华东师范大学离散数学章炯民课后习题第4,5章答案

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1（1）. 用谓词公式表达语句“所有的运动员都钦佩某些教练”，个体域为全总个体域。解：

P(x):x是运动员，G(y):y是教练，R(x,y):x钦佩y。原题量词表达为：

∀x (P(x)→∃y(R(x,y)∧G(y)))

此题错误较多：1. ∀x∃ yR(P(x),G(y)) 2. ∀x∃y(P(x)∧G(y)→R(x,y)) 3. R(x):x钦佩某些教练3. 将∀x(C(x)∨∃y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同班同学，个体域是学校全体学生的集合。

解：

学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。

80%能正确解释。

5. 给定解释I如下：

个体域D：{-2,3,6}；

个体常元a：6；

谓词P：2>1，Q(x)：x≤3，R(x)：x>5。

求出谓词公式∀x(P→Q(x))∨R(a)在解释I下的真值。

解：

R(a)总为1,故

∀x(P→Q(x))∨R(a)为∀x(P→Q(x))∨1＝1

都能做对最后答案。有的学生将D的每个元素代入求得，有的学生做法如上。

9（2）. 指出谓词公式∀x∀y(P(x,y)∨Q(y,z))∧∃xR(x,y)的指导变元、量词的辖域、约束变元和自由变元。

解：

第一个x是指导变元，相应的辖域是∀y (P(x,y)∨Q(y,z))；第二、四个x是约束变元；第三个x 是指导变元，相应的辖域是R(x,y)；

第一个y是指导变元，相应的辖域是：(P(x,y)∨Q(y,z))；第二，三个y是约束变元；第四个y 是自由变元；

第一个z 是自由变元。

即：

指导变元：第一个x，第三个x，第一个y

辖域：∀y (P(x,y)∨Q(y,z))，R(x,y)，(P(x,y)∨Q(y,z))

约束变元：第二个x，第四个x，第二个y，第三个y

自由变元：第四个y，第一个z

约一半学生错在第一个X为指导变元时的辖域，错写为(P(x,y)∨Q(y,z))，其余的正确。

10（1）. 求谓词公式∀x∀y(P(x,y)↔Q(x,y))→∃x∀yR(x,y)的前束范式。

解：

∀x∀y(P(x,y)↔Q(x,y))→∃x∀yR(x,y)=∀x∀y(P(x,y)↔Q(x,y))→∃u∀vR(u,v)

=∀x∀y(⌝P(x,y)∨Q(x,y)∧(⌝Q(x,y)∨P(x,y))→∃u∀vR(u,v)

=∃x∃y(((P(x,y)∧⌝Q(x,y))∨(Q(x,y)∧⌝P(x,y))∨∃u∀vR(u,v))

=∃x∃y∃u∀v((P(x,y)∧⌝Q(x,y))∨(Q(x,y)∧⌝P(x,y))∨R(u,v))

三分之一的学生出错。1. ↔不化简2. 没有改变相同的量词，并将相同的量词合并。3. 计算错误。

11. 构造∀x(P(x)∨Q(x)),∀x(Q(x)→⌝R(x)),∀xR(x)⇒∀xP(x)的形式证明。

解：

①∀xR(x) 前提引入

②R(e) ①US规则

③∀x(Q(x)→⌝R(x)) 前提引入

④Q(e) →⌝R(e) ③US规则

⑤⌝Q (e) ②④析取三段论

⑥∀x(P(x)∨Q(x)) 前提引入

⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则

⑧P(e) ⑤⑦析取三段论

⑨∀x (P(x)) ⑧EG规则

此题出错较多：1. 误用量词的推理规则，如①∀xR(x) 前提引入②R(x) ①US规则 2.形式证明的格式不规范

15. 证明下面的推理：

“每个科研工作者都是努力工作的。每个努力工作而又聪明的人都取得事业的成功。某个人是科研工作者并且聪明。所以，某人事业取得成功。”

解：

命题符号化，个体域为人。

定义谓词P(x):x是科研工作者，Q(x):x努力工作，R(x):x是聪明的人，M(x):x事业取得成功. 前提：∀x (P(x)→Q(x)), ∀x((Q(x)∧R(x))→M(x)), ∃x(P(x)∧R(x))

结论: ∃x M(x)

构造形式证明

①∃x(P(x)∧R(x)) 前提引入

②P(a)∧R(a) ①ES规则

③P(a) ②化简规则

④∀x (P(x)→Q(x)) 前提引入

⑤P(a)→Q(a) ④US规则

⑥Q(a) ③⑤假言推理规则

⑦R(a)∧Q(a) ③附加规则

⑧∀x((Q(x)∧R(x))→ M(x)) 前提引入

⑨(Q(a)∧R(a))→ M(a) ⑧US规则

⑩M(a) ⑦⑨假言推理规则

⑪∃x M(x) ⑩EG规则

基本正确

补充：

1. 用谓词公式表达语句“本班的学生都已学过微积分”，个体域分别取ECNU的学生集合和本班的学生集合。

解：

个体域取ECNU的学生集合:

P(x):x是本班学生，G(x):x学过微积分。则

∀x (P(x)→G(x))

个体域取本班的学生集合:

P(x):x学过微积分，则

∀x P(x)

个体域取ECNU的学生集合时出错较多：H(x): X是ECNU的学生∃x(h(x)→G(x))

2. 用谓词公式表达语句“班上无人恰给另外两个同班同学发过电子邮件”，个体域取本班学生的集合。

解：

p(x,y)：x 给y 发过电子邮件，论域为班上学生。

原题量词表达为：

⌝ ∃x ∃y ∃z (p(x,y)∧p(x,z)∧(y ≠z)∧(x ≠z)∧(x ≠y )∧∀w(p(x,w)→((w=y)∨(w=z))))

正确解答此题的学生很少。大都只表达了“给另个两个同学发过电子邮件”，忽略“恰恰”。 P81

2. 集合X={a,b,c}上的一个关系R 的关系矩阵如下（左），请写出这个关系。（注：矩阵的第

1、2、3行以及第1、2、3列，分别对应X 中的元素a 、b 、c ）。

解：

R={(a,a)，(a,c)，(b,b) ，(c,a)，(c,c) }

全部正确

3. 一集合上的一个关系的关系图如上图（右）所示，请写出这个关系。

解：

R={（a ，a ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，b ）（c ，a ），（c ，d ），（c ，c ），（d ，d ）}

全部正确

6. 设R 是X 到Y 的二元关系，S 是Y 到Z 的二元关系，证明(R ︒S)-1= S -1︒R -1。

解：

对∀x,y ∈R,

∈(R ︒S)-1

⇔∈(R ︒S)

⇔∃u(∈R ∧∈S)

⇔∃u(∈S -1∧∈R -1)

⇔∈( S -1︒ R -1)

故(R ︒S)-1= S -1︒R -1

基本正确

7(2). 设R 、S 、T 都是X 上的关系。证明：R ︒(S ∩T)⊆(R ︒S)∩(R ︒T)，(R ∩S)︒T ⊆(R ︒T)∩(S ︒T)。 解：

对∀x,y ∈X,

∈ R ︒(S ∩T)

⇒∃u(∈R ∧∈ S ∩T)

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