高中数学必修五 等比数列的前n项和
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【正解】 (1)当a=0时,Sn=1. (2)当a≠0时,1,a,a2,…an是等比数列,此时公比q= a,共有n+1项. ∴当a≠1时,Sn=1×11--aan+1=1-1-ana+1. 当a=1时,Sn=n+1. 又当a=0时,Sn=1-1-ana+1也成立.
n+1 a=1,
∴Sn=1-an+1 1-a
【解】 (1)由已知S6≠2S3,则q≠1. 又S3=72,S6=623,
∴aa111111- -- -qqqq36= =7262, 3,
① ②
②÷①得1+q3=9,∴q=2. 将q=2代入①,可得a1=12, ∴an=a1qn-1=2n-2.
(2)解法1:设首项为a1,∵q=2,S4=1,
∴a111--224=1,得a1=115.∴S8=a111--qq8=11511--228=17.
自
我 校
a11-qn 1-q
a1-anq 1-q
na1
对
名师讲解 1.前n项和公式及应用 (1)在等比数列中的五个量Sn,n,a1,q,an中,由前n项和 公式结合通项公式,知道三个量便可求其余的两个量,同时还 可利用前n项和公式解与之有关的实际问题. (2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 应用,同时要注意在使用等比数列前n项和公式时,务必考虑 公比q是否等于1,从而选择恰当的公式求解,特别是公比是字 母时,要讨论.
二 错位相减法求数列的和
【例2】
已知数列{an}的首项a1=
2 3
,an+1=
2an an+1
,n=
1,2,….
(1)证明:数列{a1n-1}是等比数列; (2)求数列{ann}的前n项和Sn.
【分析】 (1)可如下变形 an+1=a2n+an1⇔an1+1=12·a1n+12; (2)用错位相减法求数列的前n项和.
第二章 数列
§2.5 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程. 2.能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.
课前热身 等比数列前n项和公式 等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时,Sn= ____________=____________.当q=1时,Sn=__________.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一 基本运算
典例剖析
【例1】 (1)在等比数列{an}中,S3=72,S6=623,求an; (2)若q=2,S4=1,求S8. 【分析】 (1)本题已知等比数列的前3项和前6项的和,求 通项an,可利用等比数列前n项和公式,列方程组求解.(2)利 用前n项和求解.
解法2:设首项为a1,∵S4=a111--qq4=1,且q=2.
∴S8=
a11-q8 1-q
=
a11-q4 1-q
·(1+q4)=S4(1+q4)=1×(1+24)
=17.
规律技巧 在等比数列{an}的五个基本量a1,q,an,n,Sn 中,a1与q是最基本的元素,在条件与结论间的联系不明显时, 均可以列方程组求解.
【解】 用an表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意, 得an+1=45an,因此,数列{an}是首项a1=25,公比q=45的等比数 列.
热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn=a1+a2+…+an =a111--qqn=2511--4545n
=125×1-45n<125. 即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 规律技巧 在比较Sn与125的大小时,由于n未知,可能无 从下手,应考虑指数函数Hale Waihona Puke Baidu=45x,x>0,y<1而求解.
=1211--1221n-2nn+1=1-21n-2nn+1, ∴Tn=2-2n1-1-2nn. 又1+2+3+…+n=nn+ 2 1, ∴数列{ann}的前n项和 Sn=2-2+2nn+nn+ 2 1=n2+2n+4-n+2n2.
三 等比数列前n项和公式的应用 【例3】 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以 后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度 的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗? 【分析】 通过仔细审题,抓住“在以后每一分钟里,它 上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题 眼”,从而构造出等比数列模型——热气球在每分钟里上升的 高度组成一个等比数列,于是热气球上升的总高度便是该等比 数列的前n项和,利用公式即可.
【解】 (1)∵an+1=a2n+an1, ∴an1+1=an2+an1=12+12·a1n. ∴an1+1-1=12(a1n-1). 又a1=23,∴a11-1=12, ∴数列{a1n-1}是以12为首项,12为公比的等比数列.
(2)由(1)知a1n-1=12·2n1-1=21n, 即a1n=21n+1,∴ann=2nn+n. 设Tn=12+222+233+…+2nn,① 则12Tn=212+223+…+n-2n 1+2nn+1,② ①-②得 12Tn=12+212+…+21n-2nn+1
a≠1.
随堂训练
易错探究 求和Sn=1+a+a2+…+an. 【错解】 ∵1,a,a2,…,an成等比数列,且公比为q =a,∴Sn=1×1-1-a an=11--aan.
【错因分析】 由于字母a没有限制条件,则a∈R,所以 当a=0时,1,a,a2,…,an不是等比数列,当a≠0时,才是 等比数列.求和时,应分a=1和a≠1两种情况求和,其和共有n +1项,而不是n项.
(3)当q≠1时,Sn=
a111--qqn=
1-a1 q -
a1 1-q
qn=a-aqn(其中a
=
a1 1-q
).由此可知,若数列{an}的前n项和Sn=a(1-qn),且
a≠0,a≠1,则数列{an}是等比数列.
2.错位相减法 (1)课本上推导等比数列前n项和的方法,即错位相减法, 解决的主要求和问题是:由等差数列与等比数列的对应项乘积 构成的新数列求和问题,解此类问题仍需注意公比q是否为1. (2)有些数列求和可先用分组、拆项等方法,转化成每组均 可用公式或错位相减法求和的形式求解.