线性变换在二维空间和三维空间中的应用

线性变换在二维空间和三维空间中的应用1、二维图形的几何变换
二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：
这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。

其中
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
e
d
b
a
可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
f
c
是对图形进行平移变换；[g h]是对图形作
投影变换；[i]则是对图形整体进行缩放变换。

1.1 平移变换
1.2缩放变换
1.3旋转变换
在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转
θ角的变换形式如下：
θ取正值，顺时针旋转θ取负值。

逆时针旋转
1.4对称变换
对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。

例如：
当b=d=0，a=-1，e=1时有x´=-x，y´=y，产生与y轴对称的图形。

A. 当b=d=0，a=-1，e=-1时有x´=x，y´=-y，产生与x轴对称的图形。

B. 当b=d=0，a=e=-1时有x´=-x，y´=-y，产生与原点对称的图形。

C. 当b=d=1，a=e=0时有x´=y，y´=x，产生与直线y=x对称的图形。

D. 当b=d=-1，a=e=0时有x´=-y，y´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。

1.5错切变换
A. 当d=0时，x´=x+by，y´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值（x，y）及变换系数b作线性
变化。

B. 当b=0时，x´=x，y´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值（x，y）及变换系数d作线性
变化。

1.6复合变换
如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。

复合变换有如下的性质：
A. 复合平移
对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：
B. 复合缩放
两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：
C. 复合旋转
两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：
缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。

如果相对某个一般的参考点（xf，yf）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（xf，yf）点移回原来的位置。

切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。

D. 关于（xf，yf）点的缩放变换
E. 绕（xf，yf）点的旋转变换
1.7、二维线性变换的应用实例
在多变量函数积分学中,合理进行变量代换,能起到化繁为简的作用,常用的变量代换,有球坐标,极坐标代换,或类似此类的代换。

而事实上，线性代数为我们看问题提供了一个非常好的视角。

线性变换
用于多重积分，曲面，曲线积分中，往往更为灵活，并不是如球坐标等代换较易看出。

例：求
,
2
2
2dxdy e cz bxy ax
⎰⎰∞
∞-∞
∞
-++其中
0,02
<->ac b a 分析：这与dx
e x ⎰
∞
∞
-2
似乎有关系，如何转化？
因为
()c
b b
a y x
c b b a y x
cy bxy ax ,
)(222⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯=++定正。

故
P
∃正交，使
,''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛y x P y x 即
A
∃正交，使得
,00211⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλA c b b a A 且
1det ,21222122=+=++-P y x cy bxy ax λλ， 原式=
2
11
λλ2
2121)'()'(2
'22
'
1b ac y d e x d e
y x -==
⎰⎰⎰
∞
∞
-∞
∞
-πλλπλλλλ
从以上的讨论看出：必须注意观察已知条件，才能合理进行线性变换，当积分区域，被积表达式具有某种线性的特征时（也即可表为变量的线性组合）往往可以考虑线性变换，而定正矩阵的应用可视为一种技巧。

2、三维图形的几何变换
由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵，其形式如下：
其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3332
31
232221
1312
11
a a a a a a a a a 产生缩放、旋转、错切等变换；⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡342414a a a 产生平移变换，[]4342
41
a a a 产生投影变换，[]44a 产生整体缩放变换。

2.1平移变换
参照二维的平移变换，我们很容易得到三维平移变换矩阵：
2.2缩放变换
直接考虑相对于参考点（xf，yf，zf）的缩放变换，其步骤为：
A. 将平移到坐标原点处；
B. 进行缩放变换；
C. 将参考点（xf，yf，zf）移回原来位置
则变换矩阵为：
2.3绕坐标轴的旋转变换
三维空间的旋转相对要复杂些，考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转q 角的变换：
A.绕x轴旋转
B.绕y轴旋转
C.绕z 轴旋转
三维空间的平移、旋转及缩放示意图
2.4绕任意轴的旋转变换
设旋转轴AB 由任意一点A （xa ，ya ，za ）及其方向数(a ，b ，c)定义，空间一点),,(p p p z y x P 绕AB 轴
旋转角 到
)',','('p p p z y x p 则
可以通过下列步骤来实现P 点的旋转：
A. 将A 点移到坐标原点。

B. 使AB 分别绕X 轴、Y 轴旋转适当角度与Z 轴重合。

C ．将AB 轴绕Z 轴旋转θ角。

D.作上述变换的逆操作，使AB 回到原来位置。

所以
)
,,()()()()()(),,()(1
1
1a a a x y z y x a a a ab z y x T R R R R a R z y x T R αβθβθ---=
其中各个矩阵的形式参照上面所讲的平移，选择矩阵，而β
α,分别是AB 在YOZ 平面与XOZ 平面的投影与Z
轴
3.三维图形变换理论
3.1. 三维图形的几何变换
几何变换是指应用于对象几何描述并改变它的位置、方向或大小的操作．三维图形的几何变换也称三维几何变换，是几何变换在三维空间的应用．由于几何变换可以用紧凑的矩阵形式表达，这不仅使得平移、缩放、旋转等变换变得更加容易，还使得一系列的几何变换可以很容易地结合起来构成1个新的变换．三维几何变换均可以用1个4×4的变换矩阵
T 描述，其变换矩阵为
式中：a ，b ，C ，P ，d ，e ，f ，q ，g ，h ，i ， ，￡，m ， ，8为矩阵T 的元素 式(1)可从功能上分为以下部分：
(1)3×3子阵，，可以产生比例、旋转、错切及对称等变换．
(2)1×3行阵[l ，m ，n]可以产生沿X ，Y ，Z 轴的平移变换．
(3)3×1列阵可以产生透视变换
(4)元素8产生整体的比例变换
3.2 组合三维几何变换
4.2.1.1初等三维变换
式(1)是1个十分有用的变换矩阵，它可以描述三维空问的各种变换，但直接使用却十分困难．不如先分析平移、
缩放、旋转等初等三维变换矩阵．对初等三维变换矩阵进行组合，就得到了组合三维变换矩阵，从而实现一般性的三维几何变换．下面是几个重要的初等三维变换矩阵：
式中：P为平移矩阵，矩阵中l，m，n分别为沿x ，y，z 轴的平移量；矩阵分别为绕
x，y，z 轴的旋转，其旋转角度为
，这里规定角度逆时针为正；c=COS a；s=sin a．
4.1.2.2 组合三维几何变换
三维几何变换可以任意组合，并且表示总变换的矩阵可以是每个初等三维矩阵乘积的形式．任意数目的几何变换都能以这种方式组合在一起并产生1个表示总变换的矩阵T，它由n个独立变换矩阵T ，T1,T2…Tn相乘得到，T=T1*T2…Tn （3）。