有限元理论基础

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有限元分析及应用讲义
第一部分 CAE 总体概貌

第一部分是作为进入有限元法内容前的准 备，讲述了在设计时CAE 所处的地位，考 虑的方法，在设计时怎样来利用CAE，以 及讲述了它的历史背景和有关的预备知识。 被认为像黑匣子（BLACK BOX）一样的有 限元法，让我们现在一点点地走近它吧。
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要点：
通常对工业产品 和结构来说，复杂的 情况占大多数。然而 ，只要利用CAE 技 术，不管怎样复杂的 形状也不管怎样复杂 的载荷都能算出应力 和变形！
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• 灵活应用应力分析的例子 高层建筑和塔建筑等等的结构往往使 用CAE 进行结构的抗震抗风设计。 ◇高层建筑 • 高层建筑的楼层面积越接近地面设 计得越大。 • 楼层面积没有变化时，则将柱子的 面积加大。 • CAE 对于校核大楼的形状和它的强 度是最有效的。 ◇东京塔 • 越接近地面塔的截面积越大。 • 在当时设计中用模型进行试验是很 有效的手段。 • 而今天，CAE 则替代这样的试验成 为一种灵活应用高效率设计的主流。
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我们对粗细相同但长度不同的柱施加一压力,结果会怎 么样呢?
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• 压力和屈曲载荷的关系 压力较小时
因为变形小，一般我们眼睛观察不到,这就是均匀压缩变形。 这种压缩变形是与所施加的压力成正比的。 2 倍的压力产生2 倍的压缩。
压力如瞬间超过某一值
◇结构形状稍稍复杂的情况 拉伸一具有圆孔的平板或具有台阶的圆棒，在孔的周 围或台阶附近应力就会变大。对于这种形状，应力则集中 在孔的周围。 这种现象称为应力集中。 对于“简单情况”，可用图表进行求解。 对于“复杂情况”，就要用到CAE来解了。
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◇结构形状和载荷都是复杂的情况（大多数的产品和 结构都是这种情况） 对于具有复杂形状的结构和机械施加载荷，则会产生 复杂的应力分布和变形。用CAE 来分析。
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2013年12月20日
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• 各力学学科分支的关系
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结构力学与理论力学、材料力学、弹塑性力学有密切 的关系。 理论力学着重讨论物体机械运动的基本规律，其余3 门力学着重讨论结构及其构件的强度、刚度、稳定性和动 力反应等问题。 材料力学以单个杆件为主要研究对象。 结构力学以杆件结构为研究对象。 弹塑性力学以实体结构和板壳结构为主要研究对象。
要点：
因为应力一大，就要损坏物体，所以设计时不能使应 力大于某个值。为此，在事前，有必要知道应力的数值。
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• 这些地方可用到应力分析 装调味品的塑料袋和水果袋都留有切口，从缺口处就 很容易撕开袋子。有切口的袋子比没有切口的袋子要远远 地容易撕开，这是在日常生活中常有的经验。这是因为， 在切口的部分应力集中，即使用同样的力，因为在切口部 分应力大了，所以就容易撕开。在袋上留有开口，则在切 口处应力集中，口袋也容易撕开。
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前一个例子说明，为了避免破损物体而利用了作为破 坏指标的应力，这个例子反过来很好地利用了应力来破坏 物体。总之，象这样求应力集中的程度或求应力的值，这 就是应力分析。 • 变形不能忽视 应力分析在求应力的同时也能够求得产品和结构的变 形。 应力的大小对判断产品和结构是否损坏很重要。不过 有些情况下，即使产品没有破坏，但因为过大的变形，会 破坏产品的功能和性能。在这个问题中宁可利用变形的结 果而不用应力进行设计尤为重要。
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2. 屈曲分析· 屈曲载荷· 屈曲模态
• • • • • • 什么是屈曲 柱的屈曲 压力和屈曲载荷的关系 屈曲模态 欧拉屈曲 平板的屈曲
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• 什么是屈曲 对细长的柱或薄板施加一个压力，则压力在很小的时 候压缩变形与压力成正比。但是，压力一超过某一个值， 由于在轴线或柱面的垂直方向出现了大的横向紧缩，减少 了承受压力的能力，最后引起崩溃。 象这样载荷的大小超过一定的数值，变形的形状与此 之前变形的形状发生了不同的变化，从而承受载荷的能力 减少了，把这一现象称为屈曲。 另外，把屈曲产生时的载荷称为屈曲载荷。 屈曲是由压缩应力产生的。我们对平常都能找得到的 汽水铝罐上下进行压缩看看会产生什么情况。起先，铝罐 还能抵抗一阵子，再继续进行加大压力则罐的侧面开始凹 陷下去，不一会儿就压坏了。 这也就是我们身边所见到的屈曲现象。
其变形则与压力较小时的变形完全不同,成了弯曲变形,并且也会 产生曲折。 这种变形迅速地发生并以我们的肉眼可观察到的速度快速发展。 这就叫屈曲,此时的载荷就叫屈曲载荷。 如果柱越细或柱越长屈曲越容易发生。 在结构设计时,屈曲分析同前一章所说的应力分析一样重要。
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• 屈曲模态 对于屈曲，即使相同的构件，如果端部的支持状态（ 或称约束条件）不同，则屈曲载荷的大小或屈曲的变形形 状也不同。 我们把这种变形形状称为屈曲模态。 以下的例子显示了相同形状的柱由于端部的约束条件 不相同，则它的屈曲模态和屈曲载荷也不同。 这里我们以屈曲载荷由小到大的次序进行排列显示。 假设，两端旋转自由时的固定系数为n=1.0，则由上至 下4个固定系数为：n=0.25，1.0，2.04，4.0。
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◇树干 • 树根粗树端细。 • 树干的形状对于抗风抗地震 这样的外力非常合理。 • 并且看起来也具有稳定感。 • 树木之类也形成了合理的形 状。自然界有些东西，即残存至今 的生物和我们人类制造出的事物为 什么总能找出相同的地方。 其实，自然界已经在灵活应用 CAE 技术了！难道不是这样吗！
1. 应力分析和应力
• • • • 应力是什么 变形不能忽视 在此时要用应力分析 灵活应用应力分析的例子
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• 应力是什么 对一个产品或结构施加载荷的话，结构在变形的 同时其内部会产生应力和应变。
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对橡皮绳，吊鱼竿或者弓等等，施加一个力，就能非 常清楚地看到它的变形，而一般的产品和结构，大多数是 用铁和铝等等硬性材料制成的，变形非常小，用肉眼来确 认它的变形就很困难了。
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应力是结构对载荷抵抗所产生的力。用单位面积的力 来表示。此应力是判断产品与结构破坏（损坏）与否的重 要指标。
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施加的载荷一起作用，产品或结构内部就产生了抵抗 力，也即产生了应力。一般结构的形状非常复杂，根据施 加载荷的种类，应力也不一样。有大应力，小应力，或压 应力，拉应力等等各种应力。
要点：
对于柱的屈曲，如果 压缩应力越大或构件越长 则越容易发生。柱构件的 屈曲也即欧拉屈曲，从理 论上可以推导它的屈曲载 荷和屈曲模态。
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• 平板的屈曲 平板的屈曲要比柱的屈曲稍微复杂一些。因为对于平 板不仅仅是压力，也可由弯矩、剪力等载荷引起局部的压 应力，从而发生板的屈曲。 ◇两边支持面外屈曲 首先如同柱的屈曲一样进行考虑，如下图所示有一两 边自由，上下边简支的长方形板，在上下边受到压力，来 考虑它的屈曲。
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◇结构和载荷都是简单的情 况 拉伸一直径和剖面面积都一 样的棒，则产生一样的应力和变 形。 即使不用CAE ，根据材料力 学的理论公式也能算出应力和变 形。 理论公式在设计上进行预测 相当便利。 本例中，我们很容易明白应 力是和板厚成反比的，即板越厚 应力越小。
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当然自然界并不是真的使用CAE 技术，而是经过长年 累月形成了合理的形状。而我们的设计却不能花费这么长 的时间。我们不能让我们从设计到造出东西要延续到我们 的孙子，孙子的孙子这一代。 CAE，由于使用了计算机技术，因而是一种能够实现 快速而高质量设计的全新的工具。
要点：
机械和结构等大多数东西，为了防止损坏，就要进行 应力分析。
要点：
应力分析不仅仅能求出“应力”，同时也能求出“变 形”。变形也是重要的设计问题之一。
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• 在此时要用应力分析 到底在什么情况下要用CAE 来求应力（或者变形和应 变）呢？ 在简单的形状下即使不用CAE ，由公式或近似公式也 能求出应力和变形。 但是在产品形状复杂的时候用CAE 就相当的方便了。 让我们先来考虑一下，应力和结构形状及载荷的关系 。 备注：首先，考虑有关[复杂的和简单的]两种情况。
Hale Waihona Puke Baidu28
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· 一端全固定，另一端自由的情况（固定系数n=0.25）
· 两端转角自由的情况（固定系数n=1.0）
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· 一端转角自由，一端全固定的情况（固定系数n=2.04）
· 两端全固定的情况（固定系数n=4.0）
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• 欧拉屈曲 欧拉对这样的柱状构件的屈曲现象进行了理论研究。 今天用他的研究结果来表示与柱构件有关的屈曲，成 为欧拉屈曲。 对于欧拉屈曲，它的屈曲载荷使用以下的理论公式就 可以简单地求出。
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例如： 因为产品的重量而引起地面变形，使地面起不到支撑 功能。 对于结构有时候它的变形量要防止超过结构跨距的千 分之一长。 机械零件在设计时要避开因变形而和其他零件接触和 干涉。比如电动机的轴过大的变形就要与外壳接触了。 塑料制品由于金属模具的变形产生了毛刺，而造成了 次品。此时由于成型时喷出的压力，引起金属本身变形， 因此就在阴模和阳模接触部分发生了间隙的原因。
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构件因屈曲而形成巨大惨案的例子中，1907年魁北克 市建设中的铁路桥梁因屈曲而落下的事故是其中有名的事 故之一。
要点：
在产生压缩应力的情况时，也存在着屈曲的可能。特 别是，细长的柱子或薄板这样的结构，在设计时有必要进 23 行屈曲校核。
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屈曲与构件的形状和所作用的压缩应力的大小有很大 的关系。下面我们以柱状构件和板材构件为例来考察一下 它们的关系。 • 柱的屈曲 我们对长度相同但粗细不同的柱施加一压力，结果会 怎样呢？