最短距离问题

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2011
年中考复习(23)――两线段之和最短专题
一、数学模型
1、实际问题:
如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,修在河边什么地方可使所用的水管最短
2、数学问题:
已知:直线I和I的同侧两点A、B。

求作:点C,使C在直线I上,并且AC + CB最小。

、构建“对称模型”实现转化
二、练习题
(一)填空题
1、(2009年孝感)在平面直角坐标系中,
有A (3, - 2),B( 4, 2)两点,现另取一点C( 1 ,n),当n = ______ 时,AC + BC的值最小.
2、(2009陕西)如图,在锐角厶ABC中,AB = 4迈,/ BAC = 45 ° / BAC的平分线交BC于点D , M、
N分别是AD和AB上的动点,贝U BM+MN 的最小值是
3、如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM = 2, DN +
MN的最小值为__________
4、如图,在△ ABC 中,AC = BC = 2,/ ACB = 90° D 是BC 边的中点,E 是AB 边上一动点,则
EC
+ ED
的最小值为 _________________ 。

5、已知O 0的直径CD 为4, / AOD 的度数为60。

,点B 是AD 的中点,在直径CD 上找一点P,使BP+AP 的值最小,并求 BP+AP 的最小值.
7、已知,如图 DE 是厶ABC 的边AB 的垂直平分线, D 为垂足,DE 交BC 于E ,且AC = 5, BC = 8,则 △ AEC 的周长为 __________ 。

8、已知,如图,在△ ABC 中,AB V AC , BC 边上的垂直平分线 DE 交BC 于点D ,交AC 于点E , AC = 9、 如图,在
△ABC 中,AB 的垂直平分线交 _____________________________ A C 于
D,若AC = 5cm,
BC = 4cm,则△BDC 的周长为 _______________________________ .
10、 如图所示,正方形 ABCD 勺面积为12,A ABE 是等边三角形,点 E 在正方形ABCD 内,在对角线 AC 上 有一点P ,使PD+ PE 的和最小,则这个最小值为( )
A . 2 3
B . 2 6
C . 3
D .
6
10、( 1)如图1,等腰Rt △ ABC 的直角边长为2, E 是斜边AB 的中点,P 是AC 边上的一动点,则PB+PE 的最小值为 ____________________________ ;
(2)几何拓展:如图 2,^ ABC 中,AB=2,/ BAC=30,若在 AC 、AB 上各取一点 M 、N ,使BM+MN 的值最小,则这个最小值 ________________________________
0 1 图z
(二)作图题
6、如图, 的周长为
点P 关于0A 交OA 于 M 交0B 于N 若CD= 18cm 则厶PMN
5题图
0B 的对称点分别为C D,连接CD
8,^ ABE 的周长为14,则AB 的长
8题图
9题图 10题图
1如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。

(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近。

请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置;
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而离村庄M却越来越远?
(3)在公路AB上是否存在这样一点H,使汽车行驶到该点时,与村庄M、N的距离相等?如果存在,请在图中的AB上画出这一点;如果不存在,请简要说明理由。

2、如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,
问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?
3、如图,A、B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB 的长最短?
B
4、如图,已知/ AOB内有一点P,试分别在边0A和0B上各找一点E、F,使得△ PEF的周长最小。

试画出图形,
并说明理由。

(三)解答题
1如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC = 10千米,BD = 30千米,且CD =
30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流
CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
B
A
7

1
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2、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A (2, 0),B(0,4).
(1) 求该函数的解析式;
(2) O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D, P为0B上一动点,求PC+ PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.
3、如图,在平面直角坐标系中,直线I是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:
(-2, 5)关于直线I的对称点B'、C'的位置,并写出他们的坐标: 归纳与发
现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点分线I
的对称点P'的坐标为____________________ (不必证明);
运用与拓广:
(3) 已知两点D (1,- 3)、E (- 1,- 4),试在直线I上确定一点
最小,并求出Q点坐标.
(1)由图观察易知 A ( 0, 2)关于直线I的对称点A'的坐标为(2, 0),请在图中分别标明 B (5, 3)、C
B' ___________ 、C_____________ ;
P ( a, b)关于第一、三象限的角平
Q,使点Q到D、E两点的距离之和。

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