数学物理方法第四版(梁昆淼)期末总结ppt精品课件汇编
数学物理方法(梁昆淼)chapt7
x0
x0
( x)
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x at
x (t ) a
1 1 x at 1 at x u ( x, t ) [ ( x at ) (at x)] ( )d ( )d 2 2a 0 2a 0
n
xl
f (t )
u f (t ) (Ys ) x x l
ux
k
x l
ux
二齐
x l
f (t ) Ys
若为自由振动 f (t ) 0 例2 细杆导热问题
f (t )
xl
0
流出 流入
u f (t ) x x l u k f (t ) x x l
端点绝热 f (t ) 0
utt a2uxx 0在x0无意义
u1x ( x0 ) u2 x ( x0 )
例 均匀细杆长为 l , x 0 固定,
(1)另一端受着沿杆方向的力 Q ,如果开始的一瞬间 t 0 突然停止力的作用,求杆纵振动的定解条件。
振动方向
t0
x0 xl
t 0 时, Q 沿杆长方向加于杆的另一 (2)处于静止状态中, 端,写出定解条件 力从 t 0 开始作用在 x l
x (t ) a
4
utt a uxx 0
2
(0 x , t 0)
半无界区间内的一维自由振动
u x0 f (t )
u t 0 ( x)
ut t 0 ( x)
非奇非 偶延拓
一非齐
(0 x )
梁昆淼 第12章 数学物理方法
T
T
vu dS vudV vudV
T
T
上述两式相减得到
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
第二格林公式
表示沿边界
n
的外方向求导数
6
三 泊松方程的解用点源函数与边界条件表示——解出积分公式 1. 泊松方程的求解:
T K
T K
9
[G(r , r0 )u u(r )G(r , r0)]dV G(r, r0) f (r )dV
T K
T K
应用第二类格林
公式将左边的体 积分化为面积分
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
(G u u G)dS (G u u G)dS Gf dV (3)
u(r )乘以 G(r , r0 ) (r r0 ) u(r )G(r , r0 ) u(r ) (r r0 ) (2)
8
(1)—(2)式
G(r , r0 )u u(r )G(r , r0 ) G(r , r0 ) f (r ) u(r ) (r r0)
第十二章 格林函数法 (Method of Green Function)
Introduction
行波法
无界空间波动问题,有局限性
分离变量法 格林函数法
各种定解问题(有界), 其解为无穷级数
直接求特解,各种定解问题, 解一个含有格林函数的有限积分
1
格林(Green)函数:又称为点源影响函数,是数学物理中的
数学物理方法讲义
《数学物理方法》(Methods of MathematicalPhysics)《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课,是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程,为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容:复变函数(18学时),付氏变换(20学时),数理方程(26学时)第一篇复变函数(38学时)绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程(26学时)第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——(数学)物理 物理学中的数学——(应用)数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数(自然数) 1,2,…运算规则 +,-,×,÷,()2,- 121-=-负 数 0,-1,-2,…整 数 …,-2,-1,0,1,2,…÷ 5.021= 333.031=有理数(分数) 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数+虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位,作为运算符号。
梁昆淼 第12章 数学物理方法
1
G0 4 | r r0 |
所以,可以给出无界空间格林函数
G0 (r , r0 )
4
|
1 r
r0
|
在二维极坐标系下,可以给出
下面具体推导一下:
G0 (r , r0 )
1
2
ln
|
r
1 r0
|
23
第二十三页,共47页。
三维球对称
对于三维球对称情形,先选取 r0 0 即点源位于坐标原点处
对于拉普拉斯方程 f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
u(r )
(r0
)
G(r , n0
r0
)
dS0
(12.1.21)
第三边值问题的解为
u(r ) 1
G(r , r0 )(r0 )dS0
(12.1.22)
21
第二十一页,共47页。
§12.2 用电像法求格林函数
一 无界区域的格林函数
1 一般边值问题的格林函数G的处理:
两者之一。因此,还不能利用上式解决三类边值问题。
怎样解决?让Green函数受边界条件的影响
12
第十二页,共47页。
四 泊松方程解的简化:
——具有实际意义的解
令格林函数满足一定的边界条件
(1) G(r , r0 )满足第一类齐次边界条件:
G 0
u(r ) f (r )
u
|
(r
)
相应的格林函数 G(r , r0 )是下列问题的解:
G(r , r0 )(r0 )dS0
(12.1.20)
20
第二十页,共47页。
对于泊松方程
u(r )
T
理学数学物理方法PPT课件
第26页/共30页
复变函数的连续性
称函数w=f(z)在z=z0点连续,如果
1.
f(z0)存在;2.
lim
zz0
f
(z)存在;
3. lim理
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x0+iy0,那么f(z)在 z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和 v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。
举例
0, z 0
讨论函数
f
(z)
Re | z
z |
,
的连续性 z0
作业:P14 1,2,4
第29页/共30页
感谢观看!
第30页/共30页
无穷远点
第11页/共30页
复数的代数运算
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 由几何图形可知 | z1 | | z2 || z1 z2 |
乘除法
|| z1 | | z2 ||| z1 z2 |
r1eiφ1× r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2) r1eiφ1/ [r2eiφ2] =( r1/r2 )ei(φ1 -φ2)
有| f(z)-A |< ,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,
记为
lim f (z) A
zz0
注意 与实函数的差别?
第25页/共30页
例
证明极限
z lim z0 | z |
不存在.
【 证 明 】 令 z x iy , 则 沿 正 实 轴 趋 于 零 时 , lim z lim x 1 ; 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 , z0 | z | x x0 lim z lim x 1 ;不同的趋向得到不同的极限值,故原极 z0 | z | x0 (x) 限 lim z 不存在.
数学物理方法配套教案第四版 ppt课件
定义:绝对收敛与条件收敛
称级数
w
n
是绝对收敛的,如果 数学物理方法配套教案第四版
| w n | 是收敛的
n 1
n 1
称级数 w n 是条件收敛的, 如果 | w n | 是发散
n1
n 1
的, 而 w n 是收敛的
n 1
数学物理方法配套教案第四版
数学物理方法配套教案第四版
数学物理方法配套教案第四版
双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。
数学物理方法配套教案第四版
数学物理方法配套教案第四版
数学物理方法配套教案第四版
a0a1(zz0)a2(zz0)2an(zz0)n
an(zz0)n n
其中
an(z z0)n 被称为双边幂级数的正幂部分
n0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an(z z0)n 被称为双边幂级数的负幂部分
n1
数学物理方法配套教案第四版
正幂部分 an(z z0)n n0
R1
z0
|z-z0|<R1
负幂部分 an(z z0)n
n1
1 z z0
R2 z0
R2<|z-z0|
R1
R2 z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
数学物理方法配套教案第四版
▪ 收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R1;而负幂部分在变换 ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ,则其在|zz0|>R2外收敛。如果R2<R1,那么双边幂级数就在 环状域 R2<|z-z0|<R1 内收敛,所以 R2<|z-z0|<R1给 出了双边幂级数的环状收敛域,称为收敛环。
C
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ,通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$,其中 $sigma$ 是应力张量,$f$ 是体力密度,$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中,数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中,数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型,如期权定
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数学物理方法将进一步发展,以适应未来科技发展的需求 ,特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展,数学物理方法将与这些 技术相结合,以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程,通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用, 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具,它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
《数学物理方法》第一章.ppt
式,通常也叫做卡丹诺(Cardano)公式:
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出:可以证明当有三个不同的实根 时,若要用公式法来求解,则不可能不经过负数 开方(参考:范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社,1963年)。至此,我们明白了这样 的事实,此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数,
其中x , y∈R。x=Rez,y=Imz分别
为z的实部和虚部,i为虚数单位, 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算?
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
(几何表示) 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢?
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示: z=x+iy
三角表示: z=r(cosθ+isinθ)
指数表示: z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
数学物理方法-绪论PPT课件
-
2
1.数学物理方程(50学时)
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时)
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程(50学时)
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程(反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律)
2.矢量分析与场论(14学时)
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛(高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数)
2.涉及到的物理概念多(力学、热学、 电磁学…)
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论)
4.计算较繁、计算量较大(掌握常规的分析步骤)
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标
数学物理方法第(梁昆淼)部分知识点
1.复变函数 .................................................................................................................................................................. 2 1.1 复数与复数运算 ........................................................................................................................................... 2 1.2 复变函数 ....................................................................................................................................................... 2 1.3 导数 ............................................................................................................................................................... 2 1.4 解析函数 ..........................................................................................................................
数学物理方法课件:1-复变函数
f z z f z
lim lim
z0 z z0
z
存在,并且与z → 0的方式无关,则称函数在z点可 导,此(有限的)极限叫做 f (z) 在 z 点的导数,以
f '(z) 或 df / dz 表示。
显然,函数f (z) 必须在点z 连续,才有可能在 z 点 可导.
22
讨论:1) 复变函数导数的定义,在形式上跟实变函数 的导数定义一样,因而实变函数论中的关于导数的规 则和公式可用于复变函数.(p9公式)
d
dz d
dz
( (
w1 w1w2
w2 ) )
dw1
dz
dw1 dzw2源自dw2dzw1
dw2 dz
d dz
( w1 w2
)
w'1
w2 w1w'2 w22
dddwz F(1w/)ddwz dF(反d函w (数复的合导函数数)的导数)
dz
dw dz
d
dz d
zn ez
nz n1 ez
因此
u x v
v y
u
x y
称为科西-黎曼 条件:C.R.条件
25
(三) f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 点可导的充要条件
u、v在z处满足C.R.条件
u、v在z处有连续的一阶偏微商
证明:
因为u、v在z处有连续的一阶偏微商, 所以u、v 的全微分存在
u
u x
x
u y
y
1 x
2 y
16
i sin 17
16
w1
8
2 cos 9
16
i sin 9
16
w3
数学物理方法讲义
《数学物理方法》(Methods of MathematicalPhysics)《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课,是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程,为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容:复变函数(18学时),付氏变换(20学时),数理方程(26学时)第一篇复变函数(38学时)绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程(26学时)第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——(数学)物理 物理学中的数学——(应用)数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数(自然数) 1,2,…运算规则 +,-,×,÷,()2,- 121-=-负 数 0,-1,-2,…整 数 …,-2,-1,0,1,2,…÷ 5.021= 333.031=有理数(分数) 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数+虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位,作为运算符号。
数学物理方法第四版(梁昆淼)期末总结ppt
f ( z) 2i ( n ) dz f ( ) (2) 利用柯西公式 l n 1 n! (z )
来计算积分.
19
例1.
c
sin(
z) 4 dz, 其中c : ( x 1) 2 y 2 1 z2 1
y
sin( z ) 4 dz I z 1 z 1 c
v 2 x ( y ) y
( y) y
1 2 y C 2 1 v 2 xy ( y 2 x 2 ) C 2 1 f ( z ) u iv x 2 y 2 xy i[2 xy ( y 2 x 2 )] iC 2 1 ( x iy ) 2 i ( x iy ) 2 iC 2 1 z 2 i z 2 iC 2 ( y )
0 (l不包围 ) 1 l z dz 2 i (l包围 )
z
1 1 1 1 dz ( dz 2 z z 1 z z 1 dz ) z 1 2 1 (2 i 2 i ) 2 0
21
第三章
一、收敛半径
或虚部,通过C—R条件求出该解析函数的虚部或
实部,从而写出这个解析函数。
① 算偏导
② u或v 的全微分
③ 求积分
④ 表成 f ( z )
10
例 3:已知解析函数 f (z ) 的实部u( x, y) x2 y2 xy, f (0) 0 , 求虚部和这个解析函数。
解:
u u 2 x y, x 2 y x y
17
4、柯西公式
f ( z) l z dz 2 if ( )
高阶导数的柯西公式
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2
2
2 (cos i sin ) C
2
2
1
2 (cos i sin )2 C
1
2[(cos i sin)]2 C
1 2
[c
os(1
2 ) i sin(1
2 )]
e 1 相减。
4
(3) 复数的乘方和开方
z n (ei )n
n ein
( n为正整数的情况)
或 n (cos n i sin n)
棣莫弗公式: (cos i sin)n cos n i sin n
22 2 2
u
1
v
1
u
v
u 1 v 1
cos
22
1 cos 2 2
u v 1 sin sin
2 2
22
14
u
1
cos
2 2
u sin 2 2
将上面第二式对 积分, 视作参数,有
u
u
d
R(
)
sin d R()
22
2
sin
2
x u
v y v
y x
2、解析函数性质
:
u
极坐标系:
1
v
1
u
v
(1)、若 f (z) u(x, y) iv(x, y) 是解析函数,则u v 0 。
(2)、若函数 f (z) u iv 在区域 B上解析,则 u和v
必为B上的相互共轭调和函数。
9
3、构建解析函数:
给出一个二元调和函数作为解析函数的实部 或虚部,通过C—R条件求出该解析函数的虚部或 实部,从而写出这个解析函数。
模: z x2 y2
主辐角:arg
z
arctg(
y x
)
0 arg z 2 ,
辐角:Argz arg z 2k (k 0,1,2,)
共轭复数: z x iy z* x iy
2
2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
7
例1:已知 z 2 3i ,则 zz 13
。
zz 2 x2 y2 13
例2:复数ez 的模为 ex ,辐角为 y 2k , k 0, 1, 2,
.
ez exiy exeiy
8
三、解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 1、柯西-黎曼方程
u
直角坐标系:
d
R(
)
2 cos R()
2
其中 R( ) 为 的任意函数。 将上式两边对 求导,
u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
15
u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
R() 0 R() C
u 2 cos C
2
f (z)
2
cos
C
i
2 sin
x22
y
2 2
x22 y22
3
(2)、乘法和除法
z1 1(cos1 i sin1) 1ei1 z2 2 (cos2 i sin2 ) 2ei2
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
ei(12 ) 12
• 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z1 z2
x y
y x
v
v x
dx
(
y)
(2
y
x)dx
(
y)
2
xy
1 2
x
2
(
y)
11
v
v x
dx
(
y)
(2
y
x)dx
(
y)
2
xy
1 2
x2
(
y)
v 2x ( y)
y
( y) y
( y) 1 y2 C
2 v 2xy 1 ( y2 x2 ) C
2
f (z) u iv x2 y2 xy i[2xy 1 ( y2 x2 )] iC 2
① 算偏导
③ 求积分
② u或v 的全微分
④ 表成 f (z)
10
例 3:已知解析函数 f (z) 的实部u(x, y) x2 y2 xy, f (0) 0 , 求虚部和这个解析函数。
解:
u 2x y, u x 2 y
x
y
根据C-R条件,
v u 2 y x, v u 2x y
n
z
1
n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
i
2k
n e n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算,采用三角式 或指数式往往比代数式来得方便。
5
二、六种初等复变函数:
1. 幂函数 w z n
2 .指数函数 w e z
周期为2i,
3. 三角函数
cos z eiz eiz , 2
数学物理方法
期末复习课件 教 材:梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]
第一篇 复变函数论 内 容
第二篇 数学物理方程
1
第一章 复变函数
一、复数
1、复数的定义
z x iy ——代数式
z (cos i sin) ——三角式
z ei ——指数式
*复数三种表示式之间的转换
实部:x Re z 虚部:y Im z
提示:当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2,这种情 况下采用极坐标处理比较方便,即令 2 x 2 y 2 。
解: v cos 2
cos
(1 cos)
2sin 2
2
2 sin
2
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v 2 sin
2
v
2
sin
1
1 2
1 sin
22
2 2
v 2 cos 1 cos
周期为2
eiz eiz
sin z
,
2i
6
4、双曲函数
shz e z ez 2
5、根式函数
chz e z ez 2
z ei
2k i
w n e n
k 0,1,2,(n 1)
周期为2i
6、对数函数
w ln z ln z iArgz
Argz arg z 2k k 0,1,
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1 z2
z1
z
* 2
z2
z
* 2
(x1 iy1 )( x2 iy2 )
x
2 2
y
2 2
x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
(x iy)2 i 1 (x iy)2 iC 2
z2 i 1 z2 iC 2
v 2y x, x v 2x y y
f (0) 0 C 0
f (z) z2 i 1 z2
2
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例4:已知解析函数 f (z)的虚部 v(x, y) x x 2 y 2 ,
求实部 u(x, y)和这个解析函数 f (z) 。