2414圆周角1
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角(1)教案新人教版(2021年整理)
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圆周角课题：24.1.4 圆周角（1）课时 1 课时教学设计课标要求探索同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半;半圆(或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．教材及学情分析1、教材分析：学生在学习本章之前,已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习,对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．2、学情分析九年级学生已具备一定知识储备和认知能力。
但学生的基础较差,中等、差等生较多，优等生较少。
课堂上，多数学生表现欲不强,发言不积极，怕回答错问题；学生应用知识灵活解决问题的能力较差，在几何证明题中，不会抓住已知条件进行论证推理。
九年级数学上册24.1.4圆周角课件(新版)新人教版 (1)
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人教版九年级数学上册 24.1.4 圆周角1 教案
24．1.4圆周角1．掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明．2．掌握圆内接多边形的有关概念及性质．3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行，共有来自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍．比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠A＝30°，则∠B＝()A．150°B．75°C．60°D．15°解析：因为AB︵＝AC︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．(2015·广东模拟)如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由BD是直径得∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，∴∠A＝∠BDC＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，AB＝10cm，∠A＝30°，则BC的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算(2014·江苏南通)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD＝________度．解析：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠AOC ＝∠B .又由题意可知∠AOC ＝2∠ADC .∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD ，可得AO ＝OD ，CO ＝OD .∴∠OAD ＝∠ODA ，∠OCD ＝∠ODC .∴∠OAD ＋∠OCD ＝∠ODA ＋∠ODC ＝∠D ＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O上的四点，延长DC ，AB 相交于点E .若BC ＝BE .求证：△ADE 是等腰三角形．解析：由已知易得∠E ＝∠BCE ，由同角的补角相等，得∠A ＝∠BCE ，则∠E ＝∠A .证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB ＝180°.∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°，∴∠A ＝∠BCE .∴∠A ＝∠E .∴AD ＝DE .∴△ADE 是等腰三角形．错误!三、板书设计教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.。
《2414圆周角定理》教学设计与反思
《24.1.4圆周角定理》教学设计与反思一、教学目标1．理解圆心角、圆周角定理1．通过观察、动手操作培养学生发现问题、解决问题的能力．2．锻炼学生的逻辑思维能力，体验分类讨论的数学思想方．二、教学手段：多媒体教学（电子白板）三、复习有关问题1、圆心角定义2、弦，弧、圆心角的三者关系3、外角的性质四、新授内容1、引入足球射门的位置最佳问题作为情景创设活动策略：出示幻灯片，让学生理解在这几个点射门在那个位置较好，让学生分组测量这些角的大小，并发现其中的关系，2、给出圆周角定义，同时提示强调两个基本特征3、利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧所对的圆心角与圆周角、同弧所对的圆周角之间的大小关系．教师引导学生进行探究．引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．探究：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．4、引导学生证明圆心角与圆周角关系，圆周角与圆周角关系5、反馈练习P86第一题及补充习题补充练习：（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？6、小结作业五、教后反思：本节课主要讲述了圆周角定义及定理，其定义是在圆心角定义基础上结合示意图构造出来的，对定义的理解从教学实际来看学生们掌握的都较好，对圆周角定理在证明过程中所应用的分类讨论、转换化归思想略显难度，第一种情况证明后，证明第二、第三种情况时辅助线的添加问题学生思考、运用起来较为困难，在今后的教学中应多注意激发学生自己先划分圆心与圆周角的位置关系，而后用分组讨论的办法来让学生自行解决第二、第三种情况的证明，注意适时引导学生运用由特殊到一般的转化方法（即连接圆周角顶点与圆心并延长），可以收到较好地教学效果。
人教版九级数学上册第二十四章2414 圆 周 角(1)第1课时 圆周角的概念和圆周角定理(共张PPT
A O
B
CB
CB
C
圆心O在∠BAC的一条边上
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C． 又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
O
∴ BAC 1 BOC．
2
B
C
圆心O在∠BAC的内部
A
A
O
B
D
OO
B
C
D
A
O C
D
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵ OA=OB，
A
∴ ∠BAD=∠B．
又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
∴
BAD
1 2
BOD．
同理， CAD 1 COD．
2
∴ BAC CAD BAD
D
1 2
(COD
BOD )
1 2
BOC．
A O
C B
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半
A
∵∠BAC和∠BOC分别是弧
BC所对的圆周角和圆心角
O
∴ BAC
1 2
BOC．
B
C
基础巩固，运用新知
如图，足球训练场上，甲乙两名运动员分别在A、 B两地，他们争论不休，都说自己的位置好，请用 本节课知识进行说明.
无数个
合作学习，探究定理
请在⊙O上任取一条弧AB，画出弧AB所对的一 个圆周角和圆心角，分别测量它们的度数， 它们之间有何数量关系？
O
合作学习，探究定理
提示：请大家根据圆心角与圆周角的位置关系， 把小组内画出的图形进行分类，你能分为几类？ 需要分情况逐一证明.
A
独A立思考2分钟 O 小组讨论4分钟
2414圆周角定理及其运用课件新人教版
C
6
A
O
B
P 10
D
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是 自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN， 所以∠MAN＜∠MBN． 因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.
如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O 上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD
A
B E
O DC
探究
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长 BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点 F不与点A重合。
A
E B
C D
E
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC
●O
∠ ADC的大小有什么关系？
C
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角相等。
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的 点。（1）求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样的
关系？为什么？
A
Qp O
B
=
1∠AOD,
2
∠CBD
=1
2
∠COD,
九年级数学2414圆周角优秀课件
二、表达的数学思想：
由特殊到一般和分类讨论的思想。
∴
∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝
180 2
＝90°.
因此，不管点C在⊙O上何处〔除点A、B〕∠ACB总等于
如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径
∠AOB=2∠BOC.∠ACB与∠BAC的大小 分A⌒B析所: 对圆周角是∠A有CB什, 圆么心关角系是？∠A为O什B.么？.
那么∠ACB_=1__ ∠AOB
B
C
O
B
C
圆心在圆周角一边上
圆心在圆周角内
O C
B 圆心在圆周角外
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半
几何语言表示： ∵∠ACB和∠AOB都对应A⌒B
1
∴∠ACB= ∠AO B
2
C
A
O
B
思考：圆周角定理的证明过程中，用到了什么
求证：B⌒D=D⌒E
A
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
E
∴∠ADB=90°，〔推论2〕 ∴AD⊥BC，
B
DC
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴ ⌒BD= ⌒DE 〔同圆或等圆中，相等的圆周角所对 弧相等〕。
随堂练习
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角
B
即 ∠ABC = ∠AOC.
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗? 的圆心角的一半.
分析论证圆周角和圆心角的关A
系
C
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样 ?
●O