关于三维坐标转换参数的讨论

关于三维坐标转换参数的讨论

关于三维坐标转换参数的讨论

摘要:首先对坐标转换的物理意义进行解释,又把传统3个旋转角参数用反对称矩阵的3个元素代替,推出用3个和4个公共点直接计算转换参数的严密公式,在此基础上推导出严密的线性化公式。由于不用进行三角函数计算,只用简单加减乘除,也不用迭代计算,所以该模型计算速度快。

关键词:三维坐标转换;转换参数;转换矩阵;反对称矩阵;罗德里格矩阵

一、引言

三维直角坐标转换中，采用7参数Bursa2Wolf 模型、Molodensky 模型和武测模型[1 ] ,当在两坐标系统下有3 个公共点,就可惟一解算出7个转换参数;多余3个公共点时,就要进行平差计算,转换参数的初值(特别是旋转角) 的大小,直接影响平差系统稳定性和计算速度,有时使得解算的参数均严重偏离其值[2 ] 。随着移动测图系统(Mobile Mapping System ,简称MMS) 技术的成熟和应用,对运动载体(飞机、轮船、汽车等) 姿态的测量( GPS + INS) 也越来越多[3～5 ] ,任意角度的3 维坐标转换计算也越来越多。在平台上安装3 台或4 台GPS 接收机,来确定运动载体的位置和空间姿态,这时的旋转角可以说是任意的,取值范围是- 180°至180°,就需要准确计算转换参数模型,适应于任意旋转角的坐标转换。

本文在解释坐标转换的物理意义的基础上,导出3 维坐标转换7

参数直接计算的模型,以旋转矩阵的确定为核心,导出了3 点法和4 点法(两坐标系统下公共点数) ,用反对称矩阵和罗德里格矩阵性质推出的公式严密,该模型计算速度快。

二、三维坐标转换的物理意义和数学模型

1. 物理意义

如图1 所示,在两坐标系统下有4个公共点,在不同坐标系统内, 看成四面的刚体, 如图1（a) , (b)坐标转换的物理意义就是通过平移、旋转和缩放,使两个刚体大小和形状完全相同。具体过程是,设公共点1 为参考点,将图1 (b) 坐标轴和刚体平移,与对应的图1 (a) 刚体的点1 重合,如图1 (c) , 平移量为[ u v w ]T;然后以点1 为顶点,绕3 轴旋转,使两坐标系统的坐标轴平行, 以参考点为顶点的边重合,其他各边平行,两刚体是相似体,只是大小不同,如图1 ( d) ; 最后进行缩放, 使两刚体大小也相同。这样两坐标系统和3 个轴重合,原点统一,从而形成坐标系统转换。

图1

2. 数学模型

根据坐标转换的物理过程,可得到数学模型

可见[ Xm Ym Zm ]T = [ XT1 - XS1 YT1 - YS1 ZT1

- ZS1 ]T ,进一步变为

式(2) 左边是目标坐标系统下的坐标, 右边(下标为S) 表示原坐标

系统下坐标; [ΔX ΔY ΔZ ]T =R[ Xm Ym Zm ]T 为平移因

子,其意义是参考点旋转后的坐标；λ为尺度因子; R 为坐标转换旋

转矩阵,或转换矩阵, R = R3 R2 R1 , R1 是把原坐标绕Z

轴旋转θ角得到的旋转矩阵, R2 是绕新的X 轴旋转< 得到的旋转矩阵, R3 是绕新Y 轴旋转ψ得到的旋转矩阵。

（3）

所以

（4）

习惯上称ΔX ,ΔY ,ΔZ ,λ,θ, <,ψ为7 参数,后3个称为旋转参数或角度参数。

3. 模型参数确定的分析

由数学建模过程可以得出,尺度因子λ最好确定,是刚体对应边

长比的平均值,平移参数只有在旋转矩阵R 确定后方能确定,所以旋转矩阵的确定是参数直接解算的核心。由式(4)可知,3个角度参数用下式计算

（5）

但在任意条件下, 3个角取值范围是0°～360°, 具体大小无法判断,由式(3) 才能判断出具体大小。实际应用中,只要解出转换矩阵就能达到坐标转换的目的。设

是一个正交矩阵,其9个元素中只有3个是独

立的。又设反对称矩阵

,其元素是独立的。R 由S 构成罗德里格矩阵[6 ]

（6）

其中Δ= 1 + a2 + b2 + c2 。本文就是以反对称矩阵和罗德里格矩阵性质建立直接计算的公式。

三、3 点法计算转换参数公式

在已知两坐标系统下3个公共点计算7个参数的方法称为3 点法,其计算过程如下。

1.反对称矩阵和罗德里格矩阵性质

其中, I 是3 阶单位阵。

2. 转换参数直接解算

通过上述可知,转换参数的确定关键是旋转矩阵的确定,以下是根据反对称矩阵和罗德里格的性质,由3 个点计算转换参数的公式推导。由式(2) ,由公共点1 ,2 可列两组6 个方程, 用点2 方程减去点1 方程,消去平移参数,并把式(7c) 代入

或（8）

展开整理后得

（9）

上式只有两个独立方程,不能解出3 个未知数,用点1 ,3 可得一组方程,和式(9) 联合,取3 个

（10）

式中, u2 =λXS21 + XT21 , v2 =λYS21 + YT21 , w2 =λZS21+ ZT21 , u3 =λXS31 + XT31 , v3 =λYS31 + YT31

（11）

式中,ΔH = u3 v2 w2 - u2 v3 w2 , 由式(7a) 就可计算出转换矩阵,由式(2) 可得到平移参数

（12）

四、算例

以3 点计算为例,表1 列出原坐标系统和目标系统下3 个公共点坐标。

由此得到两坐标系统转换的数学模型为

本例设计的3个旋转角为55°19′42″,212°32′47″和140°45′22″。

五、结论

1. 该模型从理论上讲比较严密,原理简单,只用加减乘除就能计算,实现起来比较容易。

2. 由于是直接解算,所以无论参数值大小如何,转换参数都是比较接近真值的。

3. 适应任意旋转角情况下坐标转换,扩大了模型的应用范围。

4. 给出了线性化形式,当多于3 个公共点时,为进一步最小二乘法平差作了准备。

参考文献:

[1 ] 刘大杰,施一民,过静王君. 全球定位系统(GPS) 的原理与数据处理[M] . 上海:同济大学出版社, 1999.

[2 ] 曾文宪,陶本藻. 3 维坐标转换的非线性模型[J ] . 武汉大学学报(信息科学版) ,2003 ,28(5) :5662568.

[3 ] 刘根友. 一种GPS 测定姿态的新方法[J ] . 测绘科学, 2003 ,28(3) :36238.

[4 ] 赵建虎,刘经南,周丰年. GPS 测定船体姿态方法研究

[J ] . 武汉测绘科技大学学报,2000 ,25(4) :3532357.

[5 ] 郭英,卢秀山,等. 有限条件下坐标转换矩阵的确定

与精化[J ] . 测绘通报,2004 , (7) :325.

[6 ] 李德仁,郑肇保. 解析摄影测量学[M] . 北京:测绘出版社,1992.