苏科版初三数学 2019年中考复习 专题针对训练《阅读理解题》含精品解析

2019年中考数学专题针对训练《阅读理解题》
阅读理解是指先给出阅读材料，通过阅读领会其中的数学内容、方法要点，并能加以运用，然后解）决后面提出的问题的一类题型.该类题的篇幅一般较长，试题结构分两大部分，一部分是阅读材料，另一部分是需解决的有关问题，阅读材料既有选用与教材知识相关的内容，也有选用课外并不熟悉的知识.除了考查初中数学的基础知识外，更注重考查二阅读理解、迁移转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力解决该类问题的关键是读懂并理解试题阅读材料中提供的新情景、新方法与新知识等，能熟练地进行知识的迁移、转化与应用。

类型一 新定义、新运算型问题
【典例1】（2018·菏泽）规定:在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP 可以用点P 的坐标表示为:OP ＝（m ，n ）.已知OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，y 2），如果x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，那么OA 与OB 互相垂直，下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A.OC ＝（3，2），OD ＝（-2，3）
B.OE ＝（2-1，1），OF ＝（2＋1，1）
C.OG ＝（3，2018°），OH ＝（-
31，-1） D.OM ＝（38，-2
1
），ON ＝（(2)2，4） 【思路导引】通过计算所给四组向量的坐标，只要符合x 1·x 2＋y 1·y 2＝0的向量，即为互相垂直。

【自主解答】
【规律方法】新定义运算型试题，要抓住新定义运算的法则或者顺序，并将此定义作为解题的依据，通常照套法则即可，需要注意两点:（1）有括号时应当先算括号里面的.（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用运算律解题，总之，新定义型问题是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原知识点。

针对训练
1.（2018·日照）定义一种对正整数n 的“F ”运算:①当n 是奇数时，F （n ）＝3n ＋1；当n 为偶数时，F （n ）＝
k
n
2（其中k 是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行例如，取n ＝24，则: 若n ＝13，则第2018次“F 运算”的结果是（ ）
A.1
B.4
C.2018
D.42018
2.（2018·济南）若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”。

例如:P （1，0），Q （2，-2）都是“整点”。

抛物线y ＝2442
-+-m mx mx （m ＞0）与x 轴的交点为A ，B ，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包含边界）恰有7个“整点”，则m 的取值范围
是（ ） A.
21≤m ＜1 B.2
1
＜m ≤1 C.1＜m ≤2 D.1≤m ＜2 3.（2018·常德）阅读理解:a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号
c a
d
b 称为2×2行列式，并且规定:
c a
d
b ＝a
×d - b ×c ，例如
13
-
2
2
-＝3×（-2）- 2×（-1）＝ - 6＋2＝ - 4.二元一次方程组⎩⎨
⎧=+=+2
221
11c y b x a c y b x a 的解可以
利用利用2×2阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧==D
D y D
D x y x
：其中D ＝21a a 21b b ，D x =21c c 21b b ，D y =21a a 21c c 。

问题:对于用上面的方法解二元一次方程组⎩⎨
⎧=-=+12
231
2y x y x 时，下面说法错误的是（ ）
A.3
2=
D
2
-1=－7 B.D x =－14 C. D y =27 D.方程组的解为⎩
⎨
⎧-==32
y x
4.（2018·聊城）若x 为实数，则［x ］表示不大于x 的最大整数，例如［1.6］＝1，［π］＝3，［-2.82］＝-3等.［x ］＋1是大于x 的最小整数，对任意的实数x 都满足不等式［x ］≤x ＜［x ］＋1①.利用这个不等式①，求出满足［x ］＝2x-1的所有解，其所有解为____________。

5.（2018·永州）对于任意大于0的实数x ，y ，满足log 2（x ·y ）＝log 2 x ＋log 2 y ，若log 22＝1，则 log 2 16 ＝_________。

6.（2018·日照）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数x
m
y =
（m ＜0）与42
-=x y 在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m 的取值范围为_____________。

7（2018·扬州）对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下:a ⊗b ＝2a ＋b.例如3⊗4＝2×3＋4＝10.
（1）求2⊗（-5）的值；
（2）若x ⊗（-y ）＝2，且2y ⊗x ＝-1求x ＋y 的值.
8.（2018·深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这
个菱形称为这个三角形的亲密菱形如图，在△CFE 中，CF ＝6，CE ＝12，∠FCE ＝45°，以点C 为圆心，以任意长为半径作弧AD ，再分别以点A 和点D 为圆心，大于2
1
AD 长为半径作弧，交EF 于点B ，AB ∥CD 。

（1）求证:四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形； （2）求四边形ACDB 的面积。

9.（2018·咸宁）定义:我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”。

理解:
（1）如图1，已知Rt △ABC ，在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝80°，∠ADC ＝140°，对角线BD 平分∠ABC.求证:BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； 运用:
（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH ＝∠HFG ＝30°，连接EG ，若△EFG 的面积为23，求FH 的长。

10.（2018·宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形。

（1）已知△ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，请直接写出所有满足条件的AC 的长； （2）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC ＝∠ADC 。

求证:△ABC 是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC ＝90°时，求
AC
BD
的值。

类型二 学习应用型问题
【典例2】（2018·张家界）阅读理解题
在平面直角坐标系xOy 中，点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C ＝0（A 2＋B 2≠0）的距离公式为:2
2
00B
A C By Ax d +++=。

例如，求点P （1，3）到直线4x ＋3y －3＝0的距离。

解:由直线4x ＋3y －3＝0知:A ＝4，B ＝3，C ＝－3，所以P （1，3）到直线4x ＋3y －3＝0的距离为:23
43
33142
2
=+-⨯+⨯=
d 。

根据以上材料，解决下列问题:
（1）求点P 1（0，0）到直线3x －4y －5＝0的距离；
（2）若点P 2（1，0）到直线x ＋y ＋C ＝0的距离为2，求实数C 的。

、
【思路导引】（1）根据点到直线的距离公式计算即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可求出实数C 的值。

【自主解答】 针对训练
11.（2018·怀化）根据下列材料，解答问题。

等比数列求和:
概念:对于一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…（n 为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即“
1
-k k
a a ＝q （常数），那么这一列数 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列，这一常数q 叫做该数列的
公比.
例:求等比数列1，3，32，33，…，3100的和 解:令S ＝1＋3＋32＋33＋…＋3100， 则3S ＝3＋32＋33＋…＋3100＋3101，
因此，3S-S ＝3101-1，所以S ＝2
1
-3101。

即1＋3＋32＋33＋ (3100)
2
1
-3101。

仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52018的和为______________。

12.（2018·自贡）阅读下列材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（j · Napier ，1550年～1617年）。

纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞数学家欧拉（Euler ，1707年～1783年），才发现指数和对数的联系，对数的定义:一般地，若a x ＝N （a ＞0，a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N.比如指数式24＝16可转化为对数式4＝log 2 16，对数式2＝log 5 25，可转化为52＝25. 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
Log a （M ·N ）＝log a M ＋log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0），理由如下： 设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，∴M ·N ＝a m ·a n ＝a m + n ， 由对数的定义得:m ＋n ＝log a （M ·N ）
又∵m ＋n ＝log a M ＋log a N ，∴log a （M ·N ）＝log a M ＋log a N . 解决以下问题:
（1）将指数式43＝64转化成对数式___________； （2）证明:N M N
M
a a a
log log log -=（a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）
； （3）拓展应用:计算log 3 2＋log 3 6－log 3 4＝_____________。

13.（2018·济宁）知识背景
当a ＞0且x ＞0时，因为2
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-x a x ≥0，所以02≥+-x a a x ，从而x ＋x a ≥2a （当x ＝a 时x 取等号）. 设函数y ＝x ＋x
a
（a ＞0，x ＞0），由上述结论可知，当x ＝a 时，该函数有最小值为2a 。

应用举例
已知函数y 1＝x （x ＞0）与函数y 2＝x 4（x ＞0），则当4=x ＝2时，y 1＋y 2＝x ＋x
4有最小值为＝42。

解决问题
（1）已知函数y 1＝x ＋3（x ＞-3）与函数y 2＝(x ＋3)2＋9（x ＞-3），当x 限何值时，1
2
y y 有最小值？最小值是多少？
（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x 天，则当x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？
14.（2018·荆州）阅读理解
在平面直角坐标系中，若两点P ，Q 的坐标分别是P （x 1，y 2），Q （x 2，y 2），则P ，Q 这两点间的距离为()()221221y y x x PQ -+-=
.如P （1，2），Q （3，4），则()()
2242312
2=-+-=PQ .
对于某种几何图形给出如下定义:符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

解决问题
如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋2
1
，交y 轴于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，过点B 作直线l 平行于x 轴.
（1）到点A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是___________。

（2）若动点C （x ，y ）满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，求动点C 轨迹的函数表达式； 问题拓展
（3）若（2）中的动点C 的轨迹与直线y ＝kx ＋2
1
交于E ，F 两点，分别过E ，F 作直线l 的垂线，垂足分别是M ，N ，求证:①EF 是△AMN 外接圆的切线；②AF
AE 11+为定值。

15.（2018·郴州）参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝x
x 2
-（x ≠0）的图象与性质。

因为y ＝x x 2-＝x
2
1-，即y ＝x 2-＋1，所以我们对比函数y ＝x 2-来探究.
列表:
描点:在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y ＝x
x 2
-相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示.
（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题:
①当x ＜0时，y 随x 的增大而___________；（填“增大”或“减少”） ②y ＝
x x 2-的图象是由y ＝x
2
-的图象向_______平移______个单位而得到； ③图象关于点_______中心对称（填点的坐标） （3）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是函数y ＝x
x 2
-的图象上的两点，且x 1＋x 2＝0，试求y 1＋y 2＋3的值.
16.（2018·东营）某学校“智慧方园”数学社团遇到只这样一个题目: 如图1，在△ABC 中，点O 在线段BC 上，∠BAO ＝30°，∠OAC ＝
75
°，AO ＝33，BO:CO ＝1:3，求AB 的长。

经过社团成员讨论发现，过点D 作BD ∥AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）。

请回答:（1）∠ADB ＝________°，AB ＝__________。

（2）请参考以上解题思路，解决问题:
如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO ＝33，∠ABC ＝∠ACB ＝75°，BO:DO ＝1:3，求DC 的长.
x …
－4
－3 －2 －1
－
21
2
1 1
2
3
4 … y ＝x 2
-
… 21 32 1 2 4 －4 －2 －1 －32 －21 … y ＝x x 2- …
23 3
5 2
3
5
－3
－1
31 2
1 …
参考答案及解析
【典例1】
【自主解答】A 解析:选项A 中，3×（-2）＋2×3＝0，∴两向量互相垂直； 选项B 中，（2-1）·（2＋1）＋1×1＝2，∴两向量不垂直；
选项C 中，3×（3
1
-
）＋20180×（-1）＝-2，∴两向量不垂直； 选项D 中，38×（2）2＋（-2
1
）×4＝2，∴两向量不垂直。

【针对训练】1.A 解析:根据题意，得
第一次:当n ＝13时，F ①＝3×13＋1＝40，第二次:当n ＝40时，F ②＝3
240
＝5，第三次:当n ＝5时，F ①＝3×5＋1＝16，第四次:当n ＝16时，F ②＝42
16
=1，第五次:当n ＝1时，F ①＝3×1＋1＝4，第六次:当n ＝4时，F ②＝
12
4
2=，…… 从第四次开始，每2次循环运算一个循环，因为（2018－3）÷2＝1007……1，第2018次“F 运算”的结果是1.
2.B 解析:抛物线y ＝mx 2－4mx ＋4m －2＝m(x －2)2－2，其对称轴为x ＝2，顶点为（2，-2），则在对称轴上有（2，0），（2，－1），（2，－2）三个“整点”，∵边界上共有7个整点，∴整点（1，0），（1，－1），
（3，0），（3，－1）也在边界上或内部，则点（0，0）在外，从而()⎪⎩⎪⎨⎧>---≤--0
2)20(1
2212
2
m m ，解得21＜m ≤1.
3. C 解析:因为⎩⎨
⎧=-=+12
231
2y x y x ，所以D ＝21a a 21b b =32 2-1=2×(－2)－3×1=7.
2
1c c D x =
2
1b b =
12
1
2
-1=1×(－2)－1×12=－14，2
1a a D y =
2
1c c =
3
2
12
1=2×12－1×3=21。

因为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-===--==37212714D D y D D x y x ，所以方程组的解为⎩⎨⎧-==32y x ，所以说法错误的是C.
4.1或
2
1 5.4 解析:log
2 16＝log 2（2×8）＝log 22＋log 28＝1＋log 2（2×4）＝1＋log 22＋log 24 ＝1＋1＋log 2（2×2）＝1＋1＋log 22＋log 22＝1＋1＋1＋1＝4.
6.-2≤m ＜-1 解析:当x ＝1时，y ＝x 2－4＝1－4＝－3.所以在第四象限内，在二次函数y ＝x 2－4的图象上和图象上方的整点有3个，坐标为（1，－1），（1，－2），（1，－3）。

当反比例函数y ＝
x
m
（m ＜0）的图象经过点（1，－2）， 即m ＝xy ＝-2时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2个，
当反比例函数y ＝m （m ＜0）的图象经过点（1，-1），即m ＝xy ＝－1时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为3个，
∵在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2， ∴m 的取值范围为-2≤m ＜-1.
7.解：（1）2⊗（-5）＝2×2＋（-5）＝4-5＝-1.
（2）由题意，得:⎩⎨⎧-=+=-1422x y y x ，解方程组，得:⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-==94
9
7y x ，则x ＋y ＝319497=-。

8.（1）证明:由已知得:AC ＝CD ，AB ＝DB ，由已知尺规作图痕迹得: BC 是∠FCE 的角平分线，则:∠ACB ＝∠DCB ，
又∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠DCB ，∴∠ACB ＝∠ABC ，∴AC ＝AB ， 又∵AC ＝CD ，AB ＝DB ，∴AC ＝CD ＝DB ＝AB ，∴四边形ACDB 是菱形。

∵∠ACD 与△FCE 中∠FCE 重合，它的对角∠ABD 的顶点在EF 上， ∴四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形。

（2）解:设菱形ACDB 的边长为x ，可证:△FAB ∽△FCE ，则
CE AB FC FA =，即6
612x
x -=，解得:x ＝4，过
A 点作AH ⊥CD 于点H ，在Rt △ACH 中，∠ACH ＝45°，∴AH ＝
2
AC
＝22. ∴四边形ACDB 的面积为:4×22＝82.
9.（1）解:如图1所示。

（2）证明:∵∠ABC ＝80°，BD 平分∠
ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝40°，∴∠A ＋∠ADB ＝140º. ∵∠ADC ＝140°，∴∠BDC ＋∠ADB ＝140º。

∴∠A ＝∠BDC ，
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧C ＝∠ADB ∠BDC ＝∠A ∠DBC ＝∠ABD ∠，∴△ABD ∽△DBC 。

∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”。

（3）∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∴△EFH 与△HFG 相似. 又∠EFH ＝∠HFG ，∴△FEH ∽△FHG ，∴
FG
FH
FH FE =
，∴FH 2＝FE ·FG. 过点E 作EQ ⊥FG ，垂足为点Q.则EQ ＝FE × sin60°＝
FE 2
3。

∵
21FG ×EQ ＝32，∴2
1
FG ×23FE ＝23，
∴FG ·FE ＝8，∴FH 2＝FE ·FG ＝8，∴FH ＝22. 10.（1）
34或2
9
或6. （2）证明:∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠CAD.又∵∠BAC ＝∠ADC ，∴△ABC ∽△DCA. ∴
AD
CA
CA BC =，即CA 2＝BC ·AD.∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD.∴∠ADB ＝∠ABD,∴AB ＝AD. ∴CA 2＝BC ·AB.∴△ABC 是比例三角形.
（3）解:如图，过点A 作AH ⊥BD 于点H.∵AB ＝AD ，∴BH ＝
2
1BD. ∵AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，∴∠BCD ＝90°,∴∠BHA ＝∠BCD ＝90°， 又∵∠BHA ＝∠BCD,∠ABH ＝∠DBC,∴△ABH ∽△DBC.
∴BC BH DB AB =
∴AB ·BC ＝DB ·BH.∴AB ·BC ＝21
BD 2，又∵AB ·BC ＝AC 2， ∴2
1
BD 2＝AC 2，∴AC ＝2. 【典例2】
【自主解答】解:（1）d ＝2
2
3
45
0403+-⨯-⨯＝1.
√32＋42
（2）由题意，得2
01112C
+⨯+⨯=
,∴｜C ＋1｜＝2，
∴C ＋1＝±2，∴C 1＝1，C 2＝-3. 【针对训练】
11. 4
1-52019 解析:令S ＝1＋5＋52＋53＋ (52018)
则5S ＝5＋52＋53＋…＋52018＋52019，因此，5S-S ＝52019 -1，所以S ＝4
1
-52019，
即1＋5＋52＋53＋ (52018)
4
1
-52019. 12.（1）log 4 64＝3.
（2）证明:设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，
∴n m n m a a a N M -==，由对数的定义得m －n ＝log a N
M . 又∵m-n ＝log a M －log a N ，∴ log a N M
＝log a M －log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）. （3）解: 1og 3 2－log 36－log 34＝log 34
2
6⨯＝log 33＝1.
13.解:（1）∵x ＞－3，∴x ＋3＞0，
∴12y y ＝39)3(239)3(39)3(2+⨯+≥+++=+++x x x x x x .即1
2y y
≥6.
∴
1
2
y y 的最小值6，此时x ＋3＝9＝3，解得x ＝0. （2）设该设备平均每天的租赁使用成本为w.
根据题意，得w ＝x
x x 2001.0200490++，∴200)490000(001.0++=x x w 。

∵x ＞0，∴w ≥0.001×2
x x
·490000
＋200.即w ≥201.4. ∴w 的最小值为201.4.此时x ＝490000＝700.
答:当x 取700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是201.4元。

14.解:（1）以A 为圆心，AB 长为半径的圆；
（2）设点C 到直线l 的距离为d ，d ＝｜y ＋
2
1
｜。

∵直线y ＝kx ＋21交y 轴于点A ，∴令x ＝0得y ＝21，即A （0，2
1
），
线段CA 的长度＝22
)2
1
()0(-+-y x ，d ＝2
2
)2
1(-+y x 。

∴将d ＝｜y ＋
21｜代入化简得:y ＝2
1
x 2。

即动点C 轨迹的函数表达式为y ＝2
1
x 2。

（3）①证明:如图，由（2）可知EA ＝EM ，FA ＝FN.又∵EM ⊥直线l ，FN ⊥直线l ，∴EM ∥FN ，
∴∠MEA ＋∠NFA ＝180°∴∠EAM ＝21（180°－∠MEA ），∠FAN ＝2
1（180°－∠NFA ）， 则∠EAM ＋∠FAN ＝21（180°－∠MEA ）＋2
1
（180° －∠NFA ）
＝180°－2
1
（∠MEA ＋∠NFA ）＝90°
∴∠MAN ＝90°，即△AMN 是直角三角形。

设点G 是△AMN 外接圆的圆心，则点G 是直径MN 的中点，连接AG ，EG.
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧===EG EG MG AG EA EM ，∴△AEG ≌△MEG ，∴∠EAG ＝∠EMG ＝90° ∴GA ⊥EF ，∴EF 是△AMN 的外接圆的切线. ②证明:设点E ，F 的坐标分别为（x 1，kx 1＋
21），（x 2，kx 2＋2
1），则EM ＝kx 1＋1，FN ＝kx 2＋1. 联立抛物线与直线EF 的解析式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+==21
2
12kx y x y ，得21212+=kx x 化简得：021212=--kx x 。

∴x 1＋x 2＝2k ，x 1·x 2＝-1， EM ＋FN_kxi ＋1＋kx2＋1∴AE
∴
()()()()()2
1
2
212)(112)(1111·111122
212122*********=++=+++++=++++=
+++++=
+=+=+k k x x k x x k x x k kx kx x x k kx kx kx kx FN EM FN EM FN EM AF AE
故
AF
AE 1
1+
的值为定值。

15.解:（1）连线如图
（2）①增大，②上，1，③（0，1） （3）y 1＋y 2＋3＝212
1212125112532121x x x x x x x x x
+⨯-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+-+-，因为x 1＋x 2＝0， 所以y 1＋y 2＋3＝5－2×0＝5。

16.解:（1）∵BD ∥AC ，∴∠CAD ＝∠D ，∠C ＝∠CBD 。

∵⎪⎩
⎪
⎨⎧∠∠∠BOD ＝AOC ∠CBD ＝C ∠D
＝CAD ∠，∴△BOD ∽△COA ，∴DO:AO ＝BO:CO ，∴DO ：33＝1:3， ∴DO ＝3，∴AD ＝43；
∵∠ADB ＝∠OAC ＝75°，∠ABD ＝180°－∠BAC ＝180°－30°－75°＝75°， ∴∠ADB ＝∠ABD ，∴AB ＝AD ＝43。

（2）过点B 作BE ∥AD ，交AC 于点E ，作∠BCF ＝∠CBF ，CF 交BE 于点F ， 类比（1）小题，由△BOE ∽△DOA ，可得OE ＝3，∴AE ＝43， ∵∠ABC ＝∠ACB ＝75°，∴∠BAE ＝30°，
∵AD ∥BE ，∠DAE ＝90° ∴三角形ABE 是直角三角形。

∴BE ＝AE ·tan ∠BAE ＝43·tan30°＝4。

∵△BOE ∽△DOA ，∴BE:AD ＝BO:DO ，4:AD ＝1:3，∴AD ＝12。

∵∠CBF ＝∠ABC －∠ABE ＝75°－60°＝15°，∴∠BCF ＝∠CBF ＝15°， ∴∠CFE ＝∠BCF ＋∠CBF ＝30°，∴CE ＝
21CF ＝2
1
BF 。

设CE ＝x ，在Rt △CEF 中，由勾股定理得x 2＋(4－2x)2＝(2x)2，
解得:x 1＝8＋43（舍去），x 2＝8－43，∴AC ＝AE ＋CE ＝43＋8－43＝8，
∴CD ＝
13
41282222=+=+AD AC 。