人教新课标版数学高一学年高中数学必修二测试 第四章检测题

第四章综合素能检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．圆x 2＋y 2＋x －y －3

2＝0的半径是( )

A ．1

B ． 2

C ．2

D ．2 2

[答案] B

[解析] (x ＋12)2＋(y －1

2

)2＝2，r ＝2，故选B ．

2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切

[答案] B

[解析] 圆O 1(1,0)，r 1＝1，圆O 2(0,2)，r 2＝2，|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝5＜1＋2，且5＞

2－1，故两圆相交．

3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个

[答案] B

[解析] 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|

2＝2，则到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的两条平行线与圆的公共点的个

数即为所求．由于圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有3个交点．

4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为( ) A ．±2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±4

[答案] B

[解析] ∵切线的方程是y ＝－(x －a )，即x ＋y －a ＝0，∴

|a |

2

＝2，a ＝±2.

5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()

A．－3或4 B．6或2

C．3或－4 D．6或－2

[答案] D

[解析]由空间两点间的距离公式得

(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x＝6或x＝－2.

6．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为()

A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0

C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0

[答案] C

[解析]由(a－1)x－y＋a＋1＝0得a(x＋1)－(x＋y－1)＝0，

所以直线恒过定点(－1,2)，

所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，

即x2＋y2＋2x－4y＝0.

7．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝()

A． 2 B．2

C．1 D．3

[答案] B

[解析]依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的1

4

，即|a|

2

＝|b|

2

，

|a| 2＝1×cos45°＝2

2

，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2.

8．(2015·山东威海模拟)

若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值

为()

A．－3或 3 B． 3 C．－2或 2 D． 2 [答案] A

[解析]方法1：∵|PQ|＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d＝1－(

3

2)

2＝12，

∴

1k 2＋1

＝1

2

，解得k ＝±3. 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而

点

(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠PAO ＝60°，∴k ＝3，即直线PA 的斜率为

3.

同理可求得直线PB 的斜率为－ 3.

9．(2013·重庆)

设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2

[答案] B

[解析] |PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.

10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )

A ．5

3

B ．

21

3 C ．253

D ．43

[答案] B

[解析] △ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线x ＝1上，设圆心D (1，b )，由DA ＝DB 得|b |＝

1＋(b －3)2⇒b ＝22

3

，所以圆心到原点的距离d ＝

12＋(223)2＝213

.故选B ．

11．(2013·山东)

过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0

[答案] A

[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，

故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.

12．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，