初三数学.圆中三大基本定理.教师版

中考内容中考要求A B C圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题中考内容与要求圆中三大基本定理圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解年份2011年2012年2013年题号20，25 8，20，25 8，20，25 分值13分17分17分考点圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析知识互联网题型一：垂径定理垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用. 定 理示例剖析1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦E DCBAO1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； AC AD =；BC BD =．2. 若CE DE =，则AB CD ⊥； AC AD =；BC BD =．【例1】 ⑴ 如图，BD 是⊙O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形△ABC ，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中BC =12，OA =8， 则BD 的长为（ ）A ．20B ．19C ．18D ．16（2012通州一模）⑵ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 ．（2013黄石）【解析】 ⑴A; ⑵518.【例2】 ⑴ 如图，AB 是O 直径，弦CD 交AB 于E ，45AEC ∠=︒，2AB =．设AE x =，22CE DE y +=．下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的是（ ）A B C D3212y 21O12x x21O12y y 21O12x2121Oxy（2012海淀期中）思路导航典题精练BAO C DBA CD EBDAO C⑵ 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点()1 0，A ，过点()7 0-，P 的直线l 与 ⊙B 相交于C 、D 两点．则弦CD 长的所有可能的整 数值有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2013乐山）【备选1】如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B 、到MN 的距离分别为12h h ，，则12h h - 等于__________．【解析】 解法一：设AB MN 、相交于P ，过O 点作OH MN ⊥于H ，连结NO ．由垂径定理114522NH MN NO AB ====，，∴3OH =， ∵AE MN BF MN OH MN ⊥⊥⊥，，，∴AE OH BF ∥∥，∴AE AP BF BP OH OP OH OP==，，即1233h AP h BP OP OP ==，， ∴123h h AP BP OP--= 当P 点在O 点左侧时，AP BP <，()()2AP BP AO OP BO OP OP -=--+=当P 点在O 点右侧时，AP BP >，()()2AP BP AO OP BO OP OP -=+--= ∴126h h -=．解法二：极端假设法⑴当N 点运动到与A 点重合时，10AE h ==，2BF h BM ==， 此时ABM △是直角三角形，6BM =，∴126h h -=． ⑵当MN 与AB 垂直时，12AE h AP BF h BP ====，， ∵8MN =，由垂径定理知4MP NP ==，∴3OP =， ∴532538AP BP =-==+=，，∴126h h -=．解法三：连接EO 并延长交BF 于G 易证AOE BOG △≌△，∴1BG AE h ==，∴21FG h h =-， 由解法一可知3OH =， ∴2126h h OH -==，当MN 在圆心O 的另外一侧时，126h h -=， ∴126h h -=．解法四：连接BE ，作OH MN ⊥于H ，延长HO 交BE 于I 易得I 是BE 的中点，则21122HI BF h ==，11122OI AE h ==，∴()21132OH HI OI h h =-=-=，∴1226h h OH -==．解法五：延长BF 交O ⊙于G ，连接AG ，作OH MN ⊥于H 交AG 于J易证1GF AE h ==，()121122OJ BG h h ==+， ∴()()121211122OH OJ JH h h h h h =-=+-=-， ∴1226h h OH -==．【点评】 此题还有其它解法，老师在讲解时还可以引导学生拓展思路.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距四个量中，只要有一组量对应相等，那么其它三组量也分别相等。

利用这个定理，我们可以把四组量的相等关系进行相互转化，做到有的放矢。

定 理示例剖析弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． O D CB A如图，由定理可知：若AOB COD ∠=∠，则AB CD =、AB CD =； 若AB CD =，则AOB COD ∠=∠、AB CD =； 若AB CD =，则AB CD =、AOB COD ∠=∠．思路导航题型二：弧、弦、圆心角、弦心距的关系定理H Gh 2h 1O NM F E AJ E F M NO h 1h 2G H I AE F M NO h 1h 2HB'N M POBAABOPM N【例3】 ⑴ 如图， ⋂AB 是半圆，O 为AB 中点，C 、D 两点在⋂AB 上，且AD ∥OC ，连接BC 、BD ．若︒=∠31CBD ，则ABD ∠的度 数为何？（ ）A ．︒28B ．︒29C ．︒30D ．︒31（2013台湾）⑵ 已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小 值是__________．（北大附中月考）⑶ 如图，半圆O 的直径AB =10cm ，弦AC =6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（ ）A ．cm 54B ．cm 53C ．cm 55D ．cm 4 （2013内江）⑷ 如图所示，在O ⊙中，2AB CD =，那么( ) A. 2AB CD > B. 2AB CD <C. 2AB CD =D. AB 与2CD 的大小关系不能确定【解析】 ⑴ A ．⑵ 作B 点关于MN 的对称点B ′，连接AB ′与MN 交于点P ， 易证得，此时PA PB +取得最小值．根据圆的对称性，B ′点在O ⊙上，且B N BN =′， ∵A 是半圆的三等分点，∴13AN MAN =，∴60AON ∠=︒， ∵B 是AN 的中点，∴1302BON AON ∠=∠=︒，∴30B ON '∠=︒′，∴90AOB AON B ON ∠=∠+∠=︒′′， ∵O ⊙半径为1，∴1OA OB ==′，∴22AB OA ==′， ∴PA PB +的最小值为2．⑶ 连接OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵∠CAD =∠BAD （角平分线的性质）， ∴⋂⋂=BD CD ，∴∠DOB =∠OAC =2∠BAD ， ∴△AOF ≌△OED ，典题精练DCBO A C BO FE O A BDCDC⑷ 如图所示，作DE CD =，则2CE CD = ∵在CDE △中，CD DE CE +>， ∴2CD CE >， ∵2AB CD =， ∴AB CE >， ∴AB CE >，即2AB CD >. 故选A.【例4】 ⑴ 如图，在⊙O 中，AD 、BC 相交于点E ，OE 平分∠AEC ．① 求证：AB =CD ；② 如果⊙O 的半径为5，AD ⊥CB ，DE =1，求AD 的长．（2013普陀模拟）【解析】① 过点O 作OM ⊥AD ，ON ⊥BC ，∵OE 平分∠AEC ，∴OM =ON ，∴⋂⋂=CB AD ，∴⋂⋂⋂⋂-=-BD CB BD AD ，即⋂⋂=CD AB ，∴AB =CD ；② ∵OM ⊥AD ，∴AM =DM ，∵AD ⊥CB ，OE 平分∠AEC ，∴∠OEM =45°，∴∠OME =45°， ∴∠OEM =∠EOM ，∴OM =ME ，在Rt △AOM 中，222AM OM OA +=，即()22125AM AM +-=，解得：4=AM 或3-=AM （舍去），故AD 的长为8．⑵ 如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是AC的中点，MN AB ⊥于N ，试判断MN 与AC 的数量关系并证明．【解析】 12MN AC =．解法一：连接OM ，交AC 于D∵M 是AC 的中点，∴OM AC ⊥，即90ADO ∠=︒，12AD AC =， ∵OA OM AOD MON =∠=∠，，∴AOD MON △≌△， ∴AD MN =，∴12MN AC =．解法二：补全圆，延长MN 交O ⊙于E由垂径定理可知，EN MN =，即12MN ME =BDNMCAOE D B∴2ME MA=，又∵M是AC的中点，∴2AC MA=，∴AC ME=，∴AC ME=，∴12MN AC=．拿到圆周角，先观察它的位置，对于位置不合适的，可以利用弧把它转化为圆心角或相等的圆周角，除此之外，由半径和弦构成的等腰三角形也是常用的转化角的工具，应该熟练应用.定理示例剖析圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．CBAO2AOB ACB∠=∠EODCBA若ACB AED∠=∠，则AB AD=直角直径OCBA思路导航题型三圆周角定理OD C A BA O ODC BA1193DC BA【例5】 ⑴如下左图，ABC △内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．⑵如下中图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则DCA ∠= （ ）A ．70︒B ．60︒C ．20︒D ．40︒⑶ 如下右图，O ⊙的半径为1，AB 是O ⊙的一条弦，且3AB =，则弦AB 所对圆周角的度 数为__________．【解析】 ⑴ 33；⑵ C ；⑶ 60︒或120︒.【例6】 ⑴ 如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若452BAD CD ∠=︒=，，则AB 的长等于 ．⑵ 如图，已知圆内接四边形ABCD 中1193AB BC CD ===，，，若AB CD BC AD +=+，则AD =__________．【解析】 ⑴6．⑵连接AC BD 、∵AB CD BC AD +=+，∴180AB CD +=︒ ∴90ACB CBD ∠+∠=°∴AC BD ⊥，∴2222AD BC AB CD +=+， ∴2222311949AD =+-=，∴7AD =．另外还有一种解法：过点C 作CE BD ∥交O ⊙于点E .典题精练O DCBAEAB CM XOABC MX O【例7】 在ABC △中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．（三帆中学期中）【解析】 解法一：过点M 作MN AC ∥交O ⊙于N ，过点N 作NE AC ⊥于E ．∴AN CM =，AE CX =，∵AM BM =，∴MN BC =∴MN BC =，∴BC EX =，∴AX XC CB =+解法二：如图，在XA 上取一点D ，使得XD XC =， 连接MC ，MB ，MD ，MA由XC XD =，XM CD ⊥，∴MD MC = 又∵M 是圆上包含点C 的弧AB 的中点 ∴MA MB =又MBC MAD ∠=∠，MDC MCD BAM ∠=∠=∠， ∴AMD BMC ∠=∠，∴MAD MBC △≌△，∴AD BC = ∵AX AD DX =+，∴AX XC BC =+解法三：如图，过M 点作ME BC ⊥交BC 延长线于E ， 连结MA MB MC 、、，∵M 是圆上包含点C 的弧AB 的中点， ∴MA MB =， ∵MX AC ME BC ⊥⊥，， ∴90AXM BEM ∠=∠=︒，又∵MAX MBE ∠=∠，∴AMX BME △≌△， ∴MX ME AX BE ==，．∵MCE MAB MBA MCA ∠=∠=∠=∠，∴MCX MCE △≌△，∴CX CE =，∴AX BE BC CE BC CX ==+=+．（类似此方法还可以“延长BC 到E ，使CE CX =，连结ME ”） 解法四：如图，延长AC 到F ，使FX AX =，连结MA MB MC MF 、、、， ∵M 是圆上包含点C 的弧AB 的中点， ∴MA MB =，M AB M BA ∠=∠， ∵MX AC AX FX ⊥=，， ∴MA MF =，∴MB MF =，M AF M FA ∠=∠，∵MAC MBC ∠=∠，∴MBC MFC ∠=∠，D OMX CAEM X CA OOMX CA∵MCA MFC CMF ∠=∠+∠，MCA MBA MAB ∠=∠=∠， ∴MAB MFC CMF ∠=∠+∠， ∵BAC BMC CBM CAM ∠=∠∠=∠，，∴MAB BAC CAM BMC CBM ∠=∠+∠=∠+∠， ∴MFC CMF BMC CBM ∠+∠=∠+∠， ∴BMC CMF ∠=∠，∴MBC MFC △≌△，∴CF BC =， ∴AX FX XC CF XC BC ==+=+．此法还可以连接FB ，利用等腰三角形的性质可以证得结论．【点评】 此题还有很多种不同的解法，老师们可以引导学生拓展思维，多总结方法.第01讲精讲：圆中垂直弦的相关结论探究； 【探究对象】圆中垂直弦所组成的四边形的性质【探究目的】垂直弦是圆的题型中常见条件之一，以垂直弦为对角线的四边形非常特殊，具有很多自己特有的性质和结论，探究并掌握垂直弦所带来的性质和结论对于加强对圆的认识和加深对解题技巧的掌握都有很大的帮助；【探究1】角的相关性质探究：圆内接四边形对角互补：︒=∠+∠180BCD BAD ； ︒=∠+∠180ADC ABC ；【探究2】边的相关性质探究：对边平方和相等：222224r BC AD CD AB =+=+；分析：连接CO ，延长CO 与圆O 相交于点E ，连接AE 、BE ；则︒=∠90EAC ，从而BD AE ∥；易得321∠=∠=∠；所以AD BE =，2222224r CE BC BE BC AD ==+=+；【探究3】面积的计算探究：四边形ABCD 的面积等于对角线的乘积的一半：BD AC S ABCD ⋅=21四边形；【探究4】面积的性质探究：相对顶点同圆心的连线段平分四边形的面积：ABCD ABCO AOCD S S S 四边形四边形四边形21==；分析：过O 作AC OE ⊥，垂足为E ；过O 作BD OF ⊥，垂足为F ；DM AC OE AC S S S ADC AOC AOCD ⋅+⋅=+=∆∆2121四边形()DM MF AC DM AC MF AC +⋅=⋅+⋅=212121ABCD S BD AC DF AC 四边形214121=⋅=⋅=；【探究5】中点四边形探究：四边形ABCD 的中点四边形为矩形；【探究6】弧度探究：対弧和相等，且均等于半圆：︒=+=+⋂⋂⋂⋂180BC AD CD AB (以上弧均指劣弧)；分析：同【探究2】，⋂⋂⋂⋂⋂=+=+CBE BC BE BC AD ；【探究7】圆中的婆罗摩笈多定理：过对角线交点且平分一边的直线必垂直于对边： 如图，若E 为BC 中点，则AD EF ⊥；过对角线交点且垂直于一边的直线必平分对边： 如图，若AD EF ⊥，则E 为BC 中点；【探究8】弦心距与边的关系探究：一边的弦心距等于对边的一半：CD OE 21=；分析：方法一：过O 作CD OF ⊥，垂足为F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ；∵ACB AOB BOE ∠=∠=∠21COD CBD ∠-︒=∠-︒=219090FCO COF ∠=∠-︒=90；∴OCF BOE ∆∆≌；∴CD CF OE 21==；方法二：连接AO ，延长AO 交圆O 于点F ，连接BF ； ∵CAD ADB F BAF ∠=∠-︒=∠-︒=∠9090；∴CD BF =；∴CD BF OE 2121==；方法三：过O 作CD OF ⊥，垂足为F ，连接ME 、MF 、OF ； ∵由【探究7】的婆罗摩笈多定理可知CD EM ⊥，从而OF EM ∥；同理OE MF ∥；∴四边形OEMF 为平行四边形；FEODCBAF EOD CBAMOED CBACD MF OE 21==.训练1. ⑴ 如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥于D 交O ⊙于E ，则下列说法错误．．的是（ ）A ．AD BD =B ．ACB AOE∠=∠C ．AE BE=D ．OD DE =⑵ O ⊙的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是__________．⑶如图，O ⊙过点B C 、．圆心O 在等腰直角ABC △的内部，90BAC ∠=︒，1OA =，6BC =，则O ⊙的半径为_____________．⑷ 如图，在O ⊙内有折线OABC ，其中8OA =，12AB =，60A B ∠=∠=︒，则BC 的长为______．【解析】 ⑴ D ；⑵ 6；⑶13；⑷ 20．训练2. 如图，AD 为ABC △外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD . ⑴求证：BD CD =；⑵请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的 圆上？并说明理由.【解析】 ⑴ 证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥，∴BD CD =. ∴BD CD =.⑵ 答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上.理由：由⑴知：BD CD =， ∴BAD CBD ∠=∠.∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠. ∴DB DE =由⑴知：BD CD =. ∴DB DE DC ==.∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上.思维拓展训练(选讲)ABCEFDCBA OCBA O图1图2MM训练3. 如图，P 为O ⊙外一点，过点P 引两条割线PAB 和PCD ，点M N ，分别是AB CD ，的中点，连结MN 交AB ，CD 于点E F ，．求证:PEF△为等腰三角形. 【解析】 连结OM ON ，，分别交AB CD ，于G H ，.∵M N ，分别是AB CD ，的中点， ∴OM AB ⊥，ON CD ⊥，即90MGE NHF ∠=∠=︒. 又∵OM ON =，∴M N ∠=∠，由此得MEG NFH ∠=∠，即PEF PFE ∠=∠， ∴PE PF =，即PEF △为等腰三角形.探究：当点P 在O ⊙上或O ⊙内时其它条件不变，结论还成立吗?BD【解析】 答案是肯定的，即PEF △依旧是等腰三角形.证明方法与例题类似.训练4. 已知AD 是O ⊙的直径，AB AC 、是弦，若2AD AB AC =，，求由A B C D 、、、四点构成的四边形的周长．【解析】 分两种情况讨论：⑴ 如图1，弦AB AC 、在直径AD 的异侧，连结BD CD 、．∵AD 是直径，∴90B C ∠=∠=︒， 在Rt ABD △中，222BD AD AB =-，则1BD =，在Rt ACD △中，222CD AD AC =-，则CD =∴四边形周长为11AB BD CD AC +++． ⑵ 如图2，弦AB AC 、在直径AD 的同侧，连结CB BD CD 、、，过C 点作CE AB ⊥于E ．∵AD 是直径，∴90ACD ABD ∠=∠=︒在Rt ABD △中，222BD AD AB =-，则1BD =，在Rt ACD △中，222CD AD AC =-，则CD =∴AC CD =，∴45CAD CDA ∠=∠=︒，∴45ABC ADC ∠=∠=︒， ∵CE AB ⊥，∴90CEB ∠=︒，∴45ECB ∠=︒，∴CE EB =．设CE EB x ==，则AE x =， 在Rt ACE △中，222AE CE AC +=，即)222x x +=，整理得2210x -+=，解得x =OE P CB A∵CE AE <，∴312CE -=， ∴6222BC CE -==，∴四边形周长6262212322AC CB BD AD -++++=+++=+．题型一 垂径定理 巩固练习【练习1】 如图，点A B C 、、是O ⊙上的三点，AB OC ∥．⑴ 求证：AC 平分OAB ∠； ⑵ 过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P ．若230AB AOE =∠=︒，，求PE 的长． 【解析】 ⑴ ∵AB OC ∥，∴BAC C ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC C ∠=∠，∴BAC OAC ∠=∠，∴AC 平分OAB ∠．⑵ ∵OE AB ⊥，∴112AE AB ==，在Rt AOE △中，9030OEA AOE ∠=︒∠=︒，， ∴223AO AE OE ===，． 以下可以用两种不同方法解答：解法一：∵AB OC ∥，∴12AE PE OC OP ==∴133PE OE ==．解法二：由⑴得AC 平分OAB ∠，由角平分线定理可得2OA OPAE PE==，∴133PE OE ==．复习巩固O P FED CB A【练习2】 如图，O ⊙中，AB 是直径，弦GE EF HF EF ⊥⊥，，GE HF 、交AB 于C D 、．求证：AC BD =．【解析】 过O 点作OM EF ⊥于M 点， ∴M 是EF 中点，∵GE EF HF EF ⊥⊥，，∴GE HF ∥， 又OM EF ⊥，∴GE OM HF ∥∥，∴O 是CD 中点，∵OA OB =，∴AC BD =．题型二 弧、弦、圆心角、弦心距的关系定理 巩固练习【练习3】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N 、，分别作弦CD EF 、，若CD EF AC BF =，∥． 求证：⑴ BEC ADF =；⑵ AM BN =． 【解析】 ⑴ ∵AC BF =，∴AC BF =，∵AB 是直径，∴AEB ADB =，∴AEB AC ADB BF -=-，即BEC ADF =． ⑵ 由⑴可知CAM FBN ∠=∠，∵CD EF ∥，∴CMA DMB FNB ∠=∠=∠，又AC BF =，∴ACM BFN △≌△，∴AM BN =．题型三 圆周角定理 巩固练习【练习4】 ⑴ 如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_________．⑵ 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ， 且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________． 【解析】 ⑴1；⑵40︒.【练习5】 已知点A B C D 、、、顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．【解析】 解法一：补短法过B 点作BN CD ⊥交DC 延长线于N ．∵BM AC BN CD，，∴90⊥⊥∠=∠=︒，AMB DNB∵AB DB BAM BDN，，∴ABM DBN=∠=∠△≌△，∴AM DN BM BN，==∵BCN BAD BDA BCM∠=∠=∠=∠，∴BCM BCN△≌△，∴CM CN=，∴AM DN DC CN DC CM==+=+．（或延长DC到N，使DN AM=，连结BN，也可证得结论．）解法二：截长法在AM上取一点P，使得AP DC=，连结BP．则很容易证明ABP DBC=，△≌△，∴BP BC∵BM AC⊥，∴PM CM=，∴AM AP PM DC CM=+=+．【测试1】 (09河北)如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【解析】 45︒．【测试2】 ⑴(08龙岩)如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的 度数为_________．⑵ 如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠==，，则O ⊙的半径为 ______cm ．1BAOCBAOCBA【解析】 ⑴ ()117040152∠=︒-︒=︒． ⑵ 连接OA ，OB∵30C ∠=︒，∴260O C ∠=∠=︒，又∵OA OB =，∴OAB ∆为等边三角形， ∴2OA AB ==，即O 的半径为2．【测试3】 (07年威海中考题)如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．OEDCB AOEDCBA【解析】 连接AC 、BC∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒， 又∵D CBA ∠=∠，E CAB ∠=∠，∴90D E ∠+∠=︒， 又∵DCE D E ∠=∠=∠，∴45DCE D E ∠=∠=∠=︒，∴9045135DAB EBA DCB ECA ACB DCE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒， 即135A B +=︒∠∠课后测。