阿氏圆
初中数学阿氏圆
例6：如图1，正方形ABCD边长为4，圆B的半径为
2，P时圆B上一动点，则 2PD+4PC的最小值为？
例7：如图1，在已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，
圆B的半径为2，P为圆B上一动点，则 3PD+6PC的最小
值为？
OP
=
OP
（核心关键
OB
步骤）
第四步：连接AC，与圆O的交点即为点P
OC
回顾图2，在OB上取点C构建
OP
OP
的目的是为了形成“母子型相
OB
=
似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武
器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
将图2中△BPO单独提取出，如图4，上色渲染的△PCO∽△BPO，
化为“PA+PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动
点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，
如图3
三.“阿氏圆”模型破解策略
【破解策略详细步骤解析】
第一步：一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连，
即连接OB、OP；
第二步：计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找
OC
到线段比为k的情况，如例子中的
在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的
类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波
罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，
则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点
的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古
希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称
“阿氏圆”。
二.模型建立
如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O
专题3----阿氏圆问题
阿氏圆公式
阿氏圆公式
阿氏圆公式是描述圆的一种数学公式，它由法国数学家欧仁·阿氏于1841年提出。
阿氏圆公式的形式为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F是常数。
这个公式描述了平面上所有的圆，包括半径为0的圆（即点），以及不存在的圆（例如D、E、F不满足特定条件时）。
阿氏圆公式的推导相对简单，可以通过几何方法或代数方法得到。
几何方法包括使用平移和旋转变换，将一般的圆转化为标准方程的圆，即x^2+y^2=r^2。
代数方法则采用完全平方的方法将一般的圆方程转化为标准方程。
在应用阿氏圆公式时，我们可以根据已知的圆心坐标和半径，求解出D、E、F的值，从而得到对应的阿氏圆方程。
反之，如果已知了阿氏圆方程，我们可以通过配方的方法，提取出圆心坐标和半径的信息。
阿氏圆公式的应用非常广泛。
在几何学中，我们经常需要求解两个圆的交点、切线方程等问题，阿氏圆公式可以帮助我们解决这些问题。
在工程学中，阿氏圆公式可以用于描述圆形物体的特征，如轮胎、齿轮等。
在计算机图形学中，阿氏圆公式可以用于绘制圆形，进行图形的变换和裁剪等操作。
除了阿氏圆公式，还有其他描述圆的公式，如一般方程、极坐标方程、参数方程等。
每种方程都有其特点和应用范围，在具体问题中
选择适合的公式进行求解是十分重要的。
阿氏圆公式是描述圆的一种常用数学工具，它可以帮助我们解决各种与圆有关的问题。
了解和掌握阿氏圆公式的应用，可以提高我们的数学建模和问题求解能力。
同时，我们还需要深入理解圆的性质和特点，才能更好地应用阿氏圆公式解决实际问题。
高中阿氏圆数学模型
高中阿氏圆数学模型阿氏圆是一个很古老的数学模型，它最早由土耳其数学家阿尔帕拉格斯于1637年发现，被称作“希腊部分卷轴”中的一部分。
在中文中，阿氏圆也有另外一个别名——“玄同圆”。
什么是阿氏圆？阿氏圆是由一条直线和一个不动点构成的一组有趣的几何结构。
在这组几何结构中，直线被不动点绕着旋转，同时与不动点连线上的任意点P距离的积始终相等。
这个距离积的值就被称作阿氏圆的半径。
阿氏圆的几何结构我们可以用数学公式来表示阿氏圆的一般式。
先设点F为阿氏圆的不动点，点P为直线与不动点之间的一个任意点，点O为不动点到直线的垂足，点H为垂足FO的中点，点N为直线与不动点的垂线与阿氏圆的交点，点M 为点N到垂线FO的垂足。
OP × OM = OF^2其中OP为点P到不动点的距离，OM为点M到不动点的距离，OF为不动点到直线的距离。
阿氏圆的性质1.阿氏圆是一条曲线。
2.阿氏圆半径为它所在直线的垂线段的一半长度。
3.直线与它的阿氏圆始终相重叠。
4.阿氏圆由两部分组成，分别对应于点P在不动点与直线之间和不在它们之间两个条件下。
5.当点P在不动点与直线之间时，阿氏圆半径小于点P到直线距离的一半，当点P不在不动点与直线之间时，阿氏圆半径大于点P到直线距离的一半。
应用阿氏圆阿氏圆在工程学和物理学等领域有广泛应用，它被用于描述旋转现象，还可以用于测量机械振动和分析液体的流动情况等。
例如，当我们考虑一个旋转物体的惯性时，阿氏圆可以帮助我们计算出旋转物体的转动惯量。
此外，阿氏圆还可以被应用于衡量物体的辐射和冷却能力，以及对于热器的设计和改进。
总之，阿氏圆是一个重要的数学模型，它在不同领域都有着广泛的应用，对于理解旋转现象和液体流动等现象有着重要的贡献。
阿氏圆的推导
阿氏圆的推导
阿氏圆是波动光学中描述偏振光经过光学元件后产生偏振状态变化的一种工具。
下面是阿氏圆的推导过程：
假设我们有一个偏振光波经过一个线性偏振器，然后通过一个退偏器，最后达到一个偏振分析器。
1.线性偏振器：假设光波在到达线性偏振器之前是无偏振光
波，经过线性偏振器后，光的偏振方向被限制在一个确定
的方向上。
2.退偏器：退偏器是一个具有像普通波片一样特性的元件，
可以沿着不同方向改变光的偏振状态。
退偏器有两个特殊
方向，一个是快轴方向（K）和一个是慢轴方向（S）。
3.偏振分析器：最后一个元件是偏振分析器，它只允许通过
一个特定偏振方向的光。
根据上述假设，我们可以将光的波矢表示为一个旋转矢量。
这个旋转矢量可以由具有两个垂直传播方向的复数分量表示，一个对应于快轴方向（K），另一个对应于慢轴方向（S）。
设它们的复数分量分别为X 和Y。
考虑光沿着S方向通过退偏器，然后传播到偏振分析器。
通过调整退偏器的角度，可以改变X 和Y的相对幅值和相位差。
最后，通过改变退偏器的角度，我们可以得到光在Poincaré球上描绘出的一条闭合曲线，即阿氏圆。
阿氏圆的直径对应于光的振幅，而圆上的每个点代表光的偏振状态。
具体
来说，当阿氏圆是一个圆时，光是线性偏振的；当阿氏圆是一个椭圆时，光是部分偏振的；当阿氏圆退化为一个点时，光是完全偏振的；当阿氏圆退化为直线时，光是圆偏振的。
从阿氏圆中，我们可以获得有关光的偏振状态和光学元件参数的有用信息。
阿氏圆广泛应用于光学领域的偏振分析和测量，以及光学器件的设计和优化。
阿氏圆知识点总结
阿氏圆知识点总结1. 定义和特点阿氏圆是一种特殊类型的圆，它可用来解决一些几何问题。
与普通的圆不同，阿氏圆的圆周上的任何一段圆弧都与圆心之外一点的连线成一个特定的恒定角度。
在阿氏圆内，存在两个特定的点，一个是内圆心，一个是外圆心。
这两个点与圆上的任意一点连成的线段呈现出恒定的夹角。
这些特点使得阿氏圆在数学和工程领域有着广泛的应用。
2. 阿氏圆的历史阿氏圆是由17世纪的意大利数学家乔万尼·贝尔努利所提出的。
他的研究成果被认为是建立了航空学的良好基础，为后来的飞行器设计和控制系统提供了有力支持。
阿氏圆之所以被命名为“阿氏”是因为乔万尼·贝尔努利的英文名是“Giovanni Alfonso”而被称为“Giovanni Alfonso”.3. 构造方法阿氏圆的构造方法有多种，其中最常见的是利用平行直线和圆相交的关系来构造。
具体方法如下：- Step 1：在平面上选择一条直线作为基准线。
- Step 2：在基准线上选择一个点作为内圆心。
- Step 3：从内圆心开始画一条半直线，使得它和基准线成一个特定的角度。
- Step 4：通过内圆心，将这条半直线上每一个点与基准线的交点作为初始圆上的一个点。
- Step 5：连接初始圆上的点和内圆心，得到阿氏圆。
4. 基本性质阿氏圆是一种精美的几何图形，它具有许多基本性质，其中最为重要的包括以下几点：- 周长和半径：由于阿氏圆上的任意一段弧都与外圆心的连线成一个特定的角度，因此，圆周上的每一小段都是等长的。
此外，阿氏圆的半径大小也是不固定的，但是半径越大，圆周上的弧长越大。
- 角度恒定性：阿氏圆上任何一条弧都与外圆心的连线成一个恒定的角度。
这个角度也被称为阿氏角，它在阿氏圆上是始终不变的。
5. 应用领域阿氏圆由于其独特的特点，被广泛应用于航空航天、船舶和汽车制造、导弹制导系统、机械制造等领域。
在飞机设计中，利用阿氏圆可精确控制机体的姿态，提高飞行性能和飞行安全。
高中阿氏圆数学模型
高中阿氏圆数学模型
阿氏圆是一种特殊的椭圆，由法国数学家阿波罗尼斯·马泰斯在17世纪发现并研究。
高中数学中，阿氏圆常被用作数学模型，用于求解各种实际问题。
阿氏圆具有以下特点：
1. 阿氏圆是一种椭圆，其离心率为零，即它的两个焦点重合。
2. 阿氏圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b为正实数。
3. 阿氏圆的中心位于坐标原点，长轴与短轴垂直，并且长轴长度为2a，短轴长度为2b。
在高中数学中，阿氏圆被广泛应用于解决各种实际问题，如电子轨道、科技设计等。
利用阿氏圆模型，可以帮助我们更快、更准确地求解问题，并且在实践中应用广泛。
- 1 -。
阿氏圆问题
阿氏圆问题
阿氏圆是古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，它描述的是平面上两点A、B，
满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹。
这个轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。
阿氏圆的应用主要体现在解决一些与三角形相关的几何问题以及物理问题中。
在几何问题中，可以利用阿氏圆来寻找三角形的重心、垂心等。
在物理学中，当一个物体受到两个力的作用时，可以利用阿氏圆来求解物体的平衡条件，确定两个力的合力和合力的方向，从而判断物体是否处于平衡状态。
此外，阿氏圆也可以用于解决一类最值问题，这类最值问题的特点是必须两个距离点同在阿氏圆的内侧或外侧。
解决这类问题的关键在于找到阿氏圆对应的线段。
以上信息仅供参考，建议查阅相关书籍或咨询专业人士以获取更全面的信息。
高中阿氏圆例题
高中阿氏圆例题
（最新版）
目录
1.阿氏圆的定义与性质
2.阿氏圆的构造方法
3.阿氏圆的性质与应用
4.阿氏圆的例题解析
正文
一、阿氏圆的定义与性质
阿氏圆，又称为圆的外接圆或外接圆，是指一个三角形的外接圆。
阿氏圆具有以下性质：
1.阿氏圆的圆心是三角形三顶点所在直线的垂直平分线的交点。
2.阿氏圆的半径等于三角形面积除以半周长。
二、阿氏圆的构造方法
构造阿氏圆的方法有多种，常见的有以下两种：
1.以三角形的三个顶点为圆心，以三角形三边的垂直平分线为半径，分别作圆。
这三个圆相交于一点，该点即为阿氏圆的圆心。
2.作三角形的三边的垂直平分线，将垂直平分线相交于一点，该点即为阿氏圆的圆心。
然后以圆心到三角形三顶点的距离为半径，作圆。
三、阿氏圆的性质与应用
阿氏圆在解决一些与三角形相关的数学问题时具有重要作用，例如：
1.判断三角形是否为直角三角形。
若阿氏圆的圆心与三角形某一顶点重合，则该三角形为直角三角形。
2.求解三角形的面积。
通过阿氏圆的半径可以求得三角形的面积。
3.求解三角形的半周长。
通过阿氏圆的半径可以求得三角形的半周长。
四、阿氏圆的例题解析
例题：已知三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c，求三角形 ABC 的面积。
解：首先构造三角形 ABC 的阿氏圆，然后求得阿氏圆的半径。
根据
阿氏圆的性质，半径 r 等于三角形面积 S 除以半周长 p，即 r = S / p。
阿氏圆问题
阿氏圆问题1．阿氏圆的定义已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．2．阿氏圆的应用在初中阶段，阿氏圆主要用于求系数不相同的线段和的最小值．求PC＋kPD的最小值．3．解阿氏圆的基本方法构造子母相似△．4．解阿氏圆问题的一般步骤问题：求PC＋kPD的最小值（1）连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；（2）计算出所连接的两条线段OP、OD长度；（3）计算两条线段长度的比OPOD＝m；（4）在OD上取点M，使得OMOP＝m；（5）连接CM，与圆O的交点即为点P．5．阿氏圆问题的题型（1）两定点都在圆外：P A＋k·PB，k＜1（2）两定点都在圆内：P A＋k·PB，k＞1（3）一定点在圆外，一定点在圆内：m·P A＋n·PB，m＜1，n＞1（4）隐圆问题．类型1：两定点在圆外：系数不变，构造子三角形【例题1】（1）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________．（提示：记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝12PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值）（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，⊙C的半径为2，点P是⊙C上一动点，则AP＋12PB的最小值为___________．（提示：连接CP，在BC上取一点E，使得CE＝12CP＝1，则△EPC∽△PBC，∴PE＝12PB，当A、E、P三点共线时，AP＋PE（3）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为⊙B上一动点，则P APC的最小值为____________．．（提示：连接BP，取BC的中点E，则△EPB∽△PCB，∴PE PC，当E、P、A三点共线时，PA＋PE）（4）如图，菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，⊙A的半径为3，BC与圆相切于点E，点P在⊙A上运动，则PBPD的最小值为____________．．（提示：连接AP，作AF＝34AD＝32，则△AFP∽△APDPD＝PF）（5）如图，已知点A (－3，0)，B(0，3)，C(1，0)，若点P是⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，则1 4AP＋BP的最小值为___________．．（提示：连接CP，在OC上取一点E，使得CE＝14CP＝14，则△PEC∽△APC，∴PE＝14P A，当B、P、C三点共线时，PE＋BP（6）如图，若⊙OPOMO＝2，∠POM＝90°，点Q在⊙OPQ＋QM的最小值为____________．（提示：作OE＝15OP，则△QEO∽△PQOP Q＝QE）DDxxPP【例题2】如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________，PD－12PC的最大值为____________．【答案】5；5．（提示：连接BP，记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝1 2PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值5；当D、P、F三点共线时，PD－PF有最大值5）类型2：两定点在圆外：系数化简【例题3】（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D，连接AD、BD、CD，则2AD＋3BD的最小值为___________．【答案】（提示：在AC上取一点E，使得CE＝23CD＝4，则△CED∽△CDA，∴ED＝23AD，当E、D、B三点共线时，ED＋BD有最小值（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，半⊙O交x轴与点A、B(2，0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD＝2，BC＝7，若点P是半⊙O上的动点，则PD的最小值为___________．【答案】OD、OP，取OD的中点E，则△OPE∽△ODP，∴PEPD，当E、P、C三点共线时，PE＋PC有最小值）CDDCB Bx（3）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B＋6PC的最小值为___________．【答案】．（提示：分别连接AC、BD交于点O，则BD＝BP，在BD上取一点M，使得BMBP，则△PBM∽△DBP，∴PMPD，当C、P、M三点共线时，PM＋PC有最小值）类型3：两定点在圆内：向外延长，构造母三角形【例题4】（1）如图，∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，圆OP是圆O上一动点，则P APB的最小值为___________．．（提示：点在圆内，反向操作，延长OB至点C，使CO＝2OB＝2，则△OPB∽△OCP，∴P B＝PC）（2）如图，已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是弧CD上一点，则2P A ＋PB的最小值为___________．【答案】13．（提示：点在圆内，反向操作，延长OC至点E，使CE＝6，连接PE、OP，则△EOP∽△POA，∴PE＝2P A，当E、P、B三点共线时，PE＋PB有最小值13）DCC（3）如图，⊙O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，点P为⊙O上一动点，则2PC＋PE的最小值为____________．【答案】（提示：连接OP，延长OA至点F，使AF＝OA，则△FOP∽△PCO，∴PF＝2PC，当F、P、E三点共线时，PF＋PE有最小值【例题5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为2，点D是⊙C上一动点，点E在CB上，CE＝1，连接AD、DE，则12AD＋2DE的最小值为___________．（提示：连接CD，在CA上取一点F，使CF＝14CA＝1，则△FDC∽△DAC，∴DF＝12AD；∵CE＝1，CB＝4，∴△DCB∽△ECD，∴BD＝2DE，当F、D、B三点共线时，DF＋DB有最小值类型4：隐圆问题【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则AD＋23BD的最小值为____________．（提示：点D的运动轨迹为以C为圆心，2为半径的圆，在BC上取一点E，使得CE＝2 3CD＝43，则△ECD∽△BCD，∴DE＝23BD，当E、D、A三点共线时，AD＋DEBF BBBABCDDEDCBA【例题7】如图，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BP A ＝135°，则2PD＋PC的最小值为____________．【答案】．（提示：连接AB，∵∠BP A＝135°，AB＝，∴点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，连接OP，在OA上取一点E，使得OE＝12OA，则△POE∽△COP，∴PE＝12PC，当D、P、E三点共线时，PD＋PE有最小值xx。
阿氏圆公式
阿氏圆公式阿氏圆公式是一种用于计算直角三角形中圆的半径的公式。
它由法国数学家阿氏（Pierre-François Verhulst）在19世纪提出，是直角三角形中一个重要的几何定理。
本文将详细介绍阿氏圆公式的原理和应用。
阿氏圆公式是指在一个直角三角形中，以斜边为直径的圆的半径等于斜边与斜边上的中线之积除以斜边上的高。
用数学表达式表示为：R = (a * b) / c，其中R为圆的半径，a为斜边，b为中线，c为高。
阿氏圆公式的原理非常简单，我们可以通过一个具体的例子来理解。
假设有一个直角三角形，斜边长为10cm，中线长为6cm，高为8cm。
根据阿氏圆公式，我们可以计算出圆的半径为(10 * 6) / 8 = 7.5cm。
阿氏圆公式的应用非常广泛。
首先，它可以帮助我们计算直角三角形中圆的半径，这对于解决一些几何问题非常有帮助。
比如，在建筑设计中，我们经常需要计算一些直角三角形中圆的半径，以便确定建筑物的结构和布局。
阿氏圆公式还可以用于解决一些实际问题。
比如，在地理学中，我们经常需要计算地球上两个地点之间的距离。
如果知道两个地点的经纬度，我们可以将地球看作是一个直角三角形，用阿氏圆公式来计算地球的半径，从而得到两个地点之间的距离。
阿氏圆公式还可以用于计算圆的面积和周长。
圆的面积可以通过公式S = π * R^2来计算，而圆的周长可以通过公式C = 2 * π * R来计算。
通过阿氏圆公式，我们可以得到圆的半径，进而计算出圆的面积和周长。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常使用近似值来计算圆的半径。
因为阿氏圆公式中的参数往往是测量值，存在一定的误差。
所以，在计算过程中，我们需要根据实际情况进行四舍五入或取整，以得到更加准确的结果。
阿氏圆公式是直角三角形中一个重要的几何定理，可以帮助我们计算圆的半径，并解决一些几何和实际问题。
它的原理简单易懂，应用广泛实用。
通过阿氏圆公式，我们可以更好地理解和应用直角三角形的相关知识，为解决实际问题提供帮助。
阿氏圆圆心半径公式
阿氏圆圆心半径公式
“我可以用一个简单的公式，把圆圆心半径算出来，”著名数学家阿氏（Apollonius）曾说过。
在他的著作中，他提出了一个简单的公式来解决圆圆心半径的问题，这被称为“阿氏圆圆心半径公式”。
阿氏圆圆心半径公式是一种几何学公式，可以根据圆的半径、周长和面积来求出圆圆心半径。
它是20世纪初由阿氏发明的，并在1911年被阿氏本人确认。
这个公式可以用以下方式表达：
圆圆心半径=长2÷（4π）
或者
圆圆心半径=面积÷π
这种公式能够更有效地计算出圆圆心半径，比起传统的方法更加精确和有效。
阿氏圆圆心半径公式可以应用在各种各样的几何问题中，例如，圆的面积的计算、半径的计算和面积的计算等。
在高中数学课程中，它也被广泛使用，不仅用于几何问题的解决，而且还可以应用于几何学的其他概念的理解。
此外，阿氏圆圆心半径公式也可以用于实际工程中的计算，例如，建筑工程中特定圆形结构的设计，机械零件的制造等。
由于它的有效性和精度，许多工程师也会使用这种方法，以帮助他们完成计算。
阿氏圆圆心半径公式在数学领域也有其重要性，它不仅在几何学有重要的应用，而且还在推进许多其他数学理论和技术发展中发挥了
重要作用。
因此，“阿氏圆圆心半径公式”的发明使得计算圆的半径更加简单，也帮助了许多算法的发展。
由于这项发明，圆的面积、周长和半径的计算变得更加简单方便，也帮助了许多工程项目、几何学研究和数学应用的发展。
阿氏圆圆心半径公式将继续在几何学和数学等领域发挥着重要的作用。
阿氏圆介绍
证明： 设A （a， 0） ， B （0， 0） ， P （x， y） ， 则由 AP=kBP 知： (a x) 2 y 2 k x 2 y 2 ， 化简得： (1 k 2 )( x 2 y 2 ) 2ax a 2 0 ， 当 k≠±1 时，它的图形是圆；当 k＝±1 时，它的图形是 AB 的中垂线！ 实例：设 A（-2，0） ，B（1，0） ，且 AP=2BP，则点 P 在圆心在（2，0） ，r=2 的圆上
在 OB 直线上，圆 O 即为阿氏圆！ 点拨：遇到两点一圆转化线段*k 时，当系数 k 不为 1 时，可以利用阿氏圆进行 转化！
整理：长沙 huyoo 来源：网络
应用：可知阿氏圆上任意一点 P 到点 A 和点 B 的距离比都是定值 k，那么在证 明过程点的距 离比，那么我们就可以知道圆上另一点到两定点的距离比。
实战：
对于
2 PE 2 ，且这个定点 PB 的转化，就是找到另外一个定点 E，使得： 2 PB 2
阿氏圆定理介绍
全称：阿波罗尼斯圆定理 定义：一动点 P 到两定点 A、B 的距离之比等于定比 m：n（m≠n） ，则 P 点的 轨迹，是以定比 m：n 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连线为直径的圆。该 圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。 作法：在线段 AB 上取一点（不妨 AC>BC） ，以 AC/BC=k 的比值在 AB 延长线 上再找一点 D，使得 AD/BD=k，以 CD 为直径画圆，圆上任意一点 P，都能满足 PA/PB=k，其中点 C 为内分点，点 D 为外分点。
2024年中考数学圆复习讲义：阿氏圆
阿氏圆【原题呈现】如图1所示,正方形ABCD 的边长为4,⊙B 的半径为2,P 为⊙B 上的动点，求√2PC−PD的最大值.【研题策略】来路@1.“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，即已知平面上两点A，B，则所有满足. PA=kPB(k≠1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.而由“阿氏圆”引出的最值问题，我们就称之为“阿氏圆”问题.“阿氏圆”最值问题，一般会有两种情形：一种是求加权线段和的最小值，另一种是求加权线段差的最大值.但无论哪种情形，我们解决问题的通法都是通过构造相似来解决问题.对于“阿氏圆”问题，其解题步骤一般如下(以加权线段和的最小值为例，加权线段差的最大值步骤一样)：如图2所示,求 PD+kPC的最小值.第一步：连接动点至圆心B(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接)，即连接BP,BC;第二步：计算出所连接的这两条线段BP，BC 长度，一般题目会告知；第三步：计算这两条线段长度的比BP,，此比值一般会等于k；BC第四步：在BC 或BC的延长线上取点M，如图3所示，使得BM=k,此时由于△BMP∽△BPC,，且相似比为BPk，所以会有PM=kPC，即把求PD+kPC 的问题转化成求. PD−PM 的问题;第五步：连接DM，与圆B交点即为点P，如图4所示，DM 的长即为所求PD+kPC 的最小值.其实，DM的长也为PD-kPC的最大值，只不过此时的点 P 为DM 的延长线与圆的交点(如图5所示).2.将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接，即连接BP.由题中数据，发现12≠√2,那是否意味着此题不能按照“阿氏圆”问题的解题思路来进行了呢?换个角度思考，既然PC线段系数不为1的情况不行，则可考虑将此系数提出，将其转变成PD 的系数不为1，看看是否可行.因为√2PC−PD=√2(PC−√22PD),要求√2PC−PD的最大值，可以转换成求PC−√22PD的最大值，若能求出，最后乘以√2后的答案即为本题√2PC--PD 的最大值.根据“阿氏圆”的解题思路，将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接，即连接BD，BP(如图6所示)，由题中数据，发现BPBD =√24≠√22.至此，发现，两种情况好像都行不通，难道此题只是披着“阿氏圆”的外衣来迷惑大家?其实，只要再观察下两种情况下的线段的系数和题中的线段的系数，就可以发现奥妙了.观察这四个系数√2,1,1 2,√24,发现√24×√2=12,√24×1−√24.于是又可以这样思考，将√2PC−PD整体乘以√24,√24×(√2PC−PD)=12PC−√2 4PD.因此，要求√2PC−PD的最大值，我们可先求12PC−√24PD的最大值，再除以√24即为本题答案.那么- 12PC−√24PD的最大值又是否可求呢?结合上面的分析，答案是肯定的.根据这两个系数和解决“阿氏圆”的一般步骤，是可以找到这样的两个点，来解决问题.思路由来路可知，要求√2PC−PD的最大值，可先求12PC−√24PD的最大值，而求12PC−√24PD的最大值即为“阿氏圆”问题，根据“阿氏圆”问题的求解步骤，可连接BP，BD，分别在BC,BD 上取点E,F,使得BE=1,BF=√22,如图 7 所示.此时由△EBP∽△PBC、△FBP∽△PBD,可将求12PC−√24PD的最大值转化为求PE-PF的最大值，由三角形任意两边的差小于第三边，可知当点 P，F，E 三点共线时，PE-PF 有最大值EF，问题从而解决.解如图7所示,连接BP,BD,分别在BC,BD 上取点E,F,使得BE=1,BF=√22,连接PE,PF.令S=√24(√2PC−PD)=12PC−√24PD,故求√2PC−PD的最大值，可先求12PC−√24PD的最大值.∵BEBP =BPBC=12,∠EBP=∠PBC,∴△EBP∽△PBC.∴PECP =BEBP=BPBC=12.∴PE=12PC.又BFBP =BPBD=√24,∠FBP=∠PBD,∴△FBP∽△PBD.∴PFDP =BFBP=BPBD=√24.∴PF=√24PD.∴12PC−√24PD=PE−⋯PF.故求12PC−√24PD的最大值即为求 PE-PF 的最大值.依题意,当点 P,F,E三点共线时,PE-PF 有最大值EF,此时,PE⊥BD.如图8所示.因为四边形ABCD 为正方形,BD为对角线,所以∠EBF=45°.∴EF=BE⋅sin45∘=√22.故√2PC−PD√22√24=2.注：通过上述解题，可以发现，在“阿氏圆”最值问题中，加权线段的系数一般都会凑好，比如，此题中的1 2,√24其实就是圆半径与正方形边长之比和圆半径与正方形对角线长度之比.在解题时若能注意到此特征，那么问题很快就能解决.但有时，命题者可能会设置障碍，将系数提取出来，再去掉此系数，通过系数转换，从而将“阿氏圆”构造痕迹抹掉.比如，此题中命题者将系数√24提取后，再去掉，得到|√2PC−PD,，这一看似不是“阿氏圆”问题，实则就是“阿氏圆”问题的式子的全新式子.此时，如果不能发现系数间的联系，那么是很难解决问题的.延续命题者思路，此题若将圆去掉，条件改为：①点P 为平面上一点，且PB=2；②点P 为平面内一点，点M在BC上，且BM=1,PMPC =12,其他条件不变，那么迷惑性就更强了(如图9，图10所示).碰到此类问题，如果没有“阿氏圆”问题相关知识的储备，那么很难找到解题思路.【举一反三】1. 问题提出:如图1所示,在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C的半径为2,P 为圆上一动点,连接AP,BP的最小值.BP,求AP+12自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，1AP+BP的最小值为 .3拓展延伸:已知在扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P 是弧CD 上一点,求2AP+PB的最小值.2. 如图所示,在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC=4,，⊙C的半径为2,点 D 是⊙C 上的动点,点 E 在BC 上,( CE=1,连接AD,DE,则1AD+2DE的最小值为 .2。
1-整理版-阿氏圆
阿氏圆（阿波罗尼斯圆）阿氏圆定理：到两定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是一个圆．定理证明：已知：如上图，在PAB △中，AB m =，PA kPB =，试证明点P 的轨迹是一个圆．证明：在AB 上取一点C ，使得AC k CB =，在AB 的延长线上取一点D ，使得AD k DB =，由三角形角平分线分线段成比例定理的逆定理，可知PC 平分APB ∠，PD 平分APB ∠的外角，所以90CPD ∠=︒，所以点P 在以CD 为直径的圆上．应用：如图，在ABC △中，4BC =，2AB AC =，求ABC △的面积最大值．三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图1，若AD 平分BAC ∠，则必有：::AB AC BD CD =．三角形外角平分线定理：三角形外角的平分线如果和对边延长线相交，则它将按对应内角的两边之比分对边．如图2，若AE 平分CAF ∠，则必有：::AB AC BE CE=逆向运用：构造“子母型”相似（共边共角）+两点之间线段最短。
解决带系数两线段之和的最值问题．APC △∽ABP △，PB AB PC AP∴=．例1．已知90AOB ∠=︒，4OB =，6OA =，O 的半径为2，P 为圆上的一个动点．①求12AP BP +的最小值；②求13AP BP +的最小值．解题步骤：①分别连接圆心O 与系数不为1的线段BP 的两端点，即OP ，OB ；②计算OP OB 的值，则12OP k OB ==（半径圆心到定点的距离）；③在①中定点与圆心连线上取点C （即在OB 上取点C ），使OC k OP =；④连接AC ，当A 、P 、C 三点共线时，12AP BP AP PC AC +=+≥；⑤计算AC 的长度即为最小值．适用情况：已知：①两定点；②动点轨迹是圆或者动点在圆上；③求定点与动点连线之和的最小值．练习1．已知O 半径为1，AC 、BD 为切线，1AC =，2BD =，P 为弧AB 上一动点，求22PC PD +的最小值．2．已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的O 上运动，试求12AP BP +的最小值．3．已知点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），若点P 为C 上一动点，且C 与y 轴相切．①求14AP BP +的最小值；②PAB S △的最小值．4．（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值为__________；12PD PC -的最大值为__________．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么23PD PC +的最小值为；23PD PC -的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.那么12PD PC +的最小值为；12PD PC -的最大值为．图1图2图35．如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，求22PA PC +的最小值．6．如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ．求2PB PD 的最小值．7．在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，求2PD ﹢PC 的最小值．8．如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若12CC＝65，求m的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋23E′B的最小值．图1图2例2．如图，点A 、B 在O 上，且6OA OB ==，OA OB ⊥，点C 使OA 的中点，点D 在OB 上，且OD =4，动点P 在O 上，求2PC+PD 最小值．思考：①求12PC PD +；②32PC PD +．练习：1．如图，AB 是圆O 的直径，半径2=r ，C 是OA 的中点，过C 作CD AB ⊥交圆于点D ，DE 是圆的另一条直径，P 是圆上的动点，求2PC PE +的最小值．2．如图，在扇形CAB 中，4CA =，120CAB ∠=︒，D 为CA 的中点，P 为BC 弧上一动点（不与C ，B 重合），求2PD PB +的最小值．总结：对于kPA PB+的阿氏圆问题：1、两个定点都在圆外（内构相似）：①当01k<<时，转化PA；②当1k>时，变形为1()k PA PBk+，转化PB；2、两个定点都在圆内（外构相似）：①当01k<<时，变形为1()k PA PBk+，转化PB；②当1k>时，转化PA；3、两个定点在圆的一内一外，定点连线即可．巩固练习1．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 为ABC △内一动点，满足2CD =，求23AD BD +的最小值．2．如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且2BP =；求：①12PD PC +4PC +的最小值．3．如图，等边ABC △的边长为6，内切圆记为O ，P 是O 上一动点，求2PB PC +的最小值．4．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，C 的半径为2，点D 是C 上的动点，点E 在CB 上，1CE =，连接AD ，DE ，求122AD DE +的最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，以点C （1，1为半径的圆与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点D 为弧AB 上的动点，求2BD +的最小值．。
微专题：阿氏圆
微专题：阿氏圆【数学定义】已知平面上两定点A、B，则所有满足PA:PB＝k（或PA＝k·PB）且k≠1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，所以该圆就称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．具体的描述为：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则P点的轨迹是以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．通俗地说：如图，在△PAB中，PD平分∠APB交AB于点D，PC平分△PAB 的外角∠APE交BA的延长线于点C，以线段CD长为直径的圆就是阿氏圆．当k＝1时，PA＝PB，那么点P到线段AB的两端点的距离相等，它的轨迹就是线段AB的垂直平分线【数学定理】1、三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线内分对边之比.如下图，△ABC中，AD平分∠BAC，则AB:AC＝BD:CD.2、三角形外角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的外角平分线外分对边之比.如上图，△ABC中，AD平分∠BAC，则AB:AC＝BD:CD.【模型探究】如图，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB，连结PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？【问题解决】问题解决的关键在于如何确定“k·PB”的大小，如图，在线段OB上截取OC，使OC=k·r，则可证明△BPO∽△PCO，即可得k·PB=PC．本题求“PA+k·PB”的最小值就转化为求“PA+PC”的最小值，其中点A、C为定点，点P为动点，如下图：如右图，当点A、P、C三点共线时，“PA+PC”的值最小，问题得解．【破解步骤】（母子型相似：△PCO∽△BPO）1、将系数不为1的线段两端点分别与圆心O相连，即连结OB、OP；2、计算出线段OP、OB的长以及线段比OP:OB＝k的值，3、在OB或OB的延长线上取点C，使得OC:OP＝OP:OB＝k；（关键步骤）4、连结AC，与⊙O的交点即为点P.【模型实例】【牛刀小试】1、已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是弧CD上的一点，则2AP＋BP的最小值是．2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为2，点D是⊙C上的动点，点E在BC上，CE＝1，连结AD、DE，求0.5AD＋2DE的最小值．。
阿 氏 圆
阿氏圆阿氏圆，又称阿波罗尼斯圆，是指：平面上两点A、B，所有满足PA：PB=K 且K≠1的点P的运动轨迹，都是一个以固定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆，它是由古希腊数学家阿波罗尼斯首先发现，故称阿氏圆。
在初三下学期数学的各类模拟考中，时常会出现考查“阿氏圆”的题目，一般出现在解答压轴题中的最后一小题，以直接写答案的填空题的形式出现。
由于它脱离现行教材，即使有很多文章在介绍这个知识，但我们的同学面对类似题时，仍是一团雾水，其实考试为何以填空题的形式出现，就是让我们的同学不必纠缠于“阿氏圆”背后深含的数学原理，只需掌握它在什么时候运用？又是如何运用的，从这个角度来说，解决它并不难，这里我们将几道简化版的例题，用通俗、浅显的语言，详细介绍考试当中，如何快速解决有关“阿氏圆”的题目。
适用范围：题目求类似“AB+K×BC的最小值”，其中A、C两点是定点，B是动点，K是数值。
解题思路方法：首先盯住“K”值，它一定是图形中已知的某个三角形的两边的比值，通过它找到那个已知三角形，再由动点B作垂线，构造一个与已知三角形存在共角的“共角模型”的相似三角形，通过相似比，即可把“K×BC”转化成某一条带有点B的线段，这样就把题目转化成最基础的“将军饮马问题”的“两定一动模型”，让这两条线段成一直线，即可求解。
范例精讲：例1.如图，抛物线y=-x*2-2x+3与坐标轴的交点分别是A（1，0）、B（0，3）、C（-3，0），若R为y轴上一个动点，连接AR，则(√2RB)/2+AR的最小值为_______思路分析：题中的“√2/2”大有讲究，不是随意编制的数据，它一定是图形中某个已知三角形的两边比值。
由题可知：OB=3，OC=3，则BC=3√2，则OC：BC=3：3√2=√2/2，即呆会儿我们要构造的两个相似三角形中的一个就是△BOC，过点R作RE⊥BC，如图1，即可构造“共角模型”的相似三角形：△BER与△BOC，通过这两个三角形相似的性质可得：ER：BR=OC：BC=√2/2，则ER=(√2RB)/2+AR，这样就把“(√2RB)/2+AR的最小值”转化成了“ER+AR的最小值”，这是将军饮马问题中最简单的模型：两定一动模型，只需让A、R、E在同一直线上即可，则ER+AR的最小值即为AE的长度，如图2，通过三角函数即可求出AE的长度。
高中阿氏圆例题
高中阿氏圆例题阿氏圆（Arbelos）是一个具有优美性质的数学概念。
在高中数学学习中，阿氏圆问题常常出现在数学竞赛和高考题目中，具有一定的难度和挑战性。
本文将通过一个具体的例题，分析解题思路，详细解析解题步骤，并提供一些解题技巧和注意事项。
首先，我们来回顾一下阿氏圆的定义和性质。
阿氏圆是平面直角坐标系中，以点A，B，C为直径的圆。
其中，点A、B、C不共线，且不在同一条直线上。
阿氏圆具有以下性质：1.阿氏圆的直径是直角三角形ABC的角平分线。
2.阿氏圆的半径等于直角三角形ABC斜边的一半。
3.阿氏圆的圆心到三角形ABC三个顶点的距离之和等于直角三角形ABC 斜边的长度。
接下来，我们来分析高中阿氏圆例题的解题思路。
【例题】已知点A(-3, 0)，B(3, 0)，C(0, 4)，求以AB，AC为直径的的阿氏圆的方程。
解题思路：1.首先，求出直角三角形ABC的斜边长度。
根据两点间距离公式，可得AB = 6，AC = 5。
2.求出直角三角形ABC的角平分线长度。
根据三角函数，可得角BAC的平分线长度为√(6^2 + 4^2) / 2 = √52 / 2。
3.求出以AB，AC为直径的阿氏圆的半径。
半径等于斜边长度的一半，即R = (6 + 5) / 2 = 5。
4.求出阿氏圆的圆心坐标。
由于圆心在AB和AC的垂直平分线上，可得圆心坐标为((-3 + 3) / 2, (0 + 4) / 2) = (0, 2)。
5.根据圆的标准方程，得到阿氏圆的方程为：(x - 0)^2 + (y - 2)^2 =5^2，即x^2 + (y - 2)^2 = 25。
最后，我们来总结一下解题技巧和注意事项：1.熟练掌握两点间距离公式，以便求解线段长度。
2.牢记阿氏圆的性质，如直径是角平分线，半径等于斜边的一半等。
3.注意寻找题目中的隐含条件，如本题中圆心在AB和AC的垂直平分线上。
4.灵活运用圆的标准方程，简化求解过程。
通过以上分析，我们可以发现，掌握阿氏圆的性质和解题技巧，能帮助我们更高效地解决这类问题。
高中阿氏圆例题
高中阿氏圆例题摘要：一、阿氏圆的概念和性质1.阿氏圆的定义2.阿氏圆的性质二、阿氏圆的相关例题1.例题一2.例题二3.例题三三、解题思路和方法1.解题思路2.解题方法四、总结1.阿氏圆在数学中的重要性2.学习阿氏圆的意义正文：阿氏圆是高中数学中一个重要的概念，它具有许多独特的性质。
首先，我们要了解阿氏圆的定义和性质，这是解决相关问题的基础。
阿氏圆是指到两个定点的距离之和等于定长的所有点的集合。
简单来说，就是在平面上给定两个点，求所有到这两个点的距离之和等于一个常数的点的集合。
阿氏圆具有以下几个性质：1.阿氏圆是两个定点的等距离点构成的，即圆心为两个定点的连线中点。
2.阿氏圆的半径等于两个定点的距离减去定长的一半。
3.阿氏圆与两个定点的连线构成的三角形面积相等。
了解阿氏圆的概念和性质后，我们来看一些具体的例题。
例题一：已知点A(-3,0) 和点B(3,0)，求以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆。
解题思路：首先求出AB 的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，根据阿氏圆的性质，可知AO+BO=5，所以以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆就是以O 为圆心，以5 为半径的圆。
例题二：已知点A(2,3) 和点B(-4,1)，求以A、B 为圆心，以6 为定长的阿氏圆。
解题思路：首先求出AB 的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，根据阿氏圆的性质，可知AO+BO=6，所以以A、B 为圆心，以6 为定长的阿氏圆就是以O 为圆心，以6 为半径的圆。
例题三：已知点A(0,4) 和点B(4,0)，求以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆。
解题思路：首先求出AB 的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，根据阿氏圆的性质，可知AO+BO=5，所以以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆就是以O 为圆心，以5 为半径的圆。
通过以上例题，我们可以总结出解题思路和方法。
首先根据题目所给的点A 和B，求出它们的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，判断是否满足阿氏圆的性质。
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到两点点的距离之和为定值（大于两定点距离）的点的轨迹是椭圆．
到两点点的距离之差为定值（小于两定点距离）的点的轨迹是双曲线
那么到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？
没错就是阿氏圆．
阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：
一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．
【分析】
令B为坐标原点，A的坐标为(a，0)．则动点P(x，y)．满足PA/PB=k（为实数，且不为±1）
得(k2－1)(x2＋y2)＋2ax－a2=0，
当k不为±1时,它的图形是圆．
当k为±1时，轨迹是两点连线的中垂线．
【典型例题】
问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋1/2BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：
如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，
则有CD/CP＝CP/CB＝1/2，
又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．
∴PD/BP＝1/2，∴PD＝1/2BP，
∴AP＋1/2BP＝AP＋PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋1/2BP 的最小值为．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，
1/3AP ＋BP 的最小值为．
（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是弧CD 上一点，求2PA ＋PB 的最小值．
10．（3分）（2015•贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
18.如图，在ABC ∆中， 90,8,6ACB BC AC ∠=︒==，以点C 为圆心，4为半径的圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则
12BD AD +的最小值是 .。