北师大版数学高一-1.3素材 “补集思想在解题中的应用

“补集思想”在解题中的应用

在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？

本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。

例1、 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，

若A ∩B ≠φ，求实数a 的

取值范围。

分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补

集，同样也可以求解。

解：易解得A={y|y>a 2

+1或y

范围。如图 由⎩⎨⎧≥+≤4

122a a ， 得⎩

⎨⎧-≤≥≤332a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a . 即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{}332|<<->a a a 或. 评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”。

例2、若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实

根，试求实数a 的取值范围。

分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。故先考

虑其反面是捷径。

解：若三个方程均无实根，则有

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或

123-<<-⇔a 。设A=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123a a a A C U 或 例3、若x 、y 、z 均为实数,且62,32,22222π

π

π

+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，

求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.

分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立。

证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0,

又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立， ∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0.

评注：本题实际是一种反证法，由此可以知道，反证法的理论依据其实就是这种“补集思想”。

总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望

同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助。