第三章—空间力系

O xh a
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
力对轴之矩实例
Fz Fy
Fx
3.2力对点的矩和力对轴的矩
设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx， Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则
M z (F ) MO (Fxy )
MO (Fx ) MO (Fy ) xFy yFx
同理可得其它两式。故有
M x (F ) yFz zFy
x
M y (F ) zFx xFz
M z (F ) xFy yFx
kr Oj
ih x
B F
A(x,y,z) y
3.2力对点的矩和力对轴的矩
2.力对轴的矩
力F对z 轴的矩定义为：
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 2AOab
z FB A
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果 的度量，是一个代数量，其绝对值等于 力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与 平面交点的矩。
求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z
解：
Fx F cos cosj
Fa a2 b2 c2
c
Fy F cos sinj
Fb a2 b2 c2
x
Fz F sin
Fc a2 b2 c2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fyc
F
a j Fxy
Fx 0 Fy 0
Fz 0
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系力系 中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于 零。
例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。已知
P＝1000N，CE＝ED＝12cm，EA＝24cm， ＝ 45°，不计杆重；求绳索的拉
Fx F sin g cosj Fy F sin g sinj Fz F cosg
z Fz
gF Fx j
Fxy x
Fy y
3.1 空间汇交力系
2.空间汇交力系的合成与平衡
（1）合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
或 FR Fx i Fy j Fz k
z MO(F)
O
r
h x
B F
A(x,y,z) y
3.2力对点的矩和力对轴的矩
以r表示力作用点A的矢径，则
z
B
MO(F) r F
以矩心O为原点建立坐标系，则 MO(F)
F
r xi y j zk F Fx i Fy j Fz k
i jk MO(F) r F = x y z
Fx Fy Fz
第三章
空间ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系
3.1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴的投影
若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直 接投影法
z
Fx F cos(F , i)
Fz
Fy F cos(F , j) Fz F cos(F , k)
F
kj Fx i
Fy
y
x
3.1 空间汇交力系
当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把 力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这 个力投影到x 、y轴上，这叫间接投影法。
y
b
cos a2 b2
a2 b2 c2
cosj a
a2 b2
M y (F) 0
M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fya
如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。
解：
M AC (F ) M C (F ) AC
M C (F ) F cos a Fba
由力偶的性质可知：力偶的作用效果取决于力偶矩 的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量M表 示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指 向按右手螺旋法则表示力偶的转向； M的作用线与力偶 作用面的法线方位相同。如图所示。 M称为力偶矩矢。
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos(FR
,
i)
Fx FR
, cos(FR
,
j)
Fy FR
, cos(FR
,
k)
Fz FR
3.1 空间汇交力系
（2）平衡
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合 力等于零。
FR Fi 0
以解析式表示为：
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
3.2力对点的矩和力对轴的矩
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
z
影为
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
[M O (F )]y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
z
Fz
F B
A(x,y,z)
Fy
Fx
O
y
ya x
Fy
Fx
Fxy
b
3.2力对点的矩和力对轴的矩
比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得：
[M O (F )]x M x (F ) [M O (F )]y M y (F ) [M O (F )]z M z (F )
即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力 对该轴的矩。
z
C
E DTD TCx
A
y
S
P
B
3.2力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
空间力对点的矩的作用效果 取决于：力矩的大小、转向和力 矩作用面方位。这三个因素可用 一个矢量MO(F)表示，如图。其模 表示力矩的大小；指向表示力矩 在其作用面内的转向(符合右手螺 旋法则)；方位表示力矩作用面的 法线。由于力矩与矩心的位置有 关，所以力矩矢的始端一定在矩 心O处，是定位矢量。
力和杆所受的力。
解：以铰A为研究对象，受力如图。
D E
A
X 0 :TC sin TD sin 0
C
Y 0 : TC cos TD cos S sin 0
P
B
Z 0 : S cos P 0
由几何关系：
cos 24 2
12 2 24 2 5
解得：
S 1414N TC TD 559 N
a2 b2
B
C
F
D
c
A
a
b
M AC (F ) M C (F ) cos
Fabc a2 b2 a2 b2 c2
3.3空间力偶
空间力偶的性质
力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平 面不影响它对刚体的作用效果。
R
F' B FO
A R'
F2 F1 B1
A1 F'1 F'2
3.3空间力偶
1.力偶的矢量表示，力偶矩矢