高一数学【换底公式与自然对数】课堂学案
换底公式、对数恒等式--参考教案
,则 ，两边取以c为底的对数，
得 ，
于是， ，
于是，我们有对数的换底公式：
.
特别地，
；
.
）
2.对数恒等式
设 =N(a>0且a 1)…………①,
由对数定义得， ………… ,
把 代入①，得
(a>0且a 1)
这个式子叫对数恒等式.
以下等式亦恒成立：
；
；
．
三、例题讲解
例1 求 的值
例2 求证： （ 均为正实数，且均不等于1）.
证明：
例3 求下列各式的值：
解
.
例4已知 ，且 ，求 的值？
解已知 ，有
，
又 ，
即 ， ， ，
故 .
四、课堂练习
1.求下列各式的值.
; .
2.证明： .
3.已知 ,求 的值.
4.求下列各式的值.
五、课堂小结
1.对数换底公式：
2.对数恒等式： (a>0且a 1)
；
；
．
六、作业布置：
1.教材配套练习
2.预习
第七单元4.3《对数》教案
授课题目
换底公式、对数恒等式
授课课时
1
课型
讲授
教学
目标
知识与技能：
1.准确地进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.
2.通过实际问题的解决，培养学与方法：
1.让学生经历并推理出换底公式、对数恒等式.
2.让学生在应用中巩固并深化对知识理解与掌握.
情感态度与价值观：让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.
教学
重难点
教学重点：换底公式、对数恒等式的应用.
高一数学高效课堂资料学案二十四：3.2.1换底公式与自然对数
与哪个对数相等？那么且且一般地，如果bN N b b a a a a log log ,0,1,0,1,0>≠>≠>b n m b a b a m a b a n log log )2(log 1log 1==）（2log 13高一数学高效课堂资料学案二十四：3．2.1 换底公式与自然对数（第三课时）【课标要求】知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数【学习目标】1.能记住换底公式,并会证明换底公式2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题(重点)3.能综合利用对数的相关知识解决问题(难点)【学习过程】复习提问：1.对数的恒等式是什么？2.对数的运算法则是什么？[课堂探究]思考1.对数换底公式：____________log =N b推论：思考2. 如何证明上述两个公式？思考3. 自然对数的定义是什么？【思维辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)计算:(log 23)·(log 278)=1. ( )(2)若lnx=2,则x=e 2. ( )(3)log 23= ()2 211=+b a ________2,38log ,32.7_________)2017(,4)20171(,2log log )(.6432=+====++=y x y f f x b x a x f x 则已知则且已知函数【自主检测】1.若lg5=a,lg7=b,用a,b 表示log 75=_____________2.计算：(log 54)·(log 1625)=_____________3.__________,2log 6log log 63315==∙∙x x 则若4.lg5转化为自然对数为__________.5.化简log 47·log 74=__________. 例1.的值求32log 9log 278∙练习：的值求25log 20lg 100+例2.z z y x y x log log log =∙求证：练习:.9log ,,73,5log 359的式子表示试用含已知n m m n==例3.b b a na n log log =求证：练习：)8log 4log 2)(log 5log 25log 125log 125255842++++计算下列式子：（【巩固提高】1.计算:log 29·log 38= ___________2.已知log 147=a,log 145=b,则用a,b 表示log 3528=__________.3.计算:log 225·log 34·log 59=_____________4.已知log 189=a,18b=5,求log 3645=_____________5.已知3a =4b =c,且 则实数c=____________.。
高中数学换底公式教案
高中数学换底公式教案
目标：通过学习，学生能掌握换底公式的概念和应用。
教学重点：换底公式的概念和具体计算方法。
教学难点：掌握换底公式的应用技巧。
教学准备：
1. 教师准备板书、教学PPT、示例题目等教学材料；
2. 学生准备纸笔，跟随教师进行课堂练习。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入换底公式的实际问题，激发学生学习的兴趣。
二、讲解概念（10分钟）
1. 教师介绍换底公式的定义和基本概念；
2. 教师通过实例讲解换底公式的具体应用。
三、示范操作（15分钟）
1. 教师通过一些简单的例题引导学生如何使用换底公式进行计算；
2. 学生跟随教师的示范操作进行练习。
四、讲解技巧（10分钟）
1. 教师总结使用换底公式的一些技巧和注意事项；
2. 学生可以提问和讨论相关问题。
五、练习巩固（10分钟）
1. 学生在纸上完成一些练习题，加深对换底公式的理解和掌握；
2. 教师巡视指导，及时给予反馈。
六、课堂总结（5分钟）
教师总结本节课的内容，强调换底公式的重要性和实用性。
七、作业布置
布置相应的作业，要求学生独立完成，巩固所学知识。
教学反思：
在教学过程中，应该结合具体例题，引导学生理解和掌握换底公式的计算方法，让学生能够熟练运用换底公式解决实际问题。
同时，要鼓励学生在课后多加练习，提高对换底公式的运用能力。
换底公式和自然对数教学案
高一数学教学案 材料编号:换底公式与自然对数班级: 姓名： 学号： 设计人：张彩红审查人: 田桂香 使用时间：一．学习目标：1.理解换底公式的内容，了解自然对数的概念。
2.会利用换底公式解决有关问题。
二.学习重点与难点：重点：换底公式难点：利用换底公式求值、化简。
三．课前自学：(一)基础知识梳理学点一：换底公式证明：学点二：自然对数：（二）典型例题解析：例1．求827log 9log 32 的值例2、求证：（1）log log log xy x y z z ⋅= （2）log log n n a a b b =例3、已知lnx=2+ln2x，则x=_____例4、设3436x y==，求21x y +的值（三）自学检测：见课本练习A 、1、2、3、4、5题。
四．课堂导学：（一）复习检测：1、计算：()()25548248525125log 125log log log 2log log ++++2、已知23log (3)1x x x ++=，求实数x 的值.(二)重难点突破：换底公式的意义是如何把一个对数式的底数换成另外一个数（大于0且不等于1），这在对数式的恒等变形和计算求值中有重要的作用。
（三）当堂检测：1、下列各式：（1）ln6=ln2+ln3;(2)ln(lne)=0;(3)若lnx=ln10,则x=10;若e=lnx,则x=ee 。
其中正确的命题个数是（ ）A ．1个B 2个C 3个D 4个2、计算：57257log log 9log 1log log 3+⋅3、若a,b,c 是均不为零的实数,且633236a b c ==,求证123a b c+=.（四）课堂小结：1、换底公式的内容。
2、应用换底公式进行求值、化简、证明。
3、自然对数的定义。
（五）跟踪训练：1.若log a b ·log 3a =5,则b 等于（ ）A.a 3B.a 5C.35D.532．3log 9log 28的值是（ ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．2 3．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是 （ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于 （ ） A ．b a b a +++12 B ．b a b a +++12 C ．b a b a +-+12 D ．ba b a +-+12 5、(log 43+log 83)(log 32+log 92)－log 42132=__________.6、求log 2.56.25+lg1001+ln e +3log 122+的值.。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4第2课时对数的运算性质及换底公式学案(含解析)北师大版必修1
第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。
最新高教版数学教案——换底公式与自然对数
换底公式与自然对数教学目标：1.理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，并能应用公式进行恒等变形，提高解题能力.2.通过一题多解，培养学生的发散思维.3.通过多思、多解、多变的引导，培养学生的综合能力，全面提高学生的素质.教学重点：1.换底公式的证明.2.应用公式的能力.教学难点：证明思路的发现.教学方法：启发式讲授法.教学过程：一、新课引入在对数式的计算与含对数式的证明过程中，常需要把不同的对数化为同底的对数，所以我们现在引进对数的换底公式，即＝(、、均为正数，≠1，≠1).二、讲授新课为了加深对换底公式的记忆与理解，下面我们用多种方法加以证明：证明一：利用指数式与对数式互化(通过一题多解，达到灵活，综合应用的目的，同时，也可打开学生的证明思路).令，＝，则＝，两边数以(＞0，且≠1)为底的对数，得＝ .∵ ≠1，∴ ≠0. ∴ ＝，即＝.证明二：利用对数恒等式令＝，则＝，由对数恒等式，得＝(＞0，≠1).∴ ＝()＝.∵ ≠1，∴ ≠0.化为对数式，得＝·＝，即＝.证明三：利用对数恒等式由对数恒等式知＝(＞0，且≠1).两边同时取以为底的对数，得＝＝·，∵ ≠1，∴ ≠0.∴ ＝.证明四：利用对数恒等式的换元法.由对数恒等式知：＝，＝，＝(＞0，且≠1，＞0，且≠1).∵ ＝＝()＝，∴ ＝·.∴ ＝.证明五：设＝，∴ ＝·＝.∴ ＝，＝，即＝.证明六：令＝＝，＝＝，∴ ()＝＝.∴ ＝·＝·，即＝.注学生还可运用更多的方法证明，这个公式也可根据情况，略讲证明一、二.在科学技术中，常使用以＝2.718 28…为底的对数，以为底的对数叫做自然数，通常记作，根据换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：≈2.30 26.练习：利用换底公式证明(这组题均可视为换底公式的推广)：(1)＝；(2).证明：(1)(变形·＝1)；(2).熟悉这些由换底公式变形得来的公式，在求对数值，进行对数的恒等变换、解对数方程时，可简化计算过程.例1 求的值.解法一：＝解法二：例2 已知，求.(可以先分析证明思路，后让学生以课外作业的形式完成它.)解法一：(分析，观察已知条件，对数与幂的底均为18，因此联想换底公式，把换成以18为底的对数，沟通条件与结论的联系.)∵ ＝5，∴ .∴ .解法二：(分析，比较题中所求各式中的底数，真数、指数值分别为18、9、5、36、45将它们分解质因数得2、3、5，进而有4、6、9、10、12、15、18等为因数，因此在换底时，可以分别选择它们做对数的底数.)统一换成以2为底，.由＝5.∴ ，代入值，得＝.可以因底的不同选择而有多种不同解法.解法三：(分析：两已知条件中一个为对数形式，一个为指数形式，将其统一为对数形式，应用对数的运算法则进行计算.)＝5∴ ，∴ ＋＝＋,即＝＋或＝＋,(＋)·＝＋,(2－)·＝＋.∴ ＝.解法四：统一为指数式∵ ＝＝9 已知＝5，∴ 45＝·＝.两边取36为底的对数，∴ .＝.以上各种解法，可根据实际情况选用，讲思路后，让学生以课外作业的形式完成.三、小结1.对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具.2.利用对数换底公式，可以把一个对数换成以1之外的任何正数为底数的对数.3.在使用公式时应注意公式成立的条件：＞0，≠1，＞0，≠1，＞0.四、作业第120页练习第3，4，5题，练习第1，4题.。
人教版高一数学必修1第二章《对数与对数运算》学案第二课时换底公式及对数的应用
§2.2.1对数与对数运算3（换底公式及对数的应用）班级：高一（ ） 姓名： 学号：学习目标：1、理解并掌握对数的换底公式2、运用对数运算性及公式质解决有关问题学习重点、难点：对数的换底公式，对数运算性质及公式的灵活应用自主预习：一、知识梳理：问题引入：数学史上，人们通过大量努力，制作了常用对数表、自然对数表，只要通过查表就可求出任意正数的常用对数或自然对数。
那么有没有方法把其他底的对数转换为以10或e 为底的对数呢？对数的底数能否随意转换?探究：设M b a =log （0>a 且 1≠a ,b>0）由对数的意义有，b a M =，显然M a ＞0，两边取常用对数得：_______________∵ 0>a ，∴M b a lg lg =•，又1≠a ,∴0lg ≠a ，∴M a b lg lg = ，即 【总结】更一般地，可得对数的换底公式：【归纳提升】1. 注意换底公式的结构特点：右边分子、分母所换的底必须是同一底，且为真数的对数除以底数的对数。
2. 当b ≠1且b ＞0时，存在倒数关系：二、自我检测1、计算下列各式的值 (1) log 98 log 3227 ; (2) 235111log log log 125323••三、学点探究探究1：对于底不同的对数的运算例1、 计算（1）32log 9log 38⨯ （2）a c c a log log •（3）)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+变式训练一：应用对数换底公式化简下列各式1、（1）16log 25log 9log 125274••（2）)3log 3)(log 2log 2(log 8493++方法小结1：利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想，在解题过程中应注意：1、针对具体问题，选择恰当的底数；2、注意换底公式与对数运算法则结合使用3、换底公式的正用与逆用探究2、对数换底公式的应用例2、已知518,9log 18==b a ，用a 、b 来表示45log 36变式训练二：1、30log ,53,2log 33表示、用b a a b ==2.已知32=x ，y =38log 4，则x+2y= .3.设p =3log 8，q =5log 3，则lg5= （用含p 、q 的式子表示） 课后作业：1、应用对数换底公式化简下列各式(1) 84log 27log 9； (2) log 225 log 34 log 59 ;2、 若0>a 且 1≠a ，x ，y ∈R 且xy ＞0则下列各式正确的是 ： ① x x a a log 2log 2= ； ②||log 2log 2x x a a =； ③y x xy a a a log log )(log +=； ④||log ||log )(log y x xy a a a +=3、已知lg2=a,lg3=b ，用a,b 表示代数式log 2716=4、已知 lgN=alnN ; lnN=b lgN, 则a= , b=5、已知514,7log 14==b a ，求28log 356、设3a =4b =36，求21a b +的值7、已知m a =8log ,n a =5log ,请求n m a 2+的值.课后反思：。
高中数学《换底公式》公开课教案
换底公式（教师注意：这节课对于对数换底公式的推导过程，只要求了解，而不要求熟练，所以在换底公式的推导过程上老师不要做过多的纠缠.但是虽然是了解内容，但不能不讲，要让学生知道，数学公式都是通过严格的推理证明而得到的，不是想当然而来的，也不是谁规定的，都是有根据的，这一点是学习数学、认知数学的根本，万不可抛弃.这节课的重点是对于换底公式的运用，教学目标2说的很明确：熟记换地公式，能熟练的运用换底公式解决相关问题.所以，老师要把教学目标2当做重点）一、【学习目标】（自学引导：同学们要理解换底公式，知道它的推理过程，通过这节课的学习，要能熟练的应用换底公式）1、了解对数换底公式的推导过程；2、熟记换底公式，能熟练的运用换底公式来解决一些简单的化简、计算问题；（教师注意：一定要点出这一节课的重点是熟练的应用换底公式，对于证明过程，我们只是要求了解，但若是学生能证明出来，当然是很好的.）【教学效果】：教学目标的出示有利于学生明白学习任务.二、【自学内容和要求及自学过程】（教师注意：材料一和材料二事实上是让学生们课下完成的，不能占用课堂时间.当然由于高一教学任务紧张，出现的情况可能是很多同学都完成不了，这是正常现象.可以肯定的是，有百分之二十的同学能完成，我们要的不正是着百分之二十的效果吗？老师不是万能的，学生不可能完全按照你的意志来完成学案、练习、作业，但是部分学生完成即达到了我们培优的目标.对于每一个同学的要求，我们不可能一样.这也是一个分层的理念.）（自学引导：同学们，你能根据材料，总结归纳出证明换底公式的过程么？试试看！）（教师注意：讲课时不能本末倒置，要有重点）阅读材料，然后回答下列问题（自我印象：这一部分我给了学生10分钟的时间，让学生看推导过程，看材料一和材料二，结果令人十分满意，百分之八十的学生都能理解，并且都能动手做出来.）材料一：已知4771.03lg 3010.02lg ，，你能求出3log 2吗？下面我们给出求解过程，请你自我检测一下，自己是否能理解这个求解过程.因为4771.03lg 3010.02lg ，，根据对数的定义，我们立马可以得到下面结论：3102104771.03010.0，.不妨设x 3log 2，则32x，所以有4771.03010.010310x）（，即4771.03010.0x ，所以我们可以得到下面的结论5851.13010.04771.02lg 3lg 3log 2x材料二：根据材料一，如果a>0，a ≠1，你能用含a 的式子表示3log 2吗？其实根据材料一，最后的结果是3log 2用3lg 2lg 、表示，是通过对数的定义转化的，这就给了我们启发，本来是以2为底的对数，转换成了以10为底的对数，那么我们不妨设x 3log 2，由定义知32x，两边同取以a 为底的对数，得，3log 2log a a x ，那么我们可以得到：2log 3log 3log 2a a x<1>请同学们根据材料一材料二的叙述，来试着证明一下a b bc c a log log log ；（其中a>0，a ≠1,c>0,c ≠1,b>0）<2>我们把<1>叫做换底公式，请你用自己的语言来概括出换底公式的含义.结论：<1>略；<2>一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商；小知识：换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底的问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值.两个重要公式：<1>b m n ba na mlog )(log <2>1log log ab b a 【教学效果】：效果比较理想，学生都能完成学习目标.（自我印象：这一部分我重点讲解了一下.可以说这一节课的主要内容就是三个公式，一个是换底公式，一个就是我所说的两个重要公式，讲解完以后通过学生的表情，可以看出学生是彻底的理解了，作为老师，我也感觉松了一口气.但是确实还存在问题，那就是学生跟着老师的思路完成了学习，一旦离开老师的思路呢？那又该怎么办呢？这是老师值得注意的，那就是课后要督促学生完成学习任务，完成练习了.）三、【练习与巩固】根据今天所学的知识，完成下列练习（教师注意：我们之所以把例5和例6放到课下让学生自己动手去做，主要是因为例5、例6此类题目在高考中出现的几率很小，另一方面的原因是我们可以有更多的时间来学习换底公式，换底公式在化简、计算中有很重要的作用，而且换底公式还是一个难点，要花费我们很长时间和很大的精力的.）练习一：32log 9log 278的值练习二：教材第68页练习 4课下活动：请大家自学教材第66页例5、例6，想一想，我们所学习的知识，主要是用于做什么的？对，运用于实际生活中.这样的话就需要我们具体问题具体分析，如果例5、例6让我们自己来做，你能通过思考，做出来吗？以后再碰到类似的题目，我们该怎么做？【教学效果】：特好.这是我对这节课的评价.讲完练习题，感觉自己松了一口气，学生都能跟着老师的思路走，并且能一口的说出答案.四、【作业】必做题：教材第74页习题 2.2A 组第4题<3>,第11题； 2、选做题：教材第74页习题 2.2A 组第9题.五、【小结】这节课我们主要是学习了换底公式，换底公式是我们高中数学必须掌握的一个内容，是非常重要的.这一节课主要是让学生们通过自学，在自学中归纳出换底公式，这样对学生的记忆理解更有效，不容易忘却.并且老师要注意的是，换底公式的证明过程是不要求掌握的，我们只要求换底公式的应用.但是不要求掌握并不等于可以不讲，一定要讲，这样学生才会有深刻的印象，才能对换底公式有深刻的理解.这一节课的重点是应用，要达到熟练地应用换底公式这一目标.【反思】今天早上我是正在改作业的时候英语老师也就是班主任找我换课的，准备的不是很充分.因为我一般备课是备六遍的，这一节课只有五遍（课前默诵），所以还是有一点点的担心自己讲不好的，但是讲完之后，感觉真是特棒，效果好的有点儿感动.在这几年的教学中，我也参加了一些老师的听课活动.我觉得，一个老师讲课的要素是要重点突出.有些老师的讲课令我哭笑不得，因为我听了半天实在是不知道他在讲什么，作为教师我都不知道他在讲什么，你能要求学生能听的懂吗？这类老师简直是误人子弟.看到这类老师，我自己就觉得义愤填膺.当然，若是这个老师刚毕业一年或者两年，还有情可原，要是毕业几年了，有教学经验了，还这样，那真是令人发指了.我见过一个老教师，听完课之后简直为我们数学教师感到汗颜.这个老师讲课向量符号竟然不带箭头，讲了一节的课我们十几个数学老师不知道他要讲什么，只知道他向量符号不带箭头，向量的点积中间不加点，还美名其曰这都是小事儿，自己不屑写，也就是自己讲课方式和别人不一样.真不知道那个高三复习班的学生是怎么忍受过来的.说了这么多没有诋毁任何一个老师的意思，只是说，这种对教学不负责、对孩子不负责的老师，还能存在于讲台这么久，实在是教育的悲哀.一个老师讲课没有重点，经常的随意“发散思维”，好像自己很渊博，事实上脱离了课堂，这样的老师，我们不该反思吗？我听得最经典的一节课是一个老师讲了一节课，设计的练习题竟然不是这节课主讲的内容，而是复习的内容.实在是令人费解，我只能是无语了.我自己讲课中也存在问题，但是问题一出来我都能很认真的听别人的意见，都能很认真的改正.所以说，有错误不怕，怕的是有错误不改正.这节课主要考察的是学生的运算和推理化简能力，通过这节课，让学生锻炼了计算和推理能力.。
高一数学北师大版必修1教学教案第三章4-2换底公式(4)
《换底公式》教学设计一．教学内容：北师大版数学必修一第三章指数函数与对数函数第4节《换底公式》。
二．三维目标：1、知识与技能（1）理解对数的换地公式思想—两边同时取相同的对数运算（2）进一步掌握对数的运算性质,能灵活运用换底公式化简计算（3）拓展学生思维空间，培养学生的计算能力，交流合作能力，语言表达能力，培养学生探究问题，解决问题的兴趣和能力2、过程与方法.利用多媒体教学，采取学生合作讨论的方法，3、情感态度与价值观通过本章节的学习，使学生明白可以多角度思考问题，未知问题要用已有知识来解决，树立正确的人生价值观，不怕困难，勇于挑战的精神。
三、学生分析学生基础不错，大部分学生学习自觉性很强理解力很强，极少数学生学习吃力，不得方法，通过互助式学习得到帮助，缩小学生学习差距，共同进步。
四、教材分析1.本节的作用和地位本节内容是进一步学习对数运算，通常情况下，计算对数需要使用计算工具，而一般的科学计算器只能对常用对数和自然对数进行计算，因此需要对数换底公式。
2．本节主要内容、换底公式的证明以及应用3.教学重点难点：教学重点：对数的换底公式，教学难点：对数换底公式的证明及公式的合理运用4.课时要求：1课时五、教学理念通过学生自主探究，合作交流，让部分技术水平高的同学带动学习吃力的同学，让学生在参与中学到新的知识，培养相互帮扶的能；通过探究发现新问题，再用已有知识解决问题六、教学策略在教学中，尽量采用合作探究式，提问式，案例分析，例题讲解，练习等手段七、教学手段多媒体教学八、教学过程（一）复习回顾：对数的三条运算性质：如果则,0,0,1,0>>≠>NMaa(1))(log log log MN N M a a a =+ (2)NM N M a a a log log log =- (3))(log log R n M n M a n a ∈=（二）新知探究1. 请同学们用计算器计算下列对数思考1： 如何计算15l 2og =？探究1：设15215log 2=⇒=x x两边取以10为底的对数得探究2: 两边取以e 为底的对数得思考2： 成立吗？且)10(2log 15log 15log 2≠>=a a a a 猜一猜：这就是对数换底公式，下面我们给出证明。
高一数学必修一教学设计 3.2.1 第2课时对数的运算及换底公式
第2课时 对数的运算及换底公式明目标、知重点 1.加深对数的概念.2.理解对数运算性质的推导过程，掌握对数的运算性质、换底公式.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．[情境导学]我们已经知道，实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算，集合有交、并、补运算，指数也有三种运算，那么，对数有怎样的运算？ 探究点一 对数运算性质 思考1 指数的运算法则有哪些？ 答 a m·a n＝am ＋n；a m ÷a n ＝am －n；(a m )n ＝a mn；ma n＝nma .思考2 指数式与对数式的互化公式是怎样的？ 答 指数式与对数式的互化公式为：a b ＝N ⇔log a N ＝b .思考3 根据对数的定义及对数与指数的关系，你能解答下列问题吗？ (1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a m ＋n ；(2)设log a M ＝m ，log a N ＝n ，试利用m 、n 表示log a (MN )． 解 (1)由log a 2＝m ，得a m ＝2，由log a 3＝n ，得a n ＝3， 所以a m ＋n ＝a m ·a n ＝2×3＝6.(2)由log a M ＝m ，得a m ＝M ，由log a N ＝n ，得a n ＝N .所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝M ×N ，把指数式化为对数式得： log a (M ·N )＝m ＋n .小结 在思考3中的第(2)题中，我们得到log a (M ·N )＝m ＋n ，又由log a M ＝m ，log a N ＝n ，进行m ，n 的代换后就得到对数的一条运算性质，即log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . 思考4 同样地，由a m ÷a n ＝a m－n和(a m )n ＝a mn ，也得到对数运算的其他性质：log a MN＝log a M－log a N ；log a M n ＝n log a M (a >0，且a ≠1，M >0，N >0，n ∈R )．你能不能推导出呢？答 令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N＝a m ÷a n ＝a m －n ，∴m －n ＝log a MN .又由M ＝a m ，N ＝a n ，∴m ＝log a M ，n ＝log a N ，即：log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN；当n ≠0时，令log a M ＝p ，由对数定义可以得M ＝a p ， ∴M n ＝(a p )n ＝a np ，∴log a M n ＝np ，将log a M ＝p 代入， 即证得log a M n ＝n log a M .当n ＝0时，显然成立．∴log a M n ＝n log a M .小结 上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”，“正数的n 次方的对数＝正数的对数的n 倍”．有时逆用运算性质，如lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 例1 求下列各式的值： (1)log 2(23×45)；(2)log 5125. 解 (1)log 2(23×45)＝log 223＋log 245 ＝3＋5log 24＝3＋5×2＝13. (2)log 5125＝log 553＝3log 55＝3.反思与感悟 这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N . 跟踪训练1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a x 2y 3z.解 (1)log a xyz ＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .探究点二 换底公式思考1 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可得到什么结论？答 把3x ＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论．思考2 怎样用常用对数表示log 35?答 设t ＝log 35，则3t ＝5.两边取常用对数，得lg 3t ＝lg 5，即t lg 3＝lg 5，所以t ＝lg 5lg 3，故log 35＝lg 5lg 3.小结 一般地，log a N ＝log c Nlog c a ，其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1.这个公式称为对数换底公式，用语言可表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示． 例2 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.解 ∵log 23＝a ，则1a ＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.反思与感悟 在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．跟踪训练2 求log 89×log 332的值．解 log 89×log 332＝lg 9lg 8×lg 32lg 3＝2lg 33lg 2×5lg 2lg 3＝103.例3 2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．解 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x ＝89 442×4，即1.078x ＝4，故x ＝log 1.0784＝lg 4lg 1.078≈18.5.答 约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标． 反思与感悟 利用换底公式可推导出下面的结论：(1)log a m b n ＝nm log a b ；(2)log a b ＝1log b a(或log a b ·log b a ＝1)．跟踪训练3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x .依题意，得13＝0.75x ，即x ＝lg 13lg 0.75＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4. ∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②(log a x )n ＝n log a x ； ③log a x n ＝log a n x ；④log a x log a y ＝log a x －log a y . 答案 ③解析 因为log a x n ＝1nlog a x ＝log a x1n＝log a nx ，故③成立．2．已知x ，y 为正实数，则下列各式成立的是________． ①2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y ；②2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg y ；③2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y ；④2lg(xy )＝2lg x ·2lg y . 答案 ④解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y ＝2lg(xy )．故④成立．3．log 327＋lg 25＋lg 4＋＋(－9.8)0＝________.答案 132解析 原式＝12log 333＋lg (25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132.4．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 答案 54解析 原式＝(log 23log 24＋log 23log 28)(1log 23＋1log 232)＝56log 23·32log 23＝54. 5．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求xy 的值．解∴x －2y ＝0，∴xy ＝2.[呈重点、现规律]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简． 2．运用对数的运算性质应注意(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).一、基础过关7log 271．计算：log 916·log 881的值为________．答案 83解析 log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________.答案 125解析 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.3．若lg x －lg y ＝a ，则lg (x 2)3－lg (y2)3＝________.答案 3a解析 lg(x 2)3－lg(y 2)3＝3(lg x 2－lg y2)＝3[(lg x －lg 2)－(lg y －lg 2)] ＝3(lg x －lg y )＝3a .4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A ＝________.答案15解析 ∵3a ＝5b ＝A >0，∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.5．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案 1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.6．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么A 地地震的能量是B 地地震能量的________倍． 答案 1010解析 由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝1032R ＋11.4.设A 地和B 地地震能量分别为E 1，E 2，则3911.432123811.422101010E E ⨯+⨯+===即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍． 7．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解 (1)方法一 原式()315222214(lg 2lg 7)lg 2lg 7523+⨯＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 二、能力提升8.已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3用a ，b 可表示为________． 答案 3ab ＋解析 ∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝2lg 33lg 2＝a ，∴23log 2 3＝a ，∴log 23＝32a . lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3ab ＋.9．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________.答案 4解析 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝x －2y2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0， 所以x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0且x －2y >0， 所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y＝4.10．设a 表示13－5的小数部分，则log 2a (2a ＋1)的值是________．答案 －1解析 13－5＝3＋54，可得a ＝3＋54－1＝5－14.则log 2a (2a ＋1)＝log 5－125＋12＝log 5－1225－1＝－1.11.若a ，b ，c ∈N *，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求log 2(1＋b ＋c a )＋log 2(1＋a －cb )的值；(2)若log 4(1＋b ＋c a )＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值．解 (1)∵a 2＋b 2＝c 2， ∴log 2(1＋b ＋c a )＋log 2(1＋a －cb )＝log 2[(1＋b ＋c a )(1＋a －cb )]＝log 2a ＋b ＋ca ＋b －cab＝log 2a 2＋b 2－c 2＋2ab ab ＝log 22ab ab ＝1.(2)∵log 4(1＋b ＋ca)＝1，∴a ＋b ＋c a＝4，即3a －b －c ＝0，①∵log 8(a ＋b －c )＝23，∴a ＋b －c ＝4② ∵a 2＋b 2＝c 2③ 且a ，b ，c ∈N *，∴由①②③解得a ＝6，b ＝8，c ＝10.12.若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg alg b )＝(lg a ＋lg b )·b2＋a 2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·a ＋lgb 2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12. 三、探究与拓展13.已知f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)＝－2，方程f (x )＝2x 至多有一个实根，求实数a ，b 的值．解 由f (－1)＝－2得，1－(lg a ＋2)＋lg b ＝－2，∴lg b a ＝－1＝lg 110，∴b a ＝110，即a ＝10b . 又∵方程f (x )＝2x 至多有一个实根，即方程x 2＋(lg a )x ＋lg b ＝0至多有一个实根， ∴(lg a )2－4lg b ≤0，即(lg 10b )2－4lg b ≤0， ∴(1－lg b )2≤0，∴lg b ＝1，b ＝10，从而a ＝100， 故实数a ，b 的值分别为100,10.。
北师大版高中数学必修一第3章 4.2 《换底公式》学案
4.2 换底公式一、学习目标1.掌握对数的换底公式及其变形公式2.能正确地利用对数的运算性质及其相关公式进行对数运算.二、重、难点分析1.对数的换底公式2.对数换底公式的变形公式三、学习过程(一)自主预习复习回顾对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)=log a M+log a N；即积的对数等于对数的和.推广： log a(N1N2...N k)=log a N1+log a N2+....+log a N k(k∈N*)；②log a MN=log a M-log a N；即商的对数等于对数的差.③log a M n=nlog a M(n∈R).即指数幂的对数等于底数的对数的指数倍.(二)合作探究1.换底公式及其变形公式首先规定，下列对数式中的字母都使对数式有意义：对数换底公式：log loglogaNaMMN由对数的换底公式可得：①log N M ·log M N=1； ②log log m n N N n M M m =； ③log log log log log a b N a b M M M N N ==； 由③可得：④log a M ·log b N=log a N ·log b M ； ⑤log log log log a a b b M N M N= 由④可得：log log log log a a M N b b NM =，由此可得： ⑥log log a a M N NM =2.对数式的化简和求值(1)对于同底的对数式的化简的常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对于常用对数式的化简要充分利用“lg5+lg2=1”来解题.(3)对于含多重对数符号对数式的化简，应从内向外逐层化简求值.(4)注意性质：log a 1=0，log a a=1，log a N aN =(a ＞0，a ≠1，N ＞0).四、同步练习1.已知：lg2=a ，lg3=b ，试用a ，b 表示下列各式的值：(1)lg6； (2)lg 29； (3)log 92．解析：(1)(2)(3)利用对数的换底公式及其运算性质即可得出． 答案：(1)∵lg2=a ，lg3=b ，∴lg6=lg2+lg3=a+b ；(2)lg29=lg2-2lg3=a-2b；(3)log92=lg22lg32ab=．2.利用对数的换底公式化简下列各式：(1)log a c·log c a；(2)log23·log34·log45·log52；(3)(log43+log83)(log32+log92).解析：根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可. 答案：(1)logac·logca=lgclga·lgalgc=1；(2)log23·log34·log45·log52=lg3lg4lg5lg2lg2lg3lg4lg5⋅⋅⋅=1；(3)(log43+log83)(log32+log92)=lg3lg3lg2lg2 lg4lg8lg3lg9⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭+=lg3lg3lg2lg2 2lg23lg2lg32lg3⎛⎫⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎝+⎪⎭=5lg33lg2 6lg22lg3⋅=54.五、自我测评1.利用换底公式求log225·log34·log59的值．解析：利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．答案：原式=log252·log322·log532=2log25·2log32·2log53=8log25·log32·log53=lg5lg2lg3 8lg2lg3lg5⨯⨯⨯=8．2.利用对数换底公式化简：(log43+log83)(log32+log92). 解析：直接利用对数的换底公式化简求值．答案：(log43+log83)(log32+log92)=lg3lg3lg2lg2·lg4lg8lg3lg9++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=lg3lg3lg2lg2 2lg23lg2lg32lg3+⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=3lg32lg32lg2lg2 6lg22lg3++⋅=5lg33lg256lg22lg34⋅=．六、小结1.对数的换底公式2.对数换底公式的变形公式。
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第3课时换底公式与自然对数课堂导学案
3.2.1 对数及其运算第3课时换底公式与自然对数课堂导学三点剖析一、利用换底公式进行求值【例1】计算:(1)log 1627log 8132;(2)(log 32+log 92)(log 43+log 83).思路分析：在两个式子中,底数、真数都不相同,因而要用换底公式进行换底便于计算求值. 解：(1)log 1627log 8132=81lg 32lg 16lg 27lg ⨯ =45433lg 2lg 2lg 3lg ⨯=3lg 42lg 52413lg 3⨯g =1615. (2)方法一:(log 32+log 92)(log 43+log 83)=(log 32+9log 2log 33)(8log 3log 4log 3log 2222+) =(log 32+21log 32)(21log 23+31log 23) =23log 32×65log 23=45×2lg 3lg 3lg 2lg ⨯=45. 方法二:原式=()8lg 3lg 4lg 3lg )(9lg 2lg 3lg 2lg (++=)2lg 33lg 2lg 23lg )(3lg 2lg 23lg 2lg (+⨯+=23×3lg 2lg ×65× 2lg 3lg =45. 二、条件求值【例2】已知log 1227=a,求log 616的值.思路分析：此题用换底公式,将log 616换成以12为底的对数,而已知a=log 1227可转化为log 123=3a ,关键是log 122的值,312=22是一个重要转折,∴log 12312=log 1222=2log 122. 解：∵log 1227=a,∴log 123=3a . ∵log 12312=2log 122=1-log 123=13a -, ∴log 122=21(13a -). ∴log 616=6log 16log 1212=3log 2log 2log 4121212+=aa +-3)3(4. 三、恒等式的证明问题【例3】求证:(1)log x ylog y zlog z a=log x a;(2)log n a b n log c a=log c b.思路分析：两题中的对数中,底数都不完全相同,故需用换底公式,由左边向右边的式子“靠近”. 证明:(1)log x ylog y zlog z a=z a y z x y lg lg lg lg lg lg ⨯⨯=xa lg lg =log x a.∴原式成立. (2)log n ab nlog c a=c a a b n n lg lg lg lg ⨯=c a a n b n lg lg lg lg ⨯=c b lg lg =log c b. ∴原式成立.温馨提示在利用换底公式进行计算、化简、证明时,要会正用公式,即从左到右,也要会逆用公式,即从右到左,更要会变用公式,不管怎样用公式,一定要从整体上把握公式的特点,方能用活公式. 各个击破类题演练1求值:(1)log 23log 95log 58;(2)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258).解析：(1)原式=5lg 8lg 9lg 5lg 2lg 3lg ∙∙=5lg 2lg 33lg 25lg 2lg 3lg ∙∙=23. (2)原式=(2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3++)(5lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg ++)=5lg 2lg 32lg 35lg 13∙=13. 变式提升1已知log 34log 481log 8m=log 416,求m 的值.解析：由条件知2lg 3lg 2lg 23lg 43lg 2lg 2m ∙∙=2, 2lg 3lg 4m 2,∴2lgm=3lg2. ∴lgm 2=lg8.∴m 2=8. 又∵m>0,∴m=22.类题演练2已知log 35=a,求log 1575.解析：log 1575=15log 75log 33=5log 1125log 33++=5log 115log 233++=aa ++112. 变式提升已知log 23=a,log 37=b,求log 4256.解析：∵log 23=a,∴log 32=a1. ∴log 4256=42log 56log 33=76log 87log 33⨯⨯=7log 6log 8log 7log 3333++=7log 12log 2log 37log 3333+++=b aa b +++113=13+++a ab ab . 类题演练3求证:log m (x+y+a)log (x+y+a)(y+z)log (y+z)m=1. 证明:log m (x+y+a)log (x+y+a)(y+z)log (y+z)m =)lg(lg )lg()lg(lg )lg(z y m a y x z y m a y x +∙+++∙++=1. 变式提升3设x 、y 、z∈(0,+∞)且3x =4y =36,求证:y x 12+=1. 证明:∵3x =36,4y =36,∴x=log 336，y=log 436. ∴x 1=log 363y1=log 364. ∴x 2+y1=2log 363+log 364 =log 36(32×4)=1. ∴x 2+y 1=1.。
辽宁省抚顺市四方高级中学人教版高中数学必修一导学案：换底公式与自然对数(3)(无答案)
（1） =__________________________
（2） =_______________________________________
2、 求证：
学习体会
作业P106习题3-2/A、3 B、1
自学引导︵学生课前必须完成︶
1、自主学习：(阅读教材100-101页，识记以下结论。)
1、换底公式： （ ）
2、无理数
3、以e为底的对数叫做自然对数。 通常记作 ，即
二、自主练习：（通过自学，相信自己能解决下列问题）
1、求下列各式的值【提示(3)(4)使用科学计算器】
（1） _________（2） =_________
（3） =___________（4） =__________
2、已知 ，则
三、你还有哪些不会的问题，请提出来让老师和同学帮你解决。
独立思考
合作探究
【例题1】求
◎对应练习◎：计算：(1) (2)
【例题2】求证：
◎对应练习◎：求证：（1） （2）
【例题3】求证：
◎对应练习◎：求证：
(1)
(2)
（3）
巩Байду номын сангаас练习
课 题
换底公式与自然对数
第3课时
课 型
新授课
编写者
张春雷
校对人
牛红霞
上课时间
2016-10
备课组长签字
学习目标
知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。
重、难点
换底公式及其应用
学法指导
1、以10为底的对数可查对数表，或者是使用科学计算器。
2、不是以10为底的对数值怎么求？换底公式应运而生。
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高一数学课堂学案
班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号必修1-28
问题3.自然对数： N e log 可简写为 ；，其中=e ；
练习2：=e ln ；e
1
ln = ；πln e = ；
自学检测：
1.计算：
(1) 5log 4log 85⋅ (2) 81
1log 27 (3)22
ln ln 55
e - （4）91log 81log 251log 532
•• 2.求
的值.
问题反馈：提出并讨论本节中的疑惑，先两人合作再小组合作.
【微课助学】
自学 反思
第 2 页
训 练 展 示 学 案
第 3 页
学 案 内 容
学生笔记
知 识 点
识记 理解 应用 对数式的化简计算 例1 例1 换底公式的应用 例2 4 综合应用
2、3
拓展
学生笔记（教师点拨） 学 案 内 容
思考：注意等式左右底数的变化
典例剖析
例1：求证：.
拓展：设21
3436,a b a b
==+求的值
例2：求证：
变式：求证：
.
课堂训练:
1． 计算(1) (2)
2． 已知
4．已知16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m 的值.
5．已知b a ==4log 3log 55，
，用b a ,表示21log 52
自我反思：
1、你觉得你本节课的效率怎样（给自己画个分数，写出需改进的地方）？
2、本节课你从知识，方法方面学到了什么？
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