带电粒子在电场重力场中的运动

(1)依题意，微粒在水平方向是经 0.4 s 加速运动
了 0.4 m 而抵达负极板．
x＝12at2
①
a＝qmE
②
由①②得 E＝2qmt2x，
U＝Ed＝2mqtx2 d ＝2×68××1100－－85××(00..44×)2 0.6 V ＝4×103 V
(2)微粒在电场中做初速度为 零的匀加速直线运动，其轨迹 为直线．由图可看出
当
t＝1265vg0时，v
有最小值，且
3 vmin＝5vFra Baidu bibliotek.
答案
35v0
【例4】将带电平行板电容器竖直安放，如图所示， 两板间距d=0.1m，电势差U=1000V．现从平行板 上A处以vA=3m/s的速度水平向左射入一带正电小 球（已知小球的带电荷量q=10-7C、质量 m=0.02g），经一段时间后发现小球打在A点正下 方的B处， （1）小球在极板间做什么运动？试画出轨迹图． （2）该运动可分解为水平方向的什么运动和竖直 方向的什么运动？
E=Ud=10000.1V/m=104 V/m 则其加速度大小为：a水平 =qEm=10−7×1040.02×10−3m/s2=50m/s2，则 t=2vAa=2×350s=0.12s 在竖直方向上：sAB=12gt2 联立以上四式求解得：sAB=7.2×10-2 m．
知识回顾 Knowledge Review
J.
答案 (1)4×103 V (2)运动轨迹为直线 0.89 m (3)1.6×10－4 J 6.4×10－4 J
答题技巧 正交分解法处理带电粒子的复杂运动问题
用正交分解法处理带电粒子的复杂运动，它区别于类平 抛运动的带电粒子的偏转，它的轨迹常是更复杂的曲线， 但处理这种运动的基本思想与处理偏转运动相类似，也 就是说，可以将复杂运动分解为两个相互正交的比较简 单的直线运动，而这两个直线运动的规律我们是可以掌 握的，然后再按运动合成的观点求解相关的物理量．解 这种综合题时重要的是分析清楚题目的物理过程，才能 找出相应的物理规律．研究两个分运动的合运动是否是 直线运动，一般根据运动条件去判断．物体所受合外力 方向和初速度方向在一条直线上，物体做直线运动；合 外力方向和初速度方向成某一角度，物体将做曲线运动．
[例 3]．在足够大的真空空间中，存在水 平向右方向的匀强电场，若用绝缘 细线将质量为 m 的带正电小球悬挂 在电场中，静止时细线与竖直方向 夹角为 θ＝37°.若将小球从电场中的某点竖直向上抛出， 抛出的初速度大小为 v0，如图所示．求小球在电场内运动 过程中的最小速度．
解析 如图所示，由小球平衡可知
qErsin θ－mgr(1－cos θ)＝Ek
解得 B 点动能即最大动能 Ek＝14mgr
(2)设珠子在 B 点受圆环弹力为 FN，有 FN－F 合＝mrv2， 即 FN＝F 合＋mrv2＝ (mg)2＋(qE)2＋12mg＝54mg＋21mg
＝74mg.由牛顿第三定律得，珠子对圆环的最大压力也
为74mg.
【即学即练】如图所示，绳长为L，一端固定在O点 ，另一端拴一个带电荷量＋q的小球，已知qE＝3mg ，要使球能在竖直面内做圆周运动，则球在A点最 小速度为多少？
解析 球受重力mg，静电力qE，其 合力为2mg，方向向上，用此合力代替重 力场中的重力，B点相当于圆周运动的最 高点，在“最高点”B有2mg＝mv2Bmin/L( 此时TB＝0)．
①
由动能定理：
mg(h－R－Rcos37°)－34mg(hcot θ＋2R＋Rsin37°)
＝12mvD2
②
联立①②两式求得 h≈7.7R
即学即练 半径为 r 的绝缘光
滑圆环固定在竖直平面内，环上 套有一质量为 m，带正电荷的珠 子，空间存在水平向右的匀强电 场，如图所示，珠子所受静电 力是其重力的34倍，将珠子从环上 最低位置 A 点由静止释放，则： (1)珠子所能获得的最大动能是多大？ (2)珠子对环的最大压力是多大？
l＝ x2＋h2 x＝0.4 m h＝12gt2＝12×10×(0.4)2 m＝0.8 m
所以 l＝ 0.42＋0.82 m≈0.89 m
(3) 电 场 力 所 做 的 功
W
电
＝
qU′
＝
q(
x d
U)
＝
6×10
－
8×
0.4 0.6
×4×103 J＝1.6×10－4 J
重力所做的功 W 重＝mgh＝8×10－5×10×0.8 J＝6.4×10－4
qE＝mg·tan 37°＝43mg，把小球在电
场中的运动速度分解为水平和竖直
分速度 vx、vy.小球在水平方向上做 初速度为零的匀加速运动，在竖直方向上做匀变速运动． 所以 vx＝qmE·t＝34gt，vy＝v0－gt.
任意时刻小球的速度为
v＝ vx 2＋vy 2＝
2156g2t2－2v0gt＋v0 2.
带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中 做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典 型的题型．对于这类问题，若采用常规方法求解， 过程复杂，运算量大．若采用“等效法”求解，则能 避开复杂的运算，过程比较简捷．先求出重力与电 场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将 a＝Fm合视为“等效重力加速度”．再将物体在重力场中 做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即 可．下面通过实例分析说明“等效法”在此类问题中 的应用．
（3）求A、B间的距离SAB．（g取10m/s2）
解：（1）小球m在A处以vA水平射入匀强电场后，受到重力和 电场力，合力一定，而且合力与初速度不在同一直线上，则小 球做匀变速曲线运动．其运动轨迹如图所示
（2）把小球的曲线运动沿水平和竖直方向进行分解．在水平方 向上，小球有初速度vA，受恒定的电场力qE作用，做匀变速直 线运动，且由qU＞12mvA2知，小球不会到达左极板处．在竖 直方向上，小球做自由落体运动．两个分运动的运动时间相等， 设为t，则 在水平方向上：
解析 小球所受的重力和电场力
都为恒力，故可将两力等效为一 个力 F，如图所示，可知 F＝ 1.25mg，方向与竖直方向成 37°.由 图可知，小球能否做完整的圆周运 动的临界点是 D 点，设小球恰好能 通过 D 点，即达到 D 点时小球与圆环的弹力恰好为 零．
由圆周运动知 F＝mvRD2，
即 1.25mg＝mvRD2
带电粒子在复合场（电场、重力场）中的运动
一、利用“等效思想”巧解复合场中 的圆周运动问题
等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等 效为一个熟知的物理模型或问题的方法．例如我们 学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动 等都体现了等效思维方法．常见的等效法有“分解”、 “合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、 “等效简化”等，从而化繁为简，化难为易．
湖南长郡卫星远程学校
制作 11 2011年下学期
解析 微粒受电场力和重力共同作用，根据力的独 立作用原理，在电场力作用下微粒在水平方向将做 初速度为零的匀加速直线运动，在重力作用下微粒 在竖直方向将做自由落体运动，微粒在电场中的运 动便可以看做是这两个分运动的合运动．电场力和 重力均为恒力，所以其合力也是恒定不变的力，又 因为微粒的初速度为零，根据运动条件可判定，微 粒在电场中运动的轨迹应为直线．
解析 珠子在运动过程中，受重力和电场力的大
小、方向都不发生变化，则重力和电场力的合力大小、 方向也不变，这样就可以用合力来代替重力和电场 力，当珠子沿合力方向位移最大时，合力做功最多， 动能最大． (1) qE＝34mg，所以 qE、mg 的 合力 F 合与竖直方向夹角的正切 tan θ＝mqEg＝34，即 θ＝37°，则珠 子由 A 点静止释放后从 A 到 B 过 程中做加速运动，如右图所示，B 点动能最大，由动能定理得
从“最高点”B到“最低点”A用动能定理 ： qE•2L－mg•2L＝mv2A/2－mv2Bmin/2
vA＝√10gL，即要想让小球在竖直面内做圆周运动，小 球在A点的速度满足vA≥√10gL.
二、正交分解法处理带电体的复杂运动问题
【例 2】 如图所示，在真空中， 竖直放着一个平行板电容器，在 它的两极板间有一个带正电的微 粒，质量为 m＝8×10－5 kg，电荷 量 q＝6×10－8 C．这个微粒在电场力和重力共同作用下，从 距负极板 0.4 m 处，由静止开始运动，经 0.4 s 抵达负极 板．则： (1)如果两极板相距 d＝0.6 m，则板间电压是多少？ (2)微粒在极板间运动的轨迹是什么形式？微粒通过的路程 是多少？ (3)在整个过程中，电场力和重力各做了多少功？(g 取 10 m/s2)
【例 1】 如图 12 所示的装置 是在竖直平面内放置的光滑 绝缘轨道，处于水平向右的 匀强电场中，带负电荷的小 球从高 h 的 A 处由静止开始 下滑，沿轨道 ABC 运动并进入圆环内做圆周运动．已 知小球所受电场力是其重力的34，圆环半径为 R，斜面 倾角 θ＝60°，BC 段长为 2R.若使小球在圆环内能做完 整的圆周运动，h 至少为多少？