1微积分的基础和研究对象
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（3）微积分的应用 从17世纪末到19世纪初，微积分理 论被广泛而有效地应用于物理、天 文等领域。
（4）微积分存在的问题
理论体系粗糙，极不严密。它的一 些定理和公式在推导过程前后出现 逻辑矛盾，使人们感到难以理解， 这种矛盾集中体现在对“无穷小量” 的理解与处理中。
（5）微积分的严密化
19世纪初，法国数学家柯西建立了严格 的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特 拉斯等加以完善，从而形成了严密的实 数理论。由此把微积分的无矛盾性问题 归结为实数系统的无矛盾问题。
有些事物的变化是离散的
比如：
随着时间的推移，中国奥运金牌的数量； 随着时间的推移，母鸡下蛋的数量； 随着重量的增加，邮局邮寄包裹的价格； 随着路程的增大，乘坐出租车的费用；
……
y
y
0
xy 0
x
Hale Waihona Puke Baidu
0
x
有些事物的变化则是连续的
比如：
随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度 的变化；人的动作；
微积分得以严密化的基础是： 实数系统的完备性（或连续性）
微积分研究的对象、内容及工具
对象：函数 内容：微分、积分，以及连接微分
与积分的桥梁——微积分基 本定理。 工具：极限
函数：物质世界的基本模型
世界是物质的，物质是运动的，运动是 相互联系的。这种相互联系的物质运动大都 可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系 为基本特征的数学模型——函数。数学模型 是人类认识与改造世界的一个基本手段。
也有更多的不能具体通过代数式表示、 但却具有实际意义的函数，以及一般的 抽象函数。
微积分：研究连续性变化
连续性变化的情况涉及到每一个瞬间， 涉及到“无穷小”的时间段内的变化情况， 人类是无法精确捕捉到的。如何研究？
动画片如何表现连续动作？ 切片！很短时间内的一种静止画面。
“微小的差异”是微分积分的奥秘！
对于一个给定函数来说，局部与整体是 一个事物的两个方面，二者是对立的统一。
因此，微分与积分具有密切关系，积分 问题是由函数的局部性质研究整体性质。建 立二者关系的桥梁是
微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。
极限：人类认识无限的必要手段
由于生理的原因，人类只能看到有限时 间、有限范围内的事物；只能判断、测量在 一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。 要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变 化的情况等，极限是一个有效工具。
有理数集的性质
有理数集是最小的数域（代数性质） 有理数的运算及其法则来源于整数； 有理数集在四则运算下是封闭的，而 且加法、乘法满足结合律与交换律， 并且乘法对加法满足分配律，具有这 种性质的数集叫做数域。
有理数是有序的、可数的（集合性质） 像自然数一样，有理数可以比较大 小，是有序的，因此可以在数轴上 排列出来。可以与自然数一一对应。
平均速度 VS 瞬时速度
时刻 t 之后 s 秒内的平均速度 = s 秒内的行走路程 d/s
时间幅度 s 无限趋近于0 → 时刻 t 的瞬时 速度
1.3 实数系的建立及邻域概念
回忆——
什么是“数” ？ 数是用来反映量的，是量的抽象. 自然数：0，1，2，3，…. 分数：有限小数或无限循环小数.
分数都是有限小数或无限循环小数，反之亦然.
整数（integer)：0， 1,2, .
有理数（rational number): 0 和正负分数.
无理数（irrational number): 正负无限不循环小数.
有理数 实数 无理数
记号： 有理数集 Q； 实数集 R
数系扩充的科学道理
自然数中减法产生负数， 整数系统； 整数中除法产生分数， 有理数系统； 自然数中开方产生无理数， 实数系统； 负数中开方产生虚数， 复数系统。
观察某一微小变化 = 微分 连接一系列微小变化 =积分
微分：函数的局部性质
函数表示的是因变量依赖于自变量的变化关 系，函数值反映的是变化结果，但不能反映 变化速度。函数的微分刻画的正是函数的瞬 时变化速度。
平均速度 VS 瞬时速度
积分：函数的整体性质
一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度， 从而会行走一段距离；但是在一定时间内， 速度可能在变，如何知道变速运动在一定时 间内的运行路程，这就是积分问题。积分问 题是研究函数的整体变化性质。
类问题： 瞬时速度问题； 曲线的切线； 函数极值问题； 求积问题(曲线长度、图形面积等)。
b. 英国数学家牛顿（Newton,1642---1727） 和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646--1716)分别独立地建立了微积分。
牛顿
莱布尼茨
c.牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献
大学文科数学
数信学院 俞优莉 665918
第一章 微积分的基础 和研究对象
进入封建时代后，数学的发展经 历了一个黑暗的时期. 直到欧洲 文艺复兴，数学重新进入了一个 伟大的时代！
§1 微积分的基础－集合、实数和极限
1.1 从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起
（1）微积分的建立 a. 进入17世纪，科技发展给数学提出了四
-1 0 ½ 1
有理数在数轴上是稠密的、和谐的 （几何性质）。
稠密性：任意两个有理数之间，必然 存在第三个有理数，而不管这两个有 理数有多么接近。
和谐性：有理数之间相处得亲密无间， 对任意一个给定的有理数，永远找不 到一个与之最接近的有理数。
澄清概念——特别是建立导数（变化率） 的概念；
提炼方法——从解决具体问题的方法中提 炼、创立出普遍适用的微积分方法；
改变形式——把概念与方法的几何形式变 成解析形式，使其应用更广泛；
确定关系——确定微分和积分互为逆运算。
（2）微积分的特点 与以往的数学相比：微积分的突出 特点是可以研究不断变化的事物现 象 ——运动，是变量数学的标志。
随着时间的推移，某地气温的变化； 随着半径的增大，圆盘面积的变化； 随着气压的增高，水的沸点的变化；
……
y
y
0
x y
0
x
0
x
函数既有具有具体表达式的初等函数
常值函数； 幂函数与根式函数； 三角函数与反三角函数； 指数函数与对数函数 通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函 数及其反函数。 ……
（4）微积分存在的问题
理论体系粗糙，极不严密。它的一 些定理和公式在推导过程前后出现 逻辑矛盾，使人们感到难以理解， 这种矛盾集中体现在对“无穷小量” 的理解与处理中。
（5）微积分的严密化
19世纪初，法国数学家柯西建立了严格 的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特 拉斯等加以完善，从而形成了严密的实 数理论。由此把微积分的无矛盾性问题 归结为实数系统的无矛盾问题。
有些事物的变化是离散的
比如：
随着时间的推移，中国奥运金牌的数量； 随着时间的推移，母鸡下蛋的数量； 随着重量的增加，邮局邮寄包裹的价格； 随着路程的增大，乘坐出租车的费用；
……
y
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0
xy 0
x
Hale Waihona Puke Baidu
0
x
有些事物的变化则是连续的
比如：
随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度 的变化；人的动作；
微积分得以严密化的基础是： 实数系统的完备性（或连续性）
微积分研究的对象、内容及工具
对象：函数 内容：微分、积分，以及连接微分
与积分的桥梁——微积分基 本定理。 工具：极限
函数：物质世界的基本模型
世界是物质的，物质是运动的，运动是 相互联系的。这种相互联系的物质运动大都 可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系 为基本特征的数学模型——函数。数学模型 是人类认识与改造世界的一个基本手段。
也有更多的不能具体通过代数式表示、 但却具有实际意义的函数，以及一般的 抽象函数。
微积分：研究连续性变化
连续性变化的情况涉及到每一个瞬间， 涉及到“无穷小”的时间段内的变化情况， 人类是无法精确捕捉到的。如何研究？
动画片如何表现连续动作？ 切片！很短时间内的一种静止画面。
“微小的差异”是微分积分的奥秘！
对于一个给定函数来说，局部与整体是 一个事物的两个方面，二者是对立的统一。
因此，微分与积分具有密切关系，积分 问题是由函数的局部性质研究整体性质。建 立二者关系的桥梁是
微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。
极限：人类认识无限的必要手段
由于生理的原因，人类只能看到有限时 间、有限范围内的事物；只能判断、测量在 一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。 要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变 化的情况等，极限是一个有效工具。
有理数集的性质
有理数集是最小的数域（代数性质） 有理数的运算及其法则来源于整数； 有理数集在四则运算下是封闭的，而 且加法、乘法满足结合律与交换律， 并且乘法对加法满足分配律，具有这 种性质的数集叫做数域。
有理数是有序的、可数的（集合性质） 像自然数一样，有理数可以比较大 小，是有序的，因此可以在数轴上 排列出来。可以与自然数一一对应。
平均速度 VS 瞬时速度
时刻 t 之后 s 秒内的平均速度 = s 秒内的行走路程 d/s
时间幅度 s 无限趋近于0 → 时刻 t 的瞬时 速度
1.3 实数系的建立及邻域概念
回忆——
什么是“数” ？ 数是用来反映量的，是量的抽象. 自然数：0，1，2，3，…. 分数：有限小数或无限循环小数.
分数都是有限小数或无限循环小数，反之亦然.
整数（integer)：0， 1,2, .
有理数（rational number): 0 和正负分数.
无理数（irrational number): 正负无限不循环小数.
有理数 实数 无理数
记号： 有理数集 Q； 实数集 R
数系扩充的科学道理
自然数中减法产生负数， 整数系统； 整数中除法产生分数， 有理数系统； 自然数中开方产生无理数， 实数系统； 负数中开方产生虚数， 复数系统。
观察某一微小变化 = 微分 连接一系列微小变化 =积分
微分：函数的局部性质
函数表示的是因变量依赖于自变量的变化关 系，函数值反映的是变化结果，但不能反映 变化速度。函数的微分刻画的正是函数的瞬 时变化速度。
平均速度 VS 瞬时速度
积分：函数的整体性质
一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度， 从而会行走一段距离；但是在一定时间内， 速度可能在变，如何知道变速运动在一定时 间内的运行路程，这就是积分问题。积分问 题是研究函数的整体变化性质。
类问题： 瞬时速度问题； 曲线的切线； 函数极值问题； 求积问题(曲线长度、图形面积等)。
b. 英国数学家牛顿（Newton,1642---1727） 和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646--1716)分别独立地建立了微积分。
牛顿
莱布尼茨
c.牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献
大学文科数学
数信学院 俞优莉 665918
第一章 微积分的基础 和研究对象
进入封建时代后，数学的发展经 历了一个黑暗的时期. 直到欧洲 文艺复兴，数学重新进入了一个 伟大的时代！
§1 微积分的基础－集合、实数和极限
1.1 从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起
（1）微积分的建立 a. 进入17世纪，科技发展给数学提出了四
-1 0 ½ 1
有理数在数轴上是稠密的、和谐的 （几何性质）。
稠密性：任意两个有理数之间，必然 存在第三个有理数，而不管这两个有 理数有多么接近。
和谐性：有理数之间相处得亲密无间， 对任意一个给定的有理数，永远找不 到一个与之最接近的有理数。
澄清概念——特别是建立导数（变化率） 的概念；
提炼方法——从解决具体问题的方法中提 炼、创立出普遍适用的微积分方法；
改变形式——把概念与方法的几何形式变 成解析形式，使其应用更广泛；
确定关系——确定微分和积分互为逆运算。
（2）微积分的特点 与以往的数学相比：微积分的突出 特点是可以研究不断变化的事物现 象 ——运动，是变量数学的标志。
随着时间的推移，某地气温的变化； 随着半径的增大，圆盘面积的变化； 随着气压的增高，水的沸点的变化；
……
y
y
0
x y
0
x
0
x
函数既有具有具体表达式的初等函数
常值函数； 幂函数与根式函数； 三角函数与反三角函数； 指数函数与对数函数 通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函 数及其反函数。 ……