关于库仑土压力理论的探讨

法向应力σ（x）须满足以下条件[8]：
(1) 辅助函数 F 的 Euler 微分方程
∂F ∂σ
−
d ⎜⎛ ∂F
dx
⎜⎝
∂
.
σ
⎟⎞ ⎟⎠
=
0
，
(11)
∂F ∂y
−
d dx
⎜⎛ ⎜ ⎝
∂F
⋅
∂y
⎟⎞ ⎟ ⎠
=
0
。
(12)
(2) 积分约束方程：式（6）。 (3) 两类边界条件 1) 可动边界点处的变分边界条件—横截条件：
the action point of earth pressure on the wall were calculated after having found the dimension of active earth pressure and passive earth
pressure, using the moment equilibrium of the sliding mass. The failure wedge sliding along plane surface is the theoretical-derived
性参数粘聚力 c 和内摩擦角ϕ 表征；③墙后土体产生 主动或被动土压力时，土体形成滑动楔体，其滑裂面 通过墙踵；④挡土结构刚性且其运动不受限制，运动 位移与墙高相比可忽略不计；⑤墙土之间的摩擦可用 摩擦角δ表示。 1.2 潜在破坏土体的极限平衡方程
图 1 和图 2 分别表示墙后土体处于主动和被动极 限状态的情况，AC 表示挡土结构，AB 为土层的水平 面，BC 为土层的破坏面，W 为 ABC 部分土体的重量， Pa、Pp 分别表示作用在墙背上的主动和被动土压力， δ为墙土间的摩擦角，并且假定其小于土体的内摩擦 角ϕ ，d 为力的作用点距墙底的垂直距离，h 为墙高， σ、τ分别为作用在滑动面上的法向、切向应力。取 ABC 部分的土体为隔离体，可以建立其处于平衡状态 时的 2 个力的平衡方程。由ΣX = 0 可得
y = x tanα ，
(17)
式中 α为滑裂面与水平面的夹角，如图 3、图 4 所
示。由式（15）和式（17）可得
tanα = ntanϕ + nλ1 ，
(18)
1−λ1 tanϕ
λ1 = tan(nα −ϕ ) 。
(19)
另外，由图 3、图 4 可得下面的关系式：
xB = h tanα ，
(20)
式（1）和式（2），化简整理可得
Pn cosδ h2γ s
=
γ
c sh
⎧ ⎨ ⎩
(tanα −ntanϕ ) −[tan(nα −ϕ )+
tanα
tanϕ ]
−
n tanα
⎬⎫ + ⎭
ntan(nα −ϕ )(tanα − ntanϕ ) 2tan2α[1− tan(nα −ϕ )tanϕ]
，
(21)
Key words: Coulomb earth pressure theory; calculus of variations; position of action point of earth pressure
建模计算分析的基本假定：①所研究的问题为平
0引 言
面应变问题；②墙后土体为 Coulomb 材料，可用其物
至此，推导出了滑动土体 ABC 处于极限平衡状态
的 2 个力的平衡方程，式（4）、式（6）。
1.3 土体极限荷载泛函驻值解的边值方程
式（4）、式（6）表示土压力 Pn 为含有 2 个自变 量函数 y（x）、σ（x）的泛函，且为边界待定的条件 变分极值问题。滑裂面曲线的起始点为（墙踵处）C
点，坐标为 xc = 0，yc = 0，终点为坡面上的 B 点，坐 标为 x = xB，xB 待定，yB = h。依据泛函在约束条件下 的变分法，用 Lagrange 乘子法构造如下的泛函 J * ， 从而使上述条件极值问题转化为无约束的极值问题：
李兴高，刘维宁，张 弥
(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044)
摘 要：以滑动体静力平衡的力的平衡方程为基础，引入 Lagrange 乘子，将主动土压力和被动土压力问题转化为确定含有两个函 数自变量的泛函极值问题，进而结合问题图形中的几何关系进一步转化为带有约束的函数极值问题。这种函数极值可利用 Matlab 6.1 优化工具箱提供的 fmincon 函数进行求解。在确定了主动土压力和被动土压力的大小后，利用滑动体静力平衡的力矩平衡方程 计算力的作用点在墙体的相对位置。在本文中，土体沿平面滑动破坏是由理论推导得出的结论，土压力大小的结果与库仑土压力 理论完全一致，但土压力作用点在墙体的相对位置却并非总是作用在墙高的 1/3 处。 关键词：库仑土压力理论；变分学；土压力作用点位置
1 土体极限荷载的基本求解公式
1.1 基本假定
─────── 收稿日期：2004–09–06
678
岩土工程学报
2005 年
∫ Pn cosδ =
xB (σ
.
y−
nτ )dx
0
，
(1)
式中 Pn 为土体的极限荷载。当 n = 1 时，Pn 为主动 土压力 Pa，当 n = -1 时，Pn 为被动土压力 Pp；y˙ = dy/dx。由ΣY = 0 可得
Pn sinδ h2γ s
=c γ sh
(n + tanα tanϕ tanα[tan(nα −ϕ )+
)
tanϕ
]
+
n 2tanα
−
n(n+ tanα tanϕ )tan(nα −ϕ ) 2tan2α[1− tan(nα −ϕ )tanϕ ]
−
γ
c sh
。
(22)
至此，推导出了土体极限荷载 Pn 的表达式—式
x 0
B
⎢⎣⎡nσ
+ (σ
tanϕ
+
c)
⋅
y
⎤ ⎥⎦
dx
+
∫n
xB 0
(h
−
y)γ sdx
。
(5)
将式（4）代入式（5）可得
∫ ∫ x 0
B
⎢⎣⎡nσ
+ (σ
tanϕ
+
c
)
⋅
y
⎤ ⎥⎦dx
−
n
xB (h− y)γ sdx +
0
∫ tanδ
xB 0
⎢⎣⎡σ
⋅来自百度文库
y
−
n(σ
tanϕ
+ c )⎥⎦⎤dx
=
0
。 (6)
由式（11）及式（8）、式（9）、式（10）、式（14）
可得
y = ntanϕ + nλ1 x 。
(15)
1−λ1 tanϕ
由式（12）、式（13）及式（8）、式（9）、式（10）
可得
σ
=
−nλ1γ s 1−λ1 tanϕ
(x
−
xB
)−
λ1
c + tanϕ
。(16)
至此，已经求出了土体平动破坏时滑动平面的方
设在破裂面上法向应力σ 与切向应力τ 服从
Mohr-Coulomb 破坏准则，即
τ =σ tanϕ +c ，
(3)
式中 c、ϕ 分别为土体的粘聚力和内摩擦角，代入式
（3），式（1）、式（2）变为
∫ Pn =
xB 0
⎢⎣⎡σ
⋅
y
−
n(σ
tanϕ
+ c )⎥⎦⎤dx
cosδ
， (4)
∫ Pn sinδ
=−
中图分类号：TU 411
文献标识码：A
文章编号：1000–4548(2005)06–0677–05
作者简介：李兴高(1971– )，男，汉族，山东邹城人，在站博士后，从事隧道、地下结构理论和实践研究。
LI Xing-gao, LIU Wei-ning, ZHANG Mi
(School of Civil and Architectural Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)
Coulomb 土压力理论是法国学者 Coulomb 于 1773 年在其力学论文“论极大和极小法则在建筑力学中的 应用”中提出的，距今已 200 多年了，但直到现在， 仍在重力式挡土结构设计中广泛应用。Coulomb 土压 力理论虽然解决了主动土压力和被动土压力的大小问 题，但对力的作用点位置问题依然采用了土压力强度 沿墙高线性分布的假定。然而，大量的现场观测和室 内测试资料表明：土压力沿墙高并非线性分布，而是 某种曲线形式；土压力的作用点位置与 Coulomb 理论 的结果不一致，并非总是作用在 1/3 墙高处，而是与 墙体变位模式的类型等多种因素有关，是个变化的值 [1~7]。另外，Coulomb 土压力理论是以土体平面滑动破 坏假定为基础的，此假定的物理背景仍需在理论上进 行分析。
conclusion, and the magnitude of active earth pressure attained is the same as that of Coulomb (1776), but the location of application point
of earth pressure is not always at 1/3 height of the retaining wall.
第 27 卷 第 6 期 2005 年 6 月
岩 土 工程 学报
Chinese Journal of Geotechnical Engineering
Vol.27 No.6 June, 2005
关于库仑土压力理论的探讨
Discussion on Coulomb earth pressure theory
（21）和式（22）。
1.6 土体极限荷载的作用点位置
土体极限荷载的作用点位置在确定了土体极限荷
Abstract: Based on the force equilibrium equations of the sliding mass, the problem of active earth pressure and passive earth pressure was
transcribed as the functional extreme-value problem of two undetermined function arguments by means of Lagrange multiplier, and was
式中 xB 为滑动体右上角点 B 的 X 坐标。
图 3 主动土压力计算图 Fig. 3 Computation of active earth pressure
图 4 被动土压力计算图
Fig. 4 Computation of passive earth pressure
将式（17）、式（18）、式（20）及式（16）代入
further transformed into determining the minimax solution of restrained functions incorporating the geometrical relations of the problem.
The function of fmincon in the optimization toolbox of MATLAB 6.1 could be used to find the minimax solution. The relative positions of
⎜⎛ ⎜
F
⎝
−
⋅
y
∂F
⋅
∂y
⋅
−σ
∂F
⋅
∂σ
⎟⎞ ⎟
δxB
⎠ x=xB
+
∂F
⋅
∂σ
δσ B
x = xB
= 0 ，(13)
式中 δ为变分算子；其余符号的意义同上。
2) 固定边界点条件：
xc = 0 ， yc = 0 。
(14)
1.4 土体中的滑动面、滑动面上的应力
求解 Euler 方程，不难证明沿平面滑动是墙后土 体可能的破坏机制。
∫ Pn sinδ =
xB 0
⎢⎣⎡n(h
−
y)γ s
−
nσ
−τ
⋅
y
⎥⎦⎤dx
， (2)
式中 γ s 为土体的重度。
图 1 滑动土体的主动极限状态 Fig. 1 Active state of sliding soil mass
图 2 滑动土体的被动极限状态
Fig. 2 Passive state of sliding soil mass
∫ J * = xB Fdx ， 0
(7)
F = F0 + λF1 ，
(8)
⋅
F0 =σ y−n(σ tanϕ +c) ，
(9)
⋅
F1 = −nσ −(σ tanϕ +c) y+ n(h− y)γ s ， (10)
式中 λ1 为 Lagrange 乘子；其余符号的意义同上。
滑动面的方程 y（x）及沿滑动面的 y(x）分布的
程—式（15）和沿滑动面的法向应力分布—式（16）。 1.5 土压力的大小
当土体的内摩擦角 ϕ 为常数时，式（15）是一条 直线方程。从而可知，当墙后土体达到临界状态时，
其破坏形式是沿平面滑动。下面推导临界状态下土体
第6期
李兴高，等．关于库仑土压力理论的探讨
679
极限荷载的表达式。
首先将滑动面 BC 的方程改写为