极限的运算法则 ppt课件
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高等数学-极限运算法则PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
解
解
商旳法则不能用
由无穷小与无穷大旳关系,得
解
(消去零因子法)
解：原式
又例 : 求
解
(无穷小因子分出法)
解
先变形再求极限.
推论 2 . 有限个无穷小旳乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
利用定理 2 可知
阐明 : y = 0 是
旳水平渐近线 .
二、极限运算法则
定理 3
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
思索：
是否存在 ? 为何 ?
答: 不存在 .
不然由
利用极限四则运算法则可知
存在 ,
矛盾.
问
是否一定不存在 ?
时, 对
型 , 约去公因子
时 , 分子分母同除最高次幂
“ 抓大头”
作业
P30 1 (2), (3),(8), (9),(12), 2 (2), 3 , 5
结论：
2.已知分式函数
若
则
若
求
去公因子再求
1.已知多项式
则
一般有如下成果：
为非负常数 )
求极限措施举例
所以
一般有如下成果：
为非负常数 )
例9. 求
解: 令
∴ 原式 =
例10 . 求
解: 措施 1
则
令
∴ 原式
措施 2
例11.
解:
求
故
内容小结
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限旳措施
分式函数极限求法
时, 用代入法
( 要求分母不为 0 )
解
商旳法则不能用
由无穷小与无穷大旳关系,得
解
(消去零因子法)
解：原式
又例 : 求
解
(无穷小因子分出法)
解
先变形再求极限.
推论 2 . 有限个无穷小旳乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
利用定理 2 可知
阐明 : y = 0 是
旳水平渐近线 .
二、极限运算法则
定理 3
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
思索：
是否存在 ? 为何 ?
答: 不存在 .
不然由
利用极限四则运算法则可知
存在 ,
矛盾.
问
是否一定不存在 ?
时, 对
型 , 约去公因子
时 , 分子分母同除最高次幂
“ 抓大头”
作业
P30 1 (2), (3),(8), (9),(12), 2 (2), 3 , 5
结论：
2.已知分式函数
若
则
若
求
去公因子再求
1.已知多项式
则
一般有如下成果：
为非负常数 )
求极限措施举例
所以
一般有如下成果：
为非负常数 )
例9. 求
解: 令
∴ 原式 =
例10 . 求
解: 措施 1
则
令
∴ 原式
措施 2
例11.
解:
求
故
内容小结
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限旳措施
分式函数极限求法
时, 用代入法
( 要求分母不为 0 )
《极限的运算》课件
重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
CH13-极限的运算ppt课件
( )( ) 2 2
.
8
x2
练习 计算 lim
.
x0 2 x2 4
解 采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原 式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用 解 x 1 时 ,分 子 ,分 母 的 极 限 都 是 零 .( 00 型 ) 先 约 去 分 子 和 分 母 的 公 因 子 ( x 1 ) 后 再 求 计 算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某 域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx
.
8
x2
练习 计算 lim
.
x0 2 x2 4
解 采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原 式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用 解 x 1 时 ,分 子 ,分 母 的 极 限 都 是 零 .( 00 型 ) 先 约 去 分 子 和 分 母 的 公 因 子 ( x 1 ) 后 再 求 计 算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某 域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx
15极限的运算法则-PPT精选文档
讨论 若 P ( x ) a 0 x n a x l x 0 P i ( x ) m ? 提示 x l x 0 P ( x ) P ( i x 0 ) m
例 例2 2 求 x l 2 x 2 x 3 5 x i 1 3 m
山东农业大学
求极限举例
高等数学
主讲人： 苏本堂
例 例1 1 求 l ( 2 x i 1 ) m x 1 解 l( 2 i x 1 ) m l2 x i l m 1 i 2 l m x i 1 2 m 1 1 1 x 1 x 1x 1x 1
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
证明 设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|1}内 有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M
又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当 0|xx0|2时 有||/M
x l 3 1 1 i m l ( x 3 ) 6 i m
x 3
例 例4 4 求 x l 1 x 2 2 x 5 x i 3 4 m
解 解 x l 2 x 2 i x 3 5 x 1 m 3 l x l x 2 ( x 2 2 i ( x 3 i 5 x 1 ) m 3 ) m 2 2 2 3 1 1 3 7 3
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例 例3 3 求 x l 3 x x 2 3 9 i m
(其中 , 为无穷小)
于是 f ( x ) g ( x ) ( A ) ( B )
高等数学第一章第五节极限运算法则课件.ppt
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
极限运算法则【高等数学PPT课件】
3
( x 2)( x 1)
lim
x1
(
x
1)(
x2
x
1)
x2
lim
x 1
x2
x
1
1
定理7 （复合函数的极限运算法则）
设 lim uu0
f (u)
A,函数u ( x)当x
x0时的极限存在
0
且等于u0，即
lim
x x0
(
x)
u0
,
但在U
(
x0
)内(
x)
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
(3)
lim
f
(x)
A ,
其中B 0.
g(x) B
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
例1
求
lim
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
极限四则运算PPT教学课件
p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
lim l k l k n
a0nl a1nl1 al b0nk b1nk1 bk
a0 b0
不存在
练习：P88 1，2
P90 1，2
例3:求下列极限
1 23 n
lim n
n2
1/2
lim [ 4 7 3n 1 ]
n n(n 1) n(n 1)
n(n 1)
3/2
lim [ 1 1
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求下列函数的极限。
பைடு நூலகம்
1、lim x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
２、lim x1
x 11 x2
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan
2x
•
tan(
4
x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x
数列极限的四则运算：
如果
lim
a n
高等数学课件1-6极限的运算法则
n
1 2
1 4
2
...
2
1 2
n
)
2、 lim
( x h) x h
h 0
3、 lim (
x1
1 1 x
3 1 x
3
)
$1-6极限运算法则
21
4、 lim
1 x 3 2
3
x 8
x
x x x)
5、 lim (
x
x
x x
6、 lim
2 4
x1
lim
x 2x 3
2
x1
4x 1
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系,得
lim 4x 1 x 2x 3
2 x1
.
$1-6极限运算法则
7
例3 求 lim
x 1
2
x1
x 2x 3
2
.
（与P60例2同类）
.
解 x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
例5 求 lim 解x
2x 3x 5
3 2
x
7x 4x 1
3 2
.
（与P61例6同类）
.
时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大
3
(
型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限 .
lim
2x 3x 5
3 2
2 lim
x
3 x 4 x
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
类似有数列极限的四则运算法则（P59Th 6)
1 2
1 4
2
...
2
1 2
n
)
2、 lim
( x h) x h
h 0
3、 lim (
x1
1 1 x
3 1 x
3
)
$1-6极限运算法则
21
4、 lim
1 x 3 2
3
x 8
x
x x x)
5、 lim (
x
x
x x
6、 lim
2 4
x1
lim
x 2x 3
2
x1
4x 1
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系,得
lim 4x 1 x 2x 3
2 x1
.
$1-6极限运算法则
7
例3 求 lim
x 1
2
x1
x 2x 3
2
.
（与P60例2同类）
.
解 x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
例5 求 lim 解x
2x 3x 5
3 2
x
7x 4x 1
3 2
.
（与P61例6同类）
.
时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大
3
(
型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限 .
lim
2x 3x 5
3 2
2 lim
x
3 x 4 x
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
类似有数列极限的四则运算法则（P59Th 6)
高等数学的教学课件1-5极限的运算法则
x2 lim
x1 x 2 x 1
(消去零因子法)
1
例10 求 lim x[ x2 2x 3 ( x 1)] ( 0 型 ) x
解 x 时, 两个因子的极限分别是 0、.
通过分子有理化，先将极限式变成分式， 然后再求极限。
原式 lim x[( x2 2x 3)2 ( x 1)2 ] x [ x2 2x 3 ( x 1)]
lim
lim
x 1 x1
x1
( x 1)
lim( xn1 xn2 1) x1
(消去零因子法)
n (典型极限，当n是任何实数时均成立)
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型 未定式)
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
则有： lim x x0
f (x)
f ( x0 )
2.极限求法;
b.消去零因子法; c.无穷小因子分出法; d.利用无穷小运算性质; e.利用左右极限求分段函数极限.
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
二、求极限方法举例
一个结论：
如果f (x)是基本初等函数, x0为定义区间内点，
则：lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f (x) x x0
综合上述定理，就可以求一些简单的极限.
例1
求
lim
x2
x
2
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xx0
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
思考题
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
2.设 f(x)Q P ((x x)),且 Q (x0)0, 则有
(A B ) 0.
(2)成立 .
f (x) A A A B A B A 0 . g(x) B B B B(B )
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
例2 求 lx i1m x24x2x13.
解 li(m x22x3) 0, x 1
注意：商的法则不能用
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
二、求极限方法举例
例1 求lx i2m x2x33x15.
解 n时,是无穷小之先和变． 形再求极限.
12 n 1 2 n l n i ( n 2 m n 2 n 2 ) l n im n 2
1
n(n 1)
lim2 n
n2
lim1(11) n2 n
1 2
.
例6 求limsinx. x x
解 当x时,1为无穷 , 小
x
而sinx是有界函 . 数
x 0
x 0
左右极限存在且相等,
故 lim f(x)1. x 0
y
y1x
1
o
yx2 1 x
复合函数极限运算法则(P27)
定理
设函数y=f(u)及u=(x)构成复合函数y= f [(x)], 在x0某个去心邻域, 若
li m (x)a, lifm (u )A
x x0
u a
且(x) a, 则复合函数y= f [(x)]在 xx0时 的极限为
第二节 极限的运算法则
一、极限的运算法则 二、求极限的方法举例 三、小结 思考题
主讲：唐辉成
一、极限运算法则
定理 设limf (x) A,limg(x) B,则 (1) lim[f (x) g(x)] A B; (2) lim[f (x) g(x)] A B; (3) limf (x) A, 其中B 0. g(x) B
2 7
.
(无穷小因子分出法)
小结:当 a00,b00,m和 n为非负整数
lx im ab00xxmnab11xxm n11banm
0ab,00当 ,当 nnmm , , ,当nm,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例5 求 ln i (m n 1 2n 2 2n n 2).
limx1 1 . x1 x3 2
(消去零因子法)
例4 求 lx i m 2 7x x3 3 3 4x x2 2 1 5. 解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3去 用除分 ,分子 出,分 再 无母 求 穷 . 极 小限
35
lx i m 27xx33 34xx22 15lx i m 72 4xx xx133
解 li(m x23x5)lix m 2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23 lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2 232530,
lx im 2x2x33x15lilxmi(m2xx233lxxim 215)
23 1 3
7 3
.
x2
小结: 1 . 设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n , 则有
由无穷小与无穷大的关系,得
lx i1m x24x2 x13.
例3 求lx i1m x2x22x13. 解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0 是 型 )零
0
先约去不为因 零x子 的 1后无 再穷 求 .小 极
lx i1x m 2x 2 2 x 1 3lx i1((m x x 1 3 ))x x (( 1 1 ))
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f(x)g(x)有极限， f(x)有极限，
由极限运算法则可知：
证 lf ( i x ) A m , lg ( i x ) B m . f ( x ) A ,g ( x ) B .其 0 , 中 0 . 由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B ) 0.(1)成立.
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B ) (A )B ( ) AB
lifm [(x) ]lifm (u )A .
x x0
u a
计算复合函数的极限的方法：
如果要计算复合函数 limf[(x)]当xx。 xx0
时的极限，应先求 当xx。中间变量(x)
的极限，若 lim(x)a ,再求u→a时
f(u)的极限 limxxf0(u)，综上而得极限
limf[(x)u ]a
limsinx0. x x
y sin x x
例7 设 f(x ) x 1 2 x 1 ,, x x 0 0 ,求 lx i0fm (x ).
解 x0是函数的 ,两分 个段 单点 侧极
lif m (x ) li(1 m x ) 1,
x 0
x 0
lim f(x )li(m x 2 1 ) 1,
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
思考题
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
2.设 f(x)Q P ((x x)),且 Q (x0)0, 则有
(A B ) 0.
(2)成立 .
f (x) A A A B A B A 0 . g(x) B B B B(B )
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
例2 求 lx i1m x24x2x13.
解 li(m x22x3) 0, x 1
注意：商的法则不能用
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
二、求极限方法举例
例1 求lx i2m x2x33x15.
解 n时,是无穷小之先和变． 形再求极限.
12 n 1 2 n l n i ( n 2 m n 2 n 2 ) l n im n 2
1
n(n 1)
lim2 n
n2
lim1(11) n2 n
1 2
.
例6 求limsinx. x x
解 当x时,1为无穷 , 小
x
而sinx是有界函 . 数
x 0
x 0
左右极限存在且相等,
故 lim f(x)1. x 0
y
y1x
1
o
yx2 1 x
复合函数极限运算法则(P27)
定理
设函数y=f(u)及u=(x)构成复合函数y= f [(x)], 在x0某个去心邻域, 若
li m (x)a, lifm (u )A
x x0
u a
且(x) a, 则复合函数y= f [(x)]在 xx0时 的极限为
第二节 极限的运算法则
一、极限的运算法则 二、求极限的方法举例 三、小结 思考题
主讲：唐辉成
一、极限运算法则
定理 设limf (x) A,limg(x) B,则 (1) lim[f (x) g(x)] A B; (2) lim[f (x) g(x)] A B; (3) limf (x) A, 其中B 0. g(x) B
2 7
.
(无穷小因子分出法)
小结:当 a00,b00,m和 n为非负整数
lx im ab00xxmnab11xxm n11banm
0ab,00当 ,当 nnmm , , ,当nm,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例5 求 ln i (m n 1 2n 2 2n n 2).
limx1 1 . x1 x3 2
(消去零因子法)
例4 求 lx i m 2 7x x3 3 3 4x x2 2 1 5. 解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3去 用除分 ,分子 出,分 再 无母 求 穷 . 极 小限
35
lx i m 27xx33 34xx22 15lx i m 72 4xx xx133
解 li(m x23x5)lix m 2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23 lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2 232530,
lx im 2x2x33x15lilxmi(m2xx233lxxim 215)
23 1 3
7 3
.
x2
小结: 1 . 设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n , 则有
由无穷小与无穷大的关系,得
lx i1m x24x2 x13.
例3 求lx i1m x2x22x13. 解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0 是 型 )零
0
先约去不为因 零x子 的 1后无 再穷 求 .小 极
lx i1x m 2x 2 2 x 1 3lx i1((m x x 1 3 ))x x (( 1 1 ))
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f(x)g(x)有极限， f(x)有极限，
由极限运算法则可知：
证 lf ( i x ) A m , lg ( i x ) B m . f ( x ) A ,g ( x ) B .其 0 , 中 0 . 由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B ) 0.(1)成立.
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B ) (A )B ( ) AB
lifm [(x) ]lifm (u )A .
x x0
u a
计算复合函数的极限的方法：
如果要计算复合函数 limf[(x)]当xx。 xx0
时的极限，应先求 当xx。中间变量(x)
的极限，若 lim(x)a ,再求u→a时
f(u)的极限 limxxf0(u)，综上而得极限
limf[(x)u ]a
limsinx0. x x
y sin x x
例7 设 f(x ) x 1 2 x 1 ,, x x 0 0 ,求 lx i0fm (x ).
解 x0是函数的 ,两分 个段 单点 侧极
lif m (x ) li(1 m x ) 1,
x 0
x 0
lim f(x )li(m x 2 1 ) 1,