利用平方根的定义及性质解题的几个技巧

平方根概念解题的几个技巧

平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.

一、巧用被开方数的非负性求值.

大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.

例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根.

分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6.

解 ∵⎩⎨⎧≥-≥-0202x x , ∴⎩⎨⎧≥≤2

2x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336.

二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a

例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根.

分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了.

解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1.

a 的平方的相反数的立方根是.113-=-

三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.

例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.

分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.

解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0

时，y 最小.由2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.

所以b a 的非算术平方根是.11-=-

四、巧用平方根定义解方程.

我们已经定义:如果x 2=a （a ≥0）那么x 就叫a 的平方根.若从方程的角度观察,这里的x 实际是方程x 2=a （a ≥0）的根.

例4、解方程（x +1）2=36.

分析 把x +1看着是36的平方根即可.

解 ∵（x +1）2=36 ∴x +1看着是36的平方根. x +1=±6.

∴x 1=5 , x 2=－7.

例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x +1)3=64这个方程呢?不妨试一试.

利用平方根的定义及性质解题

如果一个数的平方等于a （a ≥0），那么这个数是a 的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．

例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．

分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．

解：由2a －1+a －11=0，得a =4，所以2a －1=2×4－1=7．

所以这个数为72=49．

例2 已知2a －1和a －11是一个数的平方根，求这个数．

分析：根据平方根的定义，可知2a －1和a －11相等或互为相反数．

当2a －1=a －11时，a =－10，所以2a －1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;

当2a －1+a －11=0时,a =4,所以2a －1=7,这时所求得数为72=49.

综上可知所求的数为49或441.

例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,求2x－3y+11的平方根.

分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11,

所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81,

因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9.

例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）

（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）－1

分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；

（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．

所以选（C）．

练一练:

1.已知x的平方根是2a－13和3a－2,求x的值.

2.已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值

3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根.

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答案:1.49;2. 49或1225; 3.5

估计方根的取值，你会吗

在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜．解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手．

例１ ）

（A ）3.15 3.16 （B ）3.16 3.17

（C ）3.17 3.18 （D ）3.18 3.19.

10 3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间.

解：计算知，2223.15= 9.9225 , 3.16= 9.9856 , 3.17= 10.0489.

所以23.16＜10＜2

3.17.

所以3.16 3.17，应选B .

例2 估计68的立方根的大小在( )

（A ） 2与3之间 （B ）3与4之间

（C ） 4与5之间 （D ）5与6之间.

分析：要估计68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间．

解：计算知，33332= 8 , 3=27 , 4= 64 , 5= 125．

所以34＜68＜35．

所以45，应选B ．

例3 最接近的是（ ）

（A ）2.5 （B ）2.6 （C ）2.7 （D ）2.8.

分析：要比较2.5、2.6、2.7、2.8更接近，只需看看这四个数中哪个数的平方更接近7.

解：计算知，2222

2.5 = 6.25 , 2.6 = 6.76 , 2.7 = 7.29 , 2.8 =7.84.