2021届高考数学(理)二轮总复习学案：层级二 专题五 第三讲 随机变量及其分布列

第三讲随机变量及其分布列1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案：1.962．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p·(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的极大值点为0.1，且为f(p)唯一的极大值点，所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，则E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．3．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i ＋bp i＋cp i＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假－1设α＝0.5，β＝0.8.－p i}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；①证明：{p i＋1②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为(2)因此p i＝0.4p i－1＋0.5p i＋0.1p i＋1，－p i)＝0.4(p i－p i－1)，故0.1(p i＋1－p i＝4(p i－p i－1)．即p i＋1又因为p1－p0＝p1≠0，所以{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p 8＝p 8－p 7＋p 7－p 6＋…＋p 1－p 0＋p 0 ＝(p 8－p 7)＋(p 7－p 6)＋…＋(p 1－p 0)＝48－13p 1. 由于p 8＝1，故p 1＝348－1，所以p 4＝(p 4－p 3)＋(p 3－p 2)＋(p 2－p 1)＋(p 1－p 0)＝44－13p 1＝1257.p 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4＝1257≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.明 考 情1．对概率的考查既有大题也有小题，选择题或填空题出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查几何概率，难度一般．2．概率统计的解答题多在第18题或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与回归分析或独立性检验相交汇考查.考点一 离散型随机变量的均值与方差|析典例|【例】 (2019·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利200元．(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n (单位：台，n ∈N )的函数解析式f (n )；(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n (单位：台)，整理得下表：周需求量n 18 19 20 21 22 频数12331以1020台空调，X 表示当周的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．[思路分析] 第(1)问：当n ≤19时，f (n )＝500×n －100×(20－n )＝600n －2 000， ∴f (n )＝⎩⎨⎧200n ＋6 000(n ≥20)，600n －2 000(n ≤19)(n ∈N )．(2)由(1)得f (18)＝8 800，f (19)＝9 400， f (20)＝10 000，f (21)＝10 200，f (22)＝10 400，∴P (X ＝8 800)＝0.1，P (X ＝9 400)＝0.2，P (X ＝10 000)＝0.3，P (X ＝10 200)＝0.3，P (X ＝10 400)＝0.1，X 的分布列为∴E (X )×0.1＝9 860.| 规 律 方 法 |1．求离散型随机变量X 的分布列的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验． 2．期望与方差的一般计算步骤(1)理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．|练题点|1．(2019·唐山市高三摸底)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223,228](单位：mm)内的零件为一等品，其余为二等品．甲、乙两位工人当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：(1)从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；(2)从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品．所以抽取的2个零件等级互不相同的概率P＝4×5＋6×510×10＝12.(2)X可取0,1,2,3.P(X＝0)＝C04C36C310＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝12，P(X＝2)＝C24C16C310＝310，P(X＝3)＝C34C06C310＝130.X的分布列为X 012 3P 1612310130所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.2．(2019·洛阳市第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%(1)当p ＝14时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．解：(1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p ＋13＋q ＝1.又p ＝14，∴q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A B －∪A －B ∪AB ，且A ，B 独立． 由题意可知，P (A )＝12，P (B )＝p ， ∴P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＋P (AB ) ＝12(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p . ∵P (C )＝12＋12p >45，∴p >35. 又p ＋13＋q ＝1，q ≥0，∴p ≤23， ∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为X 4 0 －2 P121838则E (X )＝4×12＋0×18＋(－2)×38＝54.假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，∴随机变量Y 的分布列为Y 2 0 －1 P121316则E (Y )＝2×12＋0×13＋(－1)×16＝56. ∵E (X )>E (Y )，∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．考点二 二项分布|析典例|【例】 (2019·河北承德市第一中学模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)(一题多解)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．[解] (1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为40.1＝40.又成绩在 6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.(2)解法一：ξ的所有可能取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为1－3740＝340，可判断ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，340.P (ξ＝0)＝C 02×⎝⎛⎭⎪⎫37402＝1 3691 600， P (ξ＝1)＝C 12×340×3740＝111800， P (ξ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫3402＝91 600，故所求分布列为ξ的均值为E (ξ)＝0×1 3691 600＋1×111800＋2×91 600＝320，ξ的方差为D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3202×1 3691 600＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3202×111800＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3202×91 600＝111800.解法二：求ξ的分布列同解法一． ξ的均值为E (ξ)＝2×340＝320，ξ的方差为D (ξ)＝2×340×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－340＝111800.| 规 律 方 法 |1．求解二项分布问题的“四关”一是“判断关”，即判断离散型随机变量X 是否服从二项分布B (n ，p )．二是“公式关”，即利用P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，求出X 取各个值时的概率．三是“分布列关”，列出表格，得离散型随机变量的分布列．四是“结论关”，利用公式E (X )＝np 求期望，D (X )＝np ·(1－p )求方差． 熟记二项分布的概率、期望与方差公式，可以避免繁琐的运算过程． 2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以应用均值与方差的性质E (ax ＋b )＝aE (x )＋b ，D (ax ＋b )＝a 2D (x )求解．|练题点|(2019·河南洛阳三模)某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能答对其中的4个，而乙能答对每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立的．(1)求甲、乙两位同学总共答对3题的概率；(2)若甲、乙两位同学答对题目的个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲、乙两人得分之和X 的期望．解：(1)由题意可知，甲、乙两位同学总共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题．故所求的概率P ＝C 14C 22C 36×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋C 24C 12C 36×C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 34C 36×C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝31135.(2)m 的所有可能取值有1,2,3.P (m ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (m ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (m ＝3)＝C 34C 36＝15，故E (m )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意可知n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，故E (n )＝3×23＝2. 而X ＝15m ＋10n ，所以E (X )＝15E (m )＋10E (n )＝50.考点三 正态分布|析典例|【例】 (2018·广西三市联考)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1 000 人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求P(36<Z≤79.5)；(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案．①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.X的分布列及数学期望．附：210≈14.5，若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3.[解](1)由题易得E(Z)＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，所以μ＝65，所以得分Z服从正态分布N(65,210)，又σ＝210≈14.5，所以P(50.5<Z≤79.5)＝0.682 7，P(36<Z≤94)＝0.9545，所以P(36<Z≤50.5)＝(0.954 5－0.682 7)×12＝0.135 9，所以P(36<Z≤79.5)＝P(36<Z≤50.5)＋P(50.5<Z≤79.5)＝0.135 9＋0.682 7＝0.818 6.(2)易知P(Z<μ)＝P(Z≥μ)＝12，X的所有可能取值为20,40,60,80.则P(X＝20)＝12×34＝38，P(X＝40)＝12×14＋12×34×34＝1332，P(X＝60)＝12×34×14＋12×14×34＝316，P(X＝80)＝12×14×14＝132.所以X的分布列为所以X的数学期望E(X)＝20×38＋40×1332＋60×316＋80×132＝752. | 规律方法|服从N(μ，σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法(1)利用P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值直接求．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解．|练题点|(一题多解)(2018·四川德阳二诊)为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了成语听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16)．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩大于90分的学生所占的百分比为()A．0.135% B．1.35%C．3% D．3.3%附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3.解析：选A解法一：由题意可知，测试成绩X～N(78,16)，所以σ＝16＝4.而90＝78＋12＝μ＋3σ，故所求的百分比的实质就是求P(X>μ＋3σ)．由正态曲线的对称性可得P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5，又P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3，所以P(μ<X≤μ＋3σ)＝12×0.997 3＝0.498 65，故P(X>μ＋3σ)＝P(X≥μ)－P(μ<X≤μ＋3σ)－P(X＝μ)＝0.5－0.498 65＝0.00135＝0.135%.故选A．解法二：由题意可知，测试成绩X～N(78,16)，所以σ＝16＝4.而90＝78＋12＝μ＋3σ，故所求百分比实质就是求P(X>μ＋3σ)．由已知P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3，所以P(X≤μ－3σ)＋P(X>μ＋3σ)＝1－P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝1－0.997 3＝0.002 7，由正态曲线的对称性可得，P(X>μ＋3σ)＝12[P(X≤μ－3σ)＋P(X>μ＋3σ)]＝12×0.002 7＝0.001 35＝0.135%.故选A．。