最短距离问题

2011

年中考复习（23）――两线段之和最短专题

一、数学模型

1、实际问题：

如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短

2、数学问题：

已知：直线I和I的同侧两点A、B。

求作：点C,使C在直线I上，并且AC + CB最小。

、构建“对称模型”实现转化

二、练习题

（一）填空题

1、（2009年孝感）在平面直角坐标系中，

有A （3, - 2）,B（ 4, 2）两点，现另取一点C（ 1 ,n）,当n = ______ 时，AC + BC的值最小.

2、（2009陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB = 4迈，/ BAC = 45 ° / BAC的平分线交BC于点D , M、

N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN 的最小值是

3、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM = 2, DN +

MN的最小值为__________

4、如图，在△ ABC 中，AC = BC = 2，/ ACB = 90° D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则

EC

+ ED

的最小值为 _________________ 。

5、已知O 0的直径CD 为4, / AOD 的度数为60。，点B 是AD 的中点，在直径CD 上找一点P,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值.

7、已知，如图 DE 是厶ABC 的边AB 的垂直平分线， D 为垂足，DE 交BC 于E ,且AC = 5, BC = 8,则 △ AEC 的周长为 __________ 。

8、已知，如图，在△ ABC 中，AB V AC , BC 边上的垂直平分线 DE 交BC 于点D ，交AC 于点E , AC = 9、 如图，在

△ABC 中，AB 的垂直平分线交 _____________________________ A C 于

D,若AC = 5cm,

BC = 4cm,则△BDC 的周长为 _______________________________ .

10、 如图所示，正方形 ABCD 勺面积为12,A ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上 有一点P ,使PD+ PE 的和最小，则这个最小值为（ ）

A . 2 3

B . 2 6

C . 3

D .

6

10、（ 1）如图1,等腰Rt △ ABC 的直角边长为2, E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 ____________________________ ;

（2）几何拓展：如图 2,^ ABC 中，AB=2，/ BAC=30，若在 AC 、AB 上各取一点 M 、N ,使BM+MN 的值最小，则这个最小值 ________________________________

0 1 图z

（二）作图题

6、如图, 的周长为

点P 关于0A 交OA 于 M 交0B 于N 若CD= 18cm 则厶PMN

5题图

0B 的对称点分别为C D,连接CD

8,^ ABE 的周长为14,则AB 的长

8题图

9题图 10题图

1如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。

（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置；

（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？

（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点；如果不存在，请简要说明理由。

2、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，

问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

3、如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB 的长最短？

B

4、如图，已知/ AOB内有一点P,试分别在边0A和0B上各找一点E、F,使得△ PEF的周长最小。试画出图形，

并说明理由。

（三）解答题

1如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC = 10千米，BD = 30千米，且CD =

30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流

CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

B

A

7

口

1

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2、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A (2, 0)，B(0，4).

(1) 求该函数的解析式；

(2) O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D, P为0B上一动点，求PC+ PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.

3、如图，在平面直角坐标系中，直线I是第一、三象限的角平分线.

实验与探究：

(-2, 5)关于直线I的对称点B'、C'的位置，并写出他们的坐标: 归纳与发

现：

(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点分线I

的对称点P'的坐标为____________________ (不必证明);

运用与拓广：

(3) 已知两点D (1,- 3)、E (- 1,- 4),试在直线I上确定一点

最小，并求出Q点坐标.

(1)由图观察易知 A ( 0, 2)关于直线I的对称点A'的坐标为(2, 0),请在图中分别标明 B (5, 3)、C

B' ___________ 、C_____________ ;

P ( a, b)关于第一、三象限的角平

Q,使点Q到D、E两点的距离之和