第5讲-多元函数极限(续)与连续

第5讲 二元函数的极限（续）与连续性

讲授内容

一、二元函数的极限性质

例1 二元函数⎪⎩

⎪

⎨⎧+∞<<∞-<<=.,0,

0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 如图16－7所示，当),(y x 沿任何直线

趋于原点时，相应的),(y x

f 都趋于零，但这并不表明此函数在)0,0(),(→y x 时极限存在．因为当点),(y x 沿抛物线)10(2

<<=k kx y 趋于点)0,0(时，),(y x f 将趋于1。所以

).,(lim

)

0,0(),(y x f y x →不存在。

例2 设.321),(2

2y

x y x f +=

证明

+∞=→),(lim )

0,0(),(y x f y x

证：因为)(4322

2

2

2y x y x +<+，对任给正数M ，取,21M

=

δ就有

.212

2M

y

x =

+由此推得,1322

2M

y

x <

+即

.3212

2

M y

x >+

这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）.

二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把),(y x f 看作点函数()P f 时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．

二、累次极限

在上一段所研究的极限

),(lim

)

,(),(00y x f y x y x →中，

两个自变量y x ,同时以任何方式趋于0,0y x 。这种极限也称为重极限。在这一段里，我们要考察x 与y 依一定的先后顺序相继趋于0x 与0y 时f 的极限，这种极限称为累次极限．我们先通过以下例题来认识累次极限问题.

例3 设2

2

),(y

x xy y x f +=

. 由例1已经知道)0,0(),(→y x 时f 的重极限不存在.

但当0≠y 时，有.0lim

2

2

=+→y

x xy x 从而有.0lim

lim 2

2

0=+→→y

x xy x y

同理可得.0lim

lim 2

2

0=+→→y

x xy y x 即f 的两个累次极限都存在而且相等，但是f 的重极限不存在．

定义 若对每一个0y y ≠，存在极限),,(lim 0

y x f x x →由于此极限一般与y 有关，因此记作

()),,(lim 0

y x f y x

E x x x ∈→=ϕ而且进一步存在极限()y A y y ϕ0

lim →=.则称此极限为二元函数f 先对()0x x →后对

()0y y →的累次极限，并记作).,(lim lim 0

0y x f A x x y y →→=

类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限：).,(lim lim 0

0y x f B y y x x →→=

注：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．举例子来说明这一点． 例4 设y

x y

x y x y x f +++-=

2

2

),(，它关于原点的两个累次极限分别为

.1)1(lim lim

lim

lim 0

2

22

0-=-=-=+++-→→→→y y y y y x y

x y x y y x y

.1)1(lim lim

lim

lim 0

2

2

2

0=+=-=+++-→→→→x x

x x y

x y

x y x x x y x

当沿斜率不同的直线()()0,0,,→=y x mx y 时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在.

例5 设(),1sin 1sin

,x

y y

x y x f +=它关于原点的两个累次都不存在。

这是因为对任何0≠y ，当0→x

时f 的第二项不存在极限。同理，对任何0≠x ，当0→y 时f 的第一项也不存在极限。但是由于

y x x

y y

x +≤+1sin 1sin ,

故f 的重极限存在，且

()()

().0,lim

0,0,=→y x f y x

定理16.6 若重极限()()

()y x f o y x y x ,lim

,,0→与累次极限()y x f y x x y ,lim lim 0

0→→都存在，则它们一定相等。

证：设

()()

(),,lim

,,0A y x f o y x y x =→ 则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当()()δ;,0P U

y x P ︒

∈时，

有().,ε<-A y x f (2)

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式δ<-<00x x 的x ，存在极限()().,lim 0

x y x f y y ϕ=→

回到不等式（2），让其中0y y →，可得 ().εϕ≤-A x 故得()A x x x =→ϕ0

lim ，即

()()()

().,lim

,lim lim ,,00

0A y x f y x f o y x y x y y x x ==

→→→

推论1 若累次极限()()y x f y x f x x y y y y x x ,lim lim ,,lim lim 0

00

0→→→→ 和重极限

()()

()y x f o y x y x ,lim

,,0→都存在，则三者相等。

推论2 若累次极限(),,lim lim 0

0y x f y y x x →→与()y x f x x y y ,lim lim 0

0→→存在但不相等，则重极限

()()

()y x f o y x y x ,lim

,,0→必不

存在。

三、二元函数的连续性

定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．D P ∈0，若()().lim 00

P f P f P P =→则称f 点0P 连续。

例8 设⎪⎩⎪

⎨⎧=≠+=),

0,0(),( ,),0,0(),(,),(22y x m y x y x xy

y x f ， 函数),(y x f 在原点不连续。（因为极限不存在）

例9 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=),0,0(),( ,),

0,0(),( ,),(2222y x m y x y x y x y x f 讨论函数),(y x f 的连续性.

解：当

)0,0(),00≠y x （时，由于(),,),(lim

0020

2

020

2

0)

,(),(00y x f y

x y x y x f y x y x =+=

→因此f 连续.

而),(lim

)

0,0(),(y x f y x → ,0lim 2

2

)

0,0(),(=+=

→y

x xy xy

y x 故当0)0,0(==m f 时，f 在原点连续.

若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则．下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明．

定理16.7(复合函数的连续性) 设函数()y x u ,ϕ=和()y x v ,φ=在xy 平面上点()000,y x P 的某邻域内