2021届高考数学(理)二轮总复习学案：层级二 专题五 第三讲 随机变量及其分布列

第三讲随机变量及其分布列

1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.

解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.

答案：1.96

2．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18.

因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p·(1－p)17(1－10p)．

令f′(p)＝0，得p＝0.1.

当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；

当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的极大值点为0.1，且为f(p)唯一的极大值点，所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.

(2)由(1)知，p＝0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，则E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.

所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.

②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．

由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．

3．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i ＋bp i＋cp i＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假－1

设α＝0.5，β＝0.8.

－p i}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；

①证明：{p i

＋1

②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.

P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，

P(X＝1)＝α(1－β)．

所以X的分布列为

(2)

因此p i＝0.4p i－1＋0.5p i＋0.1p i＋1，

－p i)＝0.4(p i－p i－1)，

故0.1(p i

＋1

－p i＝4(p i－p i－1)．

即p i

＋1

又因为p1－p0＝p1≠0，所以{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．

②由①可得

p 8＝p 8－p 7＋p 7－p 6＋…＋p 1－p 0＋p 0 ＝(p 8－p 7)＋(p 7－p 6)＋…＋(p 1－p 0)＝48－1

3p 1. 由于p 8＝1，故p 1＝3

48－1

，

所以p 4＝(p 4－p 3)＋(p 3－p 2)＋(p 2－p 1)＋(p 1－p 0)＝44－13p 1＝1

257.

p 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4＝1

257≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

明 考 情

1．对概率的考查既有大题也有小题，选择题或填空题出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查几何概率，难度一般．

2．概率统计的解答题多在第18题或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与回归分析或独立性检验相交汇考查.

考点一 离散型随机变量的均值与方差

|析典例|

【例】 (2019·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利200元．

(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n (单位：台，n ∈N )的函数解析式f (n )；

(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n (单位：台)，整理得下表：

周需求量n 18 19 20 21 22 频数

1

2

3

3

1

以1020