复数代数形式的四则运算

复数代数形式的四则运算（教学设计）（1）

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

教学目标：

知识与技能目标：

掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义

过程与方法目标：

培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。

情感、态度与价值观目标：

培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。

教学难点：复数加减法运算的几何意义。

教学过程：

一、复习回顾：

1、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 2、. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，

b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

3、 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)

二、师生互动、新课讲解：

1、复数代数形式的加减运算

（1）复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .

（2）复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .

（3）复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.

证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ).

∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i .

z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .

又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.

∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律.

（4）复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)

证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).

∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )

=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i

=［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i

=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .

z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］

=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］

=［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i

=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i

∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3).

∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律 讲解范例： 例1（课本P57例1）计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i

例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )

解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .

解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ，

(3－4i )+(－4+5i )=－1+i ，

……

(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i .

相加得(共有1001个式子)：

原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )

=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i

2.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减). （1）复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应

平面向量OZ uuu r （2）复数z a bi =+←−−−→一一对应

平面向量OZ uuu r （3）复数加法的几何意义：

设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，

∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i

（4）复数减法的几何意义：

复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，

那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =u u u u r u u u r ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？

解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，

∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，

∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表