第5讲-多元函数极限(续)与连续

第5讲 二元函数的极限（续）与连续性讲授内容一、二元函数的极限性质例1 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-<<=.,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 如图16－7所示，当),(y x 沿任何直线趋于原点时，相应的),(y xf 都趋于零，但这并不表明此函数在)0,0(),(→y x 时极限存在．因为当点),(y x 沿抛物线)10(2<<=k kx y 趋于点)0,0(时，),(y x f 将趋于1。

所以).,(lim)0,0(),(y x f y x →不存在。

例2 设.321),(22yx y x f +=证明+∞=→),(lim )0,0(),(y x f y x证：因为)(4322222y x y x +<+，对任给正数M ，取,21M=δ就有.2122Myx =+由此推得,13222Myx <+即.32122M yx >+这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）.二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把),(y x f 看作点函数()P f 时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．二、累次极限在上一段所研究的极限),(lim),(),(00y x f y x y x →中，两个自变量y x ,同时以任何方式趋于0,0y x 。

这种极限也称为重极限。

在这一段里，我们要考察x 与y 依一定的先后顺序相继趋于0x 与0y 时f 的极限，这种极限称为累次极限．我们先通过以下例题来认识累次极限问题.例3 设22),(yx xy y x f +=. 由例1已经知道)0,0(),(→y x 时f 的重极限不存在.但当0≠y 时，有.0lim22=+→yx xy x 从而有.0limlim 220=+→→yx xy x y同理可得.0limlim 220=+→→yx xy y x 即f 的两个累次极限都存在而且相等，但是f 的重极限不存在．定义 若对每一个0y y ≠，存在极限),,(lim 0y x f x x →由于此极限一般与y 有关，因此记作()),,(lim 0y x f y xE x x x ∈→=ϕ而且进一步存在极限()y A y y ϕ0lim →=.则称此极限为二元函数f 先对()0x x →后对()0y y →的累次极限，并记作).,(lim lim 00y x f A x x y y →→=类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限：).,(lim lim 00y x f B y y x x →→=注：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．举例子来说明这一点． 例4 设yx yx y x y x f +++-=22),(，它关于原点的两个累次极限分别为.1)1(lim limlimlim 02220-=-=-=+++-→→→→y y y y y x yx y x y y x y.1)1(lim limlimlim 02220=+=-=+++-→→→→x xx x yx yx y x x x y x当沿斜率不同的直线()()0,0,,→=y x mx y 时，容易验证所得极限也不同。

因此该函数的重极限不存在.例5 设(),1sin 1sin,xy yx y x f +=它关于原点的两个累次都不存在。

这是因为对任何0≠y ，当0→x时f 的第二项不存在极限。

同理，对任何0≠x ，当0→y 时f 的第一项也不存在极限。

但是由于y x xy yx +≤+1sin 1sin ,故f 的重极限存在，且()()().0,lim0,0,=→y x f y x定理16.6 若重极限()()()y x f o y x y x ,lim,,0→与累次极限()y x f y x x y ,lim lim 00→→都存在，则它们一定相等。

证：设()()(),,lim,,0A y x f o y x y x =→ 则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当()()δ;,0P Uy x P ︒∈时，有().,ε<-A y x f (2)另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式δ<-<00x x 的x ，存在极限()().,lim 0x y x f y y ϕ=→回到不等式（2），让其中0y y →，可得 ().εϕ≤-A x 故得()A x x x =→ϕ0lim ，即()()()().,lim,lim lim ,,000A y x f y x f o y x y x y y x x ==→→→推论1 若累次极限()()y x f y x f x x y y y y x x ,lim lim ,,lim lim 0000→→→→ 和重极限()()()y x f o y x y x ,lim,,0→都存在，则三者相等。

推论2 若累次极限(),,lim lim 00y x f y y x x →→与()y x f x x y y ,lim lim 00→→存在但不相等，则重极限()()()y x f o y x y x ,lim,,0→必不存在。

三、二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．D P ∈0，若()().lim 00P f P f P P =→则称f 点0P 连续。

例8 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=),0,0(),( ,),0,0(),(,),(22y x m y x y x xyy x f ， 函数),(y x f 在原点不连续。

（因为极限不存在）例9 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=),0,0(),( ,),0,0(),( ,),(2222y x m y x y x y x y x f 讨论函数),(y x f 的连续性.解：当)0,0(),00≠y x （时，由于(),,),(lim0020202020),(),(00y x f yx y x y x f y x y x =+=→因此f 连续.而),(lim)0,0(),(y x f y x → ,0lim 22)0,0(),(=+=→yx xy xyy x 故当0)0,0(==m f 时，f 在原点连续.若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则．下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明．定理16.7(复合函数的连续性) 设函数()y x u ,ϕ=和()y x v ,φ=在xy 平面上点()000,y x P 的某邻域内有定义，并在点0P 连续；函数()v u f ,在uv 平面上点()000,v u Q 的某邻域内有定义，并在点0Q 连续，其中()000,y x u ϕ=，()000,y x v φ=.则复合函数()[]),(),,(,y x y x f y x g φϕ=在点0P 也连续．四、有界闭域上连续函数的性质定理16.8(有界性与最大、最小值定理) 若函数f 在有界闭域⊂D R 2上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值．证 先证明f 在D 上有界．倘若不然，则对每个正整数n ，必存在点∈n P D ，使得().,2,1, =>n n P f n 于是得到一个有界点列{}D P n ∈，且总能使{}n P 中有无穷多个不同的点．由§1定理16．3(聚点定理)的推论，{}n P 存在收敛子列{}knP ，设.lim0P P k n k =∞→且因D 是闭域，从而∈0P D ．由于f 在D 上连续，当然在点0P 也连续，因此有()().lim 0P f P f knk =∞→这与不等式(3)相矛盾．所以f是D上的有界函数．定理16.9（一致连续性定理） 若函数f 在有界闭域2R D ⊂上连续，则f 在D 上一致连续。

即对任何0>ε，总存在只依赖于的ε正数δ，使得对一切点Q P ,，只要()δρ<Q P ,，就有()()ε<-Q f P f .定理16.10（介值性定理）设函数f 在区域2R D ⊂连续，若21,P P 为D 中任意两点，且()()21P f P f <，则对任何满足不等式()()21P f P f <<μ的实数μ，必存在点D P ∈0，使得()μ=0P f 。

证：作辅助函数()().,D P P f P F ∈-=μ易见F 仍在D 上连续，且()()0,021><P F P F 。

这里不妨假设21,P P 是D 的内点.下面证明必存在D P ∈0，使()00=P F 。

由于D 为区域，我们可以用有限段都在D 中的折线连结21P P 和（图16-10）。

若有某一个连结点所对应的函数值为0, 则定理已得证。

否则从一端开始逐个检查直线段，必定存在某直线段，F 在它两端的函数值异号,不失一般性，设连结()()222111,,,y x P y x P 的直线段含于D ,其方程为()().10,,121121≤≤⎩⎨⎧-+=-+=t y y t y y x x t x x 在此直线段上,F 表示为关于t 的复合函数()()()().10,,121121≤≤-+-+=t y y t y x x t x F t G 它是[0,1]上的一元连续函数,且()()()()21100P F G G P F =<<=.由一元函数根的存在定理，在(0,1)内存在一点,使得()00=t G 。

记()(),,1201012010y y t y y x x t x x -+=-+=则有()Dy x P ∈000,，使得()()().0000μ===P f t G P F 即。