第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限
区间在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

区间的名
区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称
闭区间a≤x≤b [a，b]
开区间a＜x＜b （a，b）
半开区间a＜x≤b或a≤x＜b （a，b]或[a，b）
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：
[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；
(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；
(-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞
注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。

邻域
设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

函数
x (D为非空实数集)
函数y=f(x)、y=F(x) D
D为函数的定义域。

通常x叫做自变量，y叫做因变量。

函数的有界性
如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。

注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
函数的单调性
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有
，
则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。

如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有
，
则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。

函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；
如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。

注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义
域中含有0，则F(0)=0。

f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。

函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式
对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。

注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

反函数
反函数的定义： 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作
)(1y f x -=
显然，)(1
y f
x -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示，
所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -=
反函数的存在定理
若在(a ，b)上严格增(减)，其值域为 R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内，
与)(1
x f
y -=的图形是关于直线y=x 对称。

关于直线y=x 对称的。

如右图所示：
复合函数的定义 若y 是u 的函数：
，而u 又是x 的函数：
，且
的函数值的全部或部分在
的定义域内，那末，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数及
复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。

注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。

分段函数： 函数
名称
函数的记号 函数的图形 函数的性质
指数函数a):不论x为何值,y总为正数;
b):当x=0时,y=1.
对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点
b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+∞)的值为正；在定义域内单调增.
幂
函
数
a为任意实数
这里只画出部分函数图形
的一部分。

令a=m/n
a):当m为偶数n为奇数
时,y是偶函数; b):当m,n都是奇数时,y是
奇函数;
c):当m奇n偶时,y在(-
∞,0)无意义.
三
角函数
(正弦函数)
这里只写出了正弦函数
a):正弦函数是以2π为周
期的周期函数
b):正弦函数是奇函数且
反
三角函数
(反正弦函
数)
这里只写出了反正弦函数
a):由于此函数为多值函
数,因此我们此函数值限制
在[-π/2,π/2]上,并称其
为反正弦函数的主值.
初等函数
由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.
双曲函数及反双曲函数
函数的
名称
函数的表达式函数的图形函数的性质
双曲正弦a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是奇函数；
c)：在定义域内是单调增
双曲余弦
a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是偶函数；
c)：其图像过点(0,1)； 双曲正切
a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是奇函数； c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域内单调增； 双曲函数的性质
三角函数的性质
shx 与thx 是奇函数，chx 是偶函数
sinx 与tanx 是奇函数，cosx 是偶函数
它们都不是周期函数
都是周期函数
双曲函数也有和差公式：
反双曲函数
双曲函数的反函数称为反双曲函数. a)：反双曲正弦函数 其定义域为：(-∞,+∞)； b)：反双曲余弦函数 其定义域为：[1,+∞)； c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-1,+1)；
数列的极限 数列
通项入公式：
函数的极限
定义：设函数
)(x f y =在0x 的某去心邻域N （δ,0Λ
x ）内有定义，如果当x 无限趋近于0
x 时，
)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当0x x →时函数)(x f 的极限，记作 ()A
x f x x =→0
lim 或当
0x x →，)(x f →A 定义：设函数
)(x f y =在（00,x x δ-）
（或（δ+00,x x ））内有定义，若当自变量x 从0
x 的左（右）近旁无限接近于0
x ，记作
-
→0x x （+
→0x x ）时，函数)(x f y =无限接近于一
个确定的常数A ，则称常数A 为
0x x →时的左（右）极限，记作
A
x f x x =-
→)(lim 0或A x f =-)0(0，（A x f x x =+
→)(lim 0或A x f =+)0(0）.
极限与左、右极限之间有以下结论： A
x f x x =→)(lim 0
的充要条件是
=-
→)(lim 0x f x x A
x f x x =+→)(lim 0
.
渐近线： 函数极限的运算规则 若已知x →x 0(或x →∞)时，.
则：
推论：
在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。

注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。

无穷大量和无穷小量 无穷大量 记为：
或（表示为无穷大量，实际它是没有极限的） 无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。

记作：
(或
注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。

无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0. 无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的. 关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数在
(或x →∞)时有极限A ，则差
是当(或x →∞)时的无穷小量，反之亦成立。

定理二：无穷小量的有利运算定理
a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量； c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量. d): 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

无穷小与无穷大的关系：
在自变量的同一变化过程中，若)(x f 为无穷大，则)(1
x f 为无穷小；反之，若)(x f 为无
穷小，则)(1
x f 为无穷大且f(x)等于零。

无穷小量的比较 定义：设α，β都是
时的无穷小量，且β在x 0的去心领域内不为零，
a)：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；
b)：如果，则称α和β是同阶无穷小；
c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)
注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此
我们可以利用这个性质来简化求极限问题。

两个重要极限
1sin lim
0=→x x x e
x x x =+∞→)1
1(lim
函数的一重要性质——连续性 函数连续性的定义： 设函数
在点x 0的某个邻域内有定义，如果有
称函数在点x 0处连续，且称x 0为函数的的连续点.
函数左、右连续的概念： 函数在区间()b a ,内的连续性：
若函数()x f y =在开区间()b a ,内的每一点处都连续，则称函数()x f y =在开区间
()b a ,内连续
若函数()x f y =在(]
00,x x δ-有定义，且
()()
00
lim x f x f x x =→-，则称函数()x f y =在0x
处左连续.
若函数()x f y =在[
)δ+00,x x 有定义，
且()()
00
lim x f x f x x =→+，则称函数()x f y =在0x 处
右连续.
显然函数()x f 在0
x x =处连续的充要条件是：函数在该点既是左连续，又是右连续.
若函数()x f 在开区间()b a ,内连续，且在a x =右连续，在b x =左连续，则称函数()x f 在
闭区间[]b a ,上连续.
函数的间断点
定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.
它包括三种情形：a)：在x=x0无定义；
b)：有定义，但在x→x0时
()x f
x
x0
lim
→不存；
c)：在x=x0有定义，且
()x f
x
x0
lim
→存在，但
()x f
x
x0
lim
→不等于
间断点的分类
我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数的间断点，且其左、右极限都存在，我们把
x0称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
分类：无穷间断点、可去间断点、跳跃间断点。

可去间断点
若x0是函数的间断点，但极限存在，那末x0是函数的第一类间断点。

此时函数不连续原因是：不存在或者是存在但≠。

我们令
，则可使函数在点x0处连续，故这种间断点x0称为可去间断点
连续函数的性质及初等函数的连续性
连续函数的性质
函数的和、积、商的连续性
我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：
a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；
b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；
c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)；
反函数的连续性
若函数在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数也在对应的区间上单调增(单调减)且连续
复合函数的连续性
设函数当x→x0时的极限存在且等于a，即：.而函数在点u=a连续，那末复合函数当x→x0时的极限也存在且等于.
即：
初等函数的连续性
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.
闭区间上连续函数的性质
最大值最小值定理：（最大值、最小值定理）若函数()x f
在闭区间
[]b a,
上连续，则函数
()x f
在区间[]b a,
上必然存在最大值与最小值.
介值定理
在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。

即：
，μ在α、β之间，则在[a，b]间一定有一个ξ，使
推论：
在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。

重点：
极限的运算：1、运用极限运算法则及四则运算；
若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±
若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且
)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。

推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。

推论2：n
n x f x f )]([lim )](lim[=（n 为正整数）。

定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则
)(lim )
(lim )()(lim
x g x f B A x g x f =
=
2、利用无穷小与无穷大性质；
3、利用两个重要极限；
4、利用无穷小的比较，等价无穷小的代替；
5、利用复合函数公式：[]0
000lim li ()(()lim ()m ())x x u x u x u f f u f x g f g x →→→===
[]00
0lim ()()l ()im ()x x x x f g x f f u g x →→==；
6、利用洛必达法则：注意条件。

注：不同条件下极限的运用：
a).一般情况下时，用四则运算；
b).当分子分母都为0时， )
00(型 先想法约去趋于零的因子，再利用四则运算；
c).当分子分母都为无穷大时 )
(型∞∞
，则先用x^n 次方同时除以分子分母，分出
无穷小，再求极限；
d).当其中一个是无穷小、分子为其它，分母为无穷大或者无穷小是，利用无穷小的性质； e).当有复合函数时，如根号，对数，指数时，考虑用复合函数公式。

f).必要情况下可用洛必达法则。