有限元理论基础
有限元
3. 有限元理论基础
微分方程等效积分形式和加权余量法
－ （在数学上）建立有限元方程的基础；
( 求解工程微分方程问题的有效方法)
弹性力学问题变分原理 －（在力学上）建立有限元方程的基础
3. 有限元理论基础 弹性力学问题变分原理
1、弹性力学方程张量形式 2、应变能、应变余能 3、虚功（虚位移、虚应力）原理
– 用于静力载荷条件 – 可以模拟诸如大变形、大应变、接触、塑性、超弹、蠕变等非 线性行为
超弹密封
6.有限元法与有限元分析
• 动力学分析
– – – – 包括质量和阻尼效应 模态分析 计算固有频率及振型 谐响应分析 确定结构对已知幅值和频率的正弦载荷的响应 瞬态动力学分析 确定结构对随时间变化载荷的响应，可以 包括非线性行为 谱分析 随机振动 特征值屈曲 子结构, 子模型 疲劳、断裂力学、复合材料
限元分析的理论基础。 2. 有限元分析提供了大量的有限元法离散所需要的有限单元， 同时充分利用计算机资源解脱了人在运用有限元法时计算 耗费大量的精力，使得有限元法广泛的应用。
6.有限元法与有限元分析
有限元与ANSYS
• ANSYS 是被世界各地各领域的工程师所广泛使用的完 整的有限元软件包:
– – – – – – – – –
u (u i
u j ui l
a1
xi )
u j ui l
a2
x
（5-2）
5. 平面力学有限元求解
② 形函数 将式（5-2）改写为下列形式
u [ N ]{ }e
式中形函数[N]为
[ N ] [ Ni 1 N j ] [( x j x ) ( xi x )] l
{Fpx }
有限元理论基础及应用
有限元理论基础及应用有限元理论是应用于工程计算领域的一种数值分析方法，它是通过将连续的结构或物体分割成有限数量的离散单元，然后在每个单元上进行近似计算，最终得到整个结构或物体的近似解。
有限元理论广泛应用于结构分析、流体力学、电磁场分析等领域，是工程计算的重要工具。
有限元理论的基础是有限元方法，它将连续的结构或物体以网格的形式划分成一系列有限的单元，通过在每个单元内进行节点位移或其他物理量的近似表示，建立起离散的数学模型。
在有限元方法中，常用的单元形状包括线元、三角形单元、四边形单元等。
每个单元的节点之间通过连接的方式形成整个结构的网格。
有限元理论的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数方程组得到数值结果。
其基本步骤包括：1.离散化：将连续的结构或物体划分为离散的单元，并在每个单元上建立近似解。
2.建立单元方程：根据结构或物体的本构关系、边界条件等，建立每个单元的方程。
3.组装：根据单元之间的连接方式，将每个单元的方程组装成整个结构或物体的方程。
4.边界条件处理：考虑边界条件对结构或物体的约束作用，修改方程。
5.求解代数方程组：将边界条件处理后的方程组进行求解，得到数值解。
有限元理论的应用非常广泛，主要包括：1.结构分析：有限元方法在结构力学领域的应用非常广泛，可以用于预测结构的应力、变形、疲劳寿命等。
例如，在建筑工程中，可以使用有限元方法对建筑结构进行静力分析，以确保结构的稳定性和安全性。
2.流体力学：有限元方法在流体力学领域的应用包括流体流动、传热、空气动力学等方面。
通过将流体分割成离散的单元，并建立流体的动量方程、能量方程等，可以模拟和预测流体的各种特性。
3.电磁场分析：有限元方法可以用于模拟和分析电磁场的分布、辐射、散射等现象。
在电子器件设计中，有限元方法可以用于预测电磁场的影响和优化设计。
此外，有限元方法还应用于声学、热力学、生物力学等领域。
它的优势包括模拟结果的准确性、适用于复杂几何形状和边界条件、计算速度较快等。
02-01有限元分析基础-理论基础
Kq=f——————（1） 其中：K是整体刚度矩阵；
q是节点位移矩阵； f是载荷矩点位移 解有限元方程Kq=f可得到位移。在根据方
程组的特点来选择合适的计算方法。
通过上述分析了解到，有限元分析的基本 思路是“先离散在组装”，离散为了进行单 元分析，组装为了对整体结构进行分析。
σ=Eε—————（2-4） 将式（2-2）、式（2-3）代入到式（2-4） 后简化得到：
F=(AE/l)Δl—————（2-5) 式（2-5）与弹簧方程F=kx很相似。因此， 受轴向力作用的等截面杆看做一个弹簧，则：
keq=AE/l——————（2-6）
一、有限元分析理论基础
根据上述分析，杆件的截面面积都是在 一个方向上变化的。可以将杆件近似地看做 是由4个弹簧串联起来的模型。
(2)假定一个近似描述单元特性解 为研究典型单元的力学特性，不妨先考虑
横截面积为A、长度为l的杆件在外力F作用下 构件的变形。
杆件的平均应力由下式给出： σ=F/A————（2-2） 杆件的平均正应变ε为
ε=Δl/l————（2-3)
一、有限元分析理论基础
在弹性区域内，应力和应变服从胡克定 律，即：
1.2 定义单元特性 (2)定义单元的力学关系
根据单元的材料、形状、尺寸、节点数目、 位置等参数，找出单元节点力和节点位移的 关系式。 (3)计算等效节点力
物理模型离散化后，假定力是通过节点在 单元间进行传递的，但对于实际连续体，力 是通过单元的公共界面在单元间进行传递。
一、有限元分析理论基础
1.3 组装单元 利用结构中力的平衡条件和边界条件将各
利用以上模型，假定力施加在各节点上。 可根据有图中节点1~节点5的受力情况, 得到各节点上力的静平衡： 节点1：R1-k1（u2-u1）=0 节点2：k1（u2-u1）-k2（u3-u2）=0 节点3：k2（u3-u2）-k3（u4-u3）=0 节点2：k3（u4-u3）-k4（u5-u4）=0 节点2：k4（u5-u4）-P=0
CAE课有限元分析理论基础
类型。
精度要求
03
根据问题对精度的要求，选择足够高阶的有限元以保证求解精
度。
常用有限元的介绍
四面体有限元
适用于解决三维问题，具有较高的计算效率 和适应性。
壳体有限元
适用于解决薄壁结构问题，能够模拟结构的 弯曲和变形。
六面体有限元
适用于解决二维和三维问题，精度较高但计 算效率较低。
梁有限元
适用于解决细长结构问题，能够模拟结构的 轴向拉伸和弯曲。
CAE课有限元分析理论基础
目 录
• 引言 • 有限元分析的基本原理 • 有限元的分类和选择 • 有限元分析的实现过程 • 有限元分析的应用实例 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
目的
有限元分析（FEA）是一种数值分析方法，用于解决复杂的工程问题，如结构 分析、热传导、流体动力学等。本课程旨在使学生掌握有限元分析的基本原理 和应用。
弯曲有限元
适用于解决大变形问题，如结 构动力学、流体动力学等。
非线性有限元
适用于解决非线性问题，如塑 性力学、断裂力学等。
耦合有限元
适用于解决多物理场耦合问题 ，如流体-结构耦合、电磁-热
耦合等。
有限元的选择
问题特性
01
根据问题的物理特性、边界条件和求解精度要求选择合适的有
限元类型。
计算资源
02
考虑计算资源的限制，选择计算效率高、内存占用小的有限元
04 有限元分析的实现过程
建立模型
确定分析对象和边界条件
首先需要明确分析的对象和所受的边界条件， 这是建立有限元模型的基础。
几何建模
根据分析对象的特点，利用CAD软件建立几何 模型。
模型简化
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
有限元法理论基础弹力变分原理教学内容
ij
Dijkl kl
W
ij
ij
Cijkl kl
➢ 对于线弹性材料，有：
其中：
Cijkl
D1 ijkl
W W ijij2
7
有限元法理论基础
应变能和应变余能
➢ 互余关系：
W W ijij
全功
➢ 对线弹性体应变能密度和应变余能密度可分 别表示为应变和应力的二次齐函数： W 12Dijkl ijkl
W 12Cijkl ijkl
8
有限元法理论基础
虚功原理
➢ 变形体虚功原理：变形体中，任意平衡力系 在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零。即体系外力的虚功等于内力的虚功。
➢ 虚功原理：
➢ 虚位移原理、虚应力原理
9
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 虚位移：变形体几何约束所允许的位移称为可 能位移，取其任意微小的变化量即是虚位移。
15
有限元法理论基础
虚应力原理
➢ 虚应力：满足平衡方程和力边界条件的应力的变分 （微小的变化）。
➢ 虚应力原理：位移边界处给定位移在虚反力上所做的 余虚功等于应变在虚应力上的余虚功：
uipidS ijijdV
➢ 按力法建立有限元方Su 程的基V本方程。
➢ 几何方程和位ij移12边(u界i,j 条u件j,i)
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 几何方程：
ij 12(ui,j uj,i)
➢ 将应变的变分及上述分部积分结果代入等效积 分形式，得到等效积分形式：
V ijid j VS u iT id SVu ifidV
➢ 上式右边是变形体内的应力在虚应变上所作的虚功，即 内力虚功；上式左边是外力（体力+面力）在虚位移上 所做功，即外力虚功。即内力虚功等于外力虚功。
有限元分析理论基础大全超详细
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
第一章 有限元法的理论基础
法得到了广泛的应用。本课程主要介绍位移法。
9/23/2014 北京航空航天大学 17
第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
(1)结构离散化
假定：梁的长度比宽度大得多，为简单均匀的梁单元。
9/23/2014
北京航空航天大学
18
第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
9/23/2014 北京航空航天大学 2
第1章 有限元法的理论基础__概述 ¾刚度矩阵： 对n个点，可写出n个表示式
写成矩阵形式为
⎡ F1 ⎤ ⎡ k11 ⎢ F ⎥ ⎢k ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥= ⎢ ⎢ Fi ⎥ ⎢ ki1 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ Fn ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ kn1
[ p]
式中
9/23/2014
= [ k ] [δ ]
e
e
⎡ k1 e k = [ ] ⎢ ⎣ − k1
− k1 ⎤ ⎡ k11 =⎢ ⎥ k1 ⎦ ⎣ k21
k12 ⎤ k22 ⎥ ⎦
为单元刚度矩阵
8
北京航空航天大学
第1章 有限元法的理论基础__简例
有限元法基础理论
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σ x 是作用在垂直于 x
轴的面上同时也沿着 X 轴方向作用的。 （2）剪应力τ 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪
一个坐标轴。例如，剪应力τ xy 是作用在垂直于 X 轴的面上而沿着 y 轴方向作用的。
如图 2 所示，将直杆划分成 n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接
1
点为结点，称每个有限段为单元。 第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1 个结点。
2）用单元节点位移表示单元内部位移。我们假设单元内部位移为线性函数。
u(x)
=
ui
+
ui+1 − ui Li
(x
−
xi )
其中 ui 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。第 i 个单元的应变为 ε i ，应力为σ i ，内力为 Ni ：
5
或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。 三、基本变量
1.应力的概念 1）外力：面力和体力 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面
积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 Χ、Υ、Ζ
结点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
(3)
(4)
应变
应力
结点力
单元分析
以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每个结点有 两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。
3
有限元基础理论课件第7章接触分析
TARGE169 - 2-D Target Segment TARGE170 - 3-D Target Segment
第7章 接触问题
7.4 接触分析步骤
只有面-面接触单元上能提取接触应力 接触面一般是柔性面（刚度较低的面），目标面一般是刚 度较大。接触面和目标面合称“接触对”，通过相同的单 元实常数来识别和定义“接触对”。
面-面 ：接触区域未知, 并且允许大滑动，能提取接触应力（常用）
CONTA17urface Contact CONTA172 - 2-D 3-Node Surface-to-Surface Contact CONTA173 - 3-D 4-Node Surface-to-Surface Contact CONTA174 - 3-D 8-Node Surface-to-Surface Contact
第7章 接触问题
7.3 接触单元(conta)与目标单元(targe)
接触单元： 节点-节点 ： 接触的最终位置事先是知道的，不能提取接触应力.
CONTAC12 - 2-D Point-to-Point Contact CONTAC52 - 3-D Point-to-Point Contact CONTA178 - 3-D Node-to-Node Contact
面-面（柔-柔）接触分析步骤：
➢建立模型，划分网格（全部划分）； ➢定义刚性目标面（也变形，只不过刚度较大或形状简单点）； ✓定义柔性接触面； ✓设置接触单元的实常数； ✓设置边界条件； ✓设置求解选项和载荷步（非必须）； ✓求解； ✓查看结果。
柔-柔接触分析例题与步骤
（1）面-面（刚-柔）接触分析步骤：
✓建立模型，将柔体划分网格（刚体不划分）； ✓定义刚性目标面（可同时定义pilot); ✓定义柔性接触面； ✓设置接触单元的实常数； ✓设置边界条件； ✓设置求解选项和载荷步（非必须）； ✓求解； ✓查看结果。
有限元理论基础
(ANSYS 软件)的理论基础－基本方程，边界条件。
基本方程：描述应力状态的平衡方程描述应变状态的几何方程 －－－－－有限元计算的核心思想。
描述应力应变关系的本构方程 对应的边界条件。
2.1应力状态分析图2.1为单元体的应力状态。
图2.1 单元体的任一点的应力状态描述：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211σσσσσσσσσσij ，剪应力互等ji ij σσ=，六个独立分量单元体的静力平衡问题。
单元体沿三个坐标轴方向的力的平衡条件和对三个轴的力矩平衡条件。
三维力的平衡微分方程：1312111=+∂∂+∂∂+∂∂F z y x σσσ 0=+∂∂j i ij F x σ 0=∂∂i ij x σ2322212=+∂∂+∂∂+∂∂F z y x σσσ0,=+j i ij F σ0,=i ij σ 03332313=+∂∂+∂∂+∂∂F z y x σσσ j=1,2,3 j=1,2,3note: 1. σ11 在垂直x 轴平面的应力，在X 轴的分量。
2. F 为体力，包括：重力、磁力、惯性力，与物体的质量成正比。
F i 为I 轴的体力分量。
3.物体表面单位面积的面力T 三个分量为T x ,T y ,T z ,或T １,T ２,T ３,应力σ的三个分量σx ,σy ,σz 或σ1,σ2,σ3 应力边界条件：332313232221223121111σσσσσσσσσ++=++=++=T T T 3,2,1===i T T iji ji i σσ表达作用在物体表面单位面积丧的面力T 与物体内的应力分量之间的关系。
2.2 应变状态分析 图2.2为单元体的应变状态。
图2.2单元体的一点的应变状态的张量描述：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211εεεεεεεεεεεεεεεεεεεzz zy zx yz yy yxxz xy xxij 与应力状态相似。
通俗易懂的有限元基础原理
通俗易懂的有限元基础原理
有限元分析是一种数值计算方法，用于解决结构力学和其他工程领域的问题。
以下是通俗易懂的有限元基础原理解释：
1. 分割结构：有限元分析中的第一步是将要分析的结构分割成许多小的、简单的部分，称为有限元。
类似于拼图，每个有限元代表结构中的一小部分。
2. 建立本构关系：针对每个有限元，需要建立材料的本构关系，即材料的应力-应变关系。
这是通过材料力学性质的实验测试或理论公式来确定的。
3. 建立单元方程：对于每个有限元，根据其几何形状和材料本构关系建立方程。
这些方程描述了有限元内部的应力和变形之间的关系。
4. 组装全局方程：将所有有限元的方程组装在一起，形成整个结构的全局方程。
这些方程联结了各个有限元之间的边界条件和相互作用。
5. 求解方程：通过数值解法，例如迭代方法或直接求解方法，求解全局方程。
这个过程会得到结构的应力、应变分布以及其他感兴趣的结果。
6. 分析结果：最后，分析人员可以根据求解结果，评估结构的性能，例如应力、变形、位移、振动或热分布等。
这些结果可以帮助工程师优化结构设计、评估结构安全性、指导修复或改进结构性能。
总体来说，有限元分析将大型、复杂的结构问题简化为许多小的、简单的部分，通过数值方法求解其力学行为。
这种方法广泛应用于工程领域，以实现更准确、高效的结构设计和分析。
有限元法基础2理论基础
有限元法基础
2.5 Ritz法
Ritz法应用中的难点 求解域比较复杂时，选取满足边界的试函数往往产生 难以克服的困难； 为了提高计算精度，需增加待定参数，这增加了求解 的复杂性；
有限元法同样建立在变分原理的基础上的，可以有效地 避免上述困难
有限元法基础
令
w1 v S
q
T W kv T d W W v Q d W Sq vq d ST kv n d 0
若使v 0 在Sq上，积分方程更简捷
有限元法基础
2.3 加权余量法
由于实际问题的复杂性精确解难于找到，往往求近似解 假设未知场函数u可用近似解表示
象的集合称为T的值域。 算子方程 设算子T的定义域为D，u D ，值域为T(D), f T ( D) , 等式 Tu f 称为算子方程。
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式 将算子方程及边界条件在各自的定义域中积分，有
对任意函数 v 有 对任意函数 v 有
W
v ( Au f )d W 0
W
v ( Bu ) d 0
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式
进一步改写为
W
v ( Au f )d W v ( Bu ) d 0
W
可以证明在积分方程对任意的v 都成立的话，则积分项 在域内每一点都满足算子方程和边界条件。 称为算子方程的等效形式 特点 v 和 v 是单值函数并且在定义域上可积 u的选择取决于算子A和B
2.4 变分原理
微分方程为
Au f B u W 0
在W内
利用线性自伴随算子的性质
有限元基础理论复习资料--郎以墨
有限元基础理论考试复习资料1.有限元分析的步骤是怎样的？答：（1）力学模型的确定，建立积分方程。
（2）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标计算、位移约束条件确定。
（3）单元函数确定，等效结点力的计算。
（4）单元分析，刚度矩阵的计算，先逐个计算单元刚度，再组装成整体刚度矩阵。
（5）总体分析，建立整体平衡方程，引入约束条件，求解结点位移。
（6）由结点位移计算单元应变及应力。
2.有限元（FEM）离散化体现在哪几个方面？答：1.物体本身离散化2.边界条件离散化3.载荷离散化3.有限单元法的基本思想是什么？答：有限单元法的基本思想是将物体（即连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。
4.什么是单元离散化？答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
5.连续体结构分析有哪几种基本假定？答：（1）连续性假设；（2）完全弹性假设；（3）均匀性假设；（4）各向同性假设；（5）小变形假设。
6.形函数是什么？有什么性质？答：反映单元内位移分布状态，称为位移的形态函数，简称形函数。
其有如下性质：1）形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、他点我零”的性质。
2）在单元内任意一点上，三个形函数之和等于1。
3）三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端点坐标有关。
7.什么是单元，节点，节点力，节点位移，节点载荷，体力，载荷，面力，集中力，位移，应力，应变？答：单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域。
节点：定义于单元上的特殊点，或单元之间的联系点。
节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力。
节点位移：在节点处度量的结构位移。
节点载荷：作用于节点上的外载（等效）。
体力：分布于整个弹性体体积内的外力。
有限元基础理论课件第4章载荷施加
本章的学习目标
掌握载荷的分类和施 加方式。
学会在有限元分析软 件中设置和调整载荷 参数。
理解载荷系数和单位 对分析结果的影响。
02 载荷类型与施加方法
集中载荷
总结词
集中载荷是指作用在有限元模型上的 集中力，通常用于模拟集中力或冲击 力等作用。
对未来研究的展望
载荷施加方法的改进
随着计算技术的发展，未来可以对载荷施加方法进行进一步优化， 提高有限元分析的精度和效率。
复杂工况下的载荷施加研究
针对复杂环境和工况下的结构分析，研究更加合理的载荷施加方法， 以适应各种复杂条件下的分析需求。
与其他分析方法的结合
探索载荷施加与其他数值分析方法（如流体动力学、热力学等）的 结合，实现多物理场耦合分析。
惯性载荷
总结词
惯性载荷是指由于物体惯性而产生的力，通常与物体的质量、加速度和角速度有 关。
详细描述
惯性载荷可以通过节点的质量矩阵和加速度向量计算得出，也可以通过单元的质 量矩阵和加速度向量计算得出。在有限元分析中，惯性载荷常用于模拟动态响应 和振动分析。
温度载荷
总结词
温度载荷是指由于温度变化而产生的热应力或热变形，通常 用于模拟热传导、热对流和热辐射等热力学问题。
总结词
压力容器设计中的载荷施加需要考虑压力、温度、腐蚀等因素，通过有限元分析可以模 拟容器的应力分布和变形情况，提高容器的安全性能。
详细描述
在压力容器设计中，载荷施加需要考虑压力、温度、腐蚀等因素。根据容器的使用条件 和工艺要求，需要将各种载荷施加到容器模型上，模拟容器的实际工作状态。通过有限 元分析，可以得出容器在不同载荷下的应力分布和变形情况，从而优化容器的结构设计
有限元的基础理论包括哪几部分
有限元语言及编译器（Finite Element Language And it’s Compiler，以下简称FELAC） 是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平 台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年—2013 年）的总结与提升，有限元语言语法比PFEPG更加简练，更加灵活，功能更加强大。目前 已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语 言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。 FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。
3.虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式
虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为 是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足 协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。
有限元的基础理论包括哪几部分
1.加权余量法 加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权 余量法。(Weighted residual method WRM) 加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。 显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的不同选择得到不 同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。 其中伽辽金法的精度最高。
4.最小位能原理和最小余能原理 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础 上。 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值。 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使系统的总余能取最小值。 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似 的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬;而利用最小余能原理求得的应 力近似解的弹性余能是精确解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模型偏于 柔软。 当分别利用这两个极值原理求解同一问题时，我们将获得这个问题的上界和下界，可以较准 确地估计所得近似解的误差，这对工程计算具有实际意义。
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要点：
应力分析不仅仅能求出“应力”，同时也能求出“变 形”。变形也是重要的设计问题之一。
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有限元分析及应用讲义
• 在此时要用应力分析 到底在什么情况下要用CAE 来求应力（或者变形和应 变）呢？ 在简单的形状下即使不用CAE ，由公式或近似公式也 能求出应力和变形。 但是在产品形状复杂的时候用CAE 就相当的方便了。 让我们先来考虑一下，应力和结构形状及载荷的关系 。 备注：首先，考虑有关[复杂的和简单的]两种情况。
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◇树干 • 树根粗树端细。 • 树干的形状对于抗风抗地震 这样的外力非常合理。 • 并且看起来也具有稳定感。 • 树木之类也形成了合理的形 状。自然界有些东西，即残存至今 的生物和我们人类制造出的事物为 什么总能找出相同的地方。 其实，自然界已经在灵活应用 CAE 技术了！难道不是这样吗！
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有限元分析及应用讲义
◇结构和载荷都是简单的情 况 拉伸一直径和剖面面积都一 样的棒，则产生一样的应力和变 形。 即使不用CAE ，根据材料力 学的理论公式也能算出应力和变 形。 理论公式在设计上进行预测 相当便利。 本例中，我们很容易明白应 力是和板厚成反比的，即板越厚 应力越小。
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有限元分析及应用讲义
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有限元分析及应用讲义
2. 屈曲分析· 屈曲载荷· 屈曲模态
• • • • • • 什么是屈曲 柱的屈曲 压力和屈曲载荷的关系 屈曲模态 欧拉屈曲 平板的屈曲
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• 什么是屈曲 对细长的柱或薄板施加一个压力，则压力在很小的时 候压缩变形与压力成正比。但是，压力一超过某一个值， 由于在轴线或柱面的垂直方向出现了大的横向紧缩，减少 了承受压力的能力，最后引起崩溃。 象这样载荷的大小超过一定的数值，变形的形状与此 之前变形的形状发生了不同的变化，从而承受载荷的能力 减少了，把这一现象称为屈曲。 另外，把屈曲产生时的载荷称为屈曲载荷。 屈曲是由压缩应力产生的。我们对平常都能找得到的 汽水铝罐上下进行压缩看看会产生什么情况。起先，铝罐 还能抵抗一阵子，再继续进行加大压力则罐的侧面开始凹 陷下去，不一会儿就压坏了。 这也就是我们身边所见到的屈曲现象。
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其变形则与压力较小时的变形完全不同,成了弯曲变形,并且也会 产生曲折。 这种变形迅速地发生并以我们的肉眼可观察到的速度快速发展。 这就叫屈曲,此时的载荷就叫屈曲载荷。 如果柱越细或柱越长屈曲越容易发生。 在结构设计时,屈曲分析同前一章所说的应力分析一样重要。
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• 屈曲模态 对于屈曲，即使相同的构件，如果端部的支持状态（ 或称约束条件）不同，则屈曲载荷的大小或屈曲的变形形 状也不同。 我们把这种变形形状称为屈曲模态。 以下的例子显示了相同形状的柱由于端部的约束条件 不相同，则它的屈曲模态和屈曲载荷也不同。 这里我们以屈曲载荷由小到大的次序进行排列显示。 假设，两端旋转自由时的固定系数为n=1.0，则由上至 下4个固定系数为：n=0.25，1.0，2.04，4.0。
要点：
因为应力一大，就要损坏物体，所以设计时不能使应 力大于某个值。为此，在事前，有必要知道应力的数值。
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• 这些地方可用到应力分析 装调味品的塑料袋和水果袋都留有切口，从缺口处就 很容易撕开袋子。有切口的袋子比没有切口的袋子要远远 地容易撕开，这是在日常生活中常有的经验。这是因为， 在切口的部分应力集中，即使用同样的力，因为在切口部 分应力大了，所以就容易撕开。在袋上留有开口，则在切 口处应力集中，口袋也容易撕开。
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我们对粗细相同但长度不同的柱施加一压力,结果会怎 么样呢?
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• 压力和屈曲载荷的关系 压力较小时
因为变形小，一般我们眼睛观察不到,这就是均匀压缩变形。 这种压缩变形是与所施加的压力成正比的。 2 倍的压力产生2 倍的压缩。
压力如瞬间超过某一值
◇结构形状稍稍复杂的情况 拉伸一具有圆孔的平板或具有台阶的圆棒，在孔的周 围或台阶附近应力就会变大。对于这种形状，应力则集中 在孔的周围。 这种现象称为应力集中。 对于“简单情况”，可用图表进行求解。 对于“复杂情况”，就要用到CAE来解了。
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有限元分析及应用讲义
◇结构形状和载荷都是复杂的情况（大多数的产品和 结构都是这种情况） 对于具有复杂形状的结构和机械施加载荷，则会产生 复杂的应力分布和变形。用CAE 来分析。
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有限元分析及应用讲义
第一部分 CAE 总体概貌
第一部分是作为进入有限元法内容前的准 备，讲述了在设计时CAE 所处的地位，考 虑的方法，在设计时怎样来利用CAE，以 及讲述了它的历史背景和有关的预备知识。 被认为像黑匣子（BLACK BOX）一样的有 限元法，让我们现在一点点地走近它吧。
有限元分析及应用讲义
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有限元分析及应用讲义
构件因屈曲而形成巨大惨案的例子中，1907年魁北克 市建设中的铁路桥梁因屈曲而落下的事故是其中有名的事 故之一。
要点：
在产生压缩应力的情况时，也存在着屈曲的可能。特 别是，细长的柱子或薄板这样的结构，在设计时有必要进 23 行屈曲校核。
有限元分析及应用讲义
屈曲与构件的形状和所作用的压缩应力的大小有很大 的关系。下面我们以柱状构件和板材构件为例来考察一下 它们的关系。 • 柱的屈曲 我们对长度相同但粗细不同的柱施加一压力，结果会 怎样呢？
1. 应力分析和应力
• • • • 应力是什么 变形不能忽视 在此时要用应力分析 灵活应用应力分析的例子
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有限元分析及应用讲义
• 应力是什么 对一个产品或结构施加载荷的话，结构在变形的 同时其内部会产生应力和应变。
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有限元分析及应用讲义
对橡皮绳，吊鱼竿或者弓等等，施加一个力，就能非 常清楚地看到它的变形，而一般的产品和结构，大多数是 用铁和铝等等硬性材料制成的，变形非常小，用肉眼来确 认它的变形就很困难了。
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有限元分析及应用讲义
应力是结构对载荷抵抗所产生的力。用单位面积的力 来表示。此应力是判断产品与结构破坏（损坏）与否的重 要指标。
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有限元分析及应用讲义
施加的载荷一起作用，产品或结构内部就产生了抵抗 力，也即产生了应力。一般结构的形状非常复杂，根据施 加载荷的种类，应力也不一样。有大应力，小应力，或压 应力，拉应力等等各种应力。
有限元基础培训
2013年12月20日
有限元分析及应用讲义
• 各力学学科分支的关系
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有限元分析及应用讲义
结构力学与理论力学、材料力学、弹塑性力学有密切 的关系。 理论力学着重讨论物体机械运动的基本规律，其余3 门力学着重讨论结构及其构件的强度、刚度、稳定性和动 力反应等问题。 材料力学以单个杆件为主要研究对象。 结构力学以杆件结构为研究对象。 弹塑性力学以实体结构和板壳结构为主要研究对象。
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有限元分析及应用讲义
· 一端全固定，另一端自由的情况（固定系数n=0.25）
· 两端转角自由的情况（固定系数n=1.0）
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有限元分析及应用讲义
· 一端转角自由，一端全固定的情况（固定系数n=2.04）
· 两端全固定的情况（固定系数n=4.0）
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• 欧拉屈曲 欧拉对这样的柱状构件的屈曲现象进行了理论研究。 今天用他的研究结果来表示与柱构件有关的屈曲，成 为欧拉屈曲。 对于欧拉屈曲，它的屈曲载荷使用以下的理论公式就 可以简单地求出。
要点：
通常对工业产品 和结构来说，复杂的 情况占大多数。然而 ，只要利用CAE 技 术，不管怎样复杂的 形状也不管怎样复杂 的载荷都能算出应力 和变形！
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• 灵活应用应力分析的例子 高层建筑和塔建筑等等的结构往往使 用CAE 进行结构的抗震抗风设计。 ◇高层建筑 • 高层建筑的楼层面积越接近地面设 计得越大。 • 楼层面积没有变化时，则将柱子的 面积加大。 • CAE 对于校核大楼的形状和它的强 度是最有效的。 ◇东京塔 • 越接近地面塔的截面积越大。 • 在当时设计中用模型进行试验是很 有效的手段。 • 而今天，CAE 则替代这样的试验成 为一种灵活应用高效率设计的主流。
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有限元分析及应用讲义
当然自然界并不是真的使用CAE 技术，而是经过长年 累月形成了合理的形状。而我们的设计却不能花费这么长 的时间。我们不能让我们从设计到造出东西要延续到我们 的孙子，孙子的孙子这一代。 CAE，由于使用了计算机技术，因而是一种能够实现 快速而高质量设计的全新的工具。
要点：
机械和结构等大多数东西，为了防止损坏，就要进行 应力分析。
要点：
对于柱的屈曲，如果 压缩应力越大或构件越长 则越容易发生。柱构件的 屈曲也即欧拉屈曲，从理 论上可以推导它的屈曲载 荷和屈曲模态。
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• 平板的屈曲 平板的屈曲要比柱的屈曲稍微复杂一些。因为对于平 板不仅仅是压力，也可由弯矩、剪力等载荷引起局部的压 应力，从而发生板的屈曲。 ◇两边支持面外屈曲 首先如同柱的屈曲一样进行考虑，如下图所示有一两 边自由，上下边简支的长方形板，在上下边受到压力，来 考虑它的屈曲。
11变形，使地面起不到支撑 功能。 对于结构有时候它的变形量要防止超过结构跨距的千 分之一长。 机械零件在设计时要避开因变形而和其他零件接触和 干涉。比如电动机的轴过大的变形就要与外壳接触了。 塑料制品由于金属模具的变形产生了毛刺，而造成了 次品。此时由于成型时喷出的压力，引起金属本身变形， 因此就在阴模和阳模接触部分发生了间隙的原因。
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有限元分析及应用讲义
前一个例子说明，为了避免破损物体而利用了作为破 坏指标的应力，这个例子反过来很好地利用了应力来破坏 物体。总之，象这样求应力集中的程度或求应力的值，这 就是应力分析。 • 变形不能忽视 应力分析在求应力的同时也能够求得产品和结构的变 形。 应力的大小对判断产品和结构是否损坏很重要。不过 有些情况下，即使产品没有破坏，但因为过大的变形，会 破坏产品的功能和性能。在这个问题中宁可利用变形的结 果而不用应力进行设计尤为重要。