高中数学必修第一册 5.3诱导公式第1课时公开课优秀课件(好用、与人教版教材同步)
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人教版高中数学新教材必修第一册
5.3 诱导公式第一课时
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数 之间的基本关系。
我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对 称性（如奇偶性）也是函数的重要性质。由此想到 ，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性。
探究：
如图，在直角坐标系内，设任意角 的终边与单位圆交于点 P1。
函数，其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的 三角函数；②化为[0°，360°)内的三角函数；③ 化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”
3
解（：3）（s1in）cos126325
cossin181063
45
sin
5cos45
3
2;sin 2
3
3; 2
（4（）t2a）nsi-n28040 sin 2tan20240 3 tan 63360 120
sin 2 sin
ta3n120 tan 1380 60
，
y
并且有公式四
sin sin cos cos tan tan
P4 x, y O
P1x, y
x
知识梳理
归纳： 诱导公式一～四可用口诀“函数名称不变，符号看象限”记忆， 其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名， “符号”是指等号右边是正号还是负号，
“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号．
3 2
1
cos
3
2
1
0
2
2
2
tan
3 3
1
3
例2 化简
cos180
tan
180
sin cos
360
180
。
解：tan（ 180 ） tan (180 )
tan（180 ） tan
cos（180 ） cos[(180 )]
cos（180 ） cos
所以，原式
-
- cossin
因此，只要探究角 与 的三角函数值之间
的关系即可．
P2
y
P1
O
x
知识梳理
设 P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 。因为 P2 是点 P1 关于原点的对称点，
y 所以 x2 x1, y2 y1
根据三角函数的定义，得
sin y1,
cos x1,
tan
y1 , x1
sin y2, cos x2,
知识梳理
利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为 0°到 360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
锐角三角函数表：
6
4
3
2
sin
1 2
2 2
tan - cos
- cossin cos
-
sin cos
-
cos
知识梳理
三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数； (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数； (3)注意“1”的变形应用．
巩固练习
练习
化简
sin2α＋πcosπ＋α
tanπ－αcos3－α－πtan－α－2π
sintan 603 3
32
思考：
由例１，你对公式一～公式四的作用有什么进一步的认识？你能 自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗 ？
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数，一般可按下面步骤进行：
任意负角的 用公式 任意正角的
0 ~ 2 的角 用公式 锐角的三角
（1）作 P1 关于原点的对称点 P2 ，以 OP2为终边的角 与角 有
什么关系？角 , 的三角函数值之间有什么关系？
(2)如果作 P1 关于 x 轴(或 y 轴)的对称点P3(或 P4 )，那么又可
以得到什么结论？
下面，借助单位圆的对称性进行探究．
如图，以OP2为终边的角 都是与角
终边相同的角，即 2k k Z 。
sin sin cos cos tan tan
sin sin sin sin cos cos cos cos
tan tan tan tan
例1
利用公式求下列三角函数值：
（1）cos 225 ；
（2）sin
8
3
；
（3）sin 16 ； （4）tan - 2040 。
解：原式＝－tan－αs·in－αc2o·s－αc3·os－αtanα
＝ －sin2αcosα －tan2α·cos3α
sin2 cos
s in cos
2
cos3
1
课堂小结
11 牢记0°，30°，45°，60°，90°角的正弦、余弦
和正切值对给角求值问题很重要
2 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角
三角函数
三或一 三角函数 用公式一 的三角函数 二或四 函数
数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的题。数学家制作 了锐角三角函数表，并通过公式一～公式四，按上述步骤解决了问 题。现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值， 所以这些公式的 “求值”作用已经不重要了，但它们所体现的三角 函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用 ．
Leabharlann Baidu
O
P2
P1
x
tan y2 ,
x2
从而得公式二
sin sin
cos cos
tan tan
如图，作P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，则以 OP3为终边的角为 ，
并且有公式三
sin sin cos cos tan tan
y
P1x, y
O x
P3x, y
如图，作P1 关于 y轴的对称点 P4 ，则以 OP4为终边的为
5.3 诱导公式第一课时
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数 之间的基本关系。
我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对 称性（如奇偶性）也是函数的重要性质。由此想到 ，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性。
探究：
如图，在直角坐标系内，设任意角 的终边与单位圆交于点 P1。
函数，其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的 三角函数；②化为[0°，360°)内的三角函数；③ 化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”
3
解（：3）（s1in）cos126325
cossin181063
45
sin
5cos45
3
2;sin 2
3
3; 2
（4（）t2a）nsi-n28040 sin 2tan20240 3 tan 63360 120
sin 2 sin
ta3n120 tan 1380 60
，
y
并且有公式四
sin sin cos cos tan tan
P4 x, y O
P1x, y
x
知识梳理
归纳： 诱导公式一～四可用口诀“函数名称不变，符号看象限”记忆， 其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名， “符号”是指等号右边是正号还是负号，
“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号．
3 2
1
cos
3
2
1
0
2
2
2
tan
3 3
1
3
例2 化简
cos180
tan
180
sin cos
360
180
。
解：tan（ 180 ） tan (180 )
tan（180 ） tan
cos（180 ） cos[(180 )]
cos（180 ） cos
所以，原式
-
- cossin
因此，只要探究角 与 的三角函数值之间
的关系即可．
P2
y
P1
O
x
知识梳理
设 P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 。因为 P2 是点 P1 关于原点的对称点，
y 所以 x2 x1, y2 y1
根据三角函数的定义，得
sin y1,
cos x1,
tan
y1 , x1
sin y2, cos x2,
知识梳理
利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为 0°到 360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
锐角三角函数表：
6
4
3
2
sin
1 2
2 2
tan - cos
- cossin cos
-
sin cos
-
cos
知识梳理
三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数； (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数； (3)注意“1”的变形应用．
巩固练习
练习
化简
sin2α＋πcosπ＋α
tanπ－αcos3－α－πtan－α－2π
sintan 603 3
32
思考：
由例１，你对公式一～公式四的作用有什么进一步的认识？你能 自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗 ？
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数，一般可按下面步骤进行：
任意负角的 用公式 任意正角的
0 ~ 2 的角 用公式 锐角的三角
（1）作 P1 关于原点的对称点 P2 ，以 OP2为终边的角 与角 有
什么关系？角 , 的三角函数值之间有什么关系？
(2)如果作 P1 关于 x 轴(或 y 轴)的对称点P3(或 P4 )，那么又可
以得到什么结论？
下面，借助单位圆的对称性进行探究．
如图，以OP2为终边的角 都是与角
终边相同的角，即 2k k Z 。
sin sin cos cos tan tan
sin sin sin sin cos cos cos cos
tan tan tan tan
例1
利用公式求下列三角函数值：
（1）cos 225 ；
（2）sin
8
3
；
（3）sin 16 ； （4）tan - 2040 。
解：原式＝－tan－αs·in－αc2o·s－αc3·os－αtanα
＝ －sin2αcosα －tan2α·cos3α
sin2 cos
s in cos
2
cos3
1
课堂小结
11 牢记0°，30°，45°，60°，90°角的正弦、余弦
和正切值对给角求值问题很重要
2 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角
三角函数
三或一 三角函数 用公式一 的三角函数 二或四 函数
数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的题。数学家制作 了锐角三角函数表，并通过公式一～公式四，按上述步骤解决了问 题。现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值， 所以这些公式的 “求值”作用已经不重要了，但它们所体现的三角 函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用 ．
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O
P2
P1
x
tan y2 ,
x2
从而得公式二
sin sin
cos cos
tan tan
如图，作P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，则以 OP3为终边的角为 ，
并且有公式三
sin sin cos cos tan tan
y
P1x, y
O x
P3x, y
如图，作P1 关于 y轴的对称点 P4 ，则以 OP4为终边的为