第五节 函数的微分与近似计算

★ 导数与微分的区别:
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ( x0 ), 而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x x0的线性函数,它 的定义域是R,实际上,它是无穷小.
lim dy x x0
lim
x x0
f ( x0 )( x
x0 )
0.
2. 从几何意义上来看, f ( x0 ) 是曲线 y f ( x) 在 点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,而微分 dy f ( x0 ) ( x x0 )是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切 线方程在点 x0 的纵坐标增量.
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通 常 把 自 变 量 x的 增 量 x称 为 自 变 量 的 微 分,
记作dx, 即dx x.
dy f (x)dx
2.求 f ( x )在 点 x 0附 近 的 一 次 近 似 式 ;
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x,
令 x0 x x , 则 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
取 x0 0, 得 f ( x ) f (0) f (0) x .
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1 2xe x2 x ex2
,
1 2 xe x2 dy x e x2 dx.
cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx. 例5 设 y eax sin bx, 求dy. 解 dy eax cos bxd(bx) sin bx eaxd(ax)
eax cos bx bdx sin bx eax (a)dx eax (b cos bx a sin bx)dx.
y
3
x
2 0
x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f ( x )在点 可微, 而 A x 称为
的微分, 记作
即 dy A x.
常用近似公式 ( x 很小时)
(1) (1 x)a 1 ax; (2) sin x x ( x为弧度); (3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x; (5) ln(1 x) x.
证明 (1) 设 f ( x) (1 x)a , 则 f ( x) a(1 x)a1,
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1) d( ) cos tdt; (2) d(sin x2 ) ( )d( x).
解 (1)d(sin t) cos tdt,
cos tdt 1 d(sin t) d( 1 sin t);
d
(
1
sin
t
C
)
cos
tdt
.
(2) d(sin x 2 ) 2x cos x 2dx
d( x)
1 dx
4x
x cos x 2 ,
2x
d(sin x2 ) (4x x cos x2 )d( x).
注
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可 导 可 微 .
(2) : x的 高 阶 无 穷 小,当 x 很 小 时 可 忽 略.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当x 很小时, (2)是 x的 高 阶 无 穷 小 o(x ),
可微的条件
Hale Waihona Puke Baidu
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y Ax o(x), y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
微分的几何意义:
微分 d y f ( x 0 ) x y
T
tan x
N
表示切线纵坐标的增量.
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
）
o
x0 x0 x
x
二、微分公式与运算法则
dy f ( x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
解 设A r 2 , r 10厘米, r 0.05厘米. A dA 2r r 2 10 0.05 (厘米2 ).
2.计算函数的近似值
1.求 f
( x )在 点x
x
附
0
近
的
近
似
值;
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x. f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x. ( x 很小时)
d(a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d (log a
x)
1 dx x ln a
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
dx
例3 设 y e13x cos x, 求dy.
解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx.
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
当 x 很小时, 有近似公式
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy
A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
第五节 函数的微分与近似计算 一、微分的定义
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x (x)2
正方形面积 A x02 ,
x0x
x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A
x
2 0
x0x x0
(1) : x的 线 性 函 数, 且 为A的 主 要 部 分;
注
近似计算的基本公式 当x 很小时, y x x0 dy x x0 f ( x0 ) x. f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ), 当x 0时, f ( x) f (0) f (0) x.
作业
P120习题2_5 1，2(单)，3(单)
1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d ( x ) x 1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
思考题
1. 已知
求
解：因为
所以
2. 已知
求
解：方程两边求微分, 得
三、微分的应用 1.计算函数增量的近似值
若y f ( x)在点x0处的导数f ( x0 ) 0,且 x 很小时,
y x x0 dy x x0 f ( x0 )x.
例7 半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了 0.05厘米,问面积增大了多少?
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
其中 lim 0 , x0
从而y f ( x0 )x x f ( x0 )x o(x), 函数 f ( x)在点x0可微, 且dy f ( x0 )x.
函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)x.
f (0) 1, f (0) a.
f (x) f (0) f (0)x 1 ax.
例9 计算下列各数的近似值. (1) 3 998.5; (2) e0.03 .
解 (1) 3 998.5 3 1000 1.5
10 3 1 0.0015
10(1 1 0.0015) 3
9.995. (2) e0.03 1 0.03 0.97.
3. 复合函数的微分 则复合函数
分别可微 , 的微分为
f (u) ( x ) d x
du d y f (u) du
一阶微分形式的不变性
例4 设 y sin( 2x 1), 求dy. 解 y sin u, u 2x 1. dy cos udu cos(2x 1)d(2x 1)
例8 计算cos60o30的近似值.
解 设f ( x) cos x, f ( x) sin x, ( x为弧度)
x0
3
,
x , 360
f () 1 , f () 3 .
32
32
cos60o30 cos( ) cos sin
3 360
3
3 360
1 3 0.4924. 2 2 360