北师大版数学高一-1.3素材 “补集思想在解题中的应用
1.3 第2课时 补集及其应用课件ppt
A∩B,A∪B,(∁UA)∩(∁UB),A∩(∁UB),(∁UA)∪B.
解 (方法1)直接法
由已知易求得
A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},∁UA={1,2,6,7,8},∁UB={1,2,3,5,6},
则(∁UA)∩(∁UB)={1,2,6},A∩(∁UB)={3,5},(∁UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
A.
探究二
交集、并集与补集的混合运算
例2(2021浙江宁波高一期末)集合U={1,2,3,4,5},S={1,4,5},T={2,3,4},则
S∩(∁UT)=(
)
A.{1,5}
B.{1}
C.{1,4,5}D.{12,3,4,5}答案 A
解析 由集合U={1,2,3,4,5},S={1,4,5},T={2,3,4}可知
是直角的菱形}.
(2)解 ①把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知∁SA={x|x<-1,或x≥1}.
②把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知∁SA={x|x<-1,或1≤x≤2}.
③把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知∁SA={x|-4≤x<-1,或x=1}.
反思感悟 求集合的补集的方法
答案 C
解析 已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,3,4},∴A∩B={2,3},因
此,∁U(A∩B)={1,4}.故选C.
3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合
∁U(A∪B)中元素的个数为
.
答案 2
【规范答题】
解 (方法1)因为A∩B={4,5},(∁SB)∩A={1,2,3},所以
高一数学补集思想在解题中的应用
1 “补集思想”在解题中的应用在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。
例1、已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。
分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。
解：易解得A={y|y>a 2+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},范围。
如图由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ，得⎩⎨⎧-≤≥≤332a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a .即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{}332|<<->a a a 或. 评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”。
例2、若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。
分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。
故先考虑其反面是捷径。
解：若三个方程均无实根，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或 123-<<-⇔a 。
设A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123a a a A C U 或 例3、若x 、y 、z 均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。
最新-2021学年北师大版高中数学必修一课件：1.3.2 全集与补集 共13张 精品
(CR A) {x | x 5}, (CRB) {x | x 3};
(4)(CR A) (CRB) {x | x 5}{x | x 3} ;
例题讲解
(5)CR A CRB xx 5 xx 3
xx 3,或x 5; (6)CR(A B) xx 3,或x 5;
(7)CR ( A B) .
其中相等的集合是
CR ( A B) (CR A) (CRB); CR ( A B) (CR A) (CRB); CR ( A B) (CR A) (CRB).
课后作业
课本P14 1,2,3,4
或(余集). 记作 CU A .
即 CUA x xU,且x A.
图示法
A
CU A
U
归纳总结
(1) A (CU A) U (2) A (CU A)
例题讲解
例1 设全集为R, A {x x 5},
B {x x 3}. 求 ⑴ A B; ⑵ A B;
⑶ CR A,CRB;
(4)CR A CRB;
课本P14
习题1—3 B组 2
A组 5,6
谢谢观看
下课
例题讲解
(5)CR A CRB;
(7)CR ( A B).
(6)CR ( A B);
并指出其中相等的集合.
例题讲解 解 （1） 在数轴上，画出集合A和B
-1 0 1 2 3 4 5 6
A B {x x 5}{x x 3}
x x 5
(2)A B xx 5 xx 3 R;
例题讲解 （3） 在数轴上，画出集合CRA和CRB
3.2 全集与补集
想一想
观察集合A,B,C与D的关系: A={菱形}; B={矩形}; C={平行四边形}; D={四边形}.
北师大版必修第一册--第1章-1.3-第2课时全集与补集--课件(35张)
答案:{2,4,8}
1.设全集U={x|x≥0},集合P={1},则∁UP等于(
A.{x|0≤x<1,或x>1}
B.{x|x<1}
C.{x|x<1,或x>1}
D.{x|x>1}
解析:因为U={x|x≥0},P={1},
所以∁UP={x|x≥0,且x≠1}={x|0≤x<1,或x>1}.
【典例】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},∁UA={5},求实
数a的值.
错解 因为∁UA={5},所以5∈U,且5∉A,所以a2+2a-3=5,且|2a1|≠5,解得a=2或a=-4,即实数a的值是2或-4.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
【例1】 (1)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁UA=
(2)若全集U=R,集合A={x|x≥1},则∁UA=
.
解析:(1)∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},∴∁UA={3,4,5}.
(2)由补集的定义,结合数轴可得∁UA={x|x<1}.
答案:(1){3,4,5} (2){x|x<1}
或2<x≤4}.
所以(∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4};A∩(∁UB)={x|2<x<3}.
1.解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图
形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求
解时端点的值是否能取到.
2.解决集合的混合运算时,一般先计算括号内的部分,再计算
【数学】1.1.3全集和补集 课件(北师大版必修1)
求 C U A B ） ,A，B （
变式1:p3.10
变式2：如果全集U有10个元素，A B 含有2个元素，
（ （ C U A ） C U B ）含有4个元素， C U A ） B 含有3 （
个元素，则A含有____个元素，B含有___个元 素。
范例
已知 A x | 1 x 3 , B x | x 2
C （3） U ( A B )； C U ( A B )
（ （4） C U A ） B
动动脑
（1）若S={2，3，4}，A={4，3}则CSA=———
思考：若A=S或A= 又怎样呢？ U
（2）若U=Z那么CUN= ————— 若U=R那么CU（CUQ）=—— （3）A C U （
集合的运算 之
全集和补集
导航
世间万物都是对立统一的，在一定 范围内事物有正就有反，就像数学 中，有正数必有负数，有有理数必 有无理数一样，那么，在集合内部 是否也存在这样的“对立统一”呢？ 若有，又需要什么样的条件呢？
考察下列集合A，B，C之间的 关系
1、 A 1，，，，， B 1，，， C 4， 2 3 4 5 2 3 5
A ） _____ ， A C U A ） ______ （
A CUA
（ 思考： 若 A B ，则 A C U B ） ____
例1若 I 1，，，，，，，， A 3，，， B 1，， ， 6 2 3 4 5 6 7 8 4 5 3 那么集合
范例
2 ，， 是（ 7 8
A 2 3 4 5 6 7 2 3 5 6 7 2、 1，，，，，， ， B 1，，， C 4，，，
（1）象上面的A集合，含有我们所研究问 题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为 全集，通常记作U。 （2）对于全集U的一个子集A，由全集U中所有 不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集 ，,简称为集合A的补集
北师大版高中数学必修一1.3.2全集与补集课件
-2-
3.2 全集与补集
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.全集 (1)定义:在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合 的子集,这个给定的集合叫作全集.全集含有我们所要研究的这些 集合的全部元素. (2)符号表示:全集通常记作U . (3)图示:用Venn图表示全集U,如图.
-5-
3.2 全集与补集
题型一 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 求补集的简单运算 【例1】 已知A={0,1,2},∁UA={-3,-2,-1},∁UB={-3,-2,0},用列举法 写出集合B. 分析:先结合条件,利用补集的性质求出全集U,再由补集的定义 求集合B. 解:∵A={0,1,2},∁UA={-3,-2,-1}, ∴U=A∪(∁UA)={-3,-2,-1,0,1,2}. 又∁UB={-3,-2,0},∴B={-1,1,2}. 反思在进行补集的简单运算时,应首先明确全集,而利用 A∪(∁UA)=U求全集U是利用定义解题的常规性思维模式,故进行补 集运算时,要紧扣补集的定义及补集的性质.
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型二 交集、并集、补集的综合运算 【例2】 已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|1≤x<1},求∁UA,∁UB,(∁UA)∩(∁UB). 分析:由于U,A,B均为无限集,所求问题是集合间的交集、并集、 补集运算,故考虑借助数轴求解. 解:将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图, 则∁UA={x|-1≤x≤3}; ∁UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3}; 方法一:(∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}. 方法二:∵A∪B={x|-5≤x<1}, ∴(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={x|1≤x≤3}. 反思求解不等式表示的数集间的运算时,一般要借助数轴求解,此 方法的特点是简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否.
例说补集思想在高中数学解题中的应用
• 32 •理科考试研究•数学版2019年11月1日评注 解法6是对参数a 进行放缩，然后求函数 最小值;解法7则利用两个重要结论，+ l 和 ln(% + l)Wx 的灵活变形，再通过赋值、配凑等技巧, 对学生的数学素养要求较高.参考文献：[1]陈崇荣.老师，为什么这解法失灵了？ 一2018年高考全国卷I 文科第21题的解题反思[J].中学数学教学,2018 (05) ：36 -38.[2J2018年高考试题的创新解法赏析[J].中学数学教学 参考，2018(19) ：35 -47.(收稿日期:2019 - 03 - 07)例说补集思想在高中数学解题中的应用张梅(四川师范大学数学科学学院四川成都610000)摘要:补集是高中集合章节的重要知识点，背后蕴藏着补集思想.补集思想在高中数学解题中有广泛的应用，从 反面的角度给出解题思路，使解题过程简单化.本文通过列举补集思想在各个章节的渗透，为学生解题多提供一种 思路.关键词：补集思想；解题技巧；解题思路补集可以看作是集合间的一种关系、一种运算， 也是一种数学思想——补集思想.当从现有的已知条件正面解决问题遇到困难时，需要改变解题策略，从 反面入手,把问题简单化，这就是补集思想.1补集思想在方程中的渗透例1 已知集合4 = {%1异-4a%+a +3 =0}至少 有一个负根，求a 的取值范围.分析方程至少有一个负根，即有一个负根、一 个负根一个正根、两个负根、一个负根一零根等情况. 过于繁琐，考虑反面,“至少有一个负根”等价于“没有 一个负根”解析 由△ =16/-4(a+3)M0,得(4a+3)(a -1) M0 ,解得 aMl 或 aW -才.所以a2评注该题的补集的运用是相对全集而言的，一 定要准确把握其所对应的全集.待求问题用否定的形 式、唯一存在性、至多、至少等语句呈现，反面求解比正面证明更加简洁.补集思想在三角函数中的渗透例2求证方程cosx +c =x 只有唯一解.解析 假设方程至少有衍卫2 (尙工兀2)两个解， 贝g cos%】+ c 二衍，cosx 2 + c = x 2.① _ ②得 cos 兀 I - C0S%2 =^1 - %2 -①②因为 Jsin^sin所以 t/= alaMl 或 aW 所以sin 中sin 导=号——sin ―—2 2由方程x 2 - 4ax + a + 3 = 0没有负根，所以‘△MO,x t +x 2 =4aM0,解得 aMl.x {x 2 = a + 3 MO ,%1 + Xj X } -Xj 1%. -x 2\所以 I sin —-—I • I sin —-—I =-----------③又因为心# x 2,所以丨sin 竺2空I <设 Q = {alaMl },则 C£ = {alaW X. +x7.I sin ―-— I W 1 ・作者简介：张梅(1990 -),女，四川成都人，硕士研究生，研究方向：数学学科教学.2019年11月1日理科考试研究•数学版•33•则Isin巴尹I•Isin空产I<也評与③矛盾.所以cosx+c=x只有唯一解.3补集思想在不等式中的渗透例3若a>0,b>0,”eN+,且“>1,贝l j a>bo -7a>^b.分析正面分析，一时找不到解题思路,联想到'‘若a>0,b>0,neN+.贝！|a>boa">b""，从">'‘的补集“W”着手.解析假设纭则帝<血或纭=瓶当循<彷时,a<b；当纭=血时有a=6,同条件a >b>0矛盾.所以无>76.4补集思想在立体几何中的渗透例4证明:过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行.分析几何证明题,先将文字语言转化成数学符号语言•设宜线a外有一点4,只有一条直线6与已知直线a平行.解析假设过点A还有一条直线c与已知直线a 平行，即61~)c=A,c//a.又b//a,得c//b，与c D6=4矛盾.所以过直线外一点,有且只有一条直线与该直线平行.例5已知空间四边形ABCD.求证:对角线AC, BD是异面直线.分析异面直线是不同在任何一个平面内的两条宜线•证明两直线异面直接证明很难说明问题，这时可从补集的角度思考•假设两条直线共面，根据题设条件来证明假设错误.解析假设对角线ac,bd共面，则A,B,C,D四点共面，与ABCD是空间四边形矛盾.假设不成立，对角线AC,BD是异面直线.5补集思想在数列中的渗透例6设｛%｝是公比为g的等比数列，且gMl,证明数列｛a…+l｝不是等比数列.分析证明不是等比数列，难以找到解题突破口，利用补集思想，从反面出发求解.解析假设｛a”+l｝是等比数列，由等比数列的性质可知,(a*+i+1)2=(a*+1)(昭2+1).所以+1+2畋+1=畋畋+2+«4+%+2+1・所以(a")?+1+2a x q h=a｝q k~l a｝q k+1+a｝q k~l + SqE+1.艮卩a；q2”+1+2a x q k=ajg”+a x q t +x+1.利用系数相对,2(1沖=5qi'+\因为a】HO,所以=厂+广】.因为狞0,同时除以广-所以2g=l+『.所以q-1与已知矛盾.例7等比数列｛%｝和数列｛»｝各项均为正数，满足a”+i=I；、亏(nwN+),设6”+N+),求5和&的值.解析因为«…>0,6…>0,由基本不等式得"a”；b”)+比<(a”+b n)2.所以1<%\=上£电§匹.+b n设等比数列｛a”｝的公比为g,因为a”>0,所以g >0,下面证明g=l：若g>1时，有a】=—<a2wQ・①q当n>log g施时,a“+i=a x q n>Q与①矛盾.a\若0<gv1时，则5=才>。
高一数学人必修件时补集及综合应用
通过构造一个与原命题等价的补集命题，可以使得证明过程更加直观和易于理解。
补集在函数性质研究中的应用
1 2
利用补集思想研究函数的单调性
通过补集的思想，可以将函数的单调性问题转化 为其补集函数的单调性问题，从而更容易研究和 判断。
补集在函数奇偶性研究中的应用
利用补集的性质，可以简化函数奇偶性的判断过 程，使得判断更加直观和易于理解。
03 补集的运算规则与技巧
补集的交、并、差运算
补集的交运算
对于任意两个集合A和B，A与B 的补集的交集等于A减去A与B的
交集，即$A cap complement_{U}B = A - (A
cap B)$。
补集的并运算
对于任意两个集合A和B，A与B 的补集的并集等于全集U减去A
与B的交集，即$A cup complement_{U}B = U - (A
概率统计问题
在概率统计中，补集的思想也经常被用到。例如，在求某个事件的概率时，可以通过求其 对立事件的概率来得到结果。对立事件就是一个事件不发生的情况，即该事件的补集。
实际应用问题
在实际生活中，很多问题可以通过补集的思想来解决。例如，在投票选举中，可以通过计 算反对票的数目来推断支持票的数目；在市场调查中，可以通过调查不满意客户的比例来 推断满意客户的比例等。
3
补集在函数周期性研究中的应用
通过补集的思想，可以将函数的周期性问题转化 为其补集函数的周期性问题，从而更容易研究和 判断。
综合应用：补集与其他知识点
05
的结合
补集与集合运算的综合应用
补集的定义及性质
补集是相对于全集而言的，包含了全集中不属于该集合的所有元 素。补集具有互斥性和完备性。
北师大版高中数学必修一全集与补集教案(4)
1.3.2 全集与补集教学目标：了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn 图表达集合间的关系；渗透相对的观点.教学重点：补集的概念.教学难点：补集的有关运算.课 型：新授课教学手段：发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳其普遍规律.教学过程：一、 创设情境1．复习引入：复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.2．相对某个集合U ，其子集中的元素是U 中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U 构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。
集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.这就是本节课研究的话题 ——全集和补集。
二、 新课讲解请同学们举出类似的例子如：U ＝{全班同学} A ＝{班上男同学} B ＝{班上女同学}特征：集合B 就是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合，可以用文氏图表示。
我们称B 是A 对于全集U 的补集。
1、 全集如果集合S 包含我们要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。
全集通常用字母U 表示2、补集（余集）设U 是全集，A 是U 的一个子集（即A ⊆U ），则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作“A 在U 中的补集”，简称集合A 的补集，记作U A ð，即{}|,U A x x U x A =∈∉且ð 补集的Venn 图表示：说明：补集的概念必须要有全集的限制练习：{}{}{}121,2,1,2,3,1,2,3,4A U U ===，则{}{}12334U U A A ==，，痧。
3、基本性质①()U A C A U ⋃=，()U A C A ⋂=Φ， A A C C U U =)(②U U U U =∅∅=，痧③B C A C B A C U U U ⋂=⋃)(，B C A C B A C U U U ⋃=⋂)(注：借助venn 图的直观性加以说明三、 例题讲解例1 (P13例3)例2(P13例4) ①注重借助数轴对集合进行运算②利用结果验证基本性质四、 课堂练习1．举例，请填充（参考）(1)若S ＝{2，3，4}，A ＝{4，3}，则ðS A ＝____________.(2)若S ＝{三角形}，B ＝{锐角三角形}，则ðS B ＝___________.(3)若S ＝{1，2，4，8}，A ＝∅，则ðS A ＝_______.(4)若U ＝{1，3，a 2＋2a ＋1}，A ＝{1，3}， ðU A ＝{5}，则a ＝_______(5)已知A ＝{0，2，4}，ðU A ＝{－1，1}，ðU B ＝{－1，0， 2}，求B ＝_______(6)设全集U ＝{2，3，m 2＋2m －3}，a ＝{｜m ＋1｜，2}，ðU A ＝{5}，求m .(7)设全集U ＝{1，2，3，4}，A ＝{x ｜x 2－5x ＋m ＝0，x ∈U }，求ðU A 、m .师生共同完成上述题目，解题的依据是定义例(1)解：ðS A ＝{2}评述：主要是比较A 及S 的区别.例(2)解：ðS B ＝{直角三角形或钝角三角形}评述：注意三角形分类.例(3)解：ðS A ＝3评述：空集的定义运用例(4)解：a 2＋2a ＋1＝5，a ＝－1±5评述：利用集合元素的特征.例(5)解：利用文恩图由A 及ðU A 先求U ＝{－1，0，1，2，4}，再求B ＝{1，4}. 例(6)解：由题m 2＋2m －3＝5且｜m ＋1｜＝3解之 m ＝－4或m ＝2例(7)解：将x ＝1、2、3、4代入x 2－5x ＋m ＝0中，m ＝4或m ＝6当m ＝4时，x 2－5x ＋4＝0，即A ＝{1，4}又当m ＝6时，x 2－5x ＋6＝0，即A ＝{2，3}故满足题条件：ðU A ＝{1，4}，m ＝4；ðU B ＝{2，3}，m ＝6.评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.2．P14练习题1、2、3、4、5五、 回顾反思本节主要介绍全集与补集，是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念1.全集是一个相对的概念，它含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素，通常用“U ”表示全集.在研究不同问题时，全集也不一定相同.2.补集也是一个相对的概念，若集合A 是集合S 的子集，则S 中所有不属于A 的元素组成的集合称为S 中子集A 的补集（余集），记作U A ð，即U A ð={x|A x S x ∉∈且,}. 当S 不同时，集合A 的补集也不同.六、 作业布置1、 P15习题4，52、 用集合A ，B ，C 的交集、并集、补集表示下图有色部分所代表的集合3、思考：p16 B 组题1，2。
北师大版高中数学必修第一册1.1.3.2全集与补集及综合应用课件
ห้องสมุดไป่ตู้法归纳 解决此类以实际生活为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不 同的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转 化为实际问题求解．
跟踪训练3 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组， 每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数 分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物 理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_____8___人.
(2)两种求解方法： ①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集 合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点 值的取舍． ②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
题型2 集合的综合运算——师生共研 例1 (1)设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则 {x|x≥2}＝( )
根据上述定义，下列选项正确的是( ) A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3， 7，8} B．已知A＝{x|x＜－1，或x>3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜ －2，或x≥4} C．如果A－B＝∅，那么A⊆B D．已知全集U、集合A、集合B关系如图所示，则A－B＝A∩(∁U B)
5．(5分)已知全集U＝R，集合M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}， 则图中阴影部分表示的集合是________.
答案：{x|x≤－1，或x≥2}
6．(5分)已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则ab＝ ________．
答案：12
解析：因为A∪(∁U A)＝R，A∩(∁U A)＝∅， 所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.
补集思想在解题中的应用
补集思想在解题中的应用发表时间：2011-10-27T14:42:55.047Z 来源：《学习方法报●语数教研周刊》2011年第6期供稿作者：杨梅[导读] 有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，若用补集思想考虑其对立面往往会另有捷径.云南永胜第一中学数学组杨梅有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，若用补集思想考虑其对立面往往会另有捷径.本文就补集思想在数学解题中的作用作一些探讨.评：在高中数学教学中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化考虑它的反面情形，则解题目标与思路会变得更集中与明确．“正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处．评：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．例3、有5张卡片，它们的正、反面分别写有数字0与1, 2与3, 4与5，6与7, 8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：本题需要先选卡片，再选数字，然后排列，因此这是一道：既取又排的排列综合问题，若用直接法，应采用“先选后排”的原则，而且还要注意特殊位置、特殊元素优先考虑的原则，做到逻辑合理严密，层次清楚，不重不漏．所以，在正面问题分类较多，较复杂或计算量较大的情况下，不妨从反向问题入手，试一试看是否简捷些评：在有些数学问题，如：有限制条件的排列、组合问题，不等式中求字母取值范围问题，等等，特别是涉及“至多”或“至少”、“存在”、“含”或“不含”问题，若正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解有些选择填空题的有效途径．评:逆向思维是从已有习惯思维的反方向去思考问题，在正向思维受阻时逆向思维往往能起到柳暗花明又一村的作用，补集思想就是一种常见的逆向思维.总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助．。
高中数学 1.3.2全集与补集教案 北师大版必修1
3．2全集与补集一、教材地位与作用本节课主要研究全集补集概念及初步运用，并在此过程中渗透类比、猜想等方法，树立数形结合意识和集合意识.本节课是集合的最后一节，是本章知识、方法的汇总和升华.补集既是集合运算环节中的重要一环，又为学习逻辑用语、不等式证明、概率求解提供了必要的知识储备。
二、教学目标1.知识与技能：(1).使学生参与并深刻体会全集的必要性，理解集合的子集、补集的含义，会求补集(2).能够应用Venn图和数轴表述集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
2.过程与方法：通过对概念，性质，规律的探究，不断提高学生抽象概括能力，培养数形结合能力，掌握归纳类比的方法3.情感态度与价值观:(1）在参与数学学习的过程中，培养学生主动学习的意识。
（2）在将所学知识系统化、条理化的基础上通过合作学习的形式，培养学生积极参与的主体意识。
三、教学重难点教学重点：补集的有关运算及数轴的应用教学难点：补集的运算四、加法学法与教具新课标强调丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，使学生学会自主学习，采用分组研究，小组展示，过程评价的授课方式，把知识探究、变式深入与必要的讲述相结合的教法进行教学学生借助多媒体和导学案积极思考，通过师生、生生的多方交流，经历了“探究→展示→应用→反思→总结”的数学学习的模式，进一步培养自主探究、合作学习的能力．教具：多媒体五、教学过程问题一：已知： A=｛班上所有参加足球队的同学｝B=｛班上所有没有参加足球队的同学｝ U=｛全班同学｝，那么A ，B ，U 三集合关系如何？问题二：用列举法表示下列集合：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪ x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x －2＝0； B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Q ⎪⎪⎪ x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x －2＝0； C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x －2＝0. 问题二三个集合相等吗？为什么？由此看，解方程时要注意什么？活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．设计意图：全集与补集相辅相成，理解了全集，补集概念的形成轻而易举。
高一数学教学案1.3.2全集与补集北师大版必修1
设U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求 、 .
例2设U=R，A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∩B、A∪B、 、 .
练一练
设全集 ，M={x∣3a<x<2a+5}, ∣ 若 M，求实数a的取值范围
三巩固练习
1.设全集U=R，集合 ，则 =（）
（1）U={2,3,4}，A={4,3}，B= ，则 =， =；
（2）设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则 ＝；
（3）设集合 ，则 =；
（4）设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则 ＝.
二师生互动
例1.已知全集I={小于10的正整数}，其子集A、B满足 ， ， .求集合A、B.
A. 1 B.－1，
C. D.
2.已知集合U= ， ，那么集合 （）.
A. B.
C. D.
3.设全集 ,集合 ,
，则 （ ）.
A．｛０｝B．
C． D．
4.已知U={x∈N|x≤10}，A={小于11的质数}，则 =.
5.定义A—B={x|x∈A，且x B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,4,8}，则N—M=.
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
补集
授课时间
撰写人
学习重点
全集、补集概念的理解
学习难点
补集的运算
学习目标
1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
2.能使用Venn图表达集合的运算
教学过程
一自主学习
1全集
2补集
北师大版数学必修1《1.3.2 全集与补集》教学设计
§1.3.2 全集与补集————教学设计教材分析：《全集与补集》选自北师大版必修1第一章第三节。
本节课主要研究全集补集概念及初步运用，并在此过程中渗透类比、猜想等方法，树立数形结合意识和集合意识。
本节课是集合的最后一节，是本章知识、方法的汇总和升华。
补集既是集合运算环节中的重要一环，又为学习逻辑用语、不等式证明、概率求解提供了必要的知识储备教学目标：了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn 图表达集合间的关系；渗透相对的观点.教学重点：补集的概念.教学难点：补集的有关运算.课 型：新授课教学手段：发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳其普遍规律.教学过程：一、 创设情境1．复习引入：复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.2．相对某个集合U ，其子集中的元素是U 中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U 构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。
集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.这就是本节课研究的话题 ——全集和补集。
二、 新课讲解请同学们举出类似的例子如：U ＝{全班同学} A ＝{班上男同学} B ＝{班上女同学}特征：集合B 就是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合，可以用文氏图表示。
我们称B 是A 对于全集U 的补集。
1、 全集如果集合S 包含我们要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。
全集通常用字母U 表示2、补集（余集）设U 是全集，A 是U 的一个子集（即A U ），则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作“A 在U 中的补集”，简称集合A 的补集，记作U A ð，即{}|,U A x x U x A=∈∉且ð 补集的Venn 图表示： 说明：补集的概念必须要有全集的限制练习：{}{}{}121,2,1,2,3,1,2,3,4A U U ===，则{}{}12334U U A A ==，，痧。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“补集思想”在解题中的应用
在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？
本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。
例1、 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，
若A ∩B ≠φ，求实数a 的
取值范围。
分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补
集，同样也可以求解。
解：易解得A={y|y>a 2
+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},我们不妨先考虑当A ∩B ＝φ时a 的
范围。
如图 由⎩⎨⎧≥+≤4
122a a ， 得⎩
⎨⎧-≤≥≤332a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a . 即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{}332|<<->a a a 或. 评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”。
例2、若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实
根，试求实数a 的取值范围。
分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。
故先考
虑其反面是捷径。
解：若三个方程均无实根，则有
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或
123-<<-⇔a 。
设A=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123a a a A C U 或 例3、若x 、y 、z 均为实数,且62,32,22222π
π
π
+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，
求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.
分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。
若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立。
证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0,
又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立， ∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0.
评注：本题实际是一种反证法，由此可以知道，反证法的理论依据其实就是这种“补集思想”。
总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望
同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助。