公式
积化和差公式
三、复合函数
定义 设函数y=f(u), 定义域为Df; u=g(x), 定义域为 Dg, 值域为Wg; 若Wg∩Df≠ ,
形如[f(x)]g(x)的函数称为幂指函数.
五、小结
1.反函数：反函数的基本求法.
2.复合函数：复合函数的形成与分解. 3.基本初等函数：幂函数、指数与对数函数、 三角函数与反三角函数的图象与简单性质. 4.初等函数