人教版高中数学必修2学案：直线的倾斜角与斜率习题课

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最新人教A版必修二直线的倾斜角和斜率学案

直线的倾斜角和斜率1 要点解读1．直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫做直线l 的倾斜角，当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0°.解读 (1)直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是与x 轴相交的直线；第二种是与x 轴平行或重合的直线．这样定义可以使平面内任何一条直线都有惟一的倾斜角．(2)从运动变化的观点来看，当直线与x 轴相交时，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角．(3)不同的直线可以有相同的倾斜角．(4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对x 轴正方向的倾斜程度．2．直线的斜率我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 解读 (1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒．(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x 轴．(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x 轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便．(4)当x 1＝x 2，y 1≠y 2时直线没有斜率．3．两条直线平行的判定对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.解读 (1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在．(2)当两条直线的斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，此时也有l 1∥l 2.4．两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.解读(1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率．(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.2 直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．1．根据倾斜角求斜率例1 如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tan θ.解∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.又菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°.∴∠DBx＝180°－∠DBA＝120°.∴k AC＝tan 30°＝33，k BD＝tan 120°＝－ 3.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．2．利用两点斜率公式例2 直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l 重合，求直线l的斜率k.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点P ，经过相应的平移后得到一个新点Q ，它也在直线上，则直线l 的斜率即为PQ 的斜率．解设P (x ，y )是直线l 上任意一点，按平移后，P 点的坐标移动到Q (x －4，y ＋3)． ∵Q 点也在直线l 上，∴k ＝y ＋3－y x －4－x ＝－34. 评注 ①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x ，y )沿x 轴正方向平移a 个单位，再沿y 轴正方向移动b 个单位，坐标由(x ，y )变为(x ＋a ，y ＋b )．②直线过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则倾斜角等于90°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在．3．利用待定系数法例3 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率．分析本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果．解设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y －1＝k (x ＋3)＋b ，即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1.由条件，知y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 为同一条直线的方程．比较系数，得b ＝3k ＋b ＋1，解得k ＝－13. 评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.3 直线方程中的“缺陷”1．斜截式中斜率“缺陷”例1 已知直线方程为3x ＋my －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距．错解由3x ＋my －6＝0，得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m. 剖析忘记讨论当m ＝0时，直线的斜率并不存在．正解当m ＝0时，直线可化为x ＝2，此时直线的斜率不存在，在y 轴上的截距也不存在；当m ≠0时，可得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m. 评注在直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，非常直观地表示了该直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .研究直线的斜率与在y 轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理．但要注意当y 的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论．2．两点式中分式“缺陷”例2 已知直线l 过点A (1,2)，B (a,3)，求直线l 的方程．错解由两点式，得直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 剖析忽视了a ＝1，即直线与x 轴垂直的情况，若a ＝1，则y －23－2＝x －1a －1不成立．正解当a ＝1时，直线l 的方程为x ＝1；当a ≠1时，直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 综上所述，直线l 的方程为x ＝1或x －(a －1)(y －2)－1＝0.评注一般地，过P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点的直线方程，不能写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，而应写成(x 2－x 1)(y －y 1)－(y 2－y 1)(x －x 1)＝0.3．截距式中截距“缺陷”例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程．错解设直线的方程为x a ＋y －a＝1. 因为直线过点(2,4)，所以2a ＋4－a＝1，解得a ＝－2. 故所求的直线方程为x －2＋y 2＝1，即x －y ＋2＝0. 剖析直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解．正解当直线的截距均不为0时，同错解；当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k ＝2，直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.故所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋2＝0.评注事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m (m >0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况．4．一般式中系数“缺陷”例4 如果直线(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0的斜率不存在，求m 的值．错解因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0.解得m ＝3或m ＝1.所以当m ＝3或m ＝1时，直线的斜率不存在．剖析由于方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，本身隐含着(A ，B 不同时为0)这一条件．当m ＝1时，方程(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0即为0·x ＋0·y －0＝0，它不表示直线，应舍去．正解因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0，且m －1≠0，解得m ＝3.所以当m ＝3时，直线的斜率不存在．评注方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线.4 对称问题中学数学涉及对称问题有两大类：一类是中心对称，另一类是轴对称．本章中与对称有关的问题分为以下四种类型．1．点关于点对称点P (a ，b )关于点M (x 0，y 0)的对称点为P ′(2x 0－a,2y 0－b )．事实上点关于点对称的本质是中点问题，由中点坐标公式即可求得对称点的坐标．2．直线关于点对称直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0关于点M (x 0，y 0)的对称直线l ′的方程是A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.事实上，设对称直线l ′上任一点为P (x ，y )，则P 关于点M (x 0，y 0)的对称点为P (2x 0－x,2y 0－y )，而点P 在直线l 上，故将P 的坐标(2x 0－x,2y 0－y )代入Ax ＋By ＋C ＝0得A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.3．点关于直线对称求点P (a ，b )关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P ′(a ′，b ′)，要抓住其两个几何特征：①PP ′⊥l ；②PP ′的中点在l 上，即由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ b ′－b a ′－a ·－A B ＝－1，A ·a ＋a ′2＋B ·b ＋b ′2＋C ＝0，解出a ′，b ′.但较特殊的对称情况可直接写出结果：①P (a ，b )关于x 轴的对称点P ′(a ，－b )；②P (a ，b )关于y 轴的对称点P ′(－a ，b )；③P (a ，b )关于直线x ＝x 0的对称点P ′(2x 0－a ，b )；④P (a ，b )关于直线y ＝y 0的对称点P ′(a,2y 0－b )；⑤P (a ，b )关于直线x ＋y ＋c ＝0的对称点P ′(－b －c ，－a －c )；⑥P (a ，b )关于直线x －y ＋c ＝0的对称点P ′(b －c ，a ＋c )．4．直线关于直线对称求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2的方程可以按以下方法求解：①在l 1上任取相异两点P 1，P 2，求出P 1，P 2关于直线l 的对称点P ′1，P ′2，再由P ′1，P ′2的坐标写出直线l 2的方程．②任取l 2上一点P (x ，y )，用x ，y 表示出点P 关于直线l 的对称点P ′的坐标(x ′，y ′)，再将(x ′，y ′)代入直线l 1的方程整理可得l 2的方程．特别地，若l 1∥l ，l 2还有其他求法(请自己思考)．例1 求直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2，－3)对称的直线的方程．解方法一由对称的直线l 与3x －4y ＋5＝0平行，故设直线方程为3x －4y ＋m ＝0，而M 到两线的距离相等，则|3×2－4×－3＋m |32＋42＝|3×2－4×－3＋5|32＋42，解得m ＝－41，m ＝5(舍去)．所以直线l 的方程为3x －4y －41＝0.方法二由方程3x －4y ＋5＝0，取该直线上两点A (0，54)，B (－53，0)，它们关于点M (2，－3)的对称点为A ′(4，－294)，B ′(173，－6)．过A ′，B ′的直线即为l ：3x －4y －41＝0.方法三设所求直线l 上任意一点为P (x ，y )，则P 关于点(2，－3)的对称点为P ′(4－x ，－6－y )，将P ′坐标代入3x －4y ＋5＝0，得3(4－x )－4(－6－y )＋5＝0，即3x －4y －41＝0，这就是所求直线l 的方程．评注通过三种解法的比较，这类问题采用方法三的解法更简捷．例2 已知直线l 1：2x ＋y －4＝0，求l 1关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程．解方法一由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0得l 1与l 的交点P (3，－2)．又取l 1上一点A (2,0)，设A 关于直线l 的对称点为B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－2＝43，3·2＋x 02＋4·0＋y 02－1＝0，解得B (45，－85)．显然P (3，－2)、B (45，－85)都在l 2上，由此可得l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0. 方法二设直线l 2上任一动点为M (x ，y )，它关于直线l 的对称点为M ′(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝43，3·x 0＋x 2＋4·y 0＋y 2－1＝0，解得x 0＝7x －24y ＋625，y 0＝－24x －7y ＋825. 由M ′(x 0，y 0)在直线l 1上，故2·7x －24y ＋625＋－24x －7y ＋825－4＝0，化简为2x ＋11y ＋16＝0，这就是直线l 2的方程．评注本题也可在直线l 1上任取两点，求出它们关于直线l ：3x ＋4y －1＝0的对称点，从而得出l 2的方程．例3 已知△ABC 的顶点A (3，－1)，∠B ，∠C 的角平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ，求BC 边所在的直线方程．解如图，设点A 关于直线BO ，CD 的对称点分别为A 1，A 2.因为A (3，－1)，且∠B 的平分线方程为x ＝0，故点A 关于直线BO 的对称点A 1的坐标为(－3，－1)．又因为∠C 的平分线CD 的方程为y ＝x ，所以点A 关于直线CD 的对称点A 2的坐标为(－1,3)．而A 1(－3，－1)，A 2(－1,3)两点都在直线BC 上，由此可得直线BC 的方程为2x －y ＋5＝0. 评注本题的解答抓住了角平分线的性质——对称性(AB ，CB 两直线关于直线BO 对称，AC ，BC 两直线关于直线CD 对称)求解.5 直线系方程的类型及应用在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的途径来获解．而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率．一、直线系方程的类型1．平行直线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C 1＝0(C ≠C 1)．2．垂直直线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C 1＝0.3．交点直线系：若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P ，则过交点P 的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线l 2)．4．过定点P (a ，b )的直线系方程可设为m (x －a )＋(y －b )＝0(m 为参数)．二、直线系方程的应用1．平行或垂直的直线系方程的应用例1 已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在的直线方程．解正方形的中心G 到已知边的距离为d ＝|－1－5|12＋32＝610. 设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x ＋3y ＋c ＝0，则d ＝|－1＋c |10＝610，解得c ＝7或c ＝－5(舍去)．故所求一边的直线方程为x ＋3y ＋7＝0.又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直，故设另两边所在的直线方程为3x －y ＋m ＝0.则d ＝|3×－1＋m |10＝610，解得m ＝9或m ＝－3.因此正方形另两边所在的直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0. 评注利用平行或垂直的直线系，可免去求斜率的麻烦，直接套用公式即可．在运用直线系方程时，要注意通过图形的几何性质，得出所设方程的参数．2．过交点的直线系方程的应用例2 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (c,0)，设P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确求得OE 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0，求直线OF 的方程．解由截距式可得直线AB ：x b ＋y a ＝1，直线CP ：x c ＋y p＝1，点F 为直线AB 与直线CP 的交点，故过F 点的直线系方程可设为 l ：x b ＋y a －1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x c ＋y p －1＝0. 又直线l 过原点(0,0)，代入方程得λ＝－1，故所求直线OF 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1b x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0. 评注本例通过设出过交点的直线系方程，简化了求交点的烦琐过程，大题小做，直观简捷．3．过定点的直线系方程的应用例3 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若直线不过第二象限，求实数a 的取值范围．解直线方程化为(3x －y )a －(x －2y ＋1)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝35，即无论a 为何实数，直线总过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35. 设直线的斜率为k ，直线OP 的斜率为k OP .由图象可知，当直线的斜率k满足k≥k OP时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限．故由k≥k OP，解得a∈[2，＋∞)．又当a＝2时满足题意，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．评注过定点的直线系的特征是直线方程中有一个参数．本例通过直线过定点P，运用数形结合的思想，只考虑直线斜率满足的条件将问题巧妙转化解出．6 活用两点间的距离公式已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则该两点之间的距离可表示为|AB|＝x2－x12＋y2－y12.两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用．因此应熟练掌握公式并且灵活运用．1．判断三角形的形状例1 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．求证：△ABC是直角三角形．分析求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证．证明|AB|＝－1－12＋3＋12＝25，即|AB|＝25，∴|AB|2＝20，同理|AC|2＝5，|BC|2＝25.∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形．评注在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可．2．求点的坐标例2 已知点A (－3,4)，B (2，3)，在x 轴上找一点P 使得|PA |＝|PB |，并求出|PA |的值．分析由于点P 在x 轴上，可设P (x,0)，再利用条件|PA |＝|PB |即可解决．解设P (x,0)，则有|PA |＝x ＋32＋0－42＝x 2＋6x ＋25， |PB |＝x －22＋0－32＝x 2－4x ＋7. 由|PA |＝|PB |，可得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，解得x ＝－95，从而得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0，且|PA |＝21095. 评注应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法．3．证明三点共线问题例3 已知A (1，－1)，B (3,3)，C (4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上．分析要证A ，B ，C 三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明．而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证|AC |＝|AB |＋|BC |即可，要确定|AC |，|AB |，|BC |的长，只需利用两点间的距离公式即可．证明 |AB |＝3－12＋3＋12＝22＋42＝25， |BC |＝4－32＋5－32＝12＋22＝5， |AC |＝4－12＋5＋12＝32＋62＝3 5. ∵|AB |＋|BC |＝35，|AC |＝35，∴|AB |＋|BC |＝|AC |，即A ，B ，C 三点共线．评注在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题．4．证明平面几何问题例4 如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，试用坐标法证明：|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.分析要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算．在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便．证明建立如图所示的平面直角坐标系，设M (x ，y )，C (x 1，y 1)，则A (0,0)，B (x 1,0)，D (0，y 1)，|AM|＝x2＋y2，|BM|＝x－x12＋y2，|CM|＝x－x12＋y－y12，|DM|＝x2＋y－y12.∵|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－x1)2＋(y－y1)2，|BM|2＋|DM|2＝x2＋y2＋(x－x1)2＋(y－y1)2，∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.即如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2都成立．评注用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．。

人教A版高中数学必修2《三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率习题3.1》教案_13

直线的倾斜角与斜率习题课教案【教学目标】体会用代数的方法研究直线的有关问题的过程，通过习题课掌握倾斜角与斜率关系，以及能掌握直线平行和垂直的判定的基本方法。

【教学重点】体会用代数方法刻画直线斜率的过程；掌握过两点的直线斜率的计算公式。

并掌握根据斜率判定两条直线平行或垂直的方法。

【教学难点】直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。

根据斜率判定两条直线平行或垂直。

【教学过程】一、复习回顾「基础知识填一填」1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l__________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直l与x轴时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是.2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________.3.两直线平行和垂直的判定（1）两直线平行时斜率的关系（2）两直线垂直时，斜率间的关系（3）注意斜率的的情况二、重点知识点解析应用知识点1.直线的倾斜角与斜率关系1.过两点(4,),(2,A y B -的直线的倾斜角为34π,则y 等于（）A ．1-B ．5-C ．1D ．52. 已知直线的斜率k 满足13<≤-k ，则直线的倾斜角α的范围是_____________；小练：习题3.1 A 组第1题第4题1.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角。

4.（1）m 为何值时，经过两点A （-m ，6），B （1,3m ）的直线斜率是12？（2）m 为何值时，经过两点A （m ，2），B （-m ，-2 m-1）的直线的倾斜角是 60？3.直线的斜率为R x x k ∈=,sin ，则它的的倾斜角α的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π C ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π能力提升：习题3.1B 组第6题6.经过点P （0，-1）作直线l ，若直线l 与连接A （1，-2），B （2，1）的线段总有公共点，找出直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围，并说明理由变式：若A 点换成坐标为（-1,0），B 点不变，取值范围如何归纳总结：求倾斜角或斜率问题时应注意①倾斜角的范围为[0，π)；②已知倾斜角α的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：k ＝tan α，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时的图象如图．知识点2：直线的平行与垂直的判定1.已知)0,(m A ，)1,0(B ，)0,2(C ，)2,1(--m D ，（1）若CD AB //，求m 的值；（2）若CD AB ⊥，求m 的值。

人教A版高中数学必修二直线的倾斜角与斜率学案(1)

3.1直线的倾斜角与斜率一、选择题1、以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A点为直角顶点的直角三角形D.以B点为直角顶点的直角三角形解析：k AB=,k AC=∵k AB·k AC=∴AB⊥AC且A为直角2、在同一直角坐标系中，如图中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )解析：当a＞0时，A、B、C、D均不成立；当a＜0时，只有C成立，故选C. 答案：C3、下列三点能构成三角形的三个顶点的为( )A.(1,3),(5,7),(10,12)B.(-1,4),(2,1),(-2,5)C.(0,2),(2,5),(3,7)D.(1,-1),(3,3),(5,7)思路解析:A、B、D选项中三点均共线,不能组成三角形.C选项中三点不共线,故可以组成三角形的三个顶点.4、下列命题:①若两直线平行,则其斜率相等;②若两直线垂直,则其斜率之积为-1;③垂直于x轴的直线平行于y轴.其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3思路解析:①两直线斜率不存在时,也可以平行,故不对;②两直线一条不存在斜率,另一条斜率为0,此时也垂直,故不对.③垂直于x轴的直线不一定平行于y轴,可以与y轴重合,故不对.答案:A主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程5、没有斜率的直线一定是( )A.过原点的直线B.垂直于x轴的直线C.垂直于y轴的直线D.垂直于坐标轴的直线6、下列三点能构成三角形的三个顶点的为( )A.(1，3)，(5，7)，(10，12)B.(-1，4)，(2，1)，(-2，5)C.(0，2)，(2，5)，(3，7)D.(1，-1)，(3，3)，(5，7)7、顺次连结A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点所组成的图形是( )A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对参考答案与解析:解析：k AB=,k BC=,k CD=,k AD=.∵k AB=k CD，k AD·k AB=-1,k AD·k CD=-1∴ABCD为直角梯形.8、直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在参考答案与解析:解析：易知倾斜角为90°,当倾斜角为90°时,斜率不存在.答案：C主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程9、若直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是…( )A.［0°,90°］B.［90°,180°］C.(90°,180°)D.［0°,180°)参考答案与解析:解析：做出l的图象如下图,由图象易知,应选C.答案：C主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程10、下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等,则两直线平行②若l1∥l2,则k1=k2③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交④若两直线斜率都不存在,则两直线平行A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案与解析:解析：①③④正确,②错.答案：C主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程二、填空题【共4道小题】1、在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k=tanα；②若直线斜率k=-1，则它的倾斜角为135°；③若A(1，-3)、B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°；④若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这直线必过(3，4)点；⑤若直线斜率为，则这条直线必过(1，1)与(5，4)两点.所有正确命题的序号是___________.参考答案与解析:【探究】①当α=90°时，斜率k不存在，故错误；②倾斜角的正切值为-1时，倾斜角为135°，故正确；③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确；④直线过定点(1，2)，斜率为1，又，故直线必过(3，4)，命题正确；⑤斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1，1)与(5，4)两点，命题错误.答案：②③④【规律总结】斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，斜率与倾斜角之间存在着一定的关系，同时横坐标不相等的两点间的斜率公式是最基本的公式，因此必须首先重视对基础知识与基本概念、基本公式的学习与应用.主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程2、过点A(0，)与B(7，0)的直线l1与过(2，1)，(3，k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为___________.参考答案与解析:解析：若l1和l2与坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l1⊥l2.而,.由，得k=3答案：3主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程3、一光线射到x轴上并经x轴反射,已知入射光线的倾斜角α1=30°,则入射光线的斜率为k1=_______;反射光线的倾斜角为α2=_______,斜率为k2=_______.参考答案与解析:思路解析:由反射定律知α2与α1互补.答案:150°主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程4、a、b、c是两两不等的实数，则经过P(b,b+c)、C(a,c+a)两点直线的倾斜角为________.参考答案与解析:解析：k=∴α=45°答案：45°主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程三、解答题【共3道小题】1、求过下列两点的直线l的斜率k:(1)A(a,b)、B(ma,mb)(m≠1,a≠0);(2)P(2,1)、Q(m,2).参考答案与解析:解:已知直线上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x1≠x2时,;当x1=x2时,斜率k不存在.(1)∵m≠1,a≠0,∴.(2)当m=2时,斜率k不存在;当m≠2时,,∴.主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程2、已知三点A(m-1,2)、B(1,1)、C(3,m2-m-1),若AB⊥BC,求M的值.参考答案与解析:解:设AB、BC的斜率分别为k1、k2,则. 又知x a-x b=m -2,①当m-2=0,即m=2时,k1不存在,此时, k2=0,则AB⊥BC.②当m-2≠0,即m≠2时,.由,得m=-3,故若AB⊥BC,得m=2或m=-3.主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程3、已知四边形ABCD的顶点为,B(-2,2),,D(4,2),求证:四边形ABCD为矩形.参考答案与解析:证明:,,,,∴k AB=k CD,k BC=k AD.∴四边形ABCD为平行四边形.又,∴AB⊥BC.∴四边形ABCD为矩形.主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程。

人教A版高中数学必修2《三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率习题3.1》优质课教案_6

直线的倾斜角与斜率
学习目标：
1、理解并掌握直线的倾斜角和斜率的定义.，掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线斜率公式及应用问题.
2、通过从数与形两方面刻画直线相对于x轴的倾斜程度，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，体会解析几何数形结合，以数论形的数学思想。

学习重点：
1、倾斜角与斜率两个概念的形成
2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式
3、体会解析几何数形结合，以数论形的数学思想
学习难点：
倾斜角与斜率的运用.
学习过程：
活动一心动入境：解析几何基本思想方法介绍
活动三互动评说倾斜角与斜率的应用。

人教版高中数学必修二直线的倾斜角与斜率习题

一，选择题已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1，tan α＋1)，则 ()A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则()A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0如果0AC且0BC ，那么直线0C By Ax 不通过_____A 、第一象限 B、第二象限 C 、第三象限 D、第四象限两直线0111C y B xA ，0222C yB xA 垂直的充要条件是_____ A 、02121B B A A B 、02121B B A A C 、12121B B A A D 、12121A A B B 已知两条直线1l :x y,2l :0yax，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0,12)内变动时a 的取值范围是____A 、（0，1）B 、（33，3） C 、（33，1）（1，3） D 、（1，3）直线0632yx 关于点（1，-1）对称的直线方程是____A 、0223yxB 、0732y x C、01223y x D 、0832yx 已知点M 是直线:l 042yx 与x 轴的交点，把直线l 绕点M 依逆时针方向旋转45得到的直线方程是_____A 、063y xB 、063y xC 、03y xD 、023y x 如果直线1l ，2l 的斜率分别是二次方程：0142xx的两根，那么1l 和2l 所成的角是_____A 、3B、4C、6 D、8过p （1，2）且A （2，3）与和B （4，-5）的距离相等的直线方程是____A 、064y xB 、0723y x B 、C 、064yx或0723yxD、以上都错若01298y x kxy表示两条直线，则实数k 的值及两直线所成的角分别是___A 、 8，60 B、4，45 C、6，90 D、2，30已知直线1l 和2l 的夹角平分线为y=x ，如果1l 的方程是0c by ax(a,b>0),那么2l 的方程是_____A 、0c ay bxB 、0c by axC 、0c ay bx D 、0c aybx直线03)1()2(y a xa与02)32()1(yaxa互相垂直，则a 为——A 、-1 B、1 C 、1 D、23二，填空题已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________.已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．已知实数x,y 满足关系式060125y x ，则22y x的最小值为______如果直线l 与直线01y x关于轴对称，那么直线l 的方程是_______经过点(-5,2)且横、纵截距相等的直线方程是________与直线0143y x 平行且在两坐标轴上截距之和为37的直线l 的方程为______三．已知直线1)13()2(x a y a①求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限②为使这直线不过第二象限，求a 的范围。

人教A版高中数学必修二直线的倾斜角与斜率学案

高一数学---3.1直线的倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定[要点分析]一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角。

（2）倾斜角的范围：当与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°因此0°≤α＜180°。

2、直线的斜率（1）斜率公式：K=tan α（α≠90°）（2）斜率坐标公式：K=1212x x y y -- （x 1≠x 2）（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。

当α=0°时，k=0；当0°＜α＜90°时，k ＞0，且α越大，k 越大；当α=90°时，k 不存在；当90°＜α＜180°时，k ＜0，且α越大，k 越大。

二、两直线平行与垂直的判定1、两直线平行的判定：（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行；（2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k 1=k 2 ⇔ 1 ∥22、两直线垂直的判定：（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直；（2）如果两条直线1 、2 的斜率都存在，且都不为0，则1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1[例题分析]例1、△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率。

例2、若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围。

例3、已知经过点A （－2，0）和点B （1，3a ）的直线1 与经过点P （0，－1）和点Q （a ，－2a ）的直线2 互相垂直，求实数a 的值。

[课后练习]1、若经过P （－2，m ）和Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m=（）A 、1B 、4C 、1或3D 、1或42、若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（）A 、1B 、－1C 、0D 、73、直线经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（）A 、45°B 、135°C 、45°或135°D 、－45°4、下列说法正确的有（）①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若1 ∥2 ，则k 1=k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。

高中数学直线倾斜角与斜率习题课导学案新人教A版数学必修2

直线的倾斜角与斜率习题课一、学习目标 :知识与技术：理解直线的倾斜角和斜率的看法．理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，能用直线的倾斜角与斜率的关系来判断两条直线平行与垂直。

过程与方法：经过两条直线的地点去研究它们的倾斜角与斜率的关系，实现用代数方法解决几何问题感情态度与价值观： (1) 经过直线的倾斜角看法的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭露，培育学生察看、研究能力，运用数学语言表达能力，数学沟通与评论能力． (2) 经过斜率概念的成立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形联合思想，培育学生建立辩证一致的看法，培育学生形成谨慎的科学态度和求简的数学精神．二、学习重、难点学习要点 : 两条直线平行和垂直的判断，要修业生能娴熟掌握，并灵巧运用．学习难点 : 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围三、学法指导及要求 :1、仔细研读教材 82---85 页，仔细思虑、独立规范作答，仔细达成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号 .2 、把教案中自己易忘、易犯错的知识点和疑难问题以及解题方法例律，实时整理在解题本，多复习记忆 . （特别是正切的三角函数值，斜率的计算公式一定切记） 3、 A: 自主学习； B: 合作研究； C ：能力提高 4、小班、要点班达成所有，平行班起码达成 A.B 类题 . 平行班的 A 级学生达成 80％以上 B 达成 70％～ 80％ C 力求达成 60％以上 . 四、知识链接：1. 直线的倾斜角的范围：2. 直线的斜率：3. 过 P （ x 1 ， y 1 ）和 Q （ x 2 ， y 2 ）的直线的斜率公式：当 x 1 = x 2 时，直线斜率4.k=0 时，直线 x轴或与 x 轴； k>0 时，直线的倾斜角为， k 增大，直线的倾斜角也； k<0 时，直线的倾斜角为， k 值增大，直线的倾斜角也。

5. l ∥ l 2 , ;l ⊥ l21 1五、学习过程：题型一：已知两点坐标求直线斜率经过以下两点直线的斜率能否存在，若存在，求其斜率（ 1） (1,1) ，(-1,-2) （ 2） (1,-1)， (-2,4) （3） (-2,-3) ， (-2,3)题型二：求直线的倾斜角设直线 L 过坐标原点，它的倾斜角为，假如将 L 绕坐标远点按逆时针方向旋转 45 ，获得直线 L 1 那么L 1 的倾斜角为 ( )A. 45B.135C.135D. 当 3 3 ，），为1350，）时，为45 ；当44变式：已知直线 L 1 的倾斜角为，则 L 1 对于 x 轴对称的直线L 1 的倾斜角=题型三：斜率与倾斜角关系当斜率 k 的范围以下时，求倾斜角的变化范围：(1)k 1 ( 2)k 1 (3)3 k 3题型四：利用斜率判断三点共线已知三点 A （ a,2 ）， B （ 5,1 ）， C （ -4,2a ）在同一条直线上，求 a 的值。

人教版高中数学必修2《三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率习题3.1》公开课教案_3

基于数学核心素养下的学力课堂教学模式——“两条直线平行与垂直的判定”教学设计数学核心素养包括：直观想象、数学运算、数据分析、数学抽象、逻辑推理、数学建模。

数学核心素养下的学力课堂教学模式，就是教师在课堂教学中把教学目标、教学思想、教学过程、教学设计等问题化，把学生的学习动机和形成新思想的问题情境作为重要的教学内容，以导学案为载体，教师通过提出问题，启发引导学生进行问题探究，用问题来引导学生的思维方向，进而实现对学生的导学；学生以学习小组为单位，通过自学、互学、展学、练学获取知识、方法和能力，进而实现核心素养的培养，在学生的探究活动中师生对话、解决问题、完成教学目标的一种教学模式。

两条直线平行与垂直的判定是解析几何的基础，本节内容是在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，重点学习直线与直线在平面中的特殊位置关系。

一、教材分析本课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的第三章第二节，介绍的是平面解析几何的知识。

从本章开始学生初步、系统地了解平面解析几何的知识，在第一、二章的学习中，学生已掌握了高中立体几何的初步知识，这有利于学生从新的角度了解高中数学几何教学内容编排体系。

通过本章知识的学习可以让学生重新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。

在本章中，学生初步尝试从新的观念来认识直线和方程的联系，再从基本概念和基本方法深化对直线方程的理解，从而使知识规律化、系统化、网络化。

这种学习方式的过程和方法一经掌握，可以轻松地学习第四章圆的方程的内容。

学生只有掌握了两条直线的位置关系，才能进一步学习直线方程，教材利用两条直线的倾斜角和斜率的关系引出了两条直线的平行和垂直的位置关系，这一节课的知识结构非常系统，有利于学生形成规律性的知识网络。

二、课标分析《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

人教版高中数学必修二讲学案：第三章3.1直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率3． 1.1倾斜角与斜率预习课本 P82～85，思虑并达成以下问题1．直线的倾斜角的定义是什么？2．直线的倾斜角的范围是什么？3．直线的斜率的计算公式是如何的？[新知初探 ]1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义：当直线 l 与 x 轴订交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如下图，直线l 的倾斜角是∠APx，直线 l′的倾斜角是∠ BPx.(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜ 180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.[点睛 ](1) 倾斜角定义中含有三个条件：① x 轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确立的倾斜角，且倾斜程度同样的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不一样的直线，其倾斜角不相等．2．直线的斜率(1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即 k＝ tan_α.(2)斜率公式：经过两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)( x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－ y1时，直线x2－x.当 x1＝x21P1P2没有斜率．(3)斜率的作用：用实数反应了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[点睛 ]直线都有倾斜角，但其实不是全部的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴 (平行于y 轴或与y 轴重合)．[小试身手]1．判断以下命题能否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任向来线都有倾斜角，都存在斜率()(2)倾斜角为135 °的直线的斜率为1()(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝ tan α()(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞ )()答案： (1) × (2) × (3) × (4) √2．若直线l 经过原点和(－ 1,1)，则它的倾斜角是()A． 45°C． 45°或分析：选135 °B作出直线B． 135 °D．－ 45°l，如下图，由图易知，应选 B.3．已知直线 l 的倾斜角为 30°，则直线 l 的斜率为 () 3A. 3B.32C． 1 D. 2分析：选A由题意可知，直线l 的斜率 k＝ tan 30°＝3 3 .直线的倾斜角[典例 ]设直线 l 过原点，其倾斜角为α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线 l1，则直线 l1的倾斜角为 ()A．α＋ 45°B．α－ 135 °C． 135 °－αD．α＋ 45°或α－ 135 °[分析 ]由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋ 45°＜ 180°(0°≤α＜180 °)，即 0°≤α＜ 135 °时， l1的倾斜角才是α＋ 45°.而 0°≤α＜ 180°，所以当135°≤α＜ 180 °时， l1的倾斜角为α－ 135°(如图 )．[答案 ]D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：联合图形，利用特别三角形(如直角三角形 )求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为 90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[活学活用 ]()已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是A． 0°≤α＜ 90°B． 90°≤α＜ 180 °C． 90°＜α＜ 180 °D． 0°＜α＜ 180 °分析：选C直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线 l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜ 180°.直线的斜率[典例 ]经过以下两点的直线的斜率能否存在？假如存在，求其斜率，并确立直线的倾斜角α.(1)A(2,3)， B(4,5)；(2)C(－ 2,3)，D (2，－ 1)；(3)P(－ 3,1)， Q(－ 3,10)．[解 ] (1)存在．直线 AB 的斜率 k AB ＝5－ 3＝ 1，即 tan α＝ 1，又 0°≤α＜ 180°，所以倾斜4－ 2角 α＝ 45°.－ 1－ 3 (2)存在．直线 CD 的斜率 k CD ＝＝－ 1，即 tan α＝－ 1，又 0°≤α＜ 180°，所以2－－倾斜角 α＝ 135°.(3)不存在．因为 x P ＝ x Q ＝－ 3，所以直线 PQ 的斜率不存在，倾斜角 α＝ 90°.(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“ x 1≠ x 2” ，即直线不与 x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1， P 2 的先后次序没关，也就是说公式中的x 1 与 x 2，y 1 与 y 2 能够同时互换地点．(2)在 0°≤ α<180° 范围内的一些特别角的正切值要熟记.倾斜角 α 0°30° 45° 60°120° 135° 150°斜率 k3 3－ 3－ 1－3133[活学活用 ]1．直线经过点 (0,2)和点 (3,0)，则它的斜率为 () 2 B. 3 A.3223C ．－ 3D ．－ 2分析：选C斜率 k ＝ 0－ 2＝－ 2.－332．已知坐标平面内△ ABC 的三个极点的坐标分别是A(－ 1,1)， B(1,1)， C(1，－ 1)，求直线 AB ， BC ， AC 的斜率．解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先考证两点的横坐标能否相等． k AB ＝1－ 1＝ 0， k AC ＝－1－ 1 －＝－ 1.1－1－－∵B ， C 两点的横坐标相等，∴直线 BC 的斜率不存在 .直线的倾斜角、斜率的应用题点一：三点共线问题1．假如A 2m， 5 ， B(4，－ 1)， C(－ 4，－ m)三点在同一条直线上，试确立常数2m 的值．解：因为 A， B， C 三点所在直线不行能垂直于x 轴，所以可设直线AB， BC 的斜率分别为 k AB， k BC.5＋ 127由斜率公式，得k AB＝＝，－1＋m m－ 1k BC＝4＋4＝8 .∵点 A， B， C 在同一条直线上，∴k AB＝ k BC.∴7＝m－1，即 m2－ 3m－ 12＝ 0，4m－883＋ 573－ 57解得 m1＝， m2＝2.2∴m 的值是3＋ 57或3－ 5722.用斜率公式解决三点共线问题时，第一要估测三点中能否随意两点的连线垂直于轴．当随意两点的连线垂直于x 轴，且过同一点时，三点共线．不然，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．x题点二：数形联合法求倾斜角或斜率范围2．直线 l 过点 P(1,0)，且与以A(2,1)， B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．解：如下图．∵ k AP＝1－0＝ 1， k BP＝3－0＝－ 3，2－ 10－ 1∴k∈ (－∞，－ 3 ]∪ [1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.(1)由倾斜角 (或范围 )求斜率 (或范围 )利用定义式k＝tan α(α≠ 90°)解决．y2－ y1(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝x2－x1(x1≠x2)求解．(3)波及直线与线段有交点问题常数形联合利用公式求解．层级一学业水平达标1．直线x＝ 1 的倾斜角和斜率分别是()A． 45°， 1C． 90°，不存在分析：选 C作出图象，故 C 正确．B． 135 °，－ 1 D． 180 °，不存在2．给出以下说法：①若α是直线 l 的倾斜角，则 0°≤α＜ 180°；②若 k 是直线的斜率，则k∈ R ；③任一条直线都有倾斜角，但不必定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不必定有倾斜角．此中说法正确的个数是() A． 1B． 2C． 3D． 4分析：选C明显①②③正确，④错误．3．已知直线经过点 A(－ 2,0)， B(－ 5,3)，则该直线的倾斜角为 ()A． 150 °B． 135 °C． 75°D． 45°分析：选B∵直线经过点A(－ 2,0)，B(－ 5,3)，∴其斜率 k＝3－ 0＝－ 1.－5－－设其倾斜角为θ(0°≤θ＜ 180°)，则 tan θ＝－ 1，∴θ＝ 135°.4．过两点 A(4， y)， B(2，－ 3)的直线的倾斜角为45°，则 y＝ () 33A．－2 B. 2C．－ 1D． 1分析：选C tan 45 °＝ k AB＝y＋3，即y＋3＝ 1，所以 y＝－ 1.4－ 24－25．已知直线 l 经过点 A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率 k 的取值范围是 () A． (－ 1,0]B． [0,1]C． [1,2]D． [0,2]分析：选 D 由图，可知当直线位于如图暗影部分所示的地区内时，知足题意，所以直线l 的斜率知足 0≤k≤2.应选 D.6.如图，已知直线 l1的倾斜角是 150°， l2⊥ l1，垂足为 B.l1， l 2与 x 轴分别订交于点 C，A， l3均分∠ BAC，则 l3的倾斜角为 ________．分析：因为直线 l1的倾斜角为150°，所以∠ BCA＝ 30°，所以 l3的倾斜角为1×(90 °－ 30°)＝ 30°.2答案： 30°7．一束光芒射到 x 轴上并经 x 轴反射．已知入射光芒的倾斜角α1＝ 30°，则反射光芒的倾斜角α＝ ________.2分析：作进出射光芒和反射光芒如图．因为入射光芒的倾斜角α＝1 30°，所以入射角等于 60°.又因反射角等于入射角，由图易知，反射光芒的倾斜角为 60°＋ 60°＋ 30°＝ 150°.答案： 150°8．已知点 A(2，－ 1)，若在座标轴上存在一点P，使直线 PA 的倾斜角为45°，则点 P 的坐标为 ________．分析：设 x 轴上点 P(m,0)或 y轴上点 P(0， n)．由 k PA＝ 1，得0＋1＝n＋1＝ 1，得 m＝3，m－ 2 0－ 2n＝－ 3.故点 P 的坐标为 (3,0)或 (0，－ 3)．答案： (3,0) 或 (0，－ 3)9．已知 A(m，－ m＋3)， B(2， m－ 1)， C(－ 1,4)，直线 AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3 倍，求 m 的值．解：由题意直线 AC 的斜率存在，即m≠－ 1.－ m＋－ 4m－－ 4∴ k AC＝m＋ 1， k BC＝－.2－∴－ m＋－ 4＝3· m－－ 4.m＋ 12－－整理得：－ m－ 1＝ (m－ 5)(m＋ 1)，即 (m＋ 1)(m－ 4)＝ 0，∴m＝ 4 或 m＝－ 1(舍去 )．∴m＝ 4.10．已知两点 A(－ 3,4)， B(3,2) ，过点 P(2，－ 1)的直线 l 与线段 AB 有公共点，求直线l的斜率 k 的取值范围．解： ∵直线 l 与线段 AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间．当 l 的倾斜角小于90°时， k ≥k PB ；当 l 的倾斜角大于 90°时， k ≤k PA .－1－4－ 1－2＝ 3，∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (－ ∞，－ 1]∵ k PA ＝－＝－ 1， k PB ＝2－2－3∪ [3，＋ ∞)．层级二应试能力达标1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的 BC 边所在直线的斜率是0，则 AC ， AB 边所在直线的斜率之和为 ()A ．－2 3B ． 0 C. 3D ．2 3分析：选B由 BC 边所在直线的斜率是 0，知直线 BC 与 x 轴平行，所以直线AC ， AB的倾斜角互为补角，依据直线斜率的定义，知直线AC ， AB 的斜率之和为 0.应选 B.2．已知经过点 P(3， m)和点 Q(m ，－ 2)的直线的斜率等于 2，则 m 的值为 ()A ．－ 1B ． 14 C ． 2D.3分析：选D由直线的斜率公式，得m ＋ 2＝ 2，∴ m ＝ 4.3－ m33.如图，直线 l 1， l 2， l 3 的斜率分别为 k 1 ， k 2， k 3，则 ( )A ． k 1＜ k 2＜ k 3B ． k 3＜ k 1＜k 2C ． k 3＜ k 2＜ k 1D ． k 1＜ k 3＜ k 2分析：选D直线 l 2， l 3 的倾斜角为锐角，且直线 l 2 的倾斜角大于直线l 3 的倾斜角，所以0＜ k 3＜ k 2.直线 l 1 的倾斜角为钝角，斜率 k 1＜ 0，所以 k 1＜ k 3＜ k 2.4．若点 P(x ， y)在以 A(－ 3,1)， B(－ 1,0)， C(－ 2,0)为极点的△ ABC 的内部运动 (不包括边界 )，则 y － 2的取值范围是 ()x － 1A. 1， 1B. 1，12211C. 4， 1D. 4， 1分析：选 D依据已知的条件，可知点P(x ， y)是点 A ， B ， C 围成的△ ABC 内一动点，y － 2P(x ， y)与定点 M (1,2)的直线的斜率．由已知，得k AM ＝那么所求 x － 1的几何意义是过动点 1， k BM ＝ 1， k CM ＝ 2.利用图象，可得y －2的取值范围是1， 1 .应选 D.4 3x － 145．若 A(2,2)， B( a,0)， C(0， b)(ab≠ 0)三点共线，则1＋1的值为________．a b2－ 02－ b分析：∵ A， B， C 三点共线，∴ k AB＝ k AC，即＝ . 2－ a2－ 0∴ 2(a＋ b)＝ ab，∴a＋b＝1，∴1＋1＝1.ab2a b2答案：126．若三点 A(3,1)， B(－ 2， k)， C(8,1)能组成三角形，则实数k 的取值范围为 ________．分析： k AB＝k－1＝1－k，k AC＝1－1＝＝ 0.－ 2－358－3 5要使 A， B， C 三点能组成三角形，需三点不共线，即 k ≠，∴ 1－k≠ ∴ ≠AB k AC50. k 1.答案 (－∞， 1)∪ (1，＋∞)7．设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)是函数y＝ x3的图象上随意三个不一样的点．求证：若 A， B， C 三点共线，则x1＋ x2＋ x3＝ 0.证明：∵ A， B， C 是三个不一样的点，∴x1，x2， x3互不相等．∵A， B， C 三点共线，∴ k ＝ ky1－ y2＝y1－ y3，AC，即AB x1－ x2x1－ x3 x13－ x23x13－ x33∴x1－ x2＝x1－ x3，整理，得x21＋ x1x2＋ x22＝ x21＋ x1x3＋ x23，即 (x2－ x3)(x1＋ x2＋ x3)＝ 0.∵x2≠x3，∴x1＋x2＋ x3＝ 0.2y＋ 38．已知实数x， y 知足 y＝ x － 2x＋ 2(－ 1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．解：如图，可知y＋3表示经过定点P(－ 2，－ 3)与曲线段 AB 上任x ＋ 2一点 (x， y)的直线的斜率k.由已知条件，可得A(1,1) ， B(－ 1,5)．易知 k PA≤k≤k PB.由斜率公式得 k PA ＝ 4， k PB ＝ 8，34所以 3≤k ≤8.故 y ＋ 3的最大值是8，最小值是4x ＋ 23.3． 1.2 两条直线平行与垂直的判断预习课本 P86～ 89，思虑并达成以下问题1．两直线平行，对斜率和倾斜角的要求分别是如何的？2．两直线垂直，对斜率和倾斜角的要求分别是如何的？[新知初探 ]1．两条直线平行对于两条不重合的直线 l 1， l 2，其斜率分别为 k 1， k 2，有 l 1∥ l 2? k 1＝ k 2.[点睛 ](1)l 1∥ l 2? k 1＝ k 2 建立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② l 1 与 l 2 不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l 1 与 l 2 的倾斜角都是 90°，则 l 1∥ l 2.2．两条直线垂直假如两条直线都有斜率，且它们相互垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，假如它们的斜率之积等于－ 1，那么它们相互垂直，即 l 1⊥ l 2? k 1·k 2＝－ 1.[点睛 ] l 1⊥ l 2? k 1·k 2 ＝－ 1 建立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② k 1≠0且2≠ 0. k[小试身手 ]1．判断以下命题能否正确．(正确的打 “√”，错误的打 “×”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行( )(2)若 l 1∥ l 2，则 k 1＝ k 2()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行()答案： (1)×(2) ×(3) ×(4) √22．直线 l 1， l2的斜率是方程x － 3x－ 1＝ 0 的两根，则l1与l2的地点关系是() A．平行B．重合C．订交但不垂直D．垂直分析：选 D设l1，l2的斜率分别为k1， k2，则 k1·k2＝－ 1.3． l1过点 A(m,1)， B(－ 3,4)， l2过点 C(0,2)， D(1,1) ，且 l1∥ l2，则 m＝ ________.分析：∵ l1∥ l2，且 k2＝1－2＝－ 1，∴ k1＝4－1＝－ 1，1－0－ 3－ m∴m＝ 0.答案： 0两条直线平行的判断[典例 ]判断以下各题中直线l1与 l 2能否平行．(1)l1经过点 A(－ 1，－ 2)， B(2,1)， l 2经过点 M (3,4)， N(－ 1，－ 1)；(2)l1经过点 A(－ 3,2)， B(－ 3,10)， l2经过点 M (5，－ 2)， N(5,5)．[解 ](1)k1＝1－－， k2＝－1－45＝ 1－1－3＝ .－－4 2∵ k≠，∴ l1与 l不平行．1k22(2)∵ l1与 l2都与 x 轴垂直，且l1与 l2不重合，∴ l 1∥ l2.k1＝ k2? l1∥ l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．[活学活用 ]1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边 AB∥ DC ， AD∥ BC.已知点 A(－ 2,0)，B(6,8)， C(8,6)，则点 D 的坐标为 ________．分析：依据 AB∥ DC ， AD ∥ BC，利用平行直线的斜率相等求解．设点D(x ， y)，则由AB∥ DC ， AD ∥BC 可得 k AB＝ k DC， k AD＝ k BC，即8＝y－ 6，y＝8－ 66－－，解x－ 8 x－－6－ 8得 x＝ 0， y＝－ 2.答案： (0，－ 2)2．在△ ABC中， A(0,3)， B(2，－ 1)， E ，F分别为边AC， BC的中点，则直线EF的斜率为 ________．分析：∵E，F分别为边AC， BC的中点，∴EF ∥AB.－1－ 3∴ k EF＝ k AB＝＝－ 2.2－ 0答案：－2两条直线垂直的判断[典例 ]判断以下各题中l1与 l2能否垂直．(1)l1经过点 A(－ 3，－ 4)， B(1,3)， l 2经过点 M (－ 4，－ 3)， N(3,1) ；(2)l1的斜率为－ 10， l2经过点 A(10,2)， B(20,3) ；(3)l1经过点 A(3,4)， B(3,10) ， l2经过点 M (－ 10,40)， N(10,40)．3－－71－－4[解 ] (1)k1＝－－＝4， k2＝3－－＝7， k1k2＝ 1，1∴ l1与 l2不垂直．(2)k1＝－ 10， k2＝3－ 2＝1， k1k2＝－ 1，∴ l1⊥ l2 .20－ 1010(3)l1的倾斜角为90°，则 l1⊥ x 轴； k2＝40－ 4010－－＝ 0，则 l2∥ x 轴，∴ l1⊥ l2.判断两条直线能否垂直的依照是：在这两条直线都有斜率的前提下，只要看它们的斜率之积能否等于－ 1 即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直．[活学活用 ]1．若不一样两点P， Q 的坐标分别为 (a， b)， (3－ b,3－ a)，则线段 PQ 的垂直均分线的斜率为 ________．3－ a－ b分析：由过两点的直线的斜率公式可得k PQ＝＝1，所以线段PQ 的垂直均分线的斜率为－ 1.答案：－12．已知△ ABC 的极点坐标分别为 A(1,2)， B(－ 1,1)， C(0,2) ，求 BC 边上的高所在直线的斜率与倾斜角．解：设 BC 边上的高所在直线的斜率为 k ，则有 k ·k BC ＝－ 1.2－1∵ k BC ＝ 0－－＝ 1，∴ k ＝－ 1.∴BC 边上的高所在直线的倾斜角为135°.依据两直线平行或垂直关系求参数[典例 ] 已知直线 l 1 经过点 A(3， a)， B(a － 1,2)，直线 l 2 经过点 C(1,2)， D(－2， a ＋ 2)．(1)若 l 1∥ l 2，求 a 的值；(2)若 l 1⊥ l 2，求 a 的值．[解 ] 设直线 l 2 的斜率为 k 2，则 k 2＝ 2－ a ＋＝－ a－－3.1a(1)若 l 1∥ l 2，则 l 1 的斜率 k 1＝－ .3∵ k 1＝2－ a，∴2－ a＝－ a，a － 4a － 43解得 a ＝ 1 或 a ＝ 6.经查验，当 a ＝ 1 或 a ＝ 6 时， l 1∥ l 2. (2)若 l 1⊥ l 2.①当 k 2＝ 0 时，此时 a ＝ 0， k 1＝－ 1，不切合题意；2②当 k 2≠0时， l 1 的斜率存在，此时 k 1＝2－ a .a － 4由 k 1k 2＝－ 1 可得 2－ a a＝－ 1，解得 a ＝ 3 或 a ＝－ 4. a － 4·－3 ∴当 a ＝ 3 或 a ＝－4 时， l 1⊥ l 2.当直线上点的坐标含有参数时，参数的不一样取值决定了两条直线不一样的地点关系，所以应付参数的取值状况分类议论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种状况．[活学活用 ]已知四边形 ABCD 的极点 A(m ，n)， B(5，－ 1)，C(4,2)， D(2,2)，求 m 和 n 的值，使四边形 ABCD 为直角梯形．解：∵四边形 ABCD 是直角梯形，∴有 2 种情况：(1)AB∥ CD ， AB⊥AD ，由图可知， A(2，－ 1)．(2)AD ∥ BC， AD⊥ AB，k AD＝ k BC，n－ 2 ＝3，m－ 2－1k AD·k AB＝－ 1?n－2 n＋ 1＝－ 1，·m－ 2 m－ 516，m＝ 2，m＝16，m＝5综上可知，5∴或88n＝－ 1n＝－5.n＝－5.层级一学业水平达标1．设点P(－ 4,2)， Q(6，－ 4)， R(12,6) ， S(2,12)，下边四个结论：①PQ∥ SR；② PQ⊥PS；③ PS∥QS；④ PR⊥ QS.此中正确的个数是()A． 1B．2C． 3D． 4分析：选 C由斜率公式知kPQ ＝－4－2＝－ 3，k＝ 12－ 6＝－ 3，k＝ 12－ 2＝ 5，k ＋45SR2－125PS2＋43QS 6＝12＋4＝－ 4， k PR＝6－2＝1，∴ PQ∥ SR，PQ⊥ PS， PR⊥QS.而 k PS≠k QS，∴ PS 与 QS 不平2－612＋4 4行，①②④正确，应选 C.2．直线 l 过 (m， n)， (n， m)两点，此中 m≠n， mn≠0，则 ()A． l 与 x 轴垂直B． l 与 y 轴垂直C． l 过原点和第一、三象限D． l 的倾斜角为 135 °分析：选 D 直线的斜率 k＝m－n＝－ 1，∴直线 l 的倾斜角为 135°. n－ m3．经过点 P(－2， m)和 Q(m,4)的直线平行于斜率等于 1 的直线，则m 的值是 () A． 4B． 1C．1或3D．1或 4分析：选B4－ m由题意，知＝ 1，解得 m＝ 1.m－－4．若直线 l 1的斜率 k1＝3，直线 l2经过点 A(3a，－ 2)， B(0， a2＋1)，且 l1⊥ l2，则实数 a 4的值为()A ． 1B ． 3C ．0或1D ．1或 3分析：选D3 a 2＋ 1－－＝－ 1，解得 a ＝ 1 或 a ＝ 3.∵ l 1 ⊥ l 2，∴ k 1·k 2＝－ 1，即 4×0－ 3a5．已知点A(2,3) ， B(－ 2,6)， C(6,6)， D (10,3)，则以 A ， B ， C ， D 为极点的四边形是()A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形分析：选 B如下图，易知 k AB ＝－ 3， k BC ＝ 0， k CD ＝－ 3， k AD ＝440， k BD ＝－ 1， k AC ＝ 3，所以 k AB ＝ k CD ， k BC ＝ k AD ， k AB ·k AD ＝ 0， k AC ·k BD4 4 ＝－ 3，故 AD ∥ BC ， AB ∥ CD ，AB 与 AD 不垂直， BD 与 AC 不垂直，16所以四边形 ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1 的斜率为3，直线 l 2 经过点 A(1,2) ， B(2， a) ，若直线 l 1∥ l 2 ，则 a ＝________；若直线 l 1⊥ l 2，则 a ＝ ________.分析： l ∥ l 2 时， a － 2＝ 3，则 a ＝ 5； l ⊥ l 时， a － 2＝－ 1，则 a ＝51－1 2－3.113225答案： 537．直线 l 1， l 2 的斜率 k 1， k 2 是对于 k 的方程 2k 2－ 4k ＋ m ＝ 0 的两根，若 l 1⊥ l 2，则 m ＝________.若 l 1∥ l 2，则 m ＝ ________.分析：由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m，2m若 l 1⊥ l 2，则 2 ＝－ 1，∴ m ＝－ 2.若 l 1∥ l 2 则 k 1＝ k 2，即对于 k 的二次方程 2k 2－ 4k ＋m ＝ 0 有两个相等的实根，2∴ ＝ (－ 4) － 4×2×m ＝ 0，∴ m ＝ 2.8．已知△ ABC 的三个极点分别是A(2,2＋ 2 2)， B(0， 2－ 2 2)， C(4,2) ，则△ ABC 是________． (填△ ABC 的形状 )分析：因为 AB 边所在直线的斜率－22－＋ 2 2k AB ＝＝ 2 2， CB 边所在直0－ 2－22 －2 22－＋22线的斜率 k CB ＝0－ 4 ＝ 2 ， AC 边所在直线的斜率 k AC ＝4－2＝－ 2，k CB ·k AC ＝－ 1，所以 CB ⊥ AC ，所以△ ABC 是直角三角形．答案：直角三角形9．当 m 为什么值时，过两点 A(1,1)， B(2m 2＋ 1， m － 2)的直线：(1)倾斜角为 135 °；(2)与过两点 (3,2)， (0，－ 7)的直线垂直；(3)与过两点 (2，－ 3)， (－ 4,9)的直线平行．m － 3 解： (1) 由 k AB ＝ 2 ＝－ 1，得 2m 2＋m － 3＝ 0，2m 解得 m ＝－3或 1.2－ 7－2＝ 3 及垂直关系，得 m － 31，(2)由 0－ 32m 2 ＝－ 3解得 m ＝3或－ 3.2(3)令 m － 39＋3＝－ 2，解得 m ＝ 3或－ 1. 2 ＝－ 4－2 2m 410．已知△ ABC 的极点分别为 A(5，－ 1)，B(1,1)， C(2，m)，若△ ABC 为直角三角形，求 m 的值．解：若∠ A 为直角，则AC ⊥ AB ，m ＋ 1 1＋1∴ k AC ·k AB ＝－ 1，即×＝－ 1，解得 m ＝－ 7；2－ 5 1－5若∠ B 为直角，则 AB ⊥ BC ，1＋1 m － 1∴kAB ·k BC＝－1，即1－ 5×2－ 1＝－1，解得 m ＝ 3；若∠ C 为直角，则 AC ⊥ BC ，m ＋ 1 m － 1∴ k AC ·k BC ＝－ 1，即× ＝－ 1，解得 m ＝ ±2.2－5 2－1综上， m 的值为－ 7，－ 2,2 或 3.层级二应试能力达标， l 的倾斜角分别为 α， α，且 l ⊥ l ，则有 ( )1．若直线 l 1 2 12 1 2 － α＝ 90°B ． α－ α＝ 90° A ． α1 2 21－ α ＝90°＋ α＝ 180° C ． |α2 1|D ． α1 2分析：选C 由题意，知 α＝ α＋ 90°或 α＝α＋ 90°，所以 |α－ α°.1 2 2 121|＝ 90 2．已知四点 A(m,3)， B(2m ， m ＋ 4)， C(m ＋ 1,2)， D(1,0)，且直线 AB 与直线 CD 平行，则 m 的值为 ()A ． 1B ． 0C ．0或2D ．0或 1分析：选 D 当 m ＝ 0 时，直线 AB 与直线 CD 的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB 与直线 CD 平行；当 m ≠0时， k AB ＝m ＋ 1， k CD ＝ 2 ，由 m ＋ 1＝ 2，解得 m ＝ 1.综上， m 的mmm m值为 0或 1.3．已知直线 l 1， l 2， l 3 的斜率分别是k 1， k 2， k 3，此中 l 1∥ l 2，且 k 1， k 3 是方程 2x 2 －3x － 2＝ 0 的两根，则 k 1＋ k 2＋ k 3 的值是 ()3 A ． 1B.277C.2D ．1或 21＝－1，分析：选D由 k 1 ， k 3 是方程2x 2 － 3x － 2 ＝ 0 的两根，解方程得k2或k 3＝ 2k 1＝ 2，71 又 l 1∥ l 2，所以 k 1＝ k 2，所以 k 1＋ k 2＋ k 3＝ 1 或 .k 3＝－ .224．已知△ ABC 的极点 B(2,1)， C(－ 6,3)，其垂心为 H (－ 3,2)，则其极点 A 的坐标为 ()A ． (－ 19，－ 62)B ． (19，－ 62)C ． (－ 19,62)D ． (19,62)分析：选 A 设 A(x ， y)，由已知，得AH ⊥ BC ，BH ⊥ AC ，且直线 AH ， BH 的斜率存AH ·BC ＝－ 1， y － 21＝－ 1，＝－，x ＋ 3× －4k kx19即 A(－ 19，－ 62)．在，所以即1解得k BH ·k AC ＝－ 1，y － 3 × －＝－ 1， y ＝－ 62，x ＋ 6 55．已知 A(2,3) ， B(1，－ 1)， C(－ 1，－ 2)，点 D 在 x 轴上，则当点D 坐标为 ________时， AB ⊥ CD.－ 1－ 3分析：设点 D(x,0)，因为 k AB ＝＝ 4≠0，1－ 2所以直线 CD 的斜率存在．－2－ 0则由 AB ⊥ CD 知， k·k ＝－ 1，所以 4·＝－ 1，解得 x ＝－ 9.ABCD－ 1－ x答案： (－ 9,0)6．已知直线l 1 经过点A(0，－ 1)和点B－4， 1a，直线l 2 经过点M (1,1)和点N (0，－ 2)，若 l 1 与 l 2 没有公共点，则实数a 的值为________．分析：由题意得l 1∥ l 2，∴ k AB ＝ k MN .∵ k ＝ 2 ＝－ a， k ＝－2－1＝ 3，AB4 2MN0－ 1－ a∴－ a＝ 3，∴ a ＝－ 6.2答案：－67．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OPQR 的极点坐标分别为O(0,0)， P(1， t)， Q(1－2t,2＋ t)，R(－ 2t,2)，此中 t>0. 试判断四边形 OPQR 的形状．t － 0解：由斜率公式，得k OP ＝ 1－0＝ t ，k QR ＝ 2－＋ t ＝－ t－ 2t －－ 2t ＝ t ，－ 12－0 1 k OR ＝－ 2t － 0＝－ t ，2＋ t － t2 1k PQ ＝1－ 2t － 1＝－ 2t ＝－ t . ∴ k OP ＝ k QR ， k OR ＝ k PQ ，∴OP ∥ QR ， OR ∥ PQ ，∴四边形 OPQR 为平行四边形．又 k OP ·k OR ＝－ 1，∴ OP ⊥ OR ，∴四边形 OPQR 为矩形．8．直线 l 的倾斜角为 30°，点 P(2,1)在直线 l 上，直线 l 绕点 P(2,1)按逆时针方向旋转 30°后抵达直线 l 1 的地点，此时直线 l 1 与 l 2 平行，且 l 2 是线段 AB 的垂直均分线，此中A(1 ， m －1)， B(m,2)，试求 m 的值．解：如图，直线 l 1 的倾斜角为 30°＋ 30°＝ 60°， ∴直线 l 1 的斜率 k 1＝ tan 60 °＝ 3.当 m ＝ 1 时，直线 AB 的斜率不存在，此时l 2 的斜率为 0，不知足l 1∥ l 2.当 m ≠1时，直线 AB 的斜率 k AB ＝m －1－2＝m － 3，∴线段 AB 的1－ m1－ mm － 1垂直均分线 l 2 的斜率为 k 2＝.m － 3∵ l 1 与 l 2 平行，∴ k 1＝k 2，即 3＝m － 1，解得 m ＝ 4＋ 3. m － 3。

人教版高中数学必修二 3.1.1 倾斜角与斜率学案+课时训练

人教版高中数学必修二第3章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率学案【学习目标】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)【要点梳理夯实基础】知识点1直线的倾斜角阅读教材P82～P83“思考”以上部分，完成下列问题．1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．[思考辨析学练结合]如图所示，直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．以上都不对[解析]根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.[答案] C知识点2 直线的斜率及斜率公式阅读教材P83“思考”以下至P85“例1”以上部分，完成下列问题．1．斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．3．斜率意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[思考辨析学练结合]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法．()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．()(4)斜率公式与两点的顺序无关．()[解析](1)错误．除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度．(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√【合作探究析疑解难】考点1 直线的倾斜角[典例1]已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？[点拨]画草图―→标记α―→找倾斜角与α的关系―→求倾斜角[解答]由题意画出如下草图由图可知：当α为钝角时，倾斜角为α－90°，当α为锐角时，倾斜角为α＋90°，当α为直角时，倾斜角为0°.综上，直线l 转动前的倾斜角为⎩⎨⎧α＋90°(0°<α<90°)，α－90°(90°≤α<180°). [方法总结]1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．1．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°[解析] 根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.[答案] D考点2 直线的斜率[典例2] 已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)． (1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围．[点拨] (1)利用k ＝y 2－y 1x 2－x 1及k ＝tan α求解； (2)先求出AC 、BC 的斜率，进而求出k 的范围．[解答] (1)由斜率公式得k AB ＝1－11－(－1)＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝ 3. k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33. 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan 0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°.tan 60°＝3，∴BC 的倾斜角为60°.tan 30°＝33，∴AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.[方法总结]证明点线共面常用的方法1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决．2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．3．涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．2．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.[解]如图所示，由题意可知k P A＝4－0－3－1＝－1，k PB＝2－03－1＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与P A的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，P A的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.考点3 斜率公式的应用探究1斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2.探究2你能证明A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？[提示]能．因为A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)，所以k AB＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC＝11－35－1＝2，所以k AB＝k BC，且直线AB，BC有公共点B，所以A，B，C这三点在同一条直线上．[典例3] 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．[点拨] y ＋3x ＋2的最大值和最小值可以看做过两点(－2，－3)和(x ，y )的直线的斜率的最大值和最小值．[解答] 由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,1)，B (－1,5)．则k P A ＝1－(－3)1－(－2)＝43，k PB ＝5－(－3)－1－(－2)＝8. ∴43≤k ≤8，∴y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43. [思路总结]斜率公式的应用1．证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在)．2．求代数式y －b x －a最值或范围：由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的形式，可知y －b x －a的几何意义是过P (x ，y )与P ′(a ，b )两点的直线的斜率．故可以利用数形结合来求解.[跟踪练习]3．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.【学习检测巩固提高】 1．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为( A )A ．3B ．－3C ．33D ．－33[解析] 直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.故选A ．[答案] A2．若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( )A ．－32 B.32 C ．－1 D ．1[解析] k AB ＝y ＋34－2＝tan 45°＝1，即y ＋32＝1，∴y ＝－1. [答案] C3．若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为( A )A ．12B ．－12C ．－2D ．2[解析] 由已知得，k AB ＝k AC ，∴－2－33－(－2)＝m －312－(－2)，解得m ＝12. [答案] A[点评] 若k AB ＝k BC ，则A ，B ，C 三点共线；若AB 与BC 的斜率都不存在(即A 、B 、C 三点横坐标相同)，则A 、B 、C 三点共线．4．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是____.[解析] 如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．[答案] [0,2]5．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．[解] 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.人教版高中数学必修二第3章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率课时检测一、选择题1．斜率不存在的直线一定是( )A ．过原点的直线B ．垂直于x 轴的直线C ．垂直于y 轴的直线D ．垂直于过原点的直线[解析] 只有直线垂直于x 轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．2．若过两点A (4，y )、B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( C ) A ．－32 B ．32 C ．－1 D ．1[解析] ∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k ＝tan45°＝1，＝－3－y2－4＝1，∴y＝－1.3．如图所示中α能表示直线l的倾斜角的是________．A B C D [解析]结合直线l的倾斜角的定义可知A可以．4．直线l的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(B)A．1B．3C．233D．－ 3[解析]∵tanα＝33，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝ 3.故选B．5．如下图，已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(D)A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2 [解析]可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l1、l2、l3的倾斜角分别是α1、α2、α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k1<0<k3<k2. 6．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(D)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°[解析]根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D．7．经过两点A(2,1)、B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(C) A．m＜1B．m＞－1C．－1＜m＜1D．m＞1或m＜－1[解析]设直线l的倾斜角为α，则k AB＝m2－11－2＝tanα＞0.∴1－m2＞0，解得－1＜m＜1.8．已知点A(1,3)、B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(D)A．k≥12B．k≤－2C．k≥12或k≤－2D．－2≤k≤12[解析]过点P(2,1)的直线可以看作绕P(2,1)进行旋转运动，通过画图可求得k 的取值范围．由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图．若l与线段AB相交，则k P A≤k≤k PB，∵k P A＝－2，k PB＝12，∴－2≤k≤12.[点评]在同一坐标系中，直线向右上方倾斜时，k>0；向左上方倾斜时，k<0；在y轴右侧，各直线交点最右边逆时针方向，k依次增大．二、填空题9．设P为x轴上的一点，A(－3,8)、B(2,14)，若P A的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为__(－5,0)__.[解析]设P(x,0)为满足题意的点，则k P A＝8－3－x，k PB＝142－x，于是8－3－x＝2×142－x，解得x＝－5.10．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．[解析]设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1<k3<k2.[答案]k1<k3<k2三、解答题11．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：(1)直线l1过原点，斜率为1；(2)直线l2过点(3,0)，斜率为－2 3；(3)直线l3过点(－3,0)，斜率为2 3；(4)直线l4过点(3,1)斜率不存在．[解析]如图所示．12．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[解析]如图，由题意可知，直线P A的斜率k P A＝4－0－3－1＝－1，直线PB的斜率k PB＝2－03－1＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与P A的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是45°，直线P A的倾斜角是135°，故α的取值范围是45°≤α≤135°.。