多品种货物配装的优化方法

n
始 , 依次向后推进 . 其计算过程如下 : 第一步 , 装入第 1 种货物 x 1 件 , 其最大价值 是 f 1 ( G , V ) = max p 1 x 1 , 式中 , 0 ≤x 1 ≤ min ( [ G/
g1 ] , [ V / v 1 ]) .
第二步 , 装入第 2 种货物 x 2 件 , 其最大价值 是 f 2 ( G , V ) = max { p 2 x 2 + f 1 ( G - g2 x 2 , V v 2 x 2 ) } , 式中 , 0 ≤x 2 ≤ min ( [ G/ g2 ] , [ V / v 2 ]) .
先按照待装货物的种类把求解划分为 n 个 阶段 ; 设状态变量 G 和 V 表示用于装入第 1 种至 第 n 种货物的总质量和总体积 ; 决策变量 x i 表 示装入第 i 种货物的件数 , 状态转移方程为 G =
G - gi x i , V = V - v i x i ; 可 以 决 策 的 集 合 是 D i ( G , V ) = { x i | 0 ≤ x i ≤min ( [ G/ g i ] , [ V / v i ]) } ( 方括号表示取整数 ) . 最优值函数 f i ( G , V ) 表示在第 i 阶段 , 当总重量不超过 G , 总体积
i ∈M
步骤 6 比较 Clk 与 ci ( i ∈N ( i ) ) , 记集合中 使得 min| ci - Clk | 的元素为 l ; 步骤 7 将货物 l 的容积和质量与货车 k 的 剩余容积和载重量进行比较 , 若 gl ≤ Gk 且 v l ≤
V k , 则转步骤 10 ;
S i ∩S j =
动态规划作为精确式算法 , 在求解中 , 能有效
i i
max f ( G , V ) =
n
i =1 n
∑p x
i
i =1பைடு நூலகம்
;
i
收敛到最优解 , 尤其是在需要配装的货物较少时 , 能充分利用货车的运载能力 , 效果较好 . 但是 , 随 ≤V 着货物数量的增多 , 计算量越来越大 , 增长的很 快 . 当配装货物的数量超过一定限度 ( 一般 50 ～
N ( i ) , Clk = V k / Gk ;
R j = 第 j 车所载货物容重比/ 第 j 车标准容重
比 = c/j / Cj ) ( 容重比 = 容积/ 载重 , 见文献 [ 3 ]) . 当 max Z g 和 max Zv 时 , Z b 越小越好 , 若 Z b 在配装中相当重要 , 则可作为目标之一 , 列入数学 模型中 , 即 : { max Zg , M ax Zv , min Z b | ∪S i < N ;
i=1
n
物的集合 S k ( k ∈M ( j ) ) , b. 该车所实际装载货 物的总质量 Gk sum 和总体积 V k sum 以及容重比 c′ k
( c′ k = V k sum/ Gk sum) , c . 该车实际装载货物的利用
装货物的总体积不能超过该车的容积) ; x ij = 0 或 1 , i = 1 , 2 , …, n ; j = 1 , 2 , …, m ( 如果货物 i 装 入第 j 辆车中 , 记 x ij 为 1 , 否则为 0) . 构造所要运输的货物集 N ( i ) = { 1 , 2 , …,
… 第 n 步 , 装入第 n 种货物 x n 件 , 其最大价值 是 f n ( G , V ) = max{ p n x n + f n - 1 ( G - g n x n , V v n x n ) } , 式中 , 0 ≤x n ≤ min ( [ G/ g n ] , [ V / v n ]) .
Zb 是最小化 , 为统一起见 , 可以设 Zb = - Zb , 即 : Z = f ( Zg , Zv , Zb) = α 1 Zg + α 2 Zv ′ α 3 Z b , 这样 , 新 ′
步骤 8 若 gl > Gk 或 v l > V k , 则令 l ∪P → P , N ( i ) \ l →N ( i ) ; 若 N ( i ) ≠ , 则转步骤 6 ; 步骤 9 M ( j ) \ { k} →M ( j ) , 转步骤 4 ; 步骤 10 令 l ∪s k → S k , N ( i ) \ { l } →
的最大价值量 . 该问题的求解是从第一个阶段开
1 利用动态规划进行单车配装
本文针对配送中心货物轻重不一 , 体积差异 悬殊的特点 , 采用容重比平衡法求解多品种货物 的配装问题 [ 1～5 ] . 现设有一货车 , 其最大装载量是 G , 最大容 积是 V , 用于运送 n 种不同的货物 , 物品的质量 分别是 g1 , g2 , …, g n , 体积分别是 v 1 , v 2 , …, v n . 每一种货物相对有一个价值系数 , 分别用 p 1 , p 2 , …, p n 表示 , 它用来表示该货物的价值 、 运费或质 量等 . 设 x i 表示第 i 种货物的装入数量 , 则该配 装的问题可以表述为 :
的目标就可以统一为追求 Z 最大化 . 本文中 , 主要讨论货物配装问题的第一种情 形 ( 第二种情形可以按照前文阐述方式转化为第 一种情形) . 为了使得参加配装的车辆的能力可以 充分利用 , 建立如下模型目标 :
max r = max
k ∈M
步骤 11 考察己 N ( i ) , 若 N ( i ) ≠ , 则转 步骤 6 ; 步骤 12 若 P ( l ) ≠ , 则 M ( j ) \ { k } →
2 同时配装 m 辆车
建立多车配装的数学模型如下 :
n m n m
max Zg =
m j=1
i =1 j =1
∑∑g x
i
ij ;
max Zv =
i =1 j =1
∑∑v x
i
ij
;
不超过 V 时 , 车中可以装入第 1 种到第 n 种货物
收稿日期 : 2003203214.
s. t . ∑x ij ≤ 1 , i = 1 , 2 , …, n ( 即每种货物最多
第 31 卷 第 9 期 华 中 科 技 大 学 学 报 ( 自然科学版) Vol. 31 No. 9 2003 年 9 月 J . Huazhong Univ. of Sci. & Tech. ( Nature Science Edition) Sep . 2003
作者简介 : 徐天亮 ( 19452) ,男 ,教授 ; 武汉 ,华中科技大学管理学院 ( 430074) . © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
60 件) 时 , 即使是用计算机 , 也难以承受 . 所以 , 当
s. t .
i =1
∑g x
i
i
≤ G;
∑v x
( x i ≥0 且是整数 ; i = 1 , 2 , …, n ) .
这是一个整数规划问题 . 如果 x i 只能取值 0 或
1 , 又称 0 21 背包问题 .
配装的货物很多时 , 为充分利用车辆的容重 , 要求 构造有效的启发式算法 , 在使计算复杂度迅速降 低的同时 , 仍然能够获得比较满意的配装水平 .
多品种货物配装的优化方法
徐天亮 刘小群
( 华中科技大学管理学院)
摘要 : 针对货车装载率低下的现状 , 提出利用相关优化技术 , 制定配装计划以充分利用车辆的载重能力及其 容积 . 在建立货物配装的数学模型之后 , 根据货物运输的特点并结合组合理论设计了算法 . 该算法同时考虑货 车的体积和载重量 , 能有效地收敛于满意解 , 在应用中效果良好 . 关 键 词 : 货物配装 ; 多品种 ; 优化 中图分类号 : F253 文献标识码 : A 文章编号 : 1671 24512 ( 2003) 09 20015 203
( i ≠j ) ; ∑g i ≤Gj ; ∑v i ≤V j } .
i ∈S
J
i ∈S
j
再者 , 当 Zg , Zv 和 Zb 重要程度不一致时 , 也 可以根据不同的目标要求 , 给 Zg , Z v 和 Zb 赋予 不同的权重 , 建立含有 Zg , Z v 和 Zb 的新的总目 标 , Z = f ( Zg , Zv , Z b ) ( f 为线性函数) . 设 Zg , Z v 和 Zb 的权重分别是 α 1 ,α 2 ,α 3 , 则有 Z = f ( Z g , Zv , Zb) = α 1 Zg + α 2 Zv + α 3 Zb . 由于在目标 Z 中 , Zg 和 Zv 都追求最大化 , 而
i ∈s
j
时 , 有 max Zg 和 max Zv . 另外 , 值得指出的是 , 为了使各种车辆的配装 率基本平衡 ( 这也是配装合理化的要求之一 ) , 设 计配装平衡指标是 Zb = ∑ R j j=1
m j=1
步骤 3 S k =
P=
, V k sum = 0 , Gk sum = 0 , ck = 0 , v ∑ / g ∑ ;
问题的解就是求 N ( i ) 中一组互不相交的集 合 S 1 , S 2 , …, S m ( 其中 S 1 , S 2 , …, S m 满足条件 Π i , j , S i ∩S j = , ∪S i = ∪S j Α N ( i ≠j ) ) , 使 得在条件 Π j ∈ M , ∑gi ≤ Gj 和 ∑v i ≤V j 成立
′
, r k = 0 ( k ∈M ( j ) ) ;
∑R j
m
m
步骤 4 计算 c , c =
i
i