《系统控制理论基础》

《系统控制理论基础》笔记摘要郭嗣琮（辽宁工程技术大学理学院数学与系统科学研究所）第一章经典控制论的相关概念§1.1 系统与特性什么是系统？系统是由相互依赖、相互作用的若干组成部分结合而成，具有特定功能的有机体。

一个系统应该具有下述三个特征：1、整体性。

系统是由各个组成部分结合而成的整体。

2、关连性。

系统的各个元素是按一定方式或要求结合起来的，通过元素之间的联系来完成某些特定的功能。

3、目的性。

一个系统，特别是人造系统都有特定的功能和目的，系统的运转是一种有目的的行为。

系统还有其他特性，如系统的动态性、环境适应性、层次性等。

系统的概念是相对的。

丛某种功能来说一个系统是一个独立的系统，从更为广泛的功能来说，它可以是另一个系统的子系统。

系统的例子。

§1.2 系统控制1、控制与控制系统控制是为了改善系统的某些功能、特性或为使系统完成某些预定目标而对系统的一种外部作用。

在控制论中，将作用者称为“控制器”，被作用者称为“被控装置”或“被控系统”。

被控系统与控制器组成一个总系统，称为“控制系统”通常，将外部对系统的作用称为控制系统的“输入”，将控制系统对输入作用的特定反应称为系统的“输出”。

对于一个控制系统，我们总是假定一定的输入会有一定的输出，反之，任何输出都对应于一定的输入。

在这种前提下，一个控制系统可以理解为输入和输出变量间的映射器。

系统输入X系统输出Y图1-1控制系统理解为映射器2、控制系统的耦合与方框图任何一个系统都是由若干个元素或子系统按一定的因果关系组合而成的。

如果系统的某个子系统（元素）的输出是另一个子系统（元素）的输入，这两个子系统之间的因果关系被称为“耦合”。

即，耦合是系统的各个构成元素或子系统之间的因果关系。

系统的各子系统间的耦合形式有多种，但是最基本的形式有串联耦合、并联耦合、反馈耦合三种。

其他的任何耦合形式都可以由这三种耦合形式复合而成。

为了表明一个具体的控制系统构成，就必须表明其各功能子系统及其各子系统间的耦合关系，将它们用图形表示出来，这就形成了系统的框图。

在控制系统的框图中，用方框表示各个子系统，用带箭头的线段连接起来，表示被连接的两个子系统具有耦合关系。

箭头指向方框的直线表示输入，箭头离开方框的直线表示输出。

另外，在控制系统中，可能由多个输入同时作用于一个子系统，则该子系统的输入为这多个输入的某种叠加。

我们常用如图1－2所示的符号表示。

在图1－3中，给出了几个具体的控制系统的框图。

§1.3 系统输入到输出的变换算子图1－2 输入的叠加符号输入输出(a) 室温控制系统框图输入输出(b) 具有传感器的室温控制系统框图 图1－3 室内暖气控制系统框图1、系统的变换算子在古典的控制理论中，都将控制系统及其各个子系统视为“黑箱子”，即不考虑系统内部的状态特性，只研究系统的输入与输出之间的关系，只研究系统输入发生变化时系统输出的反映行为。

一个系统的运行，可以看成是由输入到输出的一种变换。

设系统的输入变量为x ，输出变量为y ，则由输入到输出的变换记为Tx y =，利用框图表示为T 为系统的变换算子或活动算子。

2、线性算子在控制理论研究中应用最多的是线性变换算子，简称为线性算子。

线性算子满足如下两个条件： （1） cTx cx T =)(，（2） 2121)(Tx Tx x x T +=+， 其中c 为任意常数，21,,x x x 为任意输入。

最常见的线性算子有： (a). 比例算子设k 为常数，x 为系统输入，则系统再输入x 时的输出kx Tx y ==； (b). 微分算子D设输入x 是某个参数t （如，时间）的函数)(t x x =，系统的输出y 为输入x 对t 的导数，即 Dx t x t x dtdy ='==)()( 则变换算子D T =为微分算子； (c). 积分算子1-D设输入x 是某个参数t 的函数，系统的输出y 为输入x 对t 的积分，即 ⎰-==tt x D dt t x y 01)(则变换算子1-=D T 为积分算子，其中0t 为参数t 的某个给定的初始值;(d).（有限）差分算子△设输入x 的可能取值集合为},,,,{21 n x x x ，输出,2,1,1=∆=-=+i x x x y i i i i则变换算子∆=T 为有限差分算子，简称差分算子； (e). 先导（向前位移）算子E设输入x 的可能取值集合为},,,,{21 n x x x ，输出 ,2,1,1===+i Ex x y i i i则变换算子E T =为先导算子，或向前位移算子；(f). 回倒（向后位移）算子1-E设输入x 的可能取值集合为},,,,{21 n x x x ，输出 ,2,1,11===--i x E x y i i ix y图1－4 变换算子则变换算子1-=ET 为回倒算子，或向后位移算子；(g). 求和算子∑设输入x 的可能取值集合为},,,,{21 n x x x ，输出 ,2,11===∑∑=i x x y kk ik i则变换算子∑=T 为求和算子。

不难证明，上述的七个算子都是线性算子。

3、算子的运算设21,T T 为两个已知的变换算子，下面介绍几种常见的运算： ① 和算子 若算子T 满足条件x T x T Tx 21+=则称算子T 为算子1T 与2T 的和算子，记为21T T T +=.对于由变换算子分别为1T 和2T 的两个子系统并联耦合的系统（如图1－5），系统输入x 与输出y 有如下变换公式2121Tx Tx y y y +=+=Tx x T T =+=)(21② 差算子 若算子T 满足条件x T x T Tx 21-=则称算子T 为算子1T 与2T 的差算子，记为21T T T -=.③ 积算子 若算子T 满足条件)(21x T T Tx = 或 )(12x T T Tx =则称算子T 为算子1T 与2T (或2T 与1T )的积算子，记为21T T T =或12T T T =.对于由变换算子分别为1T 和2T 的两个子系统串联耦合的系统（如图1－6），系统输入x 与输出y 有如下变换公式Tx x T T x T T y T y ====121212)( 注：积运算的交换律一般并不满足。

④ 幂算子设n 为正整数，算子T 的n 次幂nT 按递推公式定义如下：x图1－5 并联耦合与和算子图1－6 串联耦合与积算子)(2Tx T x T =.,3,2),(1 ==-n x T T x T n n⑤ 逆算子若存在算子T 与S ，它们满足条件Tx y = 且 Sy x = 则称算子S 为算子T 的逆算子，记为1-=TS .⑥ 恒等算子 若算子T 满足条件 x Tx y == 则称算子T 为恒等算子，记为I T =。

由恒等算子与逆算子的定义，不难证明 I T T TT==--11.逆算子主要刻画系统中的反馈作用。

反馈是控制理论中一个极为重要的概念，即将控制器的输出送回到输入端，对系统的输入产生影响，这就是反馈。

反馈分为“正反馈”和“负反馈”两类。

如果反馈起到增强原输入的作用，称为正反馈；如果起到减弱原输入的作用，则称为负反馈。

具有反馈环节的控制系统称为闭环系统；否则称为开环系统。

设反馈耦合系统如图1－7所示，S 为被控系统的变换算子，R 是控制器的变换算子。

输出y 经控制器的变换为输出x ∆，而x ∆与输入x 迭加后成为被控系统的总输入。

因此，反馈系统输入x 与输出y 有如下变换公式SRy Sx Ry x S x x S y +=+=∆+=)()( 即Sx y SR I =-)(其中I 为恒等算子。

如果差算子SR I -的逆算子存在，则有Tx Sx SR I y =-=-1)( (1.1) 称1)(--=SR I T 为“反馈算子”。

通常将公式(1.1)称为调节理论的基本公式。

例. 求下列系统框图所对应的变换公式和总变换算子(1)x图1－7 反馈耦合与逆算子变换公式为x S S R S S I y 12112)(--=, 则总变换算子为12112)(S S R S S I T --=.(2)变换公式为 总变换算子为§1.4 拉普拉斯变换与传递函数下面介绍经典控制论中的基本方法——传递函数法。

1、拉普拉斯变换 拉氏变换的定义：设)(t f 是时间t 的函数，且当0<t 时，0)(≡t f ，称 )()()]([0s F dt t f e t f L st ==-∞⎰为函数)(t f 的拉氏变换。

其中s 为复数，称为拉氏变换的原函数，)(s F 为象函数。

记)()]([1t f s F L =- 为拉氏反变换。

拉氏变换的性质：① 线性性质)]([)]([)]()([t g L t f L t g t f L βαβα+=+ 其中α、β为常数。

证明：)]([)]([)()()]()([)]()([0t g L t f L dt t g e dt t f e dtt g t f e t g t f L st st st βαβαβαβα+=+=+=+⎰⎰⎰∞-∞-∞-② 微分性质xy)0()()0()]([)]([f t sF f t f sL t f L -=-=' 一般的，有)]0()0()0([)()]([)1(21)(---++'+-=n n n n n f f s f s s F s t f L证明参见相关教材。

微分性质表明，微分运算的拉氏变换称为多项式代数运算，这是拉氏变换的一个优点。

由于一些函数的拉氏变换尤其是反变换计算较复杂，所以，有关书籍中给出了常见函数的拉氏变换表。

2、传递函数考虑一个线性定常控制系统（即系统结构特性不随时间而改变），)(t u 和)(t y 分别为t 时刻系统的输入和输出，输入与输出的关系有如下的线性常微分方程来描述：u b u b u b u b y a y a y a y a m m m m n n n n +'+++=+'+++----1)1(1)(01)1(1)(0 (1.2) 其中n 、m 为正整数，且m n ≥，m n b b b a a a ,,,,,,,1010 均为常数，并且00≠a . 定义 当上述线性定常系统的初始条件为零时，即 0)0()0()0()1(==='=-n y y y ,0)0()0()0()1(==='=-m u u u ,其输出)(t y 的拉氏变换)(s Y 与输入)(t u 的拉氏变换)(s U 之比，称为该系统的传递函数，记为)(s G ，即)()()(s U s Y s G = (1.3)下面对于由公式(1.2)描述的系统，我们来建立其传递函数。